Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным. Квадратные уравнения с параметром

Лёгкий танк X1A1 / Х1А2 (Бразилия)

В начале 1970-х годов компания «Бернардини» (Bernardini) в Сан Пауло переделала два американских танка М3А1 «Стюарт» (Stuart), выпущенных еще до Второй мировой войны, в легкие танки для бразильской армии. Суть переделки состояла в изменении конструкции верхней части броневой защиты корпуса, и применении для этого новой катаной брони бразильского производства, замене бензинового звездообразного 7-цилиндрового двигателя на 6-цилиндровый дизель мощностью 206 кВт (280 л.с.) фирмы «Сааб-Сканиа» (Saab-Scania), использовании новой подвески и новой башни с 90-мм французской пушкой DEFA D-921А и новой системой управления огнем, разработанной компанией DF Vasconcelos. При этом была сохранена общая компоновка машин, особенностью которой является расположение силовой установки в корме, а трансмиссии в передней части корпуса. Между собой они соединяются карданным валом.

Успешные испытания этих двух образцов послужили основанием для переделки 100 танков М3А1 и поставки их в кавалерийские полки бразильской армии под индексом X1. Поставки были завершены в 1974 г.
Машина имела массу 15 т, запас хода по дорогам 450 км и могла без подготовки преодолевать брод глубиной до 1 м.
Дальнейшее совершенствование танка привело к созданию модификации X1А1 «Каркара» (Сагсага), отличающейся длиной корпуса и измененной ходовой частью (дополнительный узел подвески, новые направляющие колеса). Башня, силовая установка и трансмиссия остались неизменными. Испытания были завершены в 1978 г., но армия не сделала заказа на эту машину и поэтому она предлагалась только на экспорт. Последующие разработки привели к созданию модификации Х1А2, которая ориентирована скорее на новое шасси, чем на модернизированное шасси М3А1.
Производство танка X1 прекращено, при поступлении заказов на Х1А1 его выпуск может быть организован в короткие сроки.

Модификации
Легкий танк М3/М3А1 Парагвая. В 1979 — 1980 годах компания «Бернардини» выпустила партию легких танков для парагвайской армии. Эти машины представляют собой шасси X1А1, на котором установлена башня старого американского танка М3А1 с 37-мм пушкой.
Зенитная установка. В 1984 г. был разработан образец самоходной зенитной установки, на которой использовался дизель Saab-Scania мощностью 158 кВт (215 л.с.), но сохранялась подвеска танка М3А1. На корпусе сверху монтировалась зенитная счетверенная установка 12,7-мм пулеметов.
120-мм самоходный миномет. Машина создана в 1984 г. с использованием агрегатов и узлов танка X1, однако она имеет оригинальный корпус, компоновку с передним расположением МТО, 6-цилиндровый дизель «Мерседес-Бенц» мощностью 132 кВт (180 л.с.). Посадка и высадка экипажа, состоящего из 3 человек, производится через откидную аппарель в корме корпуса. Для самообороны имеется 12,7-мм пулемет.
Мостоукладчик ХРL-10. Мостоукладчик разработан на базе X1А1. Мостовая конструкция изготовлена из стали и алюминиевого сплава, имеет массу 2750 кг, длину 10 м и максимальную грузоподъемность 20 т
Бронированная ремонтно-эвакуационная машина. Образец БРЭМ был собран для испытаний в 1984 г. На нем используется дизель «Мерседес-Бенц» мощностью 132 кВт (180 л.с.), но ходовая часть легкого танка X1А2. В машине установлена гидравлическая лебедка для эвакуационных работ, на левой стороне крыши размещен гидравлический подъемный кран. Масса машины 10 т, максимальная скорость движения 55 км/ч.

В период с 1979 по 1983 г. компанией «Бернардини» было выпущено 50 танков Х1А2 для бразильской армии. Военное название этого танка МВ-2. Был разработан, но не доведен до стадии опытного образца вариант танка X1А3, основным отличием которого была автоматическая трансмиссия. В связи с отсутствием заказа от армии на танк X1А2 его производство более не осуществлялось, но при возникновении потребности оно может быть восстановлено.

Измеритель амплитудно-частотных характеристик Х1-19А

Также этот прибор может называться: Х119А, Х1 19А, x1-19a, x119a, x1 19a.

Х1-19А измеритель амплитудно-частотных характеристик предназначен для визуального наблюдения, измерения и исследования амплитудно-частотных характеристик четырехполюсников в собственном двухканальном импликаторе.

Сфера применения: для эксплуатации в лабораторных и цеховых условиях.

Технические характеристики Х1-19А:

Диапазон частот - от 0,5 МГц до 1000 МГц.

Поддиапазоны:

I - от 0,5 МГц до 100 МГц;

II - от 100 МГц до 200 МГц;

III - от 200 МГц до 300 МГц;

IV - от 300 МГц до 400 МГц;

V - от 400 МГц до 1000 МГц.

Запас по перекрытию между поддиапазонами - не менее 10 МГц.

