Основы анализа данных. Регрессионный анализ - статистический метод исследования зависимости случайной величины от переменных

19.08.2019

Следующий пример использует файл данных Poverty. sta. Открыть его можно с помощью меню Файл, выбрав команду Открыть; наиболее вероятно, что этот файл данных находится в директории /Examples/Datasets. Данные основаны на сравнении результатов переписи 1960 и 1970 годов для случайной выборки из 30 округов. Имена округов введены в качестве идентификаторов наблюдений.

Следующая информация по каждой переменной приводится в электронной таблице Редактор спецификаций переменных (открывающийся при выборе команды Все спецификации переменных... в меню Данные).

Цель исследования. Мы проанализируем корреляты бедности (т.е. предикторы, "сильно" коррелирующие с процентом семей, живущих за чертой бедности). Таким образом, будем рассматривать переменную 3 (Pt_Poor), как зависимую или критериальную переменную, а все остальные переменные - в качестве независимых переменных или предикторов.

Начальный анализ. Когда вы выбираете команду Множественной регрессии с помощью меню Анализ, открывается стартовая панель модуля Множественная регрессия. Вы можете задать регрессионное уравнение щелчком мыши по кнопке Переменные во вкладке Быстрый стартовой панели модуля Множественная регрессия. В появившемся окне Выбора переменных выберите Pt_Poor в качестве зависимой переменной, а все остальные переменные набора данных - в качестве независимых. Во вкладке Дополнительно отметьте также опции Показывать описательные статистики, корр. матрицы.

Теперь нажмите OK этого диалогового окна, после чего откроется диалоговое окно Просмотр описательных статистик. Здесь вы можете просмотреть средние и стандартные отклонения, корреляции и ковариации между переменными. Отметим, что это диалоговое окно доступно практически из всех последующих окон модуля Множественная регрессия, так что вы всегда сможете вернуться назад, чтобы посмотреть на описательные статистики определенных переменных.

Распределение переменных. Сначала изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Нажмите Средние и стд.отклонения для показа таблицы результатов.

Выберите Гистограммы в меню Графика, чтобы построить гистограмму для переменной Pt_Poor (во вкладке Дополнительно диалогового окна 2М Гистограммы установите опцию Число категорий в строке Категории равной 16). Как видно ниже, распределение этой переменной чем-то отличается от нормального распределения. Коэффициенты корреляции могут оказаться существенно завышенными или заниженными при наличии в выборке существенных выбросов. Однако, хотя два округа (две самые правые колонки) имеют более высокий процент семей, проживающих за чертой бедности, чем это можно было бы ожидать в соответствии с нормальным распределением, они все еще, как нам кажется, находятся "в рамках допустимого".

Это решение является в определенной степени субъективным; эмпирическое правило состоит в том, что беспокойство требуется проявлять только тогда, когда наблюдение (или наблюдения) лежат вне интервала, заданного средним значением ± 3 стандартных отклонения. В этом случае будет разумно повторить критическую (с точки зрения влияния выбросов) часть анализа с выбросами и без них, с тем, чтобы удостовериться в отсутствии их влияния на характер взаимных корреляций. Вы также можете просмотреть распределение этой переменной, щелкнув мышкой на кнопке Диаграмма размаха во вкладке Дополнительно диалогового окна Просмотр описательных статистик, выбрав переменную Pt_Poor. Далее, выберите опцию Медиана/квартили/размах в диалоговом окне Диаграммы размаха и нажмите кнопку OK.

(Заметим, что определенный метод вычисления медианы и квартилей может быть выбран для всей "системы" в диалоговом окне Параметры в меню Сервис.)

Диаграммы рассеяния. Если имеются априорные гипотезы о связи между определенными переменными, на этом этапе может оказаться полезным вывести соответствующую диаграмму рассеяния. Например, посмотрим на связь между изменением популяции и процентом семей, проживающих за чертой бедности. Было бы естественно ожидать, что бедность приводит к миграции населения; таким образом, должна наблюдаться отрицательная корреляция между процентом семей, проживающих за чертой бедности, и изменением популяции.

