Практическое применение линейного программирования. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Пример отсутствия решения

Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой; более типичным является случай» когда нижняя и верхняя цена - игры различны. Анализируя матрицы таких игр, мы пришли к заключению, что если каждому игроку предоставлен выбор

одной - единственной стратегии., то в расчете на разумно действующего противника этот выбор должен определяться принципом минимакса. Придерживаясь своей максиминной стратегии, мы при любом поведении противника заведомо гарантируем себе выигрыш, равный нижней цене -игры а. Возникает естественный вопрос: нельзя ли гарантировать себе средний выигрыш, больший а, если применять не одну-единственную «чистую» стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий?

Такие комбинированные стратегии, состоящие в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот, в теории игр называются смешанными стратегиями.

Очевидно, каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, в которой все стратегии, кроме одной, применяются с нулевыми частотами, а данная - с частотой 1.

Оказывается, что, применяя не только чистые, но и смешанные стратегии, можно для каждой конечной игры получить решение, т. е. пару таких (в общем случае смешанных) стратегий, что при применении их обоими игроками выигрыш будет равен цене игры, а при любом одностороннем отклонении от оптимальной стратегии выигрыш может измениться только в сторону, невыгодную для отклоняющегося.

Высказанное утверждение составляет содержание так называемой основной теоремы теории игр. Эта теорема была впервые доказана фон Нейманом в 1928 г. Известные доказательства теоремы сравнительно сложны; поэтому приведем только ее формулировку.

Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение (возможно, в области смешанных стратегий).

Выигрыш, получаемый в результате решения, называется ценой игры. Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Очевидно, что цена игры v всегда лежит между нижней ценой игры а и верхней ценой игры :

Действительно, а есть максимальный гарантированный выигрыш, который мы можем себе обеспечить, применяя только свои чистые стратегии. Так как смешанные стратегии включают в себя в качестве частного случая и все чистые, то, допуская, кроме чистых, еще и смешанные

стратегии, мы, во всяком случае, не ухудшаем своих возможностей; следовательно,

Аналогично, рассматривая возможности противника, покажем, что

откуда следует доказываемое неравенство (3.1).

Введем специальное обозначение для смешанных стратегий. Если, например, наша смешанная стратегия состоит в применении стратегий АЛ, с частотами причем будем обозначать эту стратегию

Аналогично смешанную стратегию противника будем обозначать:

где - частоты, в которых смешиваются стратегии

Предположим, что нами найдено решение игры, состоящее из двух оптимальных смешанных стратегий S, S. В общем случае не все чистые стратегии, доступные данному игроку, входят в его оптимальную смешанную стратегию, а только некоторые. Будем называть стратегии, входящие в оптимальную смешанную стратегию игрока, его «полезными» стратегиями.

Оказывается, что решение игры обладает еще одним замечательным свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии 5 (5). то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, независимо от того, что делает другой игрок, если он. только не выходит за пределы своих «полезных» стратегий. Он, например, может пользоваться любой из своих «полезных» стратегий в чистом виде, а также может смешивать их в любых пропорциях.

Докажем это утверждение. Пусть имеется решение игры . Для конкретнрсти будем считать, что оптимальная смешанная стратегия состоит из смеси трех

«полезных» стратегий соответственно состоит из смеси трех «полезных» стратегий

причем Утверждается что если мы будем придерживаться стратегии S, то противник может применять стратегии в любых пропорциях, а выигрыш останется неизменным и по-прежнему будет равен цене игры

Выбор игроком того или иного действия называется ходом . Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока). Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией . Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

Седловая точка

В теории игр С. т. (седловой элемент ) - это наибольший элемент столбца матрицы игры , который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой ). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия .

Теорема о минимаксе

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Функция потерь

Функция потерь – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения между истинным значением оцениваемого параметра и оценкой параметра

Оптимальная Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.

1. Если все элементы строки не больше соответствующих элементов другой строки, то исходная строка может быть вычеркнута из платежной матрицы. Аналогично для столбцов.

2. Цена игры единственна.

Док-во: допустим, что есть 2 цены игры v и , которые достигаются на паре и соответственно, тогда

3. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить одно и то же число, то оптимальные смешанные стратегии не изменятся, а цена игры увеличится на это число.

Док-во:
, где

4. Если все элементы платежной матрицы умножить на одно и то же число не равное нулю, цена игры умножится на это число, а оптимальные стратегии не изменятся.

Описание биматричной игры . Все игры которые были рассмотрены, относились к классу игр с нулевой суммой . Однако ряд конфликтных ситуаций, складывающихся в ходе действий, характерны тем, что выигрыш одной стороны не равен в точности проигрышу другой. Теоретико-игровыми моделями подобных ситуаций являются некооперативные игры с ненулевой суммой. Такие игры называются биматричными , потому что задание каждой такой игры сводится к заданию двух матриц и одинаковой формы: .

