Используя неравенство чебышева оценить вероятность того что. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема. Примеры решенных задач
Добрый день! Я рада приветствовать Вас хорошим настроением и доброй улыбкой!
Мне хотелось бы увидеть и ваше настроение. Улыбнитесь друг другу и пожелайте успеха.
Теперь я ловлю ваши улыбочки.
Мы сегодня вместе с вами
Держим путь в чудо-страну.
Что с собой нам взять? Желанье
И терпения чуть-чуть
Шахматы - игры названье,
В шахматы мы держим путь!
Ну, что ж, в путь!
Помогать вам сегодня будут внимание, сообразительность и дружная работа. Итак: начинаем занятие.
Не забываем и про девиз: «Знаешь- говори, не знаешь –слушай и вникай!»
Сегодняшнее занятие хочется начать со срок стихотворения Фёдора Глинки. Наука
Как в шахматы играть, так в свете должно жить:
И чтоб хождение твоё в нём было прочно,
Смотри, чтоб с умыслом – и даже не нарочно –
На клеточку чужую не ступить.
Ребята, сегодня мы с вами продолжим наше путешествие по удивительной шахматной стране. Но вначале я хочу проверить, хорошо ли вы запомнили, где мы путешествовали и что нового узнали?
Ребята, а сколько полей в самых коротких диагоналях?
Сколько полей в больших диагоналях?
Сколько на доске больших диагоналей?
Сколько на доске самых коротких диагоналей?
Бывают ли черно-белые диагонали?
Сколько полей в центре?
Какую форму имеет центр?
Сколько белых (черных) полей в центре?
- Какие шахматные фигуры вы знаете?
Ребята, вот мы с вами уже знакомы терминами, используемыми в шахматах: поле, центр доски, горизонталь, вертикаль, диагональ. Познакомились с названием шахматных фигур.
А где же эти фигуры должны располагаться на шахматной доске. Может быть в любой позиции? Как вы думаете?
Ребята, а как происходит вбрасывание в хоккее или подача в теннисе?
Все шахматные партии тоже начинаются с одной и той же позиции.
Все 16 белых фигур и 16 чёрных должны занять исходные места перед началом шахматного сражения.
Самое первое, с чего партия начинается - это расстановка фигур на доске. У каждой из них есть свое место.
Доску во время игры ставят так, чтобы ближнее правое угловое поле было белым. Для белых фигур это поле h1, а для черных - а8.
У каждого игрока есть по одному комплекту фигур черного или белого цвета. В комплект входят: король, ферзь, две ладьи, два слона, два коня и восемь пешек. Белые фигуры занимают первый и второй горизонтальные ряды, чёрные - седьмой и восьмой. Основные фигуры располагаются на крайних горизонталях.
Расстановку шахматных фигур на доске запомнить нетрудно:
Прежде чем игру начать,
Много правил надо знать!
Знай, что справа от тебя
Клетка белой быть должна.
Приготовь всё для игры:
По краям поставь ладьи
Рядом конница шагает,
Слон коней тех охраняет.
Вот осталось поля два
Для ферзя и короля.
Пешки – смелые натуры,
Прикрывают все фигуры.
Заняли свои места,
Начинается игра!
Просмотр презентации.
Начальная позиция фигур на шахматной доске такова:
Ребята, существует правило: ферзь любит свой цвет, белый ферзь располагается на поле белого цвета (белому королю достается черное поле), черный ферзь – на черном поле (черный король – на белом). (Это правило дети легко усваивают.)
Расстановка фигур на доске называется позицией, или положением.
Правая сторона доски (считая от играющего белыми) называется королевским флангом (независимо от того, где в дальнейшем будут находиться белый или черный короли). Левая сторона доски (считая от играющего белыми) называется ферзевым флангом (независимо от того, где в дальнейшем очутятся белый или черный ферзи). Четыре поля в середине доски называется центром . Обычно в центре и на смежных полях, очерченных на доске пунктиром, завязывается борьба в начале партии.
