Протокол доказательства с нулевым разглашением. Доказательство с нулевым разглашением. Хорошо, и что же все это означает

Предположим, что Алиса знает доказательство некоторой теоремы и желает убедить Боба в том, что теорема верна. Конечно, Алиса может просто передать доказательство Бобу на проверку. Но тогда впоследствии Боб сможет сам, без помощи Алисы, доказывать третьим лицам эту теорему. А может ли Алиса убедить Боба так, чтобы он не получил при этом никакой информации, которая помогла бы ему восстановить доказательство теоремы? Этим двум, казалось бы взаимно исключающим требованиям, удовлетворяют протоколы доказательства с нулевым разглашением. Последнее понятие было введено Гольдвассер, Микали и Ракоффом в 1985 г. .

Рассматривается следующая модель протокола. В распоряжении Алисы и Боба имеются вероятностные машины Тьюринга соответственно. Вычислительные ресурсы, которые может использовать Алиса, неограничены, в то время как машина V работает за полиномиальное время. Машины имеют общую коммуникационную ленту для обмена сообщениями. После записи сообщения на коммуникационную ленту машина переходит в состояние ожидания и выходит из него, как только на ленту будет записано ответное сообщение. Машины имеют также общую входную ленту, на которую записано входное слово х. Утверждение, которое доказывает Алиса, суть где некоторый фиксированный (известный и Алисе, и Бобу) язык. Чтобы избежать тривиальности, язык должен быть трудным (например, NP-полным), иначе Боб сможет самостоятельно проверить, что По существу, протокол доказательства состоит в том, что Боб, используя случайность, выбирает некоторые вопросы, задает их Алисе и проверяет правильность ответов. Выполнение протокола завершается, когда машина V останавливается, при этом она выдает 1, если доказательство принято, и 0 - в противном случае.

Пусть две интерактивные, т. е. взаимодействующие через общую коммуникационную ленту, вероятностные машины Тьюринга. Через обозначается случайная величина - выходное слово машины А, когда А к В работают на входном слове х. Через обозначается длина слова х.

Определение 4. Интерактивным доказательством для языка называется пара интерактивных машин Тьюринга такая, что выполняются следующие два условия.

1. (Полнота). Для всех

2. (Корректность). Для любой машины Тьюринга для любого полинома и для всех достаточно большой длины

Полнота означает, что если входное слово принадлежит языку и оба участника, и Алиса, и Боб, следуют протоколу, то доказательство будет всегда принято. Требование корректности защищает Боба от нечестной Алисы, которая пытается обмануть его, «доказывая» ложное утверждение. При этом Алиса может каким угодно образом отклоняться от действий, предписанных протоколом, т. е. вместо машины Тьюринга использовать любую другую машину Требуется, чтобы вероятность обмана была в любом случае пренебрежимо малой.

Определение 5. Интерактивный протокол доказательства для языка называется доказательством с абсолютно нулевым разглашением, если, кроме условий 1 и 2, выполнено еще и следующее условие.

3. (Свойство нулевого разглашения). Для любой полиномиальной вероятностной машины Тьюринга V существует вероятностная машина Тьюринга работающая за полиномиальное в среднем время, и такая, что для всех

Машина называется моделирующей машиной для Предполагается, что математическое ожидание времени ее работы ограничено полиномом от длины х. Это означает, что в принципе может, в зависимости от того, какие значения примут используемые в ее работе случайные переменные, работать достаточно долго. Но вероятность того, что время ее работы превысит некоторую полиномиальную границу, мала. Для каждой машины V строится своя моделирующая машина; последняя может использовать V как подпрограмму. Через обозначается случайная величина - выходное слово машины когда на входе она получает слово х.

Свойство нулевого разглашения защищает Алису от нечестного Боба, который, произвольно отклоняясь от действий, предписанных протоколом (используя V вместо V), пытается извлечь из его выполнения дополнительную информацию. Условие 3 означает, что Боб может при этом получить только такую информацию, которую он смог бы вычислить и самостоятельно выполнения протокола) за полиномиальное время.

Приведем в качестве примера протокол доказательства с абсолютно нулевым разглашением для языка из работы Гольдрайха, Микали и Вигдерсона . Входным словом является пара графов и Здесь множество вершин, которое можно отождествить с множеством натуральных чисел множества ребер такие, что Графы называются изоморфными, если существует перестановка на множестве такая, что тогда и только тогда, когда (обозначается Задача распознавания изоморфизма графов - хорошо известная математическая задача, для которой на данный момент не известно полиномиальных алгоритмов. С другой стороны, неизвестно, является ли эта задача NP-полной, хотя есть веские основания предполагать, что не является.

Протокол IG

Пусть изоморфизм между Следующие четыре шага выполняются в цикле раз, каждый раз с независимыми случайными величинами.

