Общая модель линейного программирования. Динамические модели линейного программирования. Вопросы для самоконтроля

Т.Г. ТЮРНЕВА

ПРАКТИКУМ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ

Эконометрика – это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. (Большой Энциклопедический Словарь – М., БРЭ, 1977)

Эконометрические методы – это, прежде всего, методы статистического анализа конкретных экономических данных.

Оценка результатов эконометрического моделирования достигается посредством решения качественной и количественной проблемы. Качественная составляющая заключается в установлении соответствия между построенной моделью и основополагающей экономической концепцией, а количественная – в точности аппроксимации имеющейся информации данными расчётов.

С практической точки зрения к основным задачам эконометрики можно отнести:

построение эконометрических моделей – представление экономических моделей в математической форме, удобной для проведения эмпирического анализа. Данную проблему называют проблемой спецификации, которую можно решить несколькими способами;

оценку параметров построенной модели, позволяющую характеризовать адекватность модели реальными данными. Указанная задача решается на этапе параметризации;

проверку качества полученной модели в целом. Данная задача реализуется на этапе верификации;

использование построенной модели для прогнозирования.

Модель парной линейной регрессии является частным случаем модели многомерной регрессии. Её исследование представляет самостоятельный интерес, так как она имеет многие характерные свойства общих многомерных моделей, но более наглядна и проста для изучения.

Расчетно-графическая работа по эконометрике

Модель парной линейной регрессии

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Пусть имеется два ряда эмпирических данных X (x 1 , x 2 , …, x n ) и Y (y 1 , y 2 , …, y n ) , соответствующие им точки с координатами (x i , y i ), где i =1,2,…, n , отобразим на координатной плоскости. Такое изображение называется полем корреляции . Пусть по расположению эмпирических точек можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными X и Y .

В общем виде теоретическую линейную парную регрессионную модель можно представить в виде:

Y =
или y i =
, i =1,2,…, n ;

где Y – объясняемая (результирующая, зависимая, эндогенная) переменная,

Х – объясняющая (факторная, независимая, экзогенная) переменная или регрессор;

- теоретические параметры (числовые коэффициенты) регрессии, подлежащие оцениванию;

ε i - случайное отклонение (возмущение, ошибка).

Основные гипотезы:

3а. М ε i =0, i =1,2,…, n .

3b. D ε i =σ 2 , i =1,2,…, n . Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюдения называется гомоскедастичностью ; случай, когда условие гомоскедастичности не выполняется, называется гетероскедастичностью.

3с. М(ε i ε j )=0 при i ≠ j , некоррелированность ошибок для разных наблюдений. В случае, когда это условие не выполняется, говорят об автокорреляции ошибок.

Возмущения являются нормально распределенными случайными величинами: ε i ≈ N (0, σ 2 ).

Замечание. Для получения уравнения регрессии достаточно первых трех предпосылок. Для оценки точности уравнения регрессии и его параметров необходимо выполнение четвертой предпосылки.

Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (x i , y i ), i =1,2,…, n , для переменных X и Y получить наилучшие оценки неизвестных параметров , т. е. построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии

где
оценка условного математического ожидания М(Y/ X=x i);
оценки неизвестных параметров , называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. В каждом конкретном случае можно записать

, i =1,2,…, n ,

где отклонения е i – ошибки (остатки) модели, которые являются оценками теоретического случайного отклонения ε i .

2. Рассчитайте параметры выборочного уравнения линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). В методе наименьших квадратов оценки параметров модели строятся так, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок модели по всем наблюдениям. Таким образом, критерий наименьших квадратов записывается в виде:

Необходимым условием существования минимума функции S (b 0 , b 1 ) является равенство нулю её частных производных по неизвестным b 0 и b 1 (для краткости опустим индексы суммирования у знака суммы Σ):

Данная система уравнений называется системой нормальных уравнений для коэффициентов регрессии.

Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, например, методом подстановки, получим:

где
выборочные средние значения переменных Х и Y.

.

С геометрической точки зрения минимизация суммы квадратов отклонений означает выбор единственной прямой (из всех прямых с параметрами), которая ближе всего «прилегает» по ординатам к системе выборочных точек (x i , y i ), i =1,2,…, n .

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r xy . Существует несколько видов формулы линейного коэффициента корреляции, основные из них:

.

Корреляционная связь между переменными называется прямой, если r xy . >0, и обратной, если r xy

Для практических расчётов наиболее удобна формула

,

так как по ней коэффициент корреляции находится из данных наблюдений, и на значение r xy не оказывает влияния погрешность округления.

Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

При значении коэффициента корреляции равном 1 связь представлена линейной функциональной зависимостью. При этом все наблюдаемые значения располагаются на линии регрессии.