Ребята, а сейчас мы проверим, как вы усвоили материал. Поиграем в игры .
"Да и нет". Педагог поднимает над головой две шахматные фигуры и спрашивает у класса, стоят ли эти фигуры рядом в начальной позиции.
Игра "Мяч". Учитель говорит какую-либо фразу о начальном положении, к примеру: "Ладья стоит на угловом поле" и – бросает одному из учеников мяч. Если утверждение верно, то мяч следует ловить.
«Хомка»
Хомка, Хомка хомячок-
Полосатенький бочок.
Хомка раненько встаёт,
Щёчки моет, носик трёт.
Подметает Хомка хатку
И выходит на зарядку.
Раз, два, три, четыре, пять-
Хочет Хомка сильным стать!
1.Кто быстрее расставит начальную позицию (если доска одна на двоих, то одни расставляют белые фигуры, другие чёрные.).
2. Исправь ошибку в расстановке фигур. (Один игрок преднамеренно переставляет фигуры противника, придумывает ошибку. Противник отворачивается. Партнёр должен найти и исправить ошибки в расстановке и назвать эти фигуры).
В конце занятия задаю детям такие вопросы:
1. Сколько в начальном положении на доске белых пешек, ладей, слонов, коней, ферзей, королей? Черных пешек, ладей, слонов, коней, ферзей, королей?
2. Каких фигур на доске больше всего? меньше всего?
3. Какие фигуры стоят на углах доски?
4. Какие фигуры расположены между ладьями и конями?
5. Какие фигуры находятся между слонами и королями?
6. На поле какого цвета стоит черный ферзь? Белый король?
7. На всех ли горизонталях стоят фигуры?
8. На всех ли вертикалях стоят фигуры?
9. На всех ли диагоналях стоят фигуры?
10. Сколько фигур расположено на каждой вертикали?
11. На каких диагоналях стоит больше всего фигуры?
12. Стоят ли в начальном положении в центре?
13. Есть ли диагонали, на которых стоит одна фигура? Две фигуры? Три фигуры? Четыре фигуры? Пять фигуры? (Нет. Есть. Есть. Есть. Нет.)
. Работа над шахматными фигурами. Разучивание стихотворения.
Я смотрю на первый ряд
По краям ладьи стоят.
Рядом вижу я коней
Нет фигуры их хитрей.
Меж коней заключены
Наши славные слоны.
И еще два поля есть
А на них король и ферзь.
А теперь без спешки
Идут на месте пешки.
Узнали, что такое начальное положение?
Учащиеся продолжают начатое высказывание,
Выучить начальное положение фигур.
В рабочей тетради выполнить задание.
Поиграть в игру « Исправь ошибку в расстановке фигур».
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №3
Сопроводительная информация:
Фамилия, имя, отчество учителя Плотникова Ольга Викторовна
Школа, город Ростовская область, г.Донецк, МБОУ СОШ №3
Внеурочное занятие «Шахматная школа»
Класс 1 класс
Форма проведения: кружковое занятие
Тема урока Шахматная нотация
Конспект занятия
Цель занятия:
Научить детей ориентироваться на шахматной доске, осуществлять запись шахматных позиций
Задачи :
Личностные:
Оборудование:
Проекционная система (проектор, экран), компьютер, электронная презентация урока.
Литература:
Книга "Шахматы для детей, родителей и учителей", авторы: Костров Всеволод и Давлетов Джалиль, г.Санкт-Петербург
Разработала:
Плотникова О.В., учитель начальных классов МБОУ СОШ №3 г.Донецка Ростовской области
Ход урока.
Этап урока
1.Отгадайте ребус
Какой шахматный термин зашифрован в ребусе?
Правильно, это термин НОТАЦИЯ.
Кто знает, что обозначает этот термин?
Какая же цель сегодня стоит перед нами? (Узнать, что обозначает термин «Шахматная нотация»)
2.Актуализация знаний.
Послушайте историю, которая произошла однажды в обычной семье. Подумайте, как можно помочь мальчику.