1. Р выбирает случайную перестановку на множестве вычисляет и посылает этот граф

2. V выбирает случайный бит а и посылает его

3. Если то посылает V перестановку в противном случае - перестановку о

4. Если перестановка, полученная V, не является изоморфизмом между то V останавливается и отвергает доказательство. В противном случае выполнение протокола продолжается.

Если проверки п. 4 дали положительный результат во всех циклах, то V принимает доказательство.

Заметим, что если в протоколе IG машина получает изоморфизм в качестве дополнительного входного слова, то ей для выполнения протокола не требуются неограниченные вычислительные ресурсы. Более того, в этом случае может быть полиномиальной вероятностной машиной Тьюринга.

Теорема 2 (). Протокол IG является доказательством с абсолютно нулевым разглашением для языка ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ.

Полнота протокола IG очевидна.

Для доказательства корректности достаточно заметить, что бит а, который V выбирает на шаге 2, указывает для какого из графов - или требуется продемонстрировать изоморфизм с графом Если не изоморфны, то может быть изоморфен, в лучшем случае, одному из них. Поэтому проверка п. 4 даст положительный результат с вероятностью 1/2 в одном цикле и с вероятностью во всех циклах.

Доказательство свойства нулевого разглашения значительно сложнее. Поэтому мы воспроизводим только основную идею. Прежде всего, заметим, что основная задача машины V - получить максимально возможную информацию об изоморфизме между Естественно предположить, что она, в отличие от V, будет выдавать в качестве выходного слова не один бит, а всю полученную в результате выполнения протокола информацию, включая содержимое своей случайной ленты, графы и перестановки, полученные соответственно на шагах 1 и 3 протокола IG. Моделирующая машина должна уметь строить такие же случайные строки, графы и перестановки, не зная при этом изоморфизм Поэтому пытается угадать тот бит а, который будет запросом машины V на шаге 2. Для этого выбирает случайный бит случайную перестановку и вычисляет Далее запоминает состояние машины V (включая содержимое случайной ленты) и вызывает ее как подпрограмму, подавал ей на вход граф Ответом машины V будет некоторый бит а. Если то моделирование в данном цикле завершено успешно, поскольку может продемонстрировать требуемый изоморфизм. Если же а то восстанавливает ранее сохраненное состояние машины V и повторяет попытку.

Если в определении свойства нулевого разглашения заменить равенство случайных величин требованием, чтобы их распределения вероятностей «почти не отличались», то получится другая разновидность доказательств - доказательства со статистически нулевым разглашением.

Еще один тип - доказательства с вычислительно нулевым разглашением. В этом случае требуется, чтобы моделирующая машина создавала распределение вероятностей, которое неотличимо от никаким полиномиальным вероятностным алгоритмом (неотличимость здесь определяется аналогично тому, как это делалось в определении псевдослучайного генератора).

Подчеркнем особо, что во всех трех определениях нулевого разглашения условия накладываются на действия моделирующей машины только на тех словах, которые принадлежат языку.

Помимо интереса к доказательствам с нулевым разглашением как к нетривиальному математическому объекту, они исследуются также и в связи с практическими приложениями. Наиболее естественный и важный тип таких приложений - протоколы аутентификации (см. главу 3). С помощью такого протокола Алиса может доказать Бобу свою аутентичность.

Предположим, например, что Алиса - это интеллектуальная банковская карточка, в которой реализован алгоритм а Боб - это компьютер банка, выполняющий программу Прежде чем начать выполнение каких-либо банковских операций, банк должен убедиться в подлинности карточки и идентифицировать ее владельца, или, говоря на языке криптографии, карточка должна пройти аутентификацию. В принципе для этой цели можно использовать приведенный выше протокол IG. В этом случае в памяти банковского компьютера хранится пара графов сопоставленная Алисе, а на интеллектуальной карточке - та же пара графов и изоморфизм Предполагается, что, кроме Алисы, этот изоморфизм никто не знает (кроме, быть может, Боба) и поэтому с помощью протокола IG карточка доказывает свою аутентичность. При этом свойство полноты означает, что карточка наверняка докажет свою аутентичность. Свойство корректности защищает интересы банка от злоумышленника, который, не являясь клиентом банка, пытается пройти аутентификацию, используя фальшивую карточку. Свойство нулевого разглашения защищает клиента от злоумышленника, который, подслушав одно или более выполнений протокола аутентификации данной карточки, пытается пройти аутентификацию под именем Алисы. Конечно, в данном случае бессмысленно доказывать, что пара графов принадлежит языку ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ, поскольку она заведомо выбирается из этого языка. Вместо этого Алиса доказывает, что она знает изоморфизм Интерактивные доказательства такого типа называются доказательствами знания.

