Программа помехоустойчивого кодирования кодом рида соломона. Алгоритмы обнаружения и коррекции ошибок. Исправление многократных ошибок

Код Рида - Соломона был изобретён в 1960 году сотрудниками лаборатории Линкольна Ирвином Ридом (англ.) и Густавом Соломоном (англ.). Идея использования этого кода была представлена в статье «Polynomial Codes over Certain Finite Fields». Первое применение код Рида - Соломона получил в 1982 году в серийном выпуске компакт-дисков. Эффективный алгоритм декодирования был предложен в 1969 году Элвином Берлекэмпом (англ.) и Джэймсом Месси (алгоритм Берлекэмпа - Мэсси).

Формальное описание

Коды Рида - Соломона являются важным частным случаем БЧХ-кода , корни порождающего полинома которого лежат в том же поле , над каким и строится код (m = 1 ). Пусть α - элемент поля порядка . Если α - примитивный элемент, то его порядок равен q − 1 , то есть . Тогда нормированный полином g (x ) минимальной степени над полем , корнями которого являются d − 1 подряд идущих степеней элемента α , является порождающим полиномом кода Рида - Соломона над полем :

где l 0 - некоторое целое число (в том числе 0 и 1), с помощью которого иногда удается упростить кодер. Обычно полагается l 0 = 1 . Степень многочлена равна d − 1 .

Длина полученного кода n , минимальное расстояние d (минимальное расстояние d линейного кода является минимальным из всех расстояний Хемминга всех пар кодовых слов, см. Линейный код). Код содержит r = d − 1 = deg(g (x )) проверочных символов, где deg() обозначает степень полинома; число информационных символов k = n − r = n − d + 1 . Таким образом и код Рида - Соломона является разделимым кодом с максимальным расстоянием (является оптимальным в смысле границы Синглтона).

Кодовый полином c (x ) может быть получен из информационного полинома m (x ) , , путем перемножения m (x ) и g (x ) :

c (x ) = m (x )g (x )

Свойства

Код Рида - Соломона над , исправляющий t ошибок, требует 2t проверочных символов и с его помощью исправляются произвольные пакеты ошибок длиной t и меньше. Согласно теореме о границе Рейгера, коды Рида - Соломона являются оптимальными с точки зрения соотношения длины пакета и возможности исправления ошибок - используя 2t дополнительных проверочных символов исправляются t ошибок (и менее).

Теорема (граница Рейгера) . Каждый линейный блоковый код, исправляющий все пакеты длиной t и менее, должен содержать, по меньшей мере, 2t проверочных символов.

Исправление многократных ошибок

Код Рида - Соломона является одним из наиболее мощных кодов, исправляющих многократные пакеты ошибок. Применяется в каналах, где пакеты ошибок могут образовываться столь часто, что их уже нельзя исправлять с помощью кодов, исправляющих одиночные ошибки.

(q m − 1,q m − 1 − 2t ) -код Рида - Соломона над полем с кодовым расстоянием d = 2t + 1 можно рассматривать как ((q m − 1)m ,(q m − 1 − 2t )m ) -код над полем , который может исправлять любую комбинацию ошибок, сосредоточенную в t или меньшем числе блоков из m символов. Наибольшее число блоков длины m , которые может затронуть пакет длины l i , где , не превосходит t i , поэтому код, который может исправить t блоков ошибок, всегда может исправить и любую комбинацию из p пакетов общей длины l , если .

Практическая реализация

Кодирование с помощью кода Рида - Соломона может быть реализовано двумя способами: систематическим и несистематическим (см. , описание кодировщика).

При несистематическом кодировании информационное слово умножается на некий неприводимый полином в поле Галуа. Полученное закодированное слово полностью отличается от исходного и для извлечения информационного слова нужно выполнить операцию декодирования и уже потом можно проверить данные на содержание ошибок. Такое кодирование требует большие затраты ресурсов только на извлечение информационных данных, при этом они могут быть без ошибок.