В комнате тихо. Петя и дедушка играют в шахматы. Мама посмотрела на часы и сказала, что Пете пора ложиться спать. Петя не успел доиграть партию с дедушкой и расстроился. Мама сказала: «Не грусти - доиграешь завтра! А сейчас убирай шахматы со стола». «Но я забуду к завтрашнему дню положение фигур. Как же мы с дедушкой продолжим игру?» - спросил Петя.
Можно ли помочь Пете? Как?
Правильно. Надо записать местоположение шахматных фигур на доске. А поможет Пете знание шахматной нотации.
Шахматная нотация - система условных обозначений, применяемых для записи шахматной партии или положения фигур на доске .
3.Формулирование темы урока и постановка целей
Так чему мы будем сегодня учиться на занятии «Шахматной школы»?
Сегодня будем учиться определять и записывать местоположение фигур на шахматной доске.
Какие цели стоят перед нами?
1.Эвристическая беседа «Шахматный город»
Представьте себе шахматный город . Улицами будут вертикали, а домами - горизонтали. Для начала поселим в городе разные фигуры. Назовём, где живёт каждая фигура.
Король живёт на улице «b» в доме № 7.
Ферзь живёт на улице «с» в доме № 4.
Ладья живёт на улице «е» в доме № 5.
Слон живёт на улице «f» в доме № 8.
Конь живёт на улице «g» в доме № 2.
Теперь запишем покороче - на шахматном языке. Приняты такие сокращения:
Кр - Король
С - Слон
Ф - Ферзь
К - Конь
Л - Ладья
п. - пешка
Король и конь начинаются с одной буквы «К» , но в коРРР оле хорошо звучит буква «Р» !
Крb7, Фc4, Лe5, Сf8, Кg2 - позиция на доске записана. Теперь сами запишите положение фигур.
Игра «Шахматный почтальон»
Представьте, что фигуры упали с доски, а шахматному почтальону необходимо доставить письма (упавшие фигуры) по записанным адресам. Берите фигуру, находите нужную улицу и поднимайтесь вверх по ней до нужного дома . Там ставьте фигуру.
(Учитель называет «адреса» фигур, дети расставляют их на шахматной доске)
Старайтесь не перепутать буквы и не «съехать» в сторону при подъёме по вертикали.
Правила шахматной нотации
Для чего надо научиться записывать позицию? Шахматная партия часто продолжается достаточно много ходов. На одном занятие ты можешь не успеть закончить партию. А обыграть своего противника тебе очень хочется. К тому же он почему-то не хочет сдаваться. Что делать?
Необходимо записать позицию своих и чужих фигур, и при этом надо не пропустить ни одной пешечки. Иначе придётся играть без них, и результат партии может измениться.
Чтобы никого не пропустить и правильно записать позицию, надо соблюдать ТРИ важных правила:
Первыми записывают БЕЛЫЕ фигуры, затем ЧЁРНЫЕ. Необходимо записать положение и своих, и чужих фигур - вдруг противник специально «забудет» свою тетрадь.
Записывают фигуры по СТАРШИНСТВУ: Король - ферзь - ладья - слон - конь - пешки.
Если у тебя несколько одинаковых фигур (пешек), то их надо записывать в АЛФАВИТНОМ порядке от «a» к «h».
Давайте попробуем записать эту позицию - она из недоигранной юными шахматистами партии.
Начинаем с белых
:
Крс1, Фf2, Лe1
(первой мы записали именно эту ладью – она по алфавиту ближе к вертикали «а»), Лh1, Ke4
(этот конь ближе к первой горизонтали), Ke6
.
С фигурами, кажется, всё. Что дальше?
Не забудь про пешки, они хоть и маленькие, но тебе пригодятся:
пп.
(буквы «пп.» пишем лишь раз): a3, b2, c2, c5, g3
.
Чёрные фигуры запиши самостоятельно в своей тетрадке, а затем сверь с нашей записью.