При r xy =0 корреляционная связь между признаками в линейной форме отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Ох.

При r xy > 0 – корреляционная связь между переменными называется прямой, а при r xy

Для характеристики силы связи можно использовать шкалу Чеддока.

Показатель тесноты связи
Характеристика силы связи		Умеренная	Заметная		Весьма высокая

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r xy 2 , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации обозначим R 2 , т. о. имеем

R 2 = r xy 2 .

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака Y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Соответственно величина 1- R 2 характеризует долю дисперсии Y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели факторов.

Замечание. Вычисление R 2 корректно, если константа включена в уравнение регрессии.

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Очевидно, что коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии b 0 и b 1 с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями
этих коэффициентов. Данный анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез.

Для проверки гипотезы

Н 0: b 1 = β 1 ,

Н 1: b 1 ≠ β 1

используется статистика
, которая при справедливости гипотезы Н 0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы df = n – 2 , где
- стандартная ошибка коэффициента регрессии b 1 ,
.

Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели является задача установления наличия линейной зависимости между Y и X. Эта проблема может быть решена проверкой гипотезы

Н 0: b 1 = 0,

Н 1: b 1 ≠ 0.

Гипотеза в такой постановке обычно называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. При этом если принимается нулевая гипотеза, то есть основания считать, что величина Y не зависит от Х – коэффициент b 1 статистически незначим (он слишком близок к нулю). При отклонении Н 0 коэффициент считается статистически значимым, что указывает на наличие определённой линейной зависимости между Y и X. Используемая в этом случае t – статистика имеет вид:
и при нулевой гипотезе имеет распределение Стьюдента с (n -2) степенями свободы.

Если вычисленное значение t – статистики - |tфакт| α больше критического (табличного) t табл , т.е.

|tфакт| > t табл = t (α ; n -2),

то гипотеза Н 0: b 1 = 0, отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b 1 .

Если |tфакт| табл = t (α; n -2), то гипотеза Н 0 не отвергается. Критическое значение t табл = t (α; n -2), α и числе степеней свободы n -2 находится по таблицам 2 Приложения.

По аналогичной схеме на основе t – статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента b 0 :

,

где
и
- стандартная ошибка коэффициента регрессии b 0 .

Постройте интервальные оценки параметров регрессии. Проверьте, согласуются ли полученные результаты с выводами, полученными в предыдущем пункте.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

которые с надёжностью (1 – α) накрывают определяемые параметры .

Если в границы доверительных интервалов попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр признается статистически незначимым.

Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения в целом.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, имеющимся данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения в целом дается с помощью F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. H 0: β 1 =0, следовательно, фактор не оказывает влияния на результат.

Непосредственному расчету F – критерия предшествует анализ дисперсии результативного признака Y. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части – «объясненную» и «остаточную» («необъясненную»):

= +

Общая сумма квадратов Сумма квадратов Остаточная сумма

отклонений = отклонений, объясненная + квадратов

регрессией отклонений

Обозначим SS общ =, SS R =
и SS ост =
.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df (degree of freedom ), т.е. с числом свободы независимого варьирования признака.

Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной парной регрессии составляет n - 2 , общей суммы квадратов – n -1 и число степеней свободы для факторной суммы квадратов, т. е. объясненной регрессией равно единице . Имеем равенство:

n – 1 = 1+ (n – 2).

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы .

;

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F –отношения или F – критерий , статистика которого F при нулевой гипотезе

~ F (1, n -2)

распределена по закону Фишера со степенями свободы (1, n-2).

Если вычисленное значение F –отношения - F факт при заданном уровне значимости α больше критического (табличного) F табл , т.е.

F факт > F табл = F (α;1, n -2),

то гипотеза Н 0: β 1 =0 отвергается, признаётся статистическая значимость уравнения регрессии, т.е. связь между рассматриваемыми признаками есть и результаты наблюдений не противоречат предположению о её линейности.

Если F факт F табл = F (α;1, n -2), то гипотеза Н 0 не отвергается, уравнение регрессии считается статистически незначимым.

Критическое значение F табл = F (α;1, n -2), при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы 1; n -2 находится по таблицам 1 Приложения.

Оценка значимости уравнения регрессии обычно дается в виде таблицы дисперсионного анализа.

Ее применяют для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Согласно опросу журналом «Форчун» вице-президентов по производству из 500 фирм, модели линейного программирования и управления запасами пользуются в промышленности наибольшей популярностью. Линейное программирование обычно используют специалисты штабных подразделений для разрешения производственных трудностей. Некоторые типичные применения этого метода в управлении производством перечислены в табл. 4.