При систематическом кодировании к информационному блоку из k символов приписываются 2t проверочных символов, при вычислении каждого проверочного символа используются все k символов исходного блока. В этом случае нет затрат ресурсов при извлечении исходного блока, если информационное слово не содержит ошибок, но кодировщик/декодировщик должен выполнить k (n − k ) операций сложения и умножения для генерации проверочных символов. Кроме того, так как все операции проводятся в поле Галуа, то сами операции кодирования/декодирования требуют много ресурсов и времени. Быстрый алгоритм декодирования, основанный на быстром преобразовании Фурье, выполняется за время порядка O (l n (n 2)) .

Кодирование

При операции кодирования информационный полином умножается на порождающий многочлен. Умножение исходного слова S длины k на неприводимый полином при систематическом кодировании можно выполнить следующим образом:

Кодировщик строится из сдвиговых регистров, сумматоров и умножителей. Сдвиговый регистр состоит из ячеек памяти, в каждой из которых находится один элемент поля Галуа.

Декодирование

• Вычисляет синдром ошибки
• Строит полином ошибки
• Находит корни данного полинома
• Определяет характер ошибки
• Исправляет ошибки

Вычисление синдрома ошибки

Вычисление синдрома ошибки выполняется синдромным декодером, который делит кодовое слово на порождающий многочлен. Если при делении возникает остаток, то в слове есть ошибка. Остаток от деления является синдромом ошибки.

Построение полинома ошибки

Вычисленный синдром ошибки не указывает на положение ошибок. Степень полинома синдрома равна 2t , что много меньше степени кодового слова n . Для получения соответствия между ошибкой и ее положением в сообщении строится полином ошибок. Полином ошибок реализуется с помощью алгоритма Берлекэмпа - Месси , либо с помощью алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида имеет простую реализацию, но требует больших затрат ресурсов. Поэтому чаще применяется более сложный, но менее затратоемкий алгоритм Берлекэмпа - Месси. Коэффициенты найденного полинома непосредственно соответствуют коэффициентам ошибочных символов в кодовом слове.

Нахождение корней

На этом этапе ищутся корни полинома ошибки, определяющие положение искаженных символов в кодовом слове. Реализуется с помощью процедуры Ченя, равносильной полному перебору. В полином ошибок последовательно подставляются все возможные значения, когда полином обращается в ноль - корни найдены.

Определение характера ошибки и ее исправление

По синдрому ошибки и найденным корням полинома с помощью алгоритма Форни определяется характер ошибки и строится маска искаженных символов. Эта маска накладывается на кодовое слово с помощью операции XOR и искаженные символы восстанавливаются. После этого отбрасываются проверочные символы и получается восстановленное информационное слово.

Применение

В настоящий момент коды Рида - Соломона имеют очень широкую область применения благодаря их способности находить и исправлять многократные пакеты ошибок.

Запись и хранение информации

Код Рида - Соломона используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (ECC), записи на CD/DVD диски. Даже если поврежден значительный объем информации, испорчено несколько секторов дискового носителя, то коды Рида - Соломона позволяют восстановить большую часть потерянной информации. Также используется при записи на такие носители, как магнитные ленты и штрихкоды.

Запись на CD-ROM

Возможные ошибки при чтении с диска появляются уже на этапе производства диска, так как сделать идеальный диск при современных технологиях невозможно. Так же ошибки могут быть вызваны царапинами на поверхности диска, пылью и т. д. Поэтому при изготовлении читаемого компакт-диска используется система коррекции CIRC (Cross Interleaved Reed Solomon Code). Эта коррекция реализована во всех устройствах, позволяющих считывать данные с CD дисков, в виде чипа с прошивкой firmware. Нахождение и коррекция ошибок основана на избыточности и перемежении (redundancy & interleaving). Избыточность примерно 25 % от исходной информации.

При записи на цифровые аудиокомпакт-диски (Compact Disc Digital Audio - CD-DA) используется стандарт Red Book . Коррекция ошибок происходит на двух уровнях C1 и C2. При кодировании на первом этапе происходит добавление проверочных символов к исходным данным, на втором этапе информация снова кодируется. Кроме кодирования осуществляется также перемешивание (перемежение) байтов, чтобы при коррекции блоки ошибок распались на отдельные биты, которые легче исправляются. На первом уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки длиной один и два байта (один и два ошибочных символа соответственно). Ошибочные блоки длиной три байта обнаруживаются и передаются на следующий уровень. На втором уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки, возникшие в C2, длиной 1 и 2 байта. Обнаружение трех ошибочных символов является фатальной ошибкой и не может быть исправлено.