Чёрные
: Крg8, Фd8, Ла8, Лf8, Cg4, Cg7
;
пп. b7, c6, f7, g6, h7
.
Несколько полезных советов:
Снимай только записанные фигуры! Записал короля, снял его с доски, затем ферзя, дальше... пока на доске не останется фигур.
Если занятие близится к концу, то оставь пять минут на запись отложенной партии.
Проверь себя. Чаще всего у начинающих встречаются такие ошибки:
путаем Короля и Коня (забываем писать маленькую «р» у короля. Пишем «К» вместо «Кр» );
забываем последовательность и записываем все фигуры в разнобой;
ленимся записать позицию соперника.
Обязательно укажи имена и фамилии противников - кто с кем играл.
Не расстраивайся, если у вас с противником не совпадает запись отложенной партии. Восстановить позицию можно и по ходам!
Конспект открытого занятия на тему: «Права и обязанности шахматистов»
Цель: дать представление о правах и обязанностях игроков.
Задачи:
1) уяснить правила проведения соревнований.
2) узнать права игроков
3) выучить обязанности игроков
Оборудование и материалы:
для учащихся – наборы шахмат, шахматные часы.
для педагога: демонстрационная доска, шахматные часы.
План занятия:
I.Вступительная часть.
Проверка готовности к занятию, эмоциональный настрой на работу, мотивация на общение.
II.Основной этап:
1) Правила проведения соревнований
2) Права игроков.
3) Обязанности шахматистов.
III.Подведение итогов.
I. Вступительная часть.
Добрый день друзья! Шахматы – удивительная игра. Их волшебство покорило разных великих людей всех времен и народов. В шахматы человечество играет уже более тысячи лет, а испытать все грани древней игры и достичь совершенства ещё никому не удалось. Шахматы необыкновенно эмоциональны, они помогают нам погрузиться в волшебный мир, который соединят в себе и спорт, и искусство, и научные идеи. Накал спортивных баталий порой превосходит даже контактные вида спорта. Творческая составляющая позволяет развивать разнообразные грани таланта. Логика и расчёт в комбинациях, спокойствие и усидчивость укрепляют память, развивают воображение, делают шахматиста более организованным и целеустремленным..Сегодня наша совместная работа даст нам возможность почувствовать себя мастерами шахматной игры, узнать права и обязанности игроков.
II. Основной этап
1. Правила проведения соревнований
- Как вы думаете, чему посвящено сегодняшнее занятие? Ответы детей.
- Как проводятся соревнования? Ответы детей.
- Сегодня мы своими узнаем правила, которых будем придерживаться в дальнейших ваших поединках.
У каждого турнира есть положение о проведение соревнования, оно включает в себя:
1.Цели и задачи.
Здесь определяется, для чего проводятся соревнования, они могут быть и тренировочными для закрепления знаний, так и чемпионаты или отборочные, определяющие более сильных для участия в более крупных соревнованиях, и турниры, посвященные каким-либо событиям.
2. Организаторы соревнований.
Определяется кто ответственный за организацию и проведение соревнований.
3. Место и сроки проведения соревнований.
4. Требования к участникам соревнований
Здесь могут быть определён как возрастной состав участников, так и другие требования по составу, размещению, страхованию и т.д.
5. Порядок проведения соревнований.
Определяется система проведения соревнований (круговая, олимпийская, швейцарская и др.)
6. Определение победителей.
Порядок выявления победителей и очерёдность применения дополнительных показаний при равенстве результатов.
Например, при одинаковом количестве очков победитель может быть определён по коэффициенту, по личной встрече, по наибольшему числу побед и т.д.
7. Награждение.
Определяется когда, где и чем будет награждены победители.
8. Финансирование
Определяется ответственный за приобретение призов и вручение победителям.
2. Права игроков.
1. Все шахматисты перед началом соревнований должны находиться в одинаковых условиях.
2. Каждый игрок может остановить часы:
а) для фиксирования результата партии:
- когда король, находящийся под шагом, не может защититься от него –
ему объявляется мат. Игроку, поставившему мат, присуждается победа. А игрок, получивший мат, считается проигравшим.