Максимальная полоса качания:

От 0,5 МГц до 400 МГц - не менее 100 МГц;

От 400 МГц до 1000 МГц - не менее 12% от центральной частоты.

Минимальная полоса качания прибора Х1-19А:

От 0,5 МГц до 400 МГц - не более 0,5 МГц;

От 400 МГц до 1000 МГц - не более 0,2% от центральной частоты.

Ширина полосы качания измерителя регулируется плавно.

Выходное напряжение ГКЧ при нагрузке 75 Ом - 500±125 мВ.

Предел регулирования ГКЧ - 70 дБ (ступенями через1 дБ; 10 дБ).

Погрешность деления аттенюатора через 1 дБ:

До 400 МГц - ±0,4 дБ;

До 1000 МГц - ±0,6 дБ.

Погрешность деления аттенюатора через 10 дБ:

До 400 МГц - (±0,5+0,01A) дБ;

До 1000 МГц - (±0,8+0,05A) дБ, где A - вводимое ослабление.

Неравномерность собственной амплитудно-частотной характеристики

Максимальная полоса качания Х1-19А :

До 5 МГц - не учитывается;

До 400 МГц - не более ±0,4 дБ;

До 1000 МГц - ±0,8 дБ.

Полоса качания до 10 МГц:

От 2 МГц до 10 МГц - не более 0,1 дБ/МГц;

От 10 МГц до 400 МГц - не более 0,02 дБ/МГц;

От 400 МГц до 1000 МГц - не более 0,03 дБ/МГц.

Неравномерность уровня выходного напряжения ГКЧ при нагрузке 75 Ом:

До 400 МГц - не более ±0,8 дБ;

До 1000 МГц - не более ±1,2 дБ.

Неравномерность при размахе напряжения на входе КВО не менее 0,5 В - не менее 0,2%.

Внутренние частотные метки - через 1 МГц, 10 МГц, 50 МГц.

Размер меток, при напряжении генератора 0,1 В - не менее 3 мм.

Погрешность частоты на импликаторе Х1-19А:

Кварцевые метки, кратные 1 МГц и 10 МГц - (3·10 -4 i+5·10 -3 F+0,03) МГц;

Кварцевые вспомогательные метки, кратные 50 МГц - (3·10 -3 i+5·10 -3 F+0,03) МГц, де F - полоса качания; i - частота метки.

Погрешность частоты с помощью частотных меток кратных 1 МГц:

От 1 МГц до 10 МГц - ±(3·10 -4 i+0,5·F) МГц;

От 10 МГц до 50 МГц - ±(3·10 -4 i+0,5) МГц.

Погрешность частоты с помощью частотных меток кратных 10 МГц - ±(3·10 -4 i+2,5) МГц.

Погрешность шкалы частот от 400 МГц до 1000 МГц - ±5·10 -2 .

Отклонения частотного масштаба измерителя Х1-19А - не более ±10%.

Период качания частоты измерителей - 0,02 с.

Выходное сопротивление ГКЧ - 75 Ом±10%.

КСВН Х1-19А, при ослаблении 10 дБ:

До 400 МГц - не более 1,1;

До 800 МГц - не более 1,35;

До 1000 МГц - не более 1,5.

КСВН, при ослаблении до 10 дБ:

До 400 МГц - не более 1,2;

До 800 МГц - не более 1, 5;

До 1000 МГц - не более 2.

До 10 МГц - (-20 дБ);

От 10 МГц до 100 МГц - (-26 дБ);

От 100 МГц - (-30 дБ).

Кратковременная нестабильность частоты измерителей Х1-19А не превышает:

За 5 мин - 1·10 -2 от максимальной частоты поддиапазона;

За 3 мин - 0,2F, где F - полоса качания.

Степень запирания ГКЧ - не менее 70 дБ (от 0,5 МГц до 100 МГц - не менее 30 дБ).

Внешняя амплитудная модуляция приборов измерители Х1-19А :

Частота - от 30 Гц до 5000 Гц;

Глубина - 30%;

Амплитуда моделирующего напряжения - не более 2 В.

Чувствительность по КВО:

Частота400 Гц - 25 мм/мВ;

При роботе с встроенной проходной головкой (выносными головками; изображение - 150 мм) - 50 мВ.

Величина фона и уровень шумов усилителей прибора Х1-19А - не более 12 мм.

Амплитудно-частотная характеристика КВО на уровне 0,7 по АМ:

Без детектора и с выносным согласованным детектором- от 3 Гц до 5000 Гц;

Выносная высокоомная детекторная головка - от 3 Гц до 3000 Гц.

Выходное сопротивление КВО - не менее 400 кОм.

Входная емкость - не более 100 пФ.

Отклонение амплитудной характеристики КВО (детекторная головка):

Не более ±3% от линейного закона;

Не более ±15% от квадратичного закона, при входном напряжении до 50 мВ;

Не более ±15% от линейного закона, при входном напряжении более 50 мВ.

КСВН нагрузки измерителя АЧХ Х1-19А - не более 1,2.