Беспроводная и мобильная связь

Этот алгоритм кодирования используется при передаче данных по сетям WiMAX , в оптических линиях связи , в спутниковой и радиорелейной связи . Метод прямой коррекции ошибок в проходящем трафике (Forward Error Correction, FEC) основывается на кодах Рида - Соломона.

Примеры кодов

16-ричный (15,11) код Рида - Соломона

Пусть t = 2,l 0 = 1 . Тогда

g (x ) = (x − α)(x − α 2)(x − α 3)(x − α 4) = x 4 + α 13 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α 10

Степень g (x ) равна 4, n − k = 4 и k = 11 . Каждому элементу поля GF(16) можно сопоставить 4 бита. Информационный многочлен является последовательностью 11 символов из GF(16) , что эквивалентно 44 битам, а все кодовое слово является набором из 60 бит.

8-ричный (7,3) код Рида - Соломона

Пусть t = 2,l 0 = 4 . Тогда

g (x ) = (x − α 4)(x − α 5)(x − α 6)(x − α 0) = x 4 + α 6 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α

Пусть информационный многочлен имеет вид

m (x ) = α 4 x 2 + x + α 3

Кодовое слово несистематического кода запишется в виде

c (x ) = m (x )g (x ) = (α 4 x 2 + x + α 3)(x 4 + α 6 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α) = α 4 x 6 + αx 5 + α 6 x 4 + 0x 3 + 0x 2 + α 5 x + α 4

В современных системах цифрового телевидения для обеспечения помехоустойчивой передачи цифровых телевизионных сигналов по радиоканалу используются наиболее совершенные коды Рида-Соломона (Reed-Solomon),требующие добавления двух проверочных символов в расчете на одну исправляемую ошибку . Коды Рида-Соломона обладают высокими корректирующими свойствами, для них разработаны относительно простые и конструктивные методы кодирования. Коды Рида-Соломона не являются двоичными. Это надо понимать в том смысле, что символами кодовых слов являются не двоичные знаки, а элементы множества чисел, состоящего более чем из двух знаков (хотя, конечно, при передаче каждый символ заменяется соответствующей двоичной комбинацией).

Коды Рида-Соломона, относящиеся к классу циклических кодов , образуют подгруппублоковых кодов . Они получаются из любой разрешенной комбинации путем циклического сдвига ее разрядов. Кодирование и декодирование, обнаруживающее и исправляющее ошибки, – это вычислительные процедуры, которые для циклических кодов удобно выполнять как действия с многочленами и реализацию в виде цифровых устройств на базе регистров сдвига с обратными связями.

Чтобы получить более детальное представление о кодах Рида-Соломона посмотрим, какое место они занимают в классификации корректирующих кодов (рис. 4.4).

Корректирующие коды разделяются на блочные и сверточные (непрерыв­ные). Блочные коды основаны на перекодировании исходной кодовой комбина­ции (блока), содержащейk информационных символов, в передаваемую кодо­вую комбинацию, содержащуюn >k символов. Дополнительныер = n – k сим­волов зависят только отk символов исходной кодовой комбинации. Следова­тельно, кодирование и декодирование осуществляются всегда в пределах од­ной кодовой комбинации (блока). В противоположность этому всверточных кодах кодирование и декодирование осуществляются непрерывно над после­довательностью двоичных символов.

Блочные коды бывают разделимые и неразделимые. В разделимых кодах можно в каждой кодовой комбинации указать, какие символы являются инфор­мационными, а какие проверочными. Внеразделимых кодах такая возмож­ность отсутствует.

Следующая ступень классификации – систематические коды . Они отлича­ются тем, что в них проверочные символы формируются из информационных символов по определенным правилам, выражаемым математическими соотно­шениями. Например, каждый проверочный символх pj получается как линейная комбинация информационных символов

Рис. 4.4. Место кодов Рида-Соломона в классификации корректирующих кодов

где
– коэффициенты, принимающие значения 0 или 1;
. Соотношение для формирования контрольного бита проверки на четность является частным случаем.

Перейдем к более подробному знакомству с циклическими кодами .