- Когда игрок отказывается от борьбы и сдаётся.
- Когда противник просрочил время.
- Если оба игрока согласились на ничью.
- Если шахматист, при своей
очереди хода, не может его сделать
ни одной из своих фигур,
при отсутствии шаха, то
такое положение называется «пат»
и партия считается завершившейся вничью.
- При троекратном повторении позиции любой игроков может потребовать зафиксировать ничью.
- Если за последние 50 ходов не было произведено ни одного взятия фигур и движения пешек игрок может потребовать зафиксировать ничью.
- Когда возникает ничейное соотношение сил:
Король против короля
Король и слон против короля
Король и конь против короля
Король и слон против короля
и слона того же цвета.
б) Когда необходимо подозвать судью:
- когда противник нарушает правила: делает невозможный ход, разговаривает, мешает думать и т.д.
- если при превращении пешки, нужна фигура.
Физминутка:
- Пришло время немного размяться:
Повторим ещё разок:
Раз и два - ходят пешки в ряд (ходьба на месте)
Три вводим в бой слонов отряд
На 4 ход коней. (прыжки на месте)
5- рокируемся быстрей (вращение головой)
Мы расслабились чуть-чуть.
А теперь в спортивный путь. (садятся за столы)
3. Обязанности игроков
1.Общие правила поведения за доской:
- Перед началом партии пожмите друг другу руки.
- Играть нужно молча, не спеша.
- Нельзя мешать партнеру думать.
- Нельзя подсказывать игрокам.
- Если выиграл, то нельзя насмехаться над
партнером.
- Если проиграешь, не стоит огорчаться – даже лучшие
шахматисты мира потерпели много поражений.
- По окончании партии нужно обязательно пожать
партнеру руку.
- Все садятся и играют.
2. Правила при ходьбе фигурами:
- Главное правило - если тронул свою фигуру, то ходи ею. Поэтому так часто тренера повторяют: «Сначала подумай – потом ходи»
- Если сходил фигурой и оторвал руку, то ход считается сделанным и переходить нельзя.
- Если же руку не оторвал, то можно пойти на другое поле, но этой же фигурой.
-Если сделал невозможный ход, то другой ход ты должен сделать этой же фигурой. И только если это невозможно тогда другой.
Пример: на диаграмме чёрные сходили Фе1.Это невозможный ход, так как их король под шахом. Теперь чёрные обязаны ходить ферзём, то есть Фе5и проиграть партию.
- Если взялся за фигуру противника, то ты обязан её срубить. Если это невозможно, то сделать любой другой ход.
- В случае необходимости поправить положение какой-либо фигуры, игрок должен при своей очереди хода сказать «Поправляю» и после этого поправить положение фигуры.
- При рокировке сначала перемещается король, а затем перемещается ладья. Если игрок сначала взялся за ладью, он обязан сделать ею ход.
3.Правила при игре с часами:
- Игрок обязан сделать необходимое количество ходов за отведённое время, иначе ему будет засчитано поражение.
- В случае, если оба противника не уложатся в отведённое время, то им присуждается ничья.
- Если у вас просроченное время, но у противника не осталось фигур, кроме короля то партия считается закончившейся вничью.
Пример:
Чёрные просрочили время, но у белых нет фигур, кроме короля – значит исход партии ничья.
- Если у вас просроченное время, но противник не может поставить вам мат никаким известным способом, то результат партии ничья.
Пример:
Чёрные просрочили время, но белые не могут поставить мат без нарушения правил.
3.Подведение итогов занятия.
Сегодня мы познакомились с основными правами и обязанностями игроков, правилами поведения за шахматной доской. Узнали много нового о возможностях ничейных результатов в различных позициях. Всё это позволит вам избегать конфликтных ситуаций, а значит не отвлекаться от партий, находить больше красивых комбинаций и показывать хорошую игру. Спасибо за внимание.