Для практического применения очень важным свойством протокола IG, как и других протоколов доказательства знания, является то, что алгоритм получивший в качестве дополнительного входа изоморфизм работает за полиномиальное время. Вместо протокола IG можно использовать, вообще говоря, любое другое доказательство с нулевым разглашением, в котором алгоритм обладает этим свойством. Но для реальных приложений протокол IG, как и большинство подобных протоколов, не эффективен: большое количество циклов, слишком длинные сообщения и т. д. Поиск более эффективных доказуемо стойких протоколов - одно из основных направлений исследований в данной области.

Пусть задана интерактивная система доказательства (P,V,S).
В определении интерактивной системы доказательства ранее не предполагалось, что V может быть противником (предполагалась только возможность существования нечестного участника Р"). Но V может оказаться противником, который хочет выведать у Р какую- либо новую полезную информацию об утверждении S. В этом слу-чае Р может не хотеть, чтобы это случилось в результате работы
протокола интерактивной системы доказательства. Таким
28 Запечников С. В. Криптографические протоколы и их прішеиеиие
образом приходим к идее протокола доказательства с нулевым раз-глашением знания (zero-knowledge proof). Нулевое разглашение зна-ния подразумевает, что в результате работы протокола интерактивной системы доказательства V не увеличит свои знания об утвер-ждении S, или, другими словами, не сможет извлечь никакой информации о том, почему S истинно.
Как и ранее, в протоколе предварительно формулируется неко-торое утверждение S, например о том, что некоторый объект w об-ладает свойством L: we L. В ходе протокола Р и V обмениваются сообщениями. Каждый из них может генерировать случайные числа и использовать их в своих вычислениях. В конце протокола V дол-жен вынести свое окончательное решение о том, является ли S ис-тинным или ложным.
Цель Р всегда состоит в том, чтобы убедить V в том, что S ис-тинно, независимо от того, истинно ли оно на самом деле или нет, т. е. Р может быть активным противником, а задача V - проверять аргументы Р. Цель участника V заключается в том, чтобы вынести решение, является ли S истинным или ложным. Как и ранее, V имеет полиномиально ограниченные вычислительные возможности, а именно время его работы ограничено некоторым полиномом от
длины доказываемого утверждения: tРассмотрим теперь примеры протоколов доказательства с нулевым разглашением знания.
1. «Задача о пещере Али-Бабы». Имеется пещера, план которой показан на рис. 1.2. Пещера имрет дверь с секретом между точками С и D. Каждый, кто знает волшебные слова, может открыть эту дверь и пройти из С в D или наоборот. Для всех остальных оба хода пещеры ведут в тупик.
Пусть Р знает секрет пещеры. Он хочет доказать V знание этого секрета, не разглашая волшебные слова. Вот протокол их общения:
V находится в точке А;
Р заходит в пещеру и добирается либо до точки С, либо до точки D\
После того как Р исчезает в пещере, V приходит в точку В, не зная, в какую сторону пошел Р\
V зовет Р и просит его выйти либо из левого, либо из правого коридора пещеры согласно желанию V;
Р выполняет это, открывая при необходимости дверь, если, конечно, он знает волшебные слова;
Р и V повторяют шаги (1) - (5) п раз.