В первую очередь введем запись кодовой комбинации или, как часто назы­вают ее в литературе, кодового вектора в виде полинома. Пусть имеется кодо­вая комбинация a 0 a 1 a 2 ...a n –1 , гдеа 0 – младший разряд кода,a n –1 – старший раз­ряд кода. Соответствующий ей полином имеет вид

,

где х – формальная переменная, вводимая только для получения записи кодо­вой комбинации в виде полинома.

Над полиномами, представляющими кодовые комбинации, определена ма­тематическая операция умножения. Особенность этой операции по сравнению с общепринятой заключается в том, что коэффициенты при х всех степеней суммируются по модулю 2, а показатели степених при перемножении сумми­руются по модулюn , поэтомух n = 1.

Далее введем понятие производящего полинома . Производящим полино­мом порядка (n – k ) может быть полином со старшей степенью х , равной (n – k ), на который без остатка делится двучлен (1 + х n ). Разрешенные кодовые комби­нации получаются перемножением полиномов порядка k – 1, выражающих исходные кодовые комбинации, на производящий полином.

Циклические коды имеют следующее основное свойство. Если кодовая ком­бинация a 0 a 1 a 2 ...a n –1 является разрешенной, то получаемая из нее путем цик­лического сдвига кодовая комбинацияa n –1 a 0 a 1 ...a n –2 также является разрешен­ной в данном коде. При записи в виде полиномов операция циклического сдви­га кодового слова сводится к умножению соответствующего полинома нах с учетом приведенных ранее правил выполнения операции умножения.

Циклический код с производящим полиномом
строится следующим об­разом.

1. Берутся полиномы
,
,
, ...,
.

2. Кодовые комбинации, соответствующие этим полиномам, записывают в виде строк матрицы G , называемойпроизводящей матрицей .

3. Формируется набор разрешенных кодовых комбинаций кода. В него вхо­дит нулевая кодовая комбинация, k кодовых комбинаций, указанных в п. 1, а также суммы их всевозможных сочетаний. Суммирование осуществляется по­разрядно, причем каждый разряд суммируется по модулю 2 . Общее число полученных таким образом разрешенных кодовых комбинаций равно 2 k , что соответствует числу информационных разрядов кода.

Для построения декодера в первую очередь получают производящий поли­ном
порядкаk для построенияисправляющей матрицы Н :

.

Строками исправляющей матрицы Н будут кодовые комбинации, определяемые полиномами
,
, ...,
, где
– это записанный в об­ратном порядке полином
. Исправляющая матрица имеетn столбцов иn – k строк.

При декодировании принятая кодовая комбинация a 0 a 1 a 2 ...a n –1 скалярно умножается на каждую строку исправляющей матрицы. Эта операция может быть записана в виде соотношения:

где h ji – элементыj -той строки матрицыН . Полученныеn – k чиселc j образуютисправляющий вектор илисиндром . Если ошибок нет, то всеc j = 0. Если же при передаче данной кодовой комбинации возникла ошибка, то некоторые из чиселc j не равны 0. По тому, какие именно элементы исправляющего вектора отличны от нуля, можно сделать вывод о том, в каких разрядах принятой кодо­вой комбинации есть ошибка и, следовательно, исправить эти ошибки.

Рассмотрим пример, часто встречающийся в литературе. Построим цикли­ческий код с n = 7;k = 4. Для этого представим двучлен 1 +х 7 в виде произве­дения :

В обычной алгебре это равенство, конечно, не выполняется, но если ис­пользовать для приведения подобных вместо обычного сложения операцию суммирования по модулю 2, а при сложении показателей степеней – операцию суммирования по модулю 7, то равенство окажется справедливым.

В качестве производящего многочлена возьмем 1 + х +х 3 . Умножаем его нах ,х 2 их 3 и получаем многочленых +х 2 +х 4 ;х 2 +х 3 +х 5 ;х 3 +х 4 +х 6 . Затем запи­сываем производящую матрицуG , причем в каждой строке матрицы младший разряд кодовой комбинации расположен первым слева.

.

Далее формируем набор из 15 допустимых кодовых комбинаций: 00000000, 1101000, 0110100, 0011010, 0001101, 1011100, 0101110, 0010111, 1000110, 0100011, 1111111, 1010001, 1000110, 0100011, 1001011. В этих записях млад­шие биты слева, а старшие – справа.

