Возведение матрицы в нулевую степень. Некоторые свойства операций над матрицами.Матричные выражения

43. Вместо того чтобы составлять последовательность для произвольного мы можем прямо строить последовательность степеней матрицы. Это имеет то преимущество, что, имея мы можем получить при помощи одного матричного умножения. Следовательно, можем построить последовательность и получить

Если все различны, то в степени матрицы доминирует член так что все строки становятся параллельными и все столбцы - параллельными Скорость сходимости определяется скоростью, с какой стремится к нулю. Следовательно, сравнительно небольшое число итераций требуется даже тогда, когда довольно плохо отделены.

Вообще, последовательные матрицы будут либо увеличиваться, либо уменьшаться по величине, и даже при вычислениях с плавающей запятой возможны переполнение или обращение в машинный нуль. Этого можно легко избежать, умножая каждую матрицу на степень двух так, чтобы наибольший по модулю элемент имел нулевой порядок. Это не вносит дополнительных ошибок округления. Число итераций, необходимых для исчезновения компоненты по с принятой точностью, при работе со степенями матрицы и при простом степенном методе соответственно определяется из неравенств

Если А не содержит сколько либо значительного числа нулей, то возведение матрицы в квадрат требует в раз больше работы, чем простая итерация. Следовательно, возводить матрицы в квадрат выгодно, если

При данном разделении собственных значений возведение в квадрат менее выгодно при больших Наоборот, при фиксированном метод возведения в квадрат более выгоден, если собственные значения и плохо отделены. Если А - симметричная, то все степени А тоже симметричные, поэтому мы имеем выигрыш от симметрии при возведении в степень, а в простом итерационном процессе выигрыша от симметрии нет.

Например, в случае требуется 15 шагов возведения в квадрат или около шагов простого степенного процесса для уничтожения компонент по с рабочей точностью. Следовательно, возведение в квадрат более выгодно для матриц приблизительно до 2000-го порядка, причем для матрицы 100-го порядка возведение в квадрат выгоднее почти в 20 раз.

Однако такое сравнение методов несколько сомнительно по двум причинам.

(i) Вряд ли мы станем проводить 28 000 шагов простого степенного процесса без применения каких-либо методов ускорения сходимости, а методы ускорения сходимости трудно применимы в процессе возведения матриц в квадрат.

(ii) Большинство матриц порядка более 50, возникающих на практике, обычно содержит много нулей. Это свойство разрушается при возведении в степень, и, следовательно, наши оценки количества необходимой работы в двух процессах не реальны.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Некоторые свойства операций над матрицами.
Матричные выражения

А сейчас последует продолжение темы, в котором мы рассмотрим не только новый материал, но и отработаем действия с матрицами .

Некоторые свойства операций над матрицами

Существует достаточно много свойств, которые касаются действий с матрицами, в той же Википедии можно полюбоваться стройными шеренгами соответствующих правил. Однако на практике многие свойства в известном смысле «мертвЫ», поскольку в ходе решения реальных задач используются лишь некоторые из них. Моя цель – рассмотреть прикладное применение свойств на конкретных примерах, и если вам необходима строгая теория, пожалуйста, воспользуйтесь другим источником информации.

Рассмотрим некоторые исключения из правила , которые потребуются для выполнения практических задач.

Если у квадратной матрицы существует обратная матрица , то их умножение коммутативно:

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например: , и т.д.

При этом справедливо следующее свойство : если произвольную матрицу умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения.

Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи: .

Желающие могут провести проверку и убедиться, что:

Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров.

Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц

Для матриц и действительного числа справедливо следующее свойство:

То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд, чтобы он «не мешал» умножить матрицы.

Примечание : вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо бОльшее количество матриц.

Пример 4

Вычислить произведение

Решение :

(1) Согласно свойству перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем матричное умножение.

(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на .

Ответ :

Маленькая шарада для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить , если

Решение и ответ в конце урока.

Какой технический приём важен в ходе решения подобных примеров? С числом разбираемся в последнюю очередь .

Прицепим к локомотиву ещё один вагон:

Как умножить три матрицы?

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения :

Пример 6

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

2) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

Ответ :

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Пример 7

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос:

Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение:

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы:

Таким образом, получаем рабочую формулу:

То есть задание выполняется в два шага: сначала матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу .

Пример 8

Возвести матрицу в куб.

Это небольшая задачка для самостоятельного решения.

Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом:

Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых: – это произведение трёх матриц.

1) . Иными словами, сначала находим , затем домножаем его на «бэ» – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень.

2) Но существует решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение

Дополнительное задание к Примеру 8:

Возвести матрицу в четвёртую степень.

Как только что отмечалось, сделать это можно двумя способами:

1) Коль скоро известен куб, то выполняем умножение .

2) Однако, если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень , то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой .

Оба варианта решения и ответ – в конце урока.

Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм:

1) находим ;
2) находим ;
3) возводим матрицу в пятую степень: .

Вот, пожалуй, и все основные свойства матричных операций, которые могут пригодиться в практических задачах.

Во втором разделе урока ожидается не менее пёстрая тусовка.

Матричные выражения

Повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: . При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки , затем выполняется возведение в степень / извлечение корней , потом умножение / деление и в последнюю очередь – сложение /вычитание .

Если числовое выражение имеет смысл, то результат его вычисления является числом , например:

Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение . Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу , а затем перемножить матрицы: . Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением .

С третьим слагаемым всё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу.

Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей .

Все задания будут из реальных контрольных работ, и мы начнём с самого простого:

Пример 9

Даны матрицы . Найти:

Решение :порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение, затем сложение.

Сложение выполнить невозможно, поскольку матрицы разных размеров.

Не удивляйтесь, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа.

Пробуем вычислить второе выражение:

Тут всё нормально.

Ответ : действие выполнить невозможно, .

Здесь мы продолжим начатую в первой части тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.

Возведение матрицы в степень.

Пусть k - целое неотрицательное число. Для любой квадратной матрицы $A_{n\times n}$ имеем: $$ A^k=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{k \; раз} $$

При этом полагаем, что $A^0=E$, где $E$ - единичная матрица соответствующего порядка.

Пример №4

Задана матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)$. Найти матрицы $A^2$ и $A^6$.

Согласно определению $A^2=A\cdot A$, т.е. для нахождения $A^2$ нам просто нужно умножить матрицу $A$ саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы , поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right). $$

Чтобы найти матрицу $A^6$ у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать $A^2$ на матрицу $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2\cdot A^2. $$

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа - лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4)+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -7 & -24 \\ 12 & 41 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12\cdot (-4)+41\cdot 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right). $$

Ответ : $A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)$, $A^6=\left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right)$.

Пример №5

Заданы матрицы $ A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)$, $ B=\left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)$, $ C=\left(\begin{array} {ccc} -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end{array} \right)$. Найти матрицу $D=2AB-3C^T+7E$.

Вычисление матрицы $D$ начнем с нахождения результата произведения $AB$. Матрицы $A$ и $B$ можно перемножать, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. Обозначим $F=AB$. При этом матрица $F$ будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу $F$, вычислив все её элементы:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)\\ \begin{aligned} & f_{11}=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_{12}=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_{13}=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_{21}=3\cdot (-9)+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_{22}=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_{23}=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_{31}=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_{32}=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_{33}=-1\cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end{aligned} $$

Итак, $F=\left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)$. Пойдём далее. Матрица $C^T$ - транспонированная матрица для матрицы $C$, т.е. $ C^T=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right) $. Что же касаемо матрицы $E$, то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. $E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):

$$ 2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right) $$

Выполним последние действия: вычитание и сложение:

$$ \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right)=\\ =\left(\begin{array} {ccc} -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right). $$

Задача решена, $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.

Ответ : $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.

Пример №6

Пусть $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right) $. Найти значение $f(A)$.

Если $f(x)=2x^2+3x-9$, то под $f(A)$ понимают матрицу:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу $A$ в выражение для $f(A)$ и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение. Если процесс выполнения операции $A^2=A\cdot A$ для вас неясен, то советую глянуть описание умножения матриц в первой части этой темы.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} 14 & -3 \\ -15 & 5 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 28 & -6 \\ -30 & 10 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 15 & 0 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right). $$

Ответ : $f(A)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right)$.

Следует заметить, что данной операции поддаются только квадратные матрицы. Равное число строк и столбцов – обязательное условие для возведения матрицы в степень. В ходе вычисления матрица будет помножена сама на себя требуемое количество раз.

Данный онлайн калькулятор предназначен для выполнения операции возведения матрицы в степень. Благодаря его использованию вы не только быстро справитесь с данной задачей, но и получите наглядное и развёрнутое представление о самом ходе вычисления. Это поможет лучше закрепить материал, полученный в теории. Увидев перед собой детальный алгоритм расчётов, вы лучше поймёте все его тонкости и впоследствии сможете не допускать ошибок в ручном вычислении. Кроме того, никогда не будет лишним перепроверить свои расчёты, и это тоже лучше всего осуществлять здесь.

Для того, чтобы возвести матрицу в степень онлайн, понадобится ряд простых действий. Первым делом укажите размер матрицы, нажав на иконки «+» или «-» слева от неё. Затем в поле матрицы введите числа. Также нужно указать степень, в которую возводится матрица. А далее вам остаётся лишь кликнуть на кнопку: «Вычислить» в нижней части поля. Полученный результат будет достоверным и точным, если вы внимательно и правильно ввели все значения. Вместе с ним вам будет предоставлена детальная расшифровка решения.