Возвратимся к диалоговому окну Просмотр описательных статистик и щелкнем мышкой по кнопке Корреляции во вкладке Быстрый для отображения таблицы результатов с корреляционной матрицей.

Корреляции между переменными могут быть отображены также и на матричной диаграмме рассеяния. Матричная диаграмма рассеяния для выбранных переменных может быть получена щелчком мыши по кнопке Матричный график корреляций во вкладке Дополнительно диалогового окна Просмотр описательных статистик и последующим выбором интересующих переменных.

Задание множественной регрессии. Для выполнения регрессионного анализа от вас требуется только щелкнуть по кнопке OK в диалоговом окне Просмотр описательных статистик и перейти в окно Результаты множественной регрессии. Стандартный регрессионный анализ (со свободным членом) будет выполнен автоматически.

Просмотр результатов. Ниже изображено диалоговое окно Результаты множественной регрессии. Общее уравнение множественной регрессии высоко значимо (см. главу Элементарные понятия статистики по поводу обсуждения проверки статистической значимости). Таким образом, зная значения независимых переменных, можно "предсказать" предиктор, связанный с бедностью, лучше, чем угадывая его чисто случайно.

Регрессионные коэффициенты. Чтобы узнать, какие из независимых переменных дают больший вклад в предсказание предиктора, связанного с бедностью, изучим регрессионные (или B) коэффициенты. Щелкните мышкой по кнопке Итоговая таблица регрессии во вкладке Быстрый диалогового окна Результаты множественной регрессии для вывода таблицы результатов с этими коэффициентами.

Эта таблица показывает стандартизованные регрессионные коэффициенты (Бета) и обычные регрессионные коэффициенты (B). Бета-коэффициенты - это коэффициенты, которые получатся, если предварительно стандартизовать все переменные к среднему 0 и стандартному отклонению 1. Таким образом, величина этих Бета-коэффициентов позволяет сравнивать относительный вклад каждой независимой переменной в предсказание зависимой переменной. Как видно из таблицы результатов, изображенной выше, переменные Pop_Chng, Pt_Rural и N_Empld являются наиболее важными предикторами для бедности; из них только первые два статистически значимы. Регрессионный коэффициент для Pop_Chng отрицателен; т.е. чем меньше прирост популяция, тем большее число семей живут ниже уровня бедности в соответствующем округе. Вклад в регрессию для Pt_Rural положителен; т.е. чем больше процент сельского населения, тем выше уровень бедности.

Частные корреляции. Другой путь изучения вкладов каждой независимой переменной в предсказание зависимой переменной состоит в вычислении частных и получастных корреляций (щелкните на кнопке Частные корреляции во вкладке Дополнительно диалогового окна Результаты множественной регрессии). Частные корреляции являются корреляциями между соответствующей независимой переменной и зависимой переменной, скорректированными относительно других переменных. Таким образом, это корреляция между остатками после корректировки относительно независимых переменных. Частная корреляция представляет самостоятельный вклад соответствующей независимой переменной в предсказание зависимой переменной.

Получастные корреляция являются корреляциями между соответствующей независимой переменной, скорректированной относительно других переменных, и исходной (нескорректированной) зависимой переменной. Таким образом, получастная корреляция является корреляцией соответствующей независимой переменной после корректировки относительно других переменных, и нескорректированными исходными значениями зависимой переменной. Иначе говоря, квадрат получастной корреляции является показателем процента Общей дисперсии, самостоятельно объясняемой соответствующей независимой переменной, в то время как квадрат частной корреляции является показателем процента остаточной дисперсии, учитываемой после корректировки зависимой переменной относительно независимых переменных.