Перемножив первые два сомножителя в, получаем производящий мно­гочлен для исправляющей матрицы: 1 + х +х +х 4 . Затем умножаем его нах их 2 и получаем еще две строки этой матрицы, которая в результате имеет такой вид (в отличие от матрицыG здесь младшие разряды соответствующих поли­номов расположены справа):

.

Пусть принята кодовая комбинация 0001101, входящая в набор допустимых. Найдем скалярные произведения этой кодовой комбинации со всеми строками матрицы Н :

Пусть теперь принята кодовая комбинация 0001100, в которой последний (старший) бит содержит ошибку. Скалярные произведения принятой кодовой комбинации на строки исправляющей матрицы имеют вид:

Таким образом, получен синдром (1, 0, 0). Если ошибка оказывается в другом бите кодовой комбинации, то получается другой синдром.

Одним из важных достоинств циклических кодов является возможность построения кодирующих и декодирующих устройств в виде сдвиговых регистров с обратными связями через сумматоры по модулю 2.

Различные виды циклических кодов получаются с помощью различных про­изводящих полиномов. Существует развитая математическая теория этого во­проса . Среди большого количества циклических кодов к числу наиболее эффективных и широко используемых относятся коды Бозе-Чоудхури-Хоквингема (ВСН-коды – по первым буквам фамилий Bose,Chaudhuri,Hockwinhamили в русскоязычной записи БЧХ-коды), являющиесяобобщением кодов Хемминга на случай направления нескольких ошибок. Они образуют наилучший среди известных класснеслучайных кодов для каналов, в которых ошибки в последовательных символах возникают независимо. Например, БЧХ-код (63, 44), используемый в системе спутникового цифрового радиовещания, по­зволяет исправить 2 или 3 ошибки, обнаружить 4 или 5 ошибок на каждый блок из 63 символов. Относительная скорость такого кода равнаR = 44/63 = 0,698.

Одним из видов ВСН-кодов являются коды Рида-Соломона. Эти коды отно­сятся к недвоичным кодам , так как символами в них могут быть многоразряд­ные двоичные числа, например, целые байты. В Европейском стандарте циф­рового телевидения DVB используется код Рида-Соломона, записываемый как (204, 188, 8), где 188 – количество информационных байт в пакете транс­портного потока MPEG-2, 204 – количество байт в пакете после добавления проверочных символов, 8 – минимальное кодовое расстояние между допусти­мыми кодовыми комбинациями. Таким образом, в качестве кодовых комбина­ций берутся целые пакеты транспортного потока, содержащие 1888 = 1504 информационных бита, а добавляемые проверочные символы содержат 168 = 128 бит. Относительная скорость такого кода равна 0,92. Этот код Рида-Соломона позволяет эффективно исправлять до 8 принятых с ошибками байт в каждом транспортном пакете.

Отметим также, что используемый в цифровом телевизионном вещании код Рида-Соломона часто называют укороченным . Смысл этого термина состоит в следующем. Из теории кодов Рида-Соломона следует, что если символом кода является байт, то полная длина кодового слова должна составлять 255 байт (239 информационных и 16 проверочных). Однако, пакет транспортного потокаMPEG-2 содержит 188 байт. Чтобы согласовать размер пакета с параметра­ми кода, перед кодированием в начало каждого транспортного пакета добав­ляют 51 нулевой информационный байт, а после кодирования эти дополни­тельные нулевые байты отбрасывают.

В приемнике для каждого принятого транспортного пакета, содержащего 204 байта, вычисляются синдромы и находятся два полинома: «локатор», корни ко­торого показывают положение ошибок, и «корректор» (evaluator), дающий зна­чение ошибок. Ошибки корректируются, если это возможно. Если же коррекция невозможна (например, ошибочных байт более 8) данные в пакете не изме­няются, а сам пакет помечается путем установки флага (первый бит после синхробайта), как содержащий неустранимые ошибки. В обоих случаях 16 избы­точных байт удаляются, и после декодирования длина транспортного пакета становится равной 188 байт.

