Опр функции. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение. Дополнительные ограничения на область определения функции

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х. (наз.гипербола)

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= - ∞; + ∞[ .

Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f (x ) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения корня n -й степени

В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если - 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху - это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции с целым показателем степени

если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество 0; + ∞[ .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество - ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x ) - так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k - целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x ) - множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x ) - так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x ) - множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x ) - так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4] .

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Определение
Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений ).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Само отображение f называется характеристикой функции .

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией : .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу - значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус : . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n - целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией . А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией .

Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция - это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!

При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.

Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)

Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.

А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)

Дополнительные ограничения на область определения функции.

Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.

Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.

Например, такое задание:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:

D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:

Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.

Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:

D(f): х ∈ N

Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...

Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...

Мораль: глаза боятся, голова решает!)

Как найти область определения функции? Ученикам средних классов приходится часто сталкиваться с данной задачей.

Родителям следует помочь своим детям разобраться в данном вопросе.

Задание функции.

Напомним основополагающие термины алгебры. Функцией в математике называют зависимость одной переменной от другой. Можно сказать, что это строгий математический закон, который связывает два числа определенным образом.

В математике при анализе формул числовые переменные подменяют буквенными символами. Наиболее часто используют икс («х») и игрек («у»). Переменную х называют аргументом, а переменную у — зависимой переменной или функцией от х.

Существуют различные способы задания зависимостей переменных.

Перечислим их:

1. Аналитический тип.
2. Табличный вид.
3. Графическое отображение.

Аналитический способ представляют формулой. Рассмотрим примеры: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 является типичной для линейной функции. Подставляя в заданную формулу числовое значение аргумента, получаем значение y.

Табличный способ представляет собой таблицу, состоящую из двух столбцов. Первая колонка выделяется для значений икса, а в следующей графе записывают данные игрека.

Графический способ считается наиболее наглядным. Графиком называют отображение множества всех точек на плоскости.

Для построения графика применяют декартовую систему координат. Система состоит из двух перпендикулярных прямых. На осях откладывают одинаковые единичные отрезки. Отсчет производят от центральной точки пересечения прямых линий.

Независимую переменную указывают на горизонтальной линии. Ее называют осью абсцисс. Вертикальная прямая (ось ординат) отображает числовое значение зависимой переменной. Точки отмечают на пересечении перпендикуляров к данным осям. Соединяя точки между собой, получаем сплошную линию. Она являться основой графика.

Виды зависимостей переменных

Определение.

В общем виде зависимость представляется как уравнение: y=f(x). Из формулы следует, что для каждого значения числа х существует определенное число у. Величину игрека, которая соответствует числу икс, называют значением функции.

Все возможные значения, которые приобретает независимая переменная, образуют область определения функции. Соответственно, все множество чисел зависимой переменной определяет область значений функции. Областью определения являются все значения аргумента, при котором f(x) имеет смысл.

Начальная задача при исследовании математических законов состоит в нахождении области определения. Следует верно определять этот термин. В противном случае все дальнейшие расчеты будут бесполезны. Ведь объем значений формируется на основе элементов первого множества.

Область определения функции находится в прямой зависимости от ограничений. Ограничения обусловливаются невозможностью выполнения некоторых операций. Также существуют границы применения числовых значений.

При отсутствии ограничений область определения представляет собой все числовое пространство. Знак бесконечности имеет символ горизонтальной восьмерки. Все множество чисел записывается так: (-∞; ∞).

В определенных случаях массив данных состоит из нескольких подмножеств. Рамки числовых промежутков или пробелов зависят от вида закона изменения параметров.

Укажем список факторов, которые влияют на ограничения:

• обратная пропорциональность;
• арифметический корень;
• возведение в степень;
• логарифмическая зависимость;
• тригонометрические формы.

Если таких элементов несколько, то поиск ограничений разбивают для каждого из них. Наибольшую проблему представляет выявление критических точек и промежутков. Решением задачи станет объединение всех числовых подмножеств.

Множество и подмножество чисел

О множествах.

Область определения выражают как D(f), а знак объединения представлен символом ∪. Все числовые промежутки заключают в скобки. Если граница участка не входит во множество, то ставят полукруглую скобку. В ином случае, когда число включается в подмножество, используют скобки квадратной формы.

Обратная пропорциональность выражена формулой у=к/х. График функции представляет собой кривую линию, состоящую из двух веток. Ее принято называть гиперболой.

Так как функция выражена дробью, нахождение области определения сводится к анализу знаменателя. Общеизвестно, что в математике деление на нуль запрещено. Решение задачи сводится к уравниванию знаменателя к нулю и нахождению корней.

Приведем пример:

Задается: у=1/(х+4). Найти область определения.

1. Приравниваем знаменатель к нулю.
   х+4=0
2. Находим корень уравнения.
   х=-4
3. Определяем множество всех возможных значений аргумента.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Ответ: областью определения функции являются все действительные числа, кроме -4.

Значение числа под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. В этом случае определения функции с корнем сводится к решению неравенства. Подкоренное выражение должно быть больше нуля.

Область определения корня связана с четностью показателя корня. Если показатель делится на 2, то выражение имеет смысл только при его положительном значении. Нечетное число показателя указывает на допустимость любого значения подкоренного выражения: как положительного, так и отрицательного.

Неравенство решают так же, как уравнение. Существует только одно различие. После перемножения обеих частей неравенства на отрицательное число следует поменять знак на противоположный.

Если квадратный корень находится в знаменателе, то следует наложить дополнительное условие. Значение числа не должно равняться нулю. Неравенство переходит в разряд строгих неравенств.

Логарифмические и тригонометрические функции

Логарифмическая форма имеет смысл при положительных числах. Таким образом, область определения логарифмической функции аналогична функции квадратного корня, за исключением нуля.

Рассмотрим пример логарифмической зависимости: y=lоg(2x-6). Найти область определения.

• 2x-6>0
• 2x>6
• х>6/2

Ответ: (3; +∞).

Областью определения y=sin x и y=cos x является множество всех действительных чисел. Для тангенса и котангенса существуют ограничения. Они связаны с делением на косинус либо синус угла.

Тангенс угла определяют отношением синуса к косинусу. Укажем величины углов, при которых значение тангенса не существует. Функция у=tg x имеет смысл при всех значениях аргумента, кроме x=π/2+πn, n∈Z.

Областью определения функции y=ctg x является все множество действительных чисел, исключая x=πn, n∈Z. При равенстве аргумента числу π или кратному π синус угла равен нулю. В этих точках (асимптотах) котангенс не может существовать.

Первые задания на выявление области определения начинаются на уроках в 7 классе. При первом ознакомлении с этим разделом алгебры ученик должен четко усвоить тему.

Следует учесть, что данный термин будет сопровождать школьника, а затем и студента на протяжении всего периода обучения.