Таблица 4. Типичные варианты применения линейного программирования в управлении производством

Укрупненное планирование производства. Составление графиков производства, минимизирующих общие издержки с учетом издержек в связи с изменением ставки процента, заданных ограничений по трудовым ресурсам и уровням запасов.

Планирование ассортимента изделий. Определение оптимального ассортимента продукции, в котором каждому ее виду свойственны свои издержки и потребности в ресурсах (например, определение оптимальной структуры производства компонентов для бензина, красок, продуктов питания для человека, кормов для животных).

Маршрутизация производства изделия. Определение оптимального технологического маршрута изготовления изделия, которое должно быть последовательно пропущено через несколько обрабатывающих центров, причем каждая операция центра характеризуется своими издержками и производительностью.

Управление технологическим процессом. Сведение к минимуму выхода стружки при резке стали, отходов кожи или ткани в рулоне или полотнище.

Регулирование запасов. Определение оптимального сочетания продуктов на складе или в хранилище.

Календарное планирование производства. Составление календарных планов, минимизирующих издержки с учетом расходов на содержание запасов, оплату сверхурочной работы и заказов на стороне.

Планирование распределения продукции. Составление оптимального графика отгрузки с учетом распределения продукции между производственными предприятиями и складами, складами и магазинами розничной торговли.

Определение оптимального местоположения нового завода. Определение наилучшего пункта местоположения путем оценки затрат на транспортировку между альтернативными местами размещения нового завода и местами его снабжения и сбыта готовой продукции.

Календарное планирование транспорта. Минимизация издержек подачи грузовиков под погрузку и транспортных судов к погрузочным причалам.

Распределение рабочих. Минимизация издержек при распределении рабочих по станкам и рабочим местам.

Перегрузка материалов. Минимизация издержек при маршрутизации движения средств перегрузки материалов (например, автопогрузчиков) между отделениями завода и доставке материалов с открытого склада к местам их переработки на грузовых автомобилях разной грузоподъемности с разными технико-экономическими характеристиками.

Нижеследующий пример иллюстрирует простую ситуацию, в которой для принятия решения следует воспользоваться моделью линейного программирования. Управляющий производством должен решить, сколько галлонов краски каждого из трех ее типов следует производить, чтобы получить наивысшую прибыль. На решение налагается несколько ограничений:

1. В наличии имеется только 40 тыс. фунтов исходных реагентов - 10 тыс. фунтов реагента А, 18 тыс. фунтов реагента В и 12 тыс. фунтов реагента С.

2. Общее время работы оборудования 30 тыс. ч.

3. На один галлон краски типа 1 расходуется один фунт реагента А, 3/4 фунта реагента В и 1 1/2 фунта реагента С, а также 1/8 ч времени работы оборудования. На один галлон краски типа 2 требуется один фунт реагента А, 1/2 фунта реагента В и 3/4 фунта реагента С, а также 1/4 ч работы оборудования. На один галлон краски типа 3 идет 1 1/4 фунта реагента А, 1 1/4 фунта реагента В и 1 1/2 реагента С при 1/6 ч времени работы оборудования.

4. Чистая прибыль от продажи одного галлона краски типов 1,2 и 3 составляет 0,80, 0,65 и 1,25 долл. соответственно.

Задача проиллюстрирована рис. 7. С помощью модели линейного программирования управляющий может определить, какое количество краски каждого типа производить при известных запасах реагентов и имеющемся резерве времени работы оборудования, а также с учетом вклада в прибыль краски каждого типа. Не имея такой модели, крайне сложно принять оптимальное решение даже в сравнительно простой ситуации.

Рис. 7. Модель линейного программирования (линейное программирование применяется для решения задач с несколькими переменными, как например, задачи об ассортименте красок в тексте).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Модели и методы линейного программирования

1. МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

Термин «модель» происходит от латинского слова «modulus» образец, норма, мера. Модель - это объект, который замещает оригинал и отобр а жает важнейшие черты и свойства оригинала для данного исследования, данной цели исследов а ния при выбранной системе гипотез.

Модели обеспечивают структуру для целостного логического анализа.Модели широко используются благодаря тому, что заставляют выполнять следующие действия:

1. Явно определить цели.

2. Определить и зафиксировать типы решений, которые влияют на достижение этих целей.

3. Выявить и зафиксировать взаимосвязи и компромиссы между этими решениями.

4. Тщательно изучить входящие в них переменные и определить возможность их измерения.

5. Разобраться, какие данные нужны для количественного определения значений переменных и найти способ описать их взаимное влияние.

6. Осознать какие ограничения могут налагаться на значения этих переменных.

7. Обсудить идеи, что помогает членам группе управления в совместной работе.

