Найти спектр и собственные векторы линейного оператора. Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования). Убедимся в линейной независимости этих векторов

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная страница содержит список формул для нахождения производных.

Правила дифференцирования

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0.
6. Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x).
7. Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈ (a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).
8. Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.

Советуем сохранить ссылку, так как эта таблица может понадобиться еще много раз.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Пусть - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V . Ненулевой вектор \boldsymbol{s} линейного пространства V , удовлетворяющий условию

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s},

называется собственным вектором линейного преобразования \mathcal{A} . Число \lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования \mathcal{A} . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению \lambda . Если пространство V вещественное (комплексное), то собственное значение \lambda - действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования \mathcal{A} , если его образ \mathcal{A} (\boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу \boldsymbol{s} . Другими словами, если \boldsymbol{s} - собственный вектор, то преобразование \mathcal{A} имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор \boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению \lambda . Любой вектор \boldsymbol{v} из \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) имеет вид \boldsymbol{v}=\alpha \boldsymbol{s} , где \alpha - любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

\mathcal{A}(\boldsymbol{v})= \mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{s})= \alpha\cdot \mathcal{A}(\boldsymbol{s})= \alpha\cdot \lambda\cdot \boldsymbol{s}\in \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}).

Следовательно, \mathcal{A}(\boldsymbol{v})\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) для любого вектора \boldsymbol{v}\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) , т.е. подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) инвариантно относительно преобразования \mathcal{A} . Размерность подпространства \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}) равна единице, так как \boldsymbol{s}\ne \boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы A n-го порядка называется ненулевой числовой столбец s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_{n}\end{pmatrix}^T , удовлетворяющий условию (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Число \lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы A . При этом считалось, что собственное значение \lambda и числа s_i~(i=1,\ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть \mathcal{A}\colon V\to V - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V с базисом . Тогда собственное значение \lambda и координатный столбец {s} собственного вектора \boldsymbol{s} преобразования \mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы A этого преобразования, определенной относительно базиса \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n , т.е.

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s}\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, где \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n,~ s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}^T.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец s=\begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы A , причем числа s_1,\ldots,s_n,\lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство V , то вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+ \ldots+s_n \boldsymbol{e}_n и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V с матрицей A в базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и \lambda\cdot \boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,\ldots,s_n, \lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения \Delta_A(\lambda)=0 , где \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) - характеристический многочлен матрицы A . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы A этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства V .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование \mathcal{A}-\lambda\mathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})} и \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})} линейного преобразования \mathcal{A} в базисах (\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n) и (\boldsymbol{f})=(\boldsymbol{f}_1,\ldots,\boldsymbol{f}_n) являются, согласно (9.4), подобными: \nathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})}=S^{-1}\mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})}S , где S - матрица перехода от базиса (\boldsymbol{e}) к базису (\boldsymbol{f}) . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования \mathcal{A} можно использовать обозначение \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda) , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V линейного пространства V , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу A линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного вещественного линейного пространства V в произвольном базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n . Элементы этой матрицы - действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) - это многочлен степени n с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если \lambda=\lambda_1 - действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T матрицы A также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно \mathcal{A} подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если \lambda=\alpha\pm\beta i - пара комплексных сопряженных корней (\beta\ne0) , то собственный вектор s\ne o матрицы A также с комплексными элементами: s=\begin{pmatrix}x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end{pmatrix}^T . Его можно представить в виде s=x+yi , где x,\,y - действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

\begin{cases}Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end{cases}

Покажем, что столбцы {x} и {y} линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если x=o , то из первого уравнения (9.7) следует, что y=o , так как \beta\ne0 . Тогда s=o , что противоречит условию s\ne o . Предположим, что x\ne o и столбцы x и y пропорциональны, т.е. существует такое действительное число \gamma , что y=\gamma x . Тогда из системы (9.7) получаем \begin{cases}Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end{cases} Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на (-\gamma) , приходим к равенству [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o . Так как x\ne o , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0 . Поскольку \beta\ne0 , то \gamma^2=-1 . Этого не может быть, так как \gamma - действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы x и y линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где \boldsymbol{x}= x_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+x_n \boldsymbol{e}_n,~ \boldsymbol{y}= y_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+ y_n \boldsymbol{y}_n . Это подпространство двумерное, так как векторы \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы x,y линейно независимы). Из (9.7) следует, что \begin{cases}\mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\alpha \boldsymbol{x}-\beta \boldsymbol{y},\\ \mathcal{A}(\boldsymbol{y})=\beta \boldsymbol{x}+\alpha \boldsymbol{y},\end{cases} т.е. образ любого вектора, принадлежащего \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) , также принадлежит \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) . Следовательно, \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) - двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования \mathcal{A} , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V вещественного линейного пространства V следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n линейного пространства V и найти в этом базисе матрицу A преобразования \mathcal{A} .