В этом примере частные и получастные корреляции имеют близкие значения. Однако иногда их величины могут различаться значительно (получастная корреляция всегда меньше). Если получастная корреляция очень мала, в то время как частная корреляция относительно велика, то соответствующая переменная может иметь самостоятельную "часть" в объяснении изменчивости зависимой переменной (т.е. "часть", которая не объясняется другими переменными). Однако в смысле практической значимости, эта часть может быть мала, и представлять только небольшую долю от общей изменчивости (подробнее см., например, в работах Lindeman, Merenda, and Gold, 1980; Morrison, 1967; Neter, Wasserman, and Kutner, 1985; Pedhazur, 1973; или Stevens, 1986).

Анализ остатков. После подбора уравнения регрессии всегда полезно изучить полученные предсказанные значения и остатки. Например, экстремальные выбросы могут существенно сместить результаты и привести к ошибочным заключениям. Во вкладке Остатки/предложения/наблюдаемые нажмите кнопку Анализ остатков для перехода в соответствующее диалоговое окно.

Построчный график остатков. Эта опция диалогового окна предоставляет вам возможность выбрать один из возможных типов остатков для построения построчного графика. Обычно, следует изучить характер исходных (нестандартизованных) или стандартизованных остатков для идентификации экстремальных наблюдений. В нашем примере, выберите вкладку Остатки и нажмите кнопку Построчные графики остатков; по умолчанию будет построен график исходных остатков; однако, вы можете изменить тип остатков в соответствующем поле.

Масштаб, используемый в построчном графике в самой левой колонке, задается в терминах сигмы, т.е. стандартного отклонения остатков. Если один или несколько наблюдений попадают за границы ± 3 * сигма, то, вероятно, следует исключить соответствующие наблюдения (это легко достигается с помощью условий отбора) и выполнить анализ снова, чтобы убедиться в отсутствии смещения ключевых результатов, вызванного этими выбросами в данных.

Построчный график выбросов. Быстрый способ идентификации выбросов состоит в использовании опции График выбросов во вкладке Выбросы. Вы можете выбрать просмотр всех стандартных остатков, выпадающих за границы ± 2-5 сигма, или просмотр 100 наиболее выделяющихся наблюдений, выбранных в поле Тип выброса во вкладке Выбросы. При использовании опции Стандартный остаток (>2*сигма) в нашем примере какие-либо выбросы не заметны.

Расстояния Махаланобиса. Большинство учебников по статистике отводят определенное место для обсуждения темы выбросов и остатков для зависимой переменной. Однако роль выбросов для набора независимых переменных часто упускается из виду. Со стороны независимых переменных, имеется список переменных, участвующий с различными весами (регрессионные коэффициенты) в предсказании зависимой переменной. Независимые переменные можно представить себе в виде точек некоторого многомерного пространства, в котором может располагаться каждое наблюдение. Например, если вы имеете две независимые переменные с равными регрессионными коэффициентами, то можно построить диаграмму рассеяния этих двух переменных и расположить каждое наблюдение на этом графике. Вы можете затем нарисовать точку средних значений обоих переменных и вычислить расстояния от каждого наблюдения до этого среднего (называемого теперь центроидом) в этом двумерном пространстве; в этом состоит концептуальная идея, стоящая за вычислением расстояний Махаланобиса. Теперь посмотрим на эти расстояния, отсортированные по величине, с целью идентификации экстремальных наблюдений по независимым переменным. В поле Тип выбросов отметьте опцию расстояний Махаланобиса и нажмите кнопку Построчный график выбросов. Полученный график показывает расстояния Махаланобиса, отсортированные в порядке убывания.

Отметим, что округ Shelby оказывается в чем-то выделяющимся по сравнению с другими округами на графике. Если посмотреть на исходные данные, можно обнаружить, что в действительности округ Shelby - значительно больший по размеру округ с большим числом людей, занятых сельским хозяйством (переменная N_Empld), и намного более весомой популяцией афроамериканцев. Вероятно, было бы разумно выражать эти числа в процентах, а не в абсолютных значениях, в этом случае расстояние Махаланобиса округа Shelby от других округов в данном примере не было бы столь велико. Однако мы получили, что округ Shelby оказывается явным выбросом.