Существует три типа моделей:

1. Физическая модель.

2. Аналоговая модель.

3. Символическая модель.

Тип модели	Свойства
Физическая модель	Осязаемость. Понимание: простое. Дублирование и совместное использование: сложные. Модификация и манипулирование: сложные. Сфера использования: наиболее узкая.	Макет самолета, макет дома, макет города.
Аналоговая модель	Неосязаемость. Понимание: более сложное. Дублирование и совместное использование: более простые. Модификация и манипулирование: более простые. Сфера использования: более широкая.	Карта дорог, спидометр, круговая диаграмма.
Символическая модель	Неосязаемость. Понимание: самое сложное. Дублирование и совместное использование: самые простые. Модификация и манипулирование: самые простые. Сфера использования: самая широкая.	Имитационная модель, алгебраическая модель, модель, построенная в электронной таблице.

Наиболее абстрактной является символическая модель, в которой все понятия выводятся посредством количественно определенных переменных, а все связи представляются в математическом, а не физическом или аналоговом виде. Поскольку в символических моделях используются количественно определенные переменные, связанные уравнениями, их часто называют математическими моделями, табличными моделями (т.е. моделями на основе электронных таблиц).

Менеджерам приходится работать со всеми типами моделей, чаще всего с аналоговыми моделями в форме графиков и диаграмм, а также с символическими моделями в виде электронной таблицы или отчетов информационно-управляющей системы.

Математическая модель -- это абстракция реальной действител ь ности (мира), в которой отношение между реальными элементами, а име н но те, которые интересуют исследователя, замененные отношениями между матем а тическими категориями. Эти отношения обычно подаются в форме уравнений и/или неравенств, отношениями формальной логики между показателями (переменными), которые характеризуют функционирование реальной системы, которая моделируе т ся.

Невозможно представить себе современную науку, в частности экономику, без широкого применения математического моделирования.

Сущность этой методологии заключается в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и последующим изучением (исследованием) модели на основании аналитических методов и вычислительно-логических алгоритмов, которые реализуются с помощью компьютерных программ.

Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и безболезненно исследовать его основные (существенные) свойства и поведения при любых вероятных ситуациях (это преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симулятивные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощность современных математических и вычислительных методов и технического инструментария информатики, тщательным образом и достаточно глубоко изучать объект в достаточно детальном виде, что недоступно сугубо теоретическим подходам (это преимущество эксперимента). Не удивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая анализ чрезвычайно сложных экономических и социальных процессов.

2. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ВИДЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПР О ГРАММИРОВАНИЯ

Линейное программирование рассматривается как революционное достижение, давшее человеку способность формулировать общие цели и находить посредством симплекс-метода оптимальные решения для широкого класса практических задач принятия решений большой сложности.

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Задача линейного программирования (ЛП), состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Линейное программирование применяется при решении следующих экон о мических задач :

1. Задача управления и планирования производства (распределения ресурсов).

2. Задачи о смесях, диете (планирование состава продукции).

3. Задача определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача, задача о назначениях).

4. Задача оптимального распределения кадров (расстановка персонала).

3. МОДЕ ЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ЕЁ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ MS EXCEL

Традиционно наукой управления называют построение детально разработанных моделей, в результате анализа которых принимаются управленческие решения. Сегодня миллионы менеджеров для анализа деловых задач применяют электронные таблицы. Современные электронные таблицы имеют много мощных средств, которые можно использовать для более точного анализа моделей, в результате чего могут приниматься более взвешенные и близкие к оптимальным решения. С учетом все более широкого применения электронных таблиц в процессе управления будущим специалистам необходимо владеть профессиональными навыкам разработки моделей - как «спланировать» чистый рабочий лист так, чтобы получить полезную и практическую модель деловой ситуации, не углубляясь в алгоритмические и математические тонкости расчетов.

Основные этапы создания модели линейного программирования в Excel: линейный программирование электронный поиск

1. Написание и проверка символической модели линейного программиров а ния. Модель записывается на бумаге в математическом виде.

2. Создание и отладка табличной модели линейного программирова ния. На основе символической модели ЛП создается ее представление в Excel .

3. Попытка оптимизации модели с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ

С помощью электронных таблиц можно моделировать реальные ситуации и оценивать полученные результаты. Другими словами с помощью электронных таблиц можно делать анализ результатов деятельности и прогнозирования будущих перспектив предприятия. Эти задачи в среде MS Excel дает возможность решать на д стройка Поиск решения .