Процесс биматричной игры состоит в независимом выборе игроком I числа а игроком II - числа , после чего игрок I получает выигрыш , а игрок II - выигрыш .

Номера строк матриц и назовем чистыми стратегиями игрока I, а номера столбцов этих матриц – чистыми стратегиями игрока II. Тогда пары вида будут являться ситуациями в чистых стратегиях биматричной игры , а числа и - выигрышами I и II игроков в ситуации . Соответственно, распределение вероятностей применения чистых стратегий игрока I - и игрока II - будем называть смешанными стратегиями . Тогда пары вида представляют ситуации биматричной игры в смешанных стратегиях , а числа и являются математическими ожиданиями выигрыша I и II игроков.

Ситуацией равновесия биматричной игры в смешанных стратегиях будем называть такую пару , при которой:

(8.2)

где - математическое ожидание выигрыша игрока I;

Математическое ожидание выигрыша игрока II;

Оптимальная смешанная стратегия игрока I;

Оптимальная смешанная стратегия игрока II.

Задача

Построение и решение биматричной игры . Предположим, что противолодочная подводная лодка страны осуществляет поиск ракетной подводной лодки государства , которая маневрирует в строго определенной части района боевого патрулирования. В остальной части этого района действует противолодочная подводная лодка , которая осуществляет поиск противолодочной подводной лодки . Пусть каждая противолодочная лодка для обнаружения противника может использовать свою гидроакустическую станцию или в активном режиме, включая ее периодически, или только в пассивном режиме, выполняя непрерывный поиск .

Как противолодочная подводная лодка , так и ракетная подводная лодка с обнаружением сигналов гидролокатора может уклониться от противника. Однако периодичность включения гидролокатора делает обнаружение возможным, но недостоверным.

В подобной конфликтной ситуации одним из игроков является противолодочная подводная лодка , а другим - противолодочная подводная лодка .Очевидно, ракетная подводная лодка не может быть игроком, так как она имеет только один способ действий, заключающийся в скрытом маневрировании и выполнении уклонения с обнаружением сигналов гидролокаторов.

Характерным здесь является то, что каждый из игроков преследует разные, но не противоположные цели. Действительно, целью противолодочной подводной лодки является обнаружение ракетной подводной лодки, а целью противолодочной подводной лодки - обнаружение противолодочной подводной лодки . Поэтому для оценки достижения цели каждым из игроков в зависимости от выбранных способов действий (стратегий) необходимо иметь два критерия эффективности и соответственно две функции выигрыша. Тогда моделью подобной конфликтной ситуации будет конечная игра с ненулевой суммой, описываемая двумя матрицами одинаковой формы и , называемая биматричной.

Примем за критерий эффективности противолодочной подводной лодки (игрок I) вероятность обнаружения ракетной подводной лодки , а за критерий эффективности противолодочной подводной лодки (игрок II) – вероятность обнаружения противолодочной подводной лодки . Тогда биматричная игра будет задана матрицей (рисунок 9.a) и матрицей (рисунок 9.b).

Где - использование активного режима;

Использование пассивного режима.

Математические методы и модели в экономике

Матричные игры

Введение

В экономической практике часто возникают ситуации, в которых различные стороны преследуют различные цели. Например, отношения между продавцом и покупателем, поставщиком и потребителем, банком и вкладчиком и т.д. Такие конфликтные ситуации возникают не только в экономике, но в других видах деятельности. Например, при игре в шахматы, шашки, домино, лото и т.д.

Игра – это математическая модель конфликтной ситуации с участием не менее двух лиц, использующих несколько различных способов для достижения своих целей. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока. Игра называется антагонистической, если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Следовательно, для задания игры достаточно задать величины выигрышей одного игрока в различных ситуациях.

Любой способ действия игрока в зависимости от сложившейся ситуации называется стратегией. Каждый игрок располагает определенным набором стратегий. Если число стратегий конечно, то игра называется конечной, в противном случае – бесконечной . Стратегии называются чистыми, если каждый из игроков выбирает только одну стратегию определенным, а не случайным образом.

Решение игры заключается в выборе такой стратегии, которая удовлетворяет условию оптимальности. Это условие состоит в том, что один игрок получает максимальный выигрыш , если второй придерживается своей стратегии. И наоборот, второй игрок получает минимальный проигрыш , если первый из игроков придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными . Таким образом, цель игры – это определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

Игра в чистых стратегиях

Рассмотрим игру с двумя игроками А и В. Предположим, что игрок А имеет m стратегий А 1 , А 2 , …, А m , а игрок В имеет n стратегий B 1 , B 2 , … ,B n . Будем считать, что выбор игроком А стратегии А i , а игроком В стратегии B j однозначно определяет исход игры, т.е. выигрыш a ij игрока А и выигрыш b ij игрока В. Здесь i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Простейшей игрой с двумя игроками является антагонистическая игра, т.е. игра, в которой интересы игроков прямо противоположны. В этом случае выигрыши игроков связаны равенством

b ij =-a ij

Это равенство означает, что выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. В этом случае достаточно рассматривать лишь выигрыши одного из игроков, например, игрока А.