КСВН согласованной детекторной головки:

До 400 МГц - не более 1,1;

От 400 МГц - 1,25.

Входная емкость высокоомных выносных детекторных головок - не более 4 пФ.

Входное сопротивление на частоте 100 МГц - не менее 5 кОм.

Испытательное напряжение Х1-19А на изоляцию - 0,75 кВ эфф. переменного тока/мин.

Сопротивление изоляции - не менее 100 МОм.

Время самопрогрева измерителей - 15 мин.

Регулирование чувствительности усилителей - плавно потенциометром; ступенчато1:1, 1:5, 1:10, 1:100 делителем.

Погрешность делителя - ±1 дБ.

Рабочая часть экрана - 200×150 мм.

Толщина сфокусированной линии - не более 1,5 мм.

Режим работы Х1-19А - непрерывный в течении 8 ч.

Габаритные размеры - 494×385×620 мм (с упаковкой - 880×1000×1230 мм).

Масса - не более 50 кг; (с упаковкой - 120 кг).

Среднее время безотказной роботы - не менее 700 ч.

Условия эксплуатации Х1-19А:

Температура окружающей среды - от 10° С до 35° С.

Относительная влажность, при температуре 30° С - до 80%.

Атмосферное давление - 100±4 кПа (750±30 мм рт.ст.).

Питание Х1-19А:

Напряжение - 220±22 В;

Частота - 50±0,5 Гц;

Гармоник - 5%.

Мощность измерителя - не более 300 В·А.

Напряжение радиопомех измерителей АЧХ Х1-19А:

От 0,5 мГц до 2,5 МГц - 74 дБ;

От 2,5 МГц до 30 МГц - 66 дБ.

Напряженность поля радиопомех (от 30 МГц до 300 МГц) - не более 46 дБ.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

Крамор В.С . Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И . Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.

Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.

Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.

Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.

Журналы “Математика в школе”.

Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.

{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

1. Решите уравнение: 2а(а − 2)х = а − 2.

Решение: Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в ноль. Такими значениями являются: а = 0 и а = 2. Эти значения разбивают множество значений параметра на три подмножества:

3) а ≠ 0, а ≠ 2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а = 0 уравнение принимает вид 0 · х = −2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а = 2 уравнение принимает вид 0 · х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из уравнения получаем:

Ответ:

1) если а = 0, то корней нет;

2) если а = 2, то х - любое действительное число;

2. Решите уравнение: (а 2 − 2а + 1) · х = а 2 + 2а − 3.

Решение: Находим контрольные значения параметра а: а 2 − 2а + 1 = 0, а = 1.

Множество значений параметра разбивается на два подмножества:

Решим уравнение на каждом из них.

1) а = 1; 0 · х = 0, х ε R.

Ответ:

1) если а = 1, то х ε (−∞; +∞);

2) если а ≠ 1, то х = (а + 3) ÷ (а − 1).

3. Решите уравнение:

Решение: Освободимся от знаменателя в уравнении, для этого умножим обе его части на а(а − 2) ≠ 0.

3а − 2 + ах − а + 2а − 4 = 0

х(3 + а) = 6 − а

Контрольными значениями будут: а = 0, а = 2, а = −3.

Рассмотрим решение уравнения на подмножествах:

1) а = 0. Уравнение не имеет решений.

2) а = 2. Уравнение не имеет решений.

3) а = −3. х·0 = 6 + 3 = 9, х ε Ø.

Ответ: Ø при а = −3, а = 0, а = 2;

4. При всех значениях параметра а решите уравнение:

Решение: Разобьем числовую прямую на ряд промежутков нулями: х = −2, х = 4 и рассмотрим решение уравнения на каждом из них.

1) х < −2;

2) −2 ≤ х < 4

1) х < −2.

−х − 2 − ах + 4а = 6

х(а + 1) = 4а − 8

а) а + 1 = 0, а = −1, 0 · х = −12; нет решений.

б) а + 1 ≠ 0, а ≠ −1,

Поскольку х < −2, то

Решим полученное неравенство методом интервалов.

Его решение: −1 < а < 1.

Итак, при −1 < а < 1

2) −2 ≤ х ≤ 4, х + 2 − ах + 4а = 6, х(1 − а) = 4 − 4а.

а) Если а = 1, то х · 0 = 0; х - любое действительное число, но так как −2 ≤ х ≤ 4, то при а = 1 −2 ≤ х ≤ 4.

б) Если а ≠ 1, то х = 4(1 − а) ÷ (1 − а) = 4.

х + 2 + ах − 4а = 6

х(а + 1) = 4 + 4а

а) а + 1 = 0, а = −1, х · 0 = 0, х - любое. Поскольку х ≥ 4, то при а = −1 х ≥ 4.

б) а + 1 ≠ 0, а ≠ −1, х = 4.

Ответ:

х = 4 при а < −1;

х ≥ 4 при а = −1;

х 1 = 4, х 2 = (4а − 8) ÷ (а + 1) при −1 < а < 1;

−2 ≤ х ≤ 4 при а = 1;

х = 4 при а > 1.

{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}