Поиск решения - это надстройка, которая предназначена для оптимизации моделей при наличии ограничений. Она состоит из двух программных компонентов: программы написанной на языке Visual Basic, который транслирует представленную на рабочем письме информацию для внутреннего представления, которая используется другой программой. Вторая программа находится в памяти компьютера в виде отдельного программного модуля. Она выполняет оптимизацию и возвращает найденное решение первой программе, которая возобновляет данные на рабочем листе. С помощью ее можно найти оптимальное значение формулы, которая сохраняется в целевой ячейке. Эта процедура работает с группой ячеек, которые непосредственно связанные с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить результат по формуле в целевой ячейке, процедура изменяет значение в ячейках, которые влияют на поиск. Для того, чтобы уменьшить множественное число значений, которые используются в модели задачи, применяют ограничение. Эти ограничения могут содержать ссылку на другие ячейки, которые влияют на поиск.

Общий алгоритм работы с надстройкой Поиск решения .

1. В меню Серв и с выбрать команду Поиск решения .

2. В поле Установит целевую ячейку введите адрес ячейки, в которй находится формула, для оптимизации модели.

3. Для того, чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Максимальному значению . Для того, чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Минимальному значению . Для того, чтобы целевая ячейка приобретала значение конкретного числа, установите переключатель в положение Значение и введите соответствующее число.

4. В поле Изменяя ячейки введите адреса ячеек, которые изменяют свои значения, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или непрямо связанные с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

5. В поле Ограничения введите все ограничения, которые налагаются на поиск решения.

6. Нажмите кнопку Выполнить .

7. Для сохранения найденного решения установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить на й денное решение . Для возобновления входных данных установите переключатель в положение Восстановить исхо д ные значения .

8. Для того, чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу Еsс . MS Excel пересчитает лист с учетом найденных значений ячеек, которые влияют на результат.

Алгоритм р о бот и з надбудовою Поиск реш е ния.

5. РЕШЕНИЕ ЗА ДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩ И ПРОГРАММЫ MS EXCEL

Пример. Кондитерский цех для изготовления трех видов карамели А, В, С использует три основных вида сырья: сахар, патоку и фруктовое пюре. Нормы затрат сахара на изготовление 1кг карамели каждого вида соответственно уровни: 0,8кг; 0,5кг; 0,6кг; патоки - 04кг; 0,4кг; 0,3кг; фруктового пюре - 0кг; 0,1кг; 0,1кг. Конфеты можно производить в любых количествах (реализация обеспечена), но запас сырья ограниченный: запасы сахара - 80кг, патоки - 60кг, фруктового пюре - 12кг. Прибыль от реализации 1кг карамели вида А составляет 10грн., вида В - 11грн., вида С - 12грн.

Таблица 1

Определить план производства карамели, которая обеспечивает максимальную прибыль от деятельности кондитерского цеха.

Решение.

1. Написание и проверка символической модели линейного программир о вания . Модель записывается на бумаге в математическом виде .

По данному условию задачи сформулируем задачу линейного программирования то есть построим математическую модель. Обозначим: x1 - количество карамели вида А , x2 - количество карамели вида В , x3 - количество карамели вида С . Карамель выпускается ежедневно.

Найти наибольшее значение целевой функции F = 10x1 + 11x2 +12x3 > max,
при ограничениях

0,8x1 + 0,5x2 +0,6x3 80

0,4x1 + 0,4x2+0,3x3 60

x1 ? 0, x2? 0, x3? 0.

Подчеркнем, что каждое неравенство в системе функциональных ограничений отвечает в этом случае тому или другому производственному участку, а именно: первое - участку А , второе - участку В , третье - участку С.

2. Создание и отладка табличной модели линейного программир о вания. На основе символической модели ЛП создается ее представление в Excel . Последовательность действий при решении задачи о распределении ресурсов с п о мощью информационной технологии MS Excel

1. Создать табличную модель средствами электронной таблицы MS Excel. (Смотри Таблица 1.).

2. Для решения задачи создать экрану форму ввода условий задачи: переменных, целевой функции, ограничений и предельных условий. Ввести исходные данные в экранную форму: коэффициенты целевой функции, коэффициенты при переменных в ограничениях, правые части ограничений

Выходные данные задачи об использовании производственных ресурсов. Таблица 1.

3. Ввести необходимые формулы в экранную форму: формулу для расчета целевой функции, формулы для расчета левых частей ограничений.

Рисунок 4 Режим проверки формул

3. Попытка оптимизации модели с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ.

1. Оптимизировать задачу (меню Сервис команда Поиск решения). Для этого в диалоговом окне Поиск решения задать ячейку целевой функции, направление оптимизации целевой функции, ввести ячейки со значениями переменных, изменяемые ячейки, ограничения.