После п раундов протокола вероятность сократится до 1/2".
2. Доказательство изоморфизма графов. Р хочет доказать V изо-морфизм графов Go и Gb ПустьG, = (p(G0):G0 = G, где ф - пре-образование изоморфизма; т - мощность множества N вершин графов. В табл. 1.4 приведен протокол доказательства данного утвер-ждения.
Поясним строение этого протокола. На шаге (1) участник Р создает случайный граф Я, изоморфный G\. На шаге (2) участник V, выбирая случайный бит а = {0Д}, тем самым просит доказать, что
Н ~G0 либо что Н « Gj. На шаге (3) участник Р посылает участни-ку V преобразование \|/, которое он строит таким образом, что при а = 1 в результате применения этого преобразования к графу Gu по-лучается граф F1 = TtG, = Н. а при а = 0 в результате применения этого преобразования к графу Ga получается граф F0 =
зо Запечников С. В. Криптографические протоколы и их применение
= 7i((p(G0))~7iG] = #, На шаге (4) участник V, выполняя проверку равенства графов, тем самым определяет, выполнено ли условие
Н = Fa. Шаги (1) - (4) повторяются т раз. Если во всех т раундах этого протокола результат проверки оказывается положительным, V принимает доказательство.
Таблица 1.4. Протокол доказательства изоморфизма графов Р V 1 % - случайная перестановка вершин, вычисляет H = nGl 2 f п, если (а -1),
V = 1 / ч 1 л о ф, если (а = 0) -> т раз 4 Вычисляет граф \j/Ga и сравнивает: Н =\jfGa 5 Принимает доказательство тогда и только тогда, когда для Vm
Этот протокол действительно является протоколом с нулевым разглашением знаний, так как в случае изоморфных G0 ~ Gx участ-ник V не получает никакой информации, кроме изоморфизмов гра-фов G0 и G\ с какими-то их случайными перенумерациями, которые он мог бы получить и самостоятельно, выбирая случайный бит а и перенумеровывая случайным образом граф Ga .
3. Доказательство знания дискретного логарифма х числа X. Перед началом работы протокола задаются открытые величины: р,
q - простые числа, такие, что q\(p -1), элемент g е Z*, число X. До- ]. Базовые криптографические протоколы 31
называющему Р известна секретная величина x\xТаблица 1.5. Протокол доказательства знания дискретного логарифма Р V I r&RZ
М = g (mod р) 2 А. Доказательство знания представления числа у в базисе (zero- knowledge proof of knowledge of у representation). Перед началом работы протокола задаются открытые величины, известные всем уча-стникам: простые числа р, q, элементы y,gvg2,..., gk Є Gq. Доказы-вающему P известны секретные величины ара 2,...,ake ZQ: у =
= 8і" " 8г1""> знание которых он должен доказать V, не разгла-шая самих этих величин. Протокол представлен в табл. 1.6.
Таблица 1.6. Протокол доказательства знания представления
числа в базисе Р V 1 rl.r2,...,rk. ЄІ{ Zq, 2 5. Доказательство знания представления множества чисел в соответствующих базисах (zero-knowledge proof of knowledge of equality of representation of all y(j) in the respective bases). Перед началом работы протокола задаются открытые величины, извест-
W I >\
ные всем участникам: простые числа р, q, элементы у, 82^є для некоторых (/). Доказывающему Р известны сек-ретные величины 0С[,а2,...,а,. є Zq, такие, что для V/ у^ =
= (і^) " 1 > знание которых он должен доказать V,
не разглашая самих этих величин. В табл. 1.7 приведен протокол, который решает эту задачу.
Таблица 1.7. Протокол доказательства знания множества чисел
в соответствующих базисах Р V 1 rvr21...lrkeR ля У/ 2 (АиП«іТ-(ьТ-
6. Доказательство знания мультипликативной связи «депониро-ванных» величин (zero-knowledge proof of knowledge of multiplicative rela-tion between committed values). Элемент X = gx циклической подгруп-пы простого порядка, в которой задача дискретного логарифмирования считается вычислительно-сложной, называется депонированной вели-чиной (committed value), представляющей секретную величину х. Пусть
d - неизвестный элемент, такой, что h = gd . Перед началом работы протокола задаются открытые величины: простые числа р, q, элементы А, В, С Є Gq . Доказывающему Р известны секретные величины
a, a, b, Ь, с, с, такие, что с = ab, A = gah"\ В = gbhb, С = gche. Знание их он и должен доказать V, не разглашая самих величин. В табл. 1.8 при-веден протокол такого доказательства.
Таблица 1.8. Протокол доказательства знания мультипликативной связи депонированных величин Р V 1 М=і">/Ї, j Mt = gx-h*\ ¦ M2= Bx ¦ h"1 2 =CK-M2
разглашением знания
Таблица 1.9. Структура протоколов доказательства с нулевым P S: x є L- доказываемое утверждение, h - dp, общедоступные параметры и величины, s - секретные данные дока-зывающего о том, почему S истинно, г- случайное число V 1 rp- случ., 2 rv - случай-ное число,
с = ЛМ Обобщим рассмотренные примеры и сформулируем ряд определений. В общем виде протокол интерактивного доказательства с ну-левым разглашением знания (табл. 1.9) состоит из четырех шагов:
Окончание табл. 1.9 Р S: хе L- доказываемое утверждение, h - др. общедоступные параметры и величины, s - секретные данные дока-зывающего о том, почему S истинно, г - случайное число V 3 R = f3(C,x) 4
доказывающий передает проверяющему так называемое сви-детельство (witness -W)- результат вычисления однонаправленной функции от секретной величины, знание которой он доказывает;
проверяющий посылает ему случайный запрос;
доказывающий отвечает на этот запрос, причем ответ зависит как от случайного запроса, так и от секретной величины, но из него вычислительно невозможно получить эту секретную величину;
получая ответ, V проверяет его соответствие «свидетельству», переданному на первом шаге.
Рассмотрим основные принципы построения доказательств с ну-левым разглашением знания: что подразумевает свойство нулевого разглашения знания.
В теории доказательств с нулевым разглашением знания Р и V рассматриваются как «черные ящики» (рис. 1.3).
Пусть \тр }, \}Пу } - совокупность всех сообщений, передаваемых от Р к V (соответственно от У к Р), каждое из которых является слу-чайной величиной, и, таким образом, {x,h,rv,{mp},{mv}} = = viewpy, ϐϵ}