Добрый день! Меня зовут Максим, в YADRO, кроме всего прочего, я занимаюсь разработкой подсистемы, отвечающей за надежное хранение данных. Готовлю небольшой цикл статей про коды Рида-Соломона - теоретическую основу, практическую реализацию, применяемые на практике программные и аппаратные оптимизации. На Хабре и в остальной сети есть хорошие статьи по вопросам этой области - но по ним сложно разобраться, если ты новичок в теме. В этой статье я попытаюсь дать понятное введение в коды Рида-Соломона, а в следующих выпусках напишу, как все это запрограммировать.

Попробуем разобраться с тем, как это работает, начав с более интуитивных вещей. Для этого вернемся к нашей последней задаче. Напомним, что есть три произвольных целых числа, любые два из них могут быть потеряны, необходимо научиться восстанавливать потерянные числа по оставшимся. Для этого применим «алгебраический» подход.

Но прежде необходимо напомнить еще об одном важном моменте. Технологии восстановления данных неспроста называются методами избыточного кодирования. По исходным данным вычисляются некоторые «избыточные», которые потом позволяют восстановить потерянные. Не вдаваясь в подробности заметим, что эмпирическое правило такое - чем больше данных может быть потеряно, тем больше «избыточных» необходимо иметь. В нашем случае для восстановления двух чисел, нам придётся по некоторому алгоритму сконструировать два «избыточных». В общем случае, если нужно поддерживать потерю чисел, необходимо соответственно иметь избыточных.

Упомянутый выше «алгебраический» подход состоит в следующем. Составляется матрица специального вида размера . Первые три строки этой матрицы образуют единичную матрицу, а последние две - это некоторые числа, о выборе которых мы поговорим позднее. В англоязычной литературе эту матрицу обычно называют generator matrix , в русскоязычной встречается несколько названий, в этой статье будет использоваться - порождающая матрица. Умножим сконструированную матрицу на вектор, составленный из исходных чисел , и .

В результате умножения матрицы на вектор с данными получаем два «избыточных» числа, обозначенных на рисунке как и . Давайте посмотрим, как с помощью этих «избыточных» данных можно восстановить, к примеру, потерянные и .

Вычеркнем из порождающей матрицы строки, соответствующие «пропавшим» данным. В нашем случае соответствует первой строке, а – второй. Полученную матрицу умножим на вектор с данными, и в результате получим следующее уравнение:

Проблема лишь в том, что и мы потеряли, и они нам теперь неизвестны. Как мы можем их найти? Есть очень элегантное решение этой проблемы.

Вычеркнем соответствующие строки из порождающей матрицы и найдём обратную к ней. На рисунке эта обратная матрица обозначена как . Теперь домножим левую и правую части исходного уравнения на эту обратную матрицу:

Сокращая матрицы в левой части уравнения (произведение обратной и прямой матриц есть единичная матрица), и учитывая тот факт, что в правой части уравнения нет неизвестных параметров, получаем выражения для искомых и .

Собственно говоря, то, что мы сейчас проделали - основа всех типов кодов Рида-Соломона, применяемых в системах хранения данных. Процесс кодирования заключается в нахождении «избыточных» данных , , а процесс декодирования - в нахождении обратной матрицы и умножения её на вектор «сохранившихся» данных.

Нетрудно заметить, что рассмотренная схема может быть обобщена на произвольное количество «исходных» и «избыточных» данных. Другими словами, по исходным числам можно построить избыточных, причем всегда возможно восстановить потерю любых из чисел. В этом случае порождающая матрица будет иметь размер , а верхняя часть матрицы размером будет единичной.

Вернемся к вопросу о построении порождающей матрицы. Можем ли мы выбрать числа произвольным образом? Ответ – нет. Выбирать их нужно таким образом, чтобы вне зависимости от вычеркиваемых строк, матрица оставалась обратимой. К счастью, в математике давно известны типы матриц, обладающие нужным нам свойством. Например, матрица Коши . В этом случае сам метод кодирования часто называют методом Коши-Рида-Соломона (Cauchy-Reed-Solomon). Иногда, для этих же целей используют матрицу Вандермонда , и соответственно, метод носит название Вандермонда-Рида-Соломона (Vandermonde-Reed-Solomon).