Рисунок 5 Диалоговое окно Поиск решения

В диалоговом окне Поиск решения в поле Установит целевую ячейку делаем ссылку на ячейку $E$11, в которой находится формула, для оптимизации модели.

Для того, чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Максимальному значению.

В поле ввода Изменяя ячейки введите адреса ячеек, которые изменяют свои значения, разделяя их запятыми. Для этого делаем ссылку на ячейки $B$5:$D$5.

В поле Ограничения введите все ограничения, которые налагаются на поиск решения. Для этого нажимаем кнопку Добавить и появится окно Добавить ограничения где нужно ввести ограничение. Если при вводе ограничений возникает необходимость в замене или удалении внесенных ограничений, то нажмите кнопки Изменить или Удалить.

2. Для установления конкретных параметров решения задачи необходимо нажать кнопку Параметры в окне Поиск решения. В окне Параметры поиска решения отметить Линейная модель, Неотрицательные значения что обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи. Подтверждение установленных параметров осуществляется нажатием кнопки Ок.

3. Нажмите кнопку Выполнить в окне Поиск решения для запуска решения задачи.

4. Для сохранения найденного решения установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить найденное решение. Для возобновления входных данных установите переключатель в положение Восстановить исходные значения. В окне Результаты поиска решения представлены названия трех типов отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Они необходимы для анализа полученного результата на чувствительность.

5. Для получения ответа (значений переменных, целевой функции и левых частей ограничения) нужно нажать кнопку Ок. После этого в экранной форме появится оптимальное решение задачи.

Рисунок 6 Оптимальное решение

6. Вывод : как видно из решения, оптимальный план выпуска продукции предусматривает изготовление 25кг конфет А и 120кг конфет В . Конфеты С вообще невыгодно производить. Прибыль будет составлять 1570грн.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015


Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.

дипломная работа , добавлен 20.11.2010


Ознакомление с разнообразными надстройками, входящими в состав Microsoft Excel; особенности их использования. Примеры решения задач линейного программирования с помощью вспомогательных программ "Подбор параметра", "Поиск решения" и "Анализ данных".

реферат , добавлен 25.04.2013


Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

курсовая работа , добавлен 27.08.2012


Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения.

курсовая работа , добавлен 09.12.2008


Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.

лабораторная работа , добавлен 26.10.2013


Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа , добавлен 21.03.2012


Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.

курсовая работа , добавлен 10.06.2014


Особенности задач линейного программирования. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Обоснование выбора языка, инструментария программирования, перечень идентификаторов и блок-схема алгоритма. Логическая схема работы программы.

дипломная работа , добавлен 13.08.2011


Применение методов линейного программирования для решения оптимизационных задач. Основные понятия линейного программирования, свойства транспортной задачи и теоремы, применяемые для ее решения. Построение первичного опорного плана и системы потенциалов.

Модели линейного программирования применяют для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Данный вид модели наиболее распространен на промышленных предприятиях. Он заключается в том, что помогает

максимизировать прибыль при наличии одного нескольких ресурсов, каждый из которых используется для производства нескольких видов товара. Обычно при решении оптимизации данного типа моделей обычно используется Симплекс-метод.

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование означает процесс создания модели и ее экспериментальное использование для определения изменений реальной ситуации. Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математических методов типа линейного программирования. Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в то время, когда отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности.

Экономический анализ

Экономический анализ один из самых распространенных методов моделирования, хотя он и не воспринимается как моделирование. Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Экономический анализ включает в себя анализ безубыточности, определение прибыли на инвестированный капитал, величину чистой прибыли на данный момент времени и т.д. эти модели широко применяются в бухгалтерском и финансовом учете.

При принятии решения вне зависимости от применяемых моделей существуют некоторые правила принятия решений. Правило принятия решения – это критерий, по которому выносится суждение об оптимальности данного конкретного исхода. Существует два типа правил. Один использует численные значения вероятных исходов, второй – использует данные значения.

К первому типу относятся следующие правила принятия решений:Максимаксное решение –это решение,при котором принимается решениепо максимизации максимально возможных доходов. Данный метод очень оптимистичен, то есть не учитывает возможные потери и, следовательно, самый рискованный.

Максиминное решение –это решение,при котором максимизируетсяминимально возможный доход. Данный метод в большей степени учитывает отрицательные моменты различных исходов и является более осторожным подходом к принятию решений.

Минимаксное решение –это решение,при котором минимизируютсямаксимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски. Под потерями здесь учитываются не только реальные потери, но и упущенные

возможности.

Критерий Гурвича. Данный критерий является компромиссом междумаксиминным и максимаксным решениями и является одним из самых оптимальных.