Удаленные остатки. Другой очень важной статистикой, позволяющей оценить масштаб проблемы выбросов, являются удаленные остатки. Они определяются как стандартизованные остатки для соответствующих наблюдений, которые получились бы при исключении соответствующих наблюдений из анализа. Напомним, что процедура множественной регрессии подбирает прямую линию для выражения взаимосвязи между зависимой и независимыми переменными. Если одно из наблюдений является очевидным выбросом (как округ Shelby в этих данных), то линия регрессии стремиться "приблизится" к этому выбросу, с тем чтобы учесть его, насколько это возможно. В результате, при исключении соответствующего наблюдения, возникнет совершенно другая линия регрессии (и B-коэффициенты). Поэтому, если удаленный остаток сильно отличается от стандартизованного остатка, у вас есть основания полагать, что результаты регрессионного анализа существенно смещены соответствующим наблюдением. В данном примере удаленный остаток для округа Shelby является выбросом, который существенно влияет на анализ. Вы можете построить диаграмму рассеяния остатков относительно удаленных остатков с помощью опции Остатки и удал. остатки во вкладке Диаграммы рассеяния. Ниже на диаграмме рассеяния явно заметен выброс.

STATISTICA предоставляет интерактивное средство для удаления выбросов (Кисть на панели инструментов для графики;). Позволяющее экспериментировать с удалением выбросов и позволяющее сразу же увидеть их влияние на линию регрессии. Когда это средство активизировано, курсор меняется на крестик и рядом с графиком высвечивается диалоговое окно Закрашивание. Вы можете (временно) интерактивно исключать отдельные точки данных из графика, отметив (1) опцию Автообновление и (2) поле Выключить из блока Операция; а затем щелкнув мышкой на точке, которую нужно удалить, совместив ее с крестиком курсора.

Отметим, что удаленные точки можно "возвратить", щелкнув по кнопке Отменить все в диалоговом окне Закрашивание.

Нормальные вероятностные графики. Из окна Анализ остатков пользователь получает большому количеству дополнительных графиков. Большинство этих графиков более или менее просто интерпретируются. Тем не менее, здесь мы дадим интерпретацию нормального вероятностного графика, поскольку он наиболее часто используется при анализе справедливости предположений регрессии.

Как было замечено ранее, множественная линейная регрессия предполагает линейную связь между переменными в уравнении, и нормальным распределением остатков. Если эти предположения нарушаются, окончательные заключения могут оказаться неточными. Нормальный вероятностный график остатков наглядно показывает наличие или отсутствие больших отклонений от высказанных предположений. Нажмите кнопку Нормальный во вкладке Вероятностные графики для построения этого графика.

Этот график строится следующим образом. Сначала остатки регрессии ранжируются. Для этих упорядоченных остатков вычисляются z-значения (т.е. стандартные значения нормального распределения), исходя из предположения, что данные имеют нормальное распределение. Эти z-значения откладываются по оси Y на графике.

Если наблюдаемые остатки (отложенные по оси X) нормально распределены, то все значения будут располагаться на графике вблизи прямой линии; на данном графике все точки лежат очень близко к прямой линии. Если остатки не распределены нормально, то они будут отклоняться от линии. На этом графике также могут стать заметны выбросы.