Переходим к следующей проблеме. Для представления чисел в ЭВМ используется фиксированное число байтов. Соответственно, в наших алгоритмах мы не можем свободно оперировать произвольными рациональными, и тем более, вещественными числами. Мы просто не сможем реализовать такой алгоритм на ЭВМ. В нашем случае порождающая матрица состоит из целых чисел, но при обращении этой матрицы могут возникнуть рациональные числа, представлять которые в памяти ЭВМ проблематично. Вот мы и дошли до того места, когда на сцену выходят знаменитые поля Галуа.

Поля Галуа

Итак, что такое поля Галуа? Начнём опять с поясняющих примеров. Мы все привыкли оперировать (складывать, вычитать, умножать, делить и прочее) с числами – натуральными, рациональными, вещественными. Однако, вместо привычных чисел, мы можем начать рассматривать произвольные множества объектов (конечные и/или бесконечные) и вводить на этих множествах операции, аналогичные сложению, вычитанию и т.д. Собственно говоря, математические структуры типа групп, колец, полей - это множества, на которых введены определенные операции, причем, результаты этих операций снова принадлежат исходному множеству. Например, на множестве натуральных чисел, мы можем ввести стандартные операции сложения, вычитания и умножения. Результатом опять будет натуральное число. А вот с делением все хуже, при делении двух натуральных чисел результат может быть дробным числом.

Поле – это множество, на котором заданы операции сложения, вычитания, умножения и деления. Пример - поле рациональных чисел (дробей). Поле Галуа - конечное поле (множество, содержащее конечное количество элементов). Обычно поля Галуа обозначаются как , где - количество элементов в поле. Разработаны методы построения полей необходимой размерности (если это возможно). Конечным результатом подобных построений обычно являются таблицы сложения и умножения, которые двум элементам поля ставят в соответствие третий элемент поля.

Может возникнуть вопрос – как мы всё это будем использовать? При реализации алгоритмов на ЭВМ удобно работать с байтами. Наш алгоритм может принимать на входе байт исходных данных и вычислять по ним байт избыточных. В одном байте может содержаться 256 различных значений, поэтому, мы можем создать поле и рассчитывать избыточные байт, пользуясь арифметикой полей Галуа. Сам подход к кодированию/декодированию данных (построение порождающей матрицы, обращение матрицы, умножение матрицы на столбец) остаётся таким же, как и прежде.

Хорошо, мы в итоге научились по исходным байтам конструировать дополнительные байт, которые можно использовать при сбоях. Как это всё работает в реальных системах хранения? В реальных СХД обычно работают с блоками данных фиксированного размера (в разных системах этот размер варьируется от десятков мегабайт до гигабайтов). Этот фиксированный блок разбивается на фрагментов и по ним конструируются дополнительные фрагментов.

Процесс конструирования фрагментов происходит следующим образом. Берут по одному байту из каждого из исходных фрагментов по смещению 0. По этим данным генерируется K дополнительных байтов, каждый из который идет в соответствующие дополнительные фрагменты по смещению 0. Этот процесс повторяется для смещения – 1, 2, 3,… После того, как процедура кодирования закончена, фрагменты сохраняются на разные диски. Это можно изобразить следующим образом:

При выходе из строя одного или нескольких дисков, соответствующие потерянные фрагменты реконструируются и сохраняются на других дисках.

Теоретическая часть постепенно подходит к концу, будем надеяться, что базовый принцип кодирования и декодирования данных с использованием кодов Рида-Соломона теперь более или менее понятен. Если будет интерес к данной теме, то в следующих частях можно будет более подробно остановится на арифметике полей Галуа, реализациях алгоритма кодирования/декодирования на конкретных аппаратных платформах, поговорить про техники оптимизации.

Преимущество использования кодов Рида-Соломона заключается в том, что вероятность сохранения ошибок в декодированных данных обычно много меньше, чем вероятность ошибок, если коды Рида-Соломона не используются. Это часто называется выигрышем кодирования.

Пример . Пусть имеется цифровая телекоммуникационная система, работающая с BER (Bit Error Ratio ), равной 10 -9 , т.е. не более 1 из 10 9 бит передается с ошибкой. Такого результата можно достичь путем увеличения мощности передатчика или применением кодов Рида-Соломона (либо другого типа коррекции ошибок). Алгоритм Рида-Соломона позволяет системе достичь требуемого уровня BER с более низкой выходной мощностью передатчика.