Ко второму типу принятия решений относятся решения, при которых кроме самих возможных доходов и потерь учитываются вероятности возникновения каждого исхода. К данному типу принятия решений относятся, например, правило максимальной вероятности и правило оптимизации математического ожидания. При данных методах обычно составляется таблица доходов, в которой указываются все возможные варианты доходов и вероятности их наступления. При использовании правила максимальной вероятности соответственно выбирается по одному из правил первого типа один из исходов, имеющий максимальную вероятность.

При использовании правила оптимизации математических ожиданий, высчитываются математические ожидания для доходов или потерь и затем выбирается оптимальный вариант.

Так как значения вероятностей со временем изменяются, при применении правил второго типа обычно используется проверка правил на чувствительность к изменениям вероятностей исходов.

Кроме того, для определения отношения к риску используется понятие полезности. То есть для каждого возможного исхода кроме вероятности рассчитывается полезность данного исхода, которая также учитывается при принятии решений.

Для принятия оптимальных решений применяются следующие методы:

платежная матрица;

дерево решений;

методы прогнозирования.

Платежная матрица –один из методов статистической теории решений,оказывающий помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Особенно полезен в ситуации, когда руководитель должен установить, какая стратегий в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются. Если событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизменно будет другим.

В целом платежная матрица полезна, когда:

имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

То, что может случиться, с полной определенностью не известно. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива, и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен иметь возможность объективно оценить вероятность релевантных событий и рассчитать ожидаемое значение такой вероятности.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения – основного понятия платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта – это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может выбрать наиболее оптимальный вариант.

Дерево решений –метод науки управления–схематичное представлениепроблемы принятия решений – используется для выбора наилучшего направления действий из имеющихся вариантов.

Метод дерева решений может применяться как в ситуациях, в которых применяется платежная матрица, так и в более сложных ситуациях, в которых результаты одного решения влияют на последующие решения. То есть дерево решений – удобный метод для принятия последовательных решений.

Методы прогнозирования

Прогнозирование – метод, в котором используется как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения насчет будущего с целью его определения. Результат качественного прогнозирования может служить основой планирования. Существуют различные разновидности прогнозов: экономические прогнозы, прогнозы развития технологии, прогнозы развития конкуренции, прогнозы на основе опросов и исследований, социальное прогнозирование.

Все типы прогнозов используют различные методы прогнозирования.

Методы прогнозирования включают в себя:

неформальные методы;

количественные методы;

качественные методы.

Неформальные методы включают в себя следующие виды информации:Вербальная информация –это наиболее часто используемая информация дляанализа внешней среды. Сюда относят информацию из радио- и телепередач, от поставщиков, от потребителей, от конкурентов, на различных совещаниях и конференциях, от юристов, бухгалтеров и консультантов. Данная

информация легкодоступна, затрагивает все основные факторы внешнего окружения, представляющие интерес для организации. Однако она очень изменчива и нередко неточна.

Письменная информация –это информация из газет,журналов,

информационных бюллетеней, годовых отчетов. Эта информация обладает

теми же достоинствами и недостатками, что и вербальная информация.

Промышленный шпионаж

Количественные методы прогнозирования используются,когда естьоснования считать, что деятельность в прошлом имела определенную тенденцию, которая может продолжиться и в будущем, и когда достаточно информации для выявления таких тенденций. К количественным методам относятся:

Анализ временных рядов. Он основан на допущении,согласно которомуслучившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение к оценке будущего. Проводится с помощью таблицы или графика. Причинно-следственное (казуальное) моделирование. Наиболеематематически сложный количественный метод прогнозирования. Используется в ситуациях с более чем одной переменной. Казуальное моделирование – прогнозирование путем исследования статистической зависимости между рассматриваемым фактором и другими переменными. Из казуальных прогностических моделей самыми сложными являются эконометрические модели, разработанные с целью прогнозирования динамики экономики.

Качественные методы прогнозирования подразумевает прогнозированиебудущего экспертами. Существует 4 наиболее распространенных метода качественного прогнозирования:

Мнение жюри –соединение и усреднение мнений экспертов в релевантныхсферах. Неформальная разновидность данного метода – «мозговой штурм». Совокупное мнение сбытовиков. Мнение дилеров или предприятий сбыта очень ценно, так как они имеют дело непосредственно с конечными потребителями и знают их потребности.

Модель ожидания потребителя –прогноз,основанный на результатахопроса клиентов организации.

Метод экспертных оценок. Он представляет собой процедуру,позволяющуюгруппу экспертов приходить к согласию. По данному методу эксперты из различных областей заполняют опросник по данной проблеме. Затем им дают опросники, заполненные другими экспертами, и просят пересмотреть свое мнение либо аргументировать первоначальное. Процедура проходит 3-4 раза, пока в результате не будет выработано общее решение. Причем все опросники анонимны, как и анонимны сами эксперты, то есть эксперты не

знают, кто еще входит в группу.