2. Составить характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) .

3. Найти все различные действительные корни \lambda_1,\ldots,\lambda_k характеристического уравнения \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=0 . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня \lambda=\lambda_1 найти фундаментальную систему \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} решений однородной системы уравнений (A-\lambda_1E)x=o , где r=\operatorname{rg}(A-\lambda_1E) . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования \mathcal{A} , отвечающие собственному значению \lambda_1:

\begin{matrix} \boldsymbol{s}_1=\varphi_{1\,1}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,1}\boldsymbol{e}_n,\\ \boldsymbol{s}_2=\varphi_{1\,2}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,2}\boldsymbol{e}_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol{s}_{n-r}=\varphi_{1\,n-r} \boldsymbol{e}_1+ \ldots+\varphi_{n\,n-r}\boldsymbol{e}_n. \end{matrix}

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1 , образовать ненулевые линейные комбинации

\boldsymbol{s}= C_1 \boldsymbol{s}_1+C_2 \boldsymbol{s}_2+\ldots+ C_{n-r}\boldsymbol{s}_{n-r},

где C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} - произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k линейного преобразования \mathcal{A} .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования \mathcal{O}\colon V\to V любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{O}(\boldsymbol{s})=0\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

2. Для тождественного преобразования \mathcal{E}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим единичному собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{E} (\boldsymbol{s})=1\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

3. Для центральной симметрии \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}} (\boldsymbol{s})=(-1)\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

4. Для гомотетии \mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим собственному значению \lambda (коэффициенту гомотетии), так как \mathcal{H}_{\lambda} (\boldsymbol{\boldsymbol{s}})= \lambda\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

5. Для поворота \mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2 плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный \pi , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R}) любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{D}(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text{const} . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: \mathcal{D}(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x) , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор \Pi_{L_1}\colon V\to V проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2, \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+ \boldsymbol{v}_2)=\boldsymbol{v}_1 для \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1)=1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=0 , так как \Pi_{L_2}(\boldsymbol{v}_2)=0\cdot \boldsymbol{v}_2 \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1= \lambda(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2) возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор \mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V отражения на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2 \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2 , для \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_1\in L_1,~ \boldsymbol{v}_2\in L_2 . Для этого оператора любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_1\in L_1 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{Z}_{L_1} (\boldsymbol{v}_1)= 1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_2\in L_2 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=-1 , так как \mathcal{Z}_{L_2} (\boldsymbol{v}_2)= (-1)\cdot \boldsymbol{v}_2 . Другие векторы не являются собственными, так как равенство \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2= \lambda(\boldsymbol{}_1+ \boldsymbol{v}_2) возможно либо при \boldsymbol{v}_1=\boldsymbol{o} , либо при \boldsymbol{v}_2= \boldsymbol{o} .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки O , рассмотрим поворот на угол \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z} , вокруг оси \ell , заданной радиус-вектором \vec{\ell} . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору \vec{\ell} , является собственным, отвечающим собственному значению \lambda=1 . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon T_1\to T_1 , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты \omega=1 ):

а) с действительными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{R})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) ;

б) с комплексными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{C})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) .

Решение. 1. Выберем стандартный базис e_1(t)=\sin{t},~ e_2(t)=\cos{t} и составим в этом базисе матрицу D оператора \mathcal{D}:

D=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\!.

2. Составим характеристический многочлен преобразования \mathcal{D}\colon\, \Delta_{\mathcal{D}}(\lambda)= \begin{vmatrix}-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2+1. .

3. Характеристическое уравнение \lambda^2+1=0 имеет комплексные сопряженные корни \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i . Действительных корней нет, поэтому преобразование \mathcal{D} вещественного пространства T_1(\mathbb{R}) (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование \mathcal{D} комплексного пространства T_1(\mathbb{C}) (случай (б)) имеет комплексные собственные значения \lambda_1,\,\lambda_2 .

4(1). Для корня \lambda_1=i находим фундаментальную систему \varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на {i} и вычитая его из второго уравнения:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 0&0\end{pmatrix}\!.

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. \varphi=\begin{pmatrix}i&1 \end{pmatrix}^T .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1=i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_1(t) .

4(2). Для корня \lambda_2=-i аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) \varphi_2=\begin{pmatrix}-i&1 \end{pmatrix}^T решений однородной системы уравнений (D-\lambda_2E)x=o:

\begin{pmatrix}i&-1\\ 1&i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_2=-i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_2(t) .

См. также Свойства собственных векторов линейных операторов (преобразований) В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число, что АХ =Х.

При этом число называютсобственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - Е)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - Е| = = 0

Это уравнение с неизвестным называютхарактеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - Е| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где  i – собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.