Если имеющаяся модель плохо согласуется с данными, и данные на графике, похоже, образуют некоторую структуру (например, облако наблюдений принимает S-образную форму) около линии регрессии, то, возможно, будет полезным применение некоторого преобразования зависимой переменной (например, логарифмирование с целью "поджать" хвост распределения, и т.п.; см. также краткое обсуждение преобразований Бокса-Кокса и Бокса-Тидвелла в разделе Примечания и техническая информация). Обсуждение подобных методов лежит за рамками данного руководства (в книге Neter, Wasserman и Kutner, 1985, стр. 134, авторы предлагают превосходное обсуждение преобразований, как средств борьбы с ненормальностью и нелинейностью). Однако слишком часто исследователи просто принимают свои данные, не пытаясь присмотреться к их структуре или проверить их на соответствие своим предположениям, что приводит к ошибочным заключениям. По этой причине одной из основных задач, стоявшей перед разработчиками пользовательского интерфейса модуля Множественной регрессии было максимально возможное упрощение (графического) анализа остатков.

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.

Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

Оценка точности регрессионного анализа.

Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Задачи регрессионного анализа

Рассмотрим основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии , оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Установление формы зависимости.

Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:

положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);

положительная равноускоренно возрастающая регрессия;

положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;

отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);

отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;

отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия.

Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.

Определение функции регрессии.

Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.

Оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:

Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.

Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.

Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.

Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.

Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.

Предположение о нормальности остатков . Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммамиостатков .

При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.

Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений.

Уравнение регрессии.

Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X

При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент - коэффициентом регрессии или B-коэффициентом.

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Остаток - это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).

Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис "Пакет анализа" и инструмент анализа "Регрессия". Задаем входные интервалы X и Y. Входной интервал Y - это диапазон зависимых анализируемых данных, он должен включать один столбец. Входной интервал X - это диапазон независимых данных, которые необходимо проанализировать. Число входных диапазонов должно быть не больше 16.

На выходе процедуры в выходном диапазоне получаем отчет, приведенный в таблице 8.3а -8.3в .

ВЫВОД ИТОГОВ

Таблица 8.3а. Регрессионная статистика
Регрессионная статистика
Множественный R
R-квадрат
Нормированный R-квадрат
Стандартная ошибка
Наблюдения

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значениеR-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно,множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Таблица 8.3б. Коэффициенты регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение
Переменная X 1
* Приведен усеченный вариант расчетов

Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).

Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:

Y= x*2,305454545+2,694545455

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

В таблице 8.3в . представлены результаты выводаостатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".

ВЫВОД ОСТАТКА

Таблица 8.3в. Остатки
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки

При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в нашем случае - 0,778, наименьшее - 0,043. Для лучшей интерпретации этих данных воспользуемся графиком исходных данных и построенной линией регрессии, представленными нарис. 8.3 . Как видим, линия регрессии достаточно точно "подогнана" под значения исходных данных.

Следует учитывать, что рассматриваемый пример является достаточно простым и далеко не всегда возможно качественное построение регрессионной прямой линейного вида.

Рис. 8.3. Исходные данные и линия регрессии

Осталась нерассмотренной задача оценки неизвестных будущих значений зависимой переменной на основании известных значений независимой переменной, т.е. задача прогнозирования.

Имея уравнение регрессии, задача прогнозирования сводится к решению уравнения Y= x*2,305454545+2,694545455 с известными значениями x. Результаты прогнозирования зависимой переменной Y на шесть шагов вперед представлены в таблице 8.4 .

Таблица 8.4. Результаты прогнозирования переменной Y
	Y(прогнозируемое)

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel мы:

построили уравнение регрессии;

установили форму зависимости и направление связи между переменными - положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;

установили направление связи между переменными;

оценили качество полученной регрессионной прямой;

смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;

предсказали будущие значения зависимой переменной.

Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.

Прогнозные значения, полученные таким способом, являются средними значениями, которые можно ожидать.

В этой работе мы рассмотрели основные характеристики описательной статистики и среди них такие понятия, каксреднее значение ,медиана ,максимум ,минимум и другие характеристики вариации данных.

Также было кратко рассмотрено понятие выбросов . Рассмотренные характеристики относятся к так называемому исследовательскому анализу данных, его выводы могут относиться не к генеральной совокупности, а лишь к выборке данных. Исследовательский анализ данных используется для получения первичных выводов и формирования гипотез относительно генеральной совокупности.