Занятие закончено. До свидания.
Лекция 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Несмотря на то, что заранее нельзя предсказать, какое из возможных значений примет случайная величина в результате опыта, при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин становится закономерным. Иными словами, при очень большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых это может происходить. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел , важнейшей из которых является теорема Чебышева. Для доказательства теоремы Чебышева используется неравенство Чебышева , которое мы сейчас рассмотрим.
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем , т.е.
Пример .
Номинальное значение диаметра втулки равно 5 мм, а дисперсия, из-за погрешностей изготовления, не превосходит 0,01. Оценить вероятность того, что размер втулки будет отличаться от номинала не более чем на 0,5 мм.
Решение:
По неравенству Чебышева
Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения . Например, если мы захотим выяснить, какова вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на 3 среднеквадратических отклонения, то неравенство Чебышева даст нам верхнюю границу этого значения 1/9 @ 0,111. В то же время, например для нормального распределения вероятность такого отклонения намного меньше - 0,0027 (правило трех сигм).
Теорема Чебышева .
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число e, вероятность выполнения неравенства
будет как угодно близка к единице при достаточно большом числе n. Иначе говоря
Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что для достаточно большого числа независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство . Введем в рассмотрение новую случайную величину – среднее арифметическое случайных величин
Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания, получим
Применяя к величиненеравенство Чебышева, имеем
Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим
Так как по условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, то
Таким образом
Подставляя правую часть последнего неравенства в (1) (отчего оно может быть только усилено), получим
Отсюда, переходя к пределу при и учитывая, что вероятность не может превосходить единицы, получим доказательство:
В важном частном случае, когда случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание (обозначим его a) формула, выражающая теорему Чебышева, принимает вид
Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному
постоянному числу
или – в частном случае, к числу . Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются .
Пусть производится процесс измерения некоторой величины. Будем рассматривать результаты каждого измерения как случайные величины . Если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (т.е. величины попарно независимы), а случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание и их дисперсии ограничены, то, применяя теорему Чебышева, получим, что при достаточно большом n среднее арифметическое результатов измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины (математического ожидания a).
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.
Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.
Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно М=np=400Ч0,8=320, а дисперсия D=npq=400Ч0,8Ч0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:
Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра-Лапласа:
Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?
Решение. Пусть i случайное число деталей отличного качества в i-ой коробке, тогда при n=200, p=q=1/2 получим:
Задача 3. Используя условия задачи 1, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.
Решение. По таблице функции Лапласа при условии находим u=3, и следовательно, Sn лежит в пределах, т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100 21.
Задача 3. Используя условия задачи 1, определить, сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества среди них не менее 100.
Решение. Обозначим. Используя нормальное приближение, получаем
Отсюда, а из таблицы 2 и свойств функции Лапласа получаем неравенство. Обозначив, с учетом p=q=1/2, приходим к квадратному неравенству х2 -2,3х-2000, решая которое, получаем n236.
Можно предложить и другой метод. А именно, пусть i - число деталей, которые пришлось перебрать, чтобы найти i-ую деталь отличного качества (включая ее саму). Случайные величины имеют геометрическое распределение с параметром p=1/2. Можем вычислить M=1/p=2, D=(1p)/p2=2. Используя ЦПТ, получаем неравенство
откуда следует n200+14,142,32=232,8 или, округляя, n234.
Результаты получаются близкие, но первый метод более точен и потому предпочтительней. Вторым методом лучше пользоваться, если нужно определить границы, в которых лежит неизвестное число деталей.
Задача 4. Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.
Решение. Переформулируем условие задачи для суммарного дохода: он должен составлять от 950 до 1050 тыс. руб. Используя ЦПТ, получаем:
Задача 5. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов.
Решение. Примем для простоты 1000 часов за единицу времени. Вспомним числовые характеристики показательного распределения: М=, D=. Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием (и оба они здесь равны единице). Переформулируя условие задачи для суммарного срока службы и используя ЦПТ, получаем.