Ситуация с принятием стратегических решений усугубляется тем, что в республике еще нет достаточного количества высококвалифицированного управленческого персонала, то есть менеджеров, подготовленных управлять

и принимать решения в условиях рыночной экономики. Это касается как предприятий и организаций, так и Правительства. Кроме того, постоянно изменяющаяся правовая база не позволяет делать долговременных прогнозов, на основе которых могли бы приниматься стратегические решения.

База для обучения менеджеров только складывается, но из-за общего кризиса

и кризиса системы образования, ВУЗы не в состоянии подготовить достаточно квалифицированных менеджеров. Кроме всего прочего, чтобы быть настоящим менеджером необходимо иметь большой стаж работы. Что касается принятия тактических решений, то с этим ситуация складывается лучше. Тактические решения менее зависят от времени, следовательно, быстро изменяющаяся и не очень предсказуемая ситуация создают меньше препятствий для принятия правильного решения. Однако и здесь не все гладко. Это связано с тем, что из-за недостатка релевантной информации не всегда возможно принимать решения, используя научные методы (моделирование, прогнозирование, и т.д.). Большое количество руководителей вообще незнакомо с научными методами принятия решений, используемыми в науке управления.

Кроме того, в нашей стране отсутствует информационная инфраструктура, которая бы позволила в короткие сроки и с небольшими затратами получить информацию, необходимую для принятия решений. На достаточно низком уровне находится компьютерная грамотность. Недостаточно специализированных организаций по проведению различных исследований. Большим минусом также является несовершенная и постоянно изменяющаяся правовая база, наличие коррупции в структуре управления государством.

Однако не во всех отраслях экономики дела обстоят таким образом. В финансово-банковском секторе, жестко контролируемом НБМ, ситуация с принятием решений, несмотря на кризис, лучше. Это связано с тем, что в банках, наряду с поколением руководителей, получивших образование в период существования административно-командной системы управления, очень много молодых кадров (25-35 лет). Новое поколение, изучавшее менеджмент и результаты его применения в развитых странах, стремится использовать полученные знания. Недостаток опыта у них компенсируется наличием более опытных руководителей. Кроме того, здесь в большей степени используется принцип делегирования полномочий, что также увеличивает оптимальность принимаемых решений. Банки Молдовы

поддерживают связи с банками развитых стран, что позволяет руководителям различных уровней банковского сектора на практике ознакомиться с работой менеджеров в развитых странах.

Процесс принятия решений – процесс психологический. Люди, принимая решения, не всегда принимают логичные решения. Решения варьируются от спонтанных до высокологичных. Поэтому процессы принятия решений делятся на имеющий интуитивный, основанный на суждениях и рациональный характер, хотя решение редко относится к какой либо одной категории.

Интуитивное решение –это решение,принятое только на основе того,чторуководитель имеет ощущение того, что оно правильно. При этом руководитель не рассматривает все возможные варианты, не учитывает все их преимущества и недостатки и не нуждается в понимании ситуации. Решения, основанные на суждениях, часто кажутся интуитивными,так каких логика не очевидна. Такое решение – это выбор, обусловленный знаниями или накопленным опытом. Человек использует знание о том, что случалось в сходных ситуациях раньше для того, чтобы спрогнозировать результат альтернативных решений в существующей ситуации. Такой метод принятия решений обладает как положительными, так и отрицательными сторонами. Положительным является то, что действительно многие ситуации имеют тенденцию к повторению и применение такого метода принятия решений позволяет сэкономить время и деньги, так как решение принимается руководителем очень быстро и без сбора дополнительной информации и ее анализа. Однако такие решения принимаются на базе здравого смысла, который в истинном его понимании встречается очень редко. Кроме того, информация, на основе которой принимается данное решение, может быть искажена потребностями людей и другими факторами. Также суждения не позволяют принимать правильные решения в уникальных или абсолютно новых ситуациях, так как лицо, принимающее решение не обладает необходимым опытом для обоснования выбора. Так как суждение всегда опирается на опыт, оно смещает ориентацию принятия решения в направление, знакомое руководителю по предыдущим ситуациям. Это может привести к тому, что руководитель упустит новые альтернативы.

Решение принимается в условиях определенности, когда руководитель может

с точностью определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации. Сравнительно мало организационных или персональных решений принимается в условиях определенности. Однако они все-таки имеют место. Кроме того, элементы сложных крупных решений можно рассматривать как определенные. Уровень определенности при принятии решений зависит от внешней среды. Он увеличивается при наличии

твердой правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и снижающей уровень риска.