Каждой паре стратегий А i и B j соответствует выигрыш a ij игрока А. Все эти выигрыши удобно записывать в виде так называемой платежной матрицы

Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В. В общем случае такая игра называется (m×n)-игрой.

Пример 1. Два игрока А и В бросают монету. Если стороны монеты совпадают, то выигрывает А , т.е. игрок В платит игроку А некоторую сумму, равную 1, а если не совпадают, то выигрывает игрок В, т.е. наоборот, игрок А платит игроку В эту же сумму, равную 1. Сформировать платежную матрицу.

Решение. По условию задачи

В общем случае V * ≠ V * - седловой точки не существует. Оптимальное решение в чистых стратегиях также не существует. Однако, если расширить понятие чистой стратегии введением понятия смешанной стратегии, то удаётся реализовать алгоритм нахождения оптимального решения не вполне определённой игровой задачи. В такой ситуации предлагается использование статистического (вероятностного) подхода к нахождению оптимального решения антагонистической игры. Для каждого игрока, наряду с данным набором возможных для него стратегий, вводится неизвестный вектор вероятностей (относительных частот), с которыми следует применять ту или иную стратегию.

Обозначим вектор вероятностей (относительных частот) выбора заданных стратегий игрока A следующим образом:
P = (p 1 , p 2 ,…, p m),
где p i ≥ 0, p 1 + p 2 +…+ p m = 1. Величина p i называется вероятностью (относительной частотой) применения стратегии A i .

Аналогично для игрока B вводится неизвестный вектор вероятностей (относительных частот) имеет вид:
Q = (q 1 , q 2 ,…, q n),
где q j ≥ 0, q 1 + q 2 +…+ q n = 1. Величина q j называется вероятностью (относительной частотой) применения стратегии B j . Совокупность (комбинация) чистых стратегий A 1 , A 2 , …A m и B 1, B 2, …B n в сочетании с векторами вероятностей выбора каждой из них называются смешанными стратегиями.

Основной теоремой в теории конечных антагонистических игр является Теорема фон Неймана : каждая конечная матричная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий .
Из этой теоремы следует, что не вполне определённая игра имеет хотя бы одно оптимальное решение в смешанных стратегиях. В таких играх решением будет пара оптимальных смешанных стратегий P * и Q * , таких, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то и другому игроку не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Средний выигрыш игрока A определяется математическим ожиданием:

Если вероятность (относительная частота) применения стратегии отлична от нуля, то такая стратегия называется активной .

Стратегии P * , Q * называются оптимальными смешанными стратегиями, если M A (P, Q *) ≤ M A (P * , Q *) ≤ M A (P * , Q) (1)
В этом случае M A (P * , Q *) называется ценой игры и обозначается через V (V * ≤ V ≤ V *). Первое из неравенств (1)означает, что отклонение игрока A от своей оптимальной смешанной стратегии при условии, что игрок B придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, приводит к уменьшению среднего выигрыша игрока A. Второе из неравенств означает, что отклонение игрока B от своей оптимальной смешанной стратегии при условии, что игрок A придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, приводит к увеличению среднего проигрыша игрока B .

В общем случае подобные задачи успешно решаются этим калькулятором .

Пример .

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку . Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a i) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A 1 .
Верхняя цена игры b = min(b j) = 7. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 2 ≤ y ≤ 7. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы .
В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки и доминирующие столбцы.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях .
Запишем систему уравнений.
Для игрока I
4p 1 +7p 2 +2p 3 = y
7p 1 +3p 2 +p 3 = y
2p 1 +2p 2 +8p 3 = y
p 1 +p 2 +p 3 = 1

Для игрока II
4q 1 +7q 2 +2q 3 = y
7q 1 +3q 2 +2q 3 = y
2q 1 +q 2 +8q 3 = y
q 1 +q 2 +q 3 = 1

Решая эти системы методом Гаусса , находим:

y = 4 1 / 34
p 1 = 29 / 68 (вероятность применения 1-ой стратегии).
p 2 = 4 / 17 (вероятность применения 2-ой стратегии).
p 3 = 23 / 68 (вероятность применения 3-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (29 / 68 ; 4 / 17 ; 23 / 68)
q 1 = 6 / 17 (вероятность применения 1-ой стратегии).
q 2 = 9 / 34 (вероятность применения 2-ой стратегии).
q 3 = 13 / 34 (вероятность применения 3-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (6 / 17 ; 9 / 34 ; 13 / 34)
Цена игры: y = 4 1 / 34