Также были рассмотрены основы корреляционного и регрессионного анализа, их задачи и возможности практического использования.

Что такое регрессия?

Рассмотрим две непрерывные переменные x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение , если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x , причём изменения в y вызываются именно изменениями в x , мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x ), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова "регрессия" исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей "регрессировал" и "двигался вспять" к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y - зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »

a - свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).
b - угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия .

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b - выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y - предсказанный y , Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

"Влиятельное" наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть "влиятельным" наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для "влиятельных" наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

- оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Y = b0 + b1 P

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b0 + b1 P2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 (Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 (Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на.40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся "внутри диапазона."

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию (-.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p<.001 .

Итог

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

Оценка качества уравнения регрессии при помощи коэффициентов детерминации. Проверка нулевой гипотезы о значимости уравнения и показателей тесноты связи с помощью F-критерия Фишера.

Стандартные ошибки коэффициентов.

Уравнение регрессии имеет вид:

Y	=3378,41	-494,59X 1	-35,00X 2	+75,74X 3	-15,81X 4	+80,10X 5	+59,84X 6 +
	(1304,48)	(226,77)	(10,31)	(277,57)	(287,54)	(35,31)	(150,93)

+127,98X 7	-78,10X 8	-437,57X 9	+451,26X 10	-299,91X 11	-14,93X 12	-369,65X 13	(9)
(22,35)	(31,19)	(97,68)	(331,79)	(127,84)	86,06	(105,08)

Для заполнения таблицы «Регрессионная статистика» (Таблица 9) находим:

1. Множественный R – r-коэффициент корреляции между у и ŷ.

Для этого следует воспользоваться функцией КОРРЕЛ, введя массивы у и ŷ.

Полученное в результате число 0,99 близко к 1, что показывает очень сильную связь между опытными данными и расчетными.

2. Для расчета R-квадрат находим:

Объясняемая ошибка 17455259,48,

Необъясняемая ошибка .

Следовательно, R-квадрат равен .

Соответственно 97% опытных данных объяснимы полученным уравнением регрессии.

3. Нормированный R-квадрат находим по формуле

Этот показатель служит для сравнения разных моделей регрессии при изменении состава объясняющих переменных.

4. Стандартная ошибка – квадратный корень из выборочной остаточной дисперсии:

В результате получаем следующую таблицу.

Таблица 9.

Заполнение таблицы «Дисперсионный анализ»

Большая часть данных уже получена выше. (Объясняемая и необъясняемая ошибка).

Рассчитаем t wx:val="Cambria Math"/>13 = 1342712,27"> .

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Уравнение множественной регрессии значимо (иначе – гипотеза H 0 о равенстве нулю параметров регрессионной модели, т.е. отвергается), если

, (10)

где - табличное значение F-критерия Фишера.

Фактическое значение F - критерия по формуле составит:

Для расчета табличного значения критерия Фишера используется функция FРАСПОБР (Рисунок 4).

Степень свободы 1: p=13

Степень свободы 2: n-p-1 = 20-13-1=6

Рисунок 4. Использование функции FРАСПОБР в Excel.

F табл = 3,976 < 16,88, следовательно, модель адекватна опытным данным.

Значимость F рассчитывается с помощью функции FРАСП. Эта функция возвращает F-распределение вероятности (распределение Фишера) и позволяет определить, имеют ли два множества данных различные степени разброса результатов.

Рисунок 5. Использование функции FРАСП в Excel.

Значимость F = 0,001.

ВЫВОД ИТОГОВ

Таблица 8.3а. Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0,998364
R-квадрат	0,99673
Нормированный R-квадрат	0,996321
Стандартная ошибка	0,42405
Наблюдения	10

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

Множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно, множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Таблица 8.3б. Коэффициенты регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	2,694545455	0,33176878	8,121757129
Переменная X 1	2,305454545	0,04668634	49,38177965
* Приведен усеченный вариант расчетов