Первообразная 1 cosx в квадрате. Интегрирование тригонометрических функции. Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x

Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x) применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда . Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками.

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

1. Интегралы вида ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2. Интегралы вида ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , где n – целое.
Необходимо использовать формулы

3. Интегралы вида ∫ sin n x·cos m x dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x , если n - нечётное либо t=cos x , если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x . Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫ sin(nx)·cos(mx)dx , ∫ cos(mx)·cos(nx)dx , ∫ sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму

Примеры
1. Вычислить интеграл ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Делаем замену cos(x)=t . Тогда ∫ cos 4 x·sin 3 xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t , получаем

3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t . Подставляя, получаем

Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , и поэтому

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1 . Вычислить интегралы:

Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx) , где R - рациональная функция от sin x и cos x , преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t .
Тогда имеем

Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫ R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:

• Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то применяется подстановка cos x = t .
• Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то подстановка sin x = t .
• Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx , то подстановка tgx = t или ctg x = t .

В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t .
Тогда
Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим
Возвращась к исходной переменной будем иметь

b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫ R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫ sin m x·cos n xdx . В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t . Если нечетно n , следует применить подстановку sin x = t . Если оба показателя тип - четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае


Ответ:

Рассмотрим интегралы от тригонометрических рациональных функций:
,
где R - рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы (поскольку они получаются операциями деления синуса и косинуса). Их, чаще всего, стоит преобразовать через синусы и косинусы.

В зависимости от вида подынтегральной функции, применяют несколько методов интегрирования тригонометрических рациональных функций.

Подстановки t = sin x или t = cos x

Если R(cos x, sin x) умножается на -1 при замене
cos x → - cos x или sin x → - sin x ,
то полезно другую из них обозначить через t .

Так, при подстановке
t = cos x ,
dt = (cos x )′ dx = - sin x dx ,
sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 .

При подстановке
t = sin x ,
dt = (sin x )′ dx = cos x dx ,
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2 .

Подстановка t = tg x

Если R(cos x, sin x) не меняется при одновременной замене
cos x → - cos x и sin x → - sin x ,
то полезно положить tg x = t или ctg x = t .

Пусть t = tg x , тогда
,
,
,
.

Подстановка t = tg(x/2)

Подстановка

во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.

При этом
,
,
,
,
,
.

Итак,
.

Эта подстановка является универсальной и позволяет во всех случаях привести интегралы от тригонометрических рациональных функций к интегралам от рациональных функций. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям, чем предыдущие, если они применимы.

Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x

Часто встречаются интегралы, в которых подынтегральная функция является произведением степенных функций от синуса и косинуса:

При целых m и n подынтегральная функция является тригонометрической рациональной функцией и, для ее интегрирования, применимы перечисленные выше методы. Однако, в виду особенности, существует ряд дополнительных методов, которые, в некоторых случаях, позволяют упростить вычисление таких интегралов.

Примеры

Ниже подробно рассмотрены три примера интегрирования рациональных тригонометрических функций.

Пример 1

Вычислить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрических функций sin x и cos x sin x и cos x .

Заменим cos x на - cos x :

Вся функция умножилась на -1 .

По правилу 1, делаем подстановку:
t = sin x .
Тогда
dt = (sin x)′ dx = cos x dx .

Подставляем в интеграл:

Получили интеграл от рациональной функции (дроби из многочленов). Выделяем целую часть и разложим дробь на простейшие:
.
Интегрируем:

Ответ

Пример 2

Определить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрической функции sin x . Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x .

Заменим sin x на - sin x :

Функция не изменилась.

Заменим cos x на - cos x . Поскольку подынтегральная функция не зависит от cos x , то при этой замене она также не меняется.

Согласно второму правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
t = tg x .
;
;
.
Применим формулу sin 2 x + cos 2 x = 1 и разделим числитель и знаменатель на cos 2 x .
.
Подставляем и раскладываем дробь на простейшие:
.

Ответ

Пример 3

Решить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочлена от тригонометрических функций sin x и cos x . Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x .

Если заменить sin x на - sin x или cos x на - cos x , то функция меняет вид, поэтому правила 1 или 2 не применимы.

Согласно третьему правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
.
;
.
Преобразуем знаменатель, применяя формулы:
,
,
.
.

.

Приводим знаменатель к сумме квадратов:
.

Подставляем:

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.