Архитектура кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона

Кодирование и декодирование Рида-Соломона может быть выполнено аппаратно или программно.

Арифметика конечного поля Галуа

Коды Рида-Соломона базируются на специальном разделе математики – полях Галуа (GF) или конечных полях. Арифметические действия (+,-, x, / и т.д.) над элементами конечного поля дают результат, который также является элементом этого поля. Кодировщик или декодер РидаСоломона должны уметь выполнять эти арифметические операции. Эти операции для своей реализации требуют специального оборудования или специализированного программного обеспечения.

Образующий полином

Кодовое слово Рида-Соломона формируется с привлечением специального полинома. Все корректные кодовые слова должны делиться без остатка на эти образующие полиномы . Общая форма образующего полинома имеет вид

g(x) = (x – a i)(x – a i+1)...(x – a i+2t)

а кодовое слово формируется с помощью операции

c(x) = g(x).i(x)

где g(x) является образующим полиномом , i(x) представляет собой информационный блок, c(x) – кодовое слово, называемое простым элементом поля.

Пример . Генератор для RS(255, 249)

g(x)= (x – a 0)(x – a 1)(x – a 2)(x – a 3)(x – a 4)(x – a 5) g(x)= x 6 + g 5 x 5 + g 3 x 3 + g 2 x 2 + g 1 x 1 + g 0

Архитектура кодировщика

2t символов четности в кодовом слове Рида-Соломона определяются из следующего соотношения:

Ниже показана схема реализации кодировщика для версии RS(255,249) :

Каждый из 6 регистров содержит в себе символ (8 бит). Арифметические операторы выполняют сложение или умножение на символ как на элемент конечного поля.

Архитектура декодера

Общая схема декодирования кодов Рида-Соломона показана ниже на рис. 4.7 .

Обозначения:

• r(x) – Полученное кодовое слово
• Si – Синдромы
• L(x) – Полином локации ошибок
• Xi – Положения ошибок
• Yi – Значения ошибок
• c(x) – Восстановленное кодовое слово
• v – Число ошибок

Полученное кодовое слово r(x) представляет собой исходное (переданное) кодовое слово c(x) плюс ошибки:

r(x) = c(x) + e(x)

Декодер Рида-Соломона пытается определить позицию и значение ошибки для t ошибок (или 2t потерь) и исправить ошибки и потери.

Вычисление синдрома

Вычисление синдрома похоже на вычисление четности . Кодовое слово Рида-Соломона имеет 2t синдромов , это зависит только от ошибок (а не передаваемых кодовых слов). Синдромы могут быть вычислены путем подстановки 2t корней образующего полинома g(x) в r(x) .

Нахождение позиций символьных ошибок

Это делается путем решения системы уравнений с t неизвестными. Существует несколько быстрых алгоритмов для решения этой задачи. Эти алгоритмы используют особенности структуры матрицы кодов РидаСоломона и сильно сокращают необходимую вычислительную мощность. Делается это в два этапа.

1. Определение полинома локации ошибок.

Это может быть сделано с помощью алгоритма Berlekamp-Massey или алгоритма Эвклида. Алгоритм Эвклида используется чаще на практике, так как его легче реализовать, однако алгоритм Berlekamp-Massey позволяет получить более эффективную реализацию оборудования и программ.

2. Нахождение корней этого полинома. Это делается с привлечением алгоритма поиска Chien.

Нахождение значений символьных ошибок

Здесь также нужно решить систему уравнений с t неизвестными. Для решения используется быстрый алгоритм Forney.

Реализация кодировщика и декодера Рида-Соломона. Аппаратная реализация

Существует несколько коммерческих аппаратных реализаций. Имеется много разработанных интегральных схем, предназначенных для кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона. Эти ИС допускают определенный уровень программирования (например RS(255, k) , где t может принимать значения от 1 до 16).

Программная реализация

До недавнего времени программные реализации в "реальном времени" требовали слишком большой вычислительной мощности практически для всех кодов Рида-Соломона. Главной трудностью в программной реализации кодов Рида-Соломона являлось то, что процессоры общего назначения не поддерживают арифметические операции для поля Галуа. Однако оптимальное составление программ в сочетании с возросшей вычислительной мощностью позволяют получить вполне приемлемые результаты для относительно высоких скоростей передачи данных.