Допустимые значения функции. Значение. Темы для рефератов

1). Вопрос о происхождении героического эпоса - один из сложных в литературоведческий науке - породил целый ряд различных теорий. Выделятся среди них две: ""традиционализм"" и "антитрадиционализм". Основы первой из них заложил французский медиевист Гастон Парис (1839-1901 гг.) в своей капитальной работе "Поэтическая история Карла Великого" (1865 г.). Теория Гастона Париса, получившая название "теории кантилен", сводится к следующим главным положениям. Первоосновой героического эпоса явились небольшие лирико-эпические песни-кантилены, широко распространенные в VIII в. Кантилены были непосредственным откликом на те или иные исторические события. В течение сотни лет кантилены существовали в. устной традиции, а с Х в. начинается процесс их слияния в крупные эпические поэмы. Эпос - продукт длительного коллективного творчества, высочайшее выражение духа народа. Поэтому единого творца эпической поэмы назвать невозможно, сама же запись поэм - процесс скорее механический, чем творческий,

Позиции "традиционалистов" и "антитрадиционалистов"" в определенной степени сближал в своей теории о происхождении героического эпоса Александр Николаевич Веселовский. Суть его теории в следующем. Началом эпического творчества явились небольшие песни - лирико-эпические кантилены, рожденные как отклик на события, взволновавшие народное воображение. Спустя время отношение к событиям, излагаемым в песнях, становится спокойнее, острота эмоций утрачивается и тогда рождается эпическая песня. Проходит время, и песни, в том или ином отношении близкие друг другу, складываются в циклы. И наконец цикл превращается в эпическую поэму. Пока текст бытует в устной традиции, он - создание коллектива. На последней же стации формирования эпоса решающую роль играет отдельный автор. Запись поэм не механический акт, а глубоко творческий.

Основы теории Веселовского сохраняют свое значение и для современной науки (В. Жирмунский, Е. Мелетинский), которая также относит возникновение героического эпоса к VIII в., считая, что эпос есть создание как устного коллективного, так и письменно-индивидуального творчества.

Корректируется лишь вопрос о первоосновах героического эпоса: ими принято считать исторические предания и богатейший арсенал образных средств архаического эпоса.

Начало формирования героического (или государственного) эпоса не случайно относят к VIII в. После падения Западной Римской империи (476 г.) в течение ряда веков происходил переход от рабовладельческих форм государственности к феодальным, а у народов Северной Европы - процесс окончательного разложения патриархально-родовых отношений. Качественные изменения, связанные с утверждением новой государственности, определенно дают о себе знать в VIII в. В 751 г. один из крупнейших феодалов Европы Пипин Короткий становится королем франков и основателем династии Каролингов. При сыне Пипина Короткого - Карле Великом (годы правления: 768-814) образуется огромное по территории государство, включающее в себя кельто-романско-германское население. В 80б г. папа коронует Карла титулом императора вновь возрожденной Великой Римской империи. В свою очередь Кара завершает христианизацию германских племен, а столицу империи г. Ахен стремится превратить в Афины. Становление нового государства было трудным не только из-за внутренних обстоятельств, но и из-за внешних, среди которых одно из главных мест занимала неутихающая война франков-христиан и арабов-мусульман. Так история властно вошла в жизнь средневекового человека. А сам героический эпос стал поэтическим отражением исторического сознания народа.

Обращенность к истории определяет решающие черты отличия эпоса героического от эпоса архаического, Центральные темы героического эпоса отражают важнейшие тенденции исторической жизни, появляется конкретный исторический» географический, этнический фон, устраняются мифологические и сказочные мотивировки. Правда истории теперь определяет правду эпоса.

У героических поэм, созданных разными народами Европы, много общего. Объясняется это тем, что художественному обобщению подверглась сходная историческая действительность; сама же эта действительность осмысливалась с точки зрения одинакового уровня исторического сознания. К тому же средством изображения служил художественный язык, имеющий общие корни в европейском фольклоре. Но вместе с тем в героическом эпосе каждого отдельного народа много неповторимых, национально-специфических черт.

Наиболее значительными из Героических поэм народов Западной Европы считаются: французская - "Песнь о Роланде", немецкая - "Песнь о нибелунгах", испанская - "Песнь о моем Сиде". Три эти великие поэмы позволяют судить об эволюции героического эпоса: "Песнь о нибелунгах" содержит целый ряд архаических черт, "Песнь о моем Сиде" являет эпос на его исходе, "Песнь о Роланде" - миг его высшей зрелости.

2) ОБЩИЕ ЧЕРТЫ ГЕРОИЧЕСКОГО ЭПОСА

В период Зрелого Средневековья продолжается развитие традиций народно-эпической литературы. Это один из существенных этапов ее истории, когда героический эпос стал важнейшим звеном средневековой книжной словесности. Героический эпос Зрелого Средневековья отразил процессы этнической и государственной консолидации и складывающиеся сеньериально-вассальные отношения. Историческая тематика в эпосе расширилась, потеснив сказочно-мифологическую, увеличилось значение христианских мотивов и усилился патриотический пафос, была разработана большая эпическая форма и более гибкая стилистика, чему способствовало некоторое отдаление от чисто фольклорных образцов. Однако все это привело к известному обеднению сюжета и мифопоэтической образности, поэтому впоследствии рыцарский роман вновь обратился к фольклорной фантастике. Все эти особенности нового этапа в истории эпоса тесно связаны между собой внутренне. Переход от эпической архаики к эпической классике, в частности, выразился в том, что эпосы народностей, достигших ступени отчетливой государственной консолидации, отказались от языка мифа и сказки и обратились к разработке сюжетов, взятых из исторических преданий (продолжая все же использовать, разумеется, и старые сюжетные и языковые клише, восходящие к мифам).

Родо-племенные интересы были оттеснены интересами национальными, пусть еще в зачаточной форме, поэтому во многих эпических памятниках мы находим ярко выраженные патриотические мотивы, связанные часто с борьбой с иноземными и иноверными завоевателями. Патриотические мотивы, как это специфично для Средневековья, частично выступают в форме противопоставления христиан «неверным» мусульманам (в романских и славянских литературах).

Как сказано, эпос на новом этапе изображает феодальные усобицы и сеньериально-вассальные отношения, но в силу эпической специфики вассальная верность (в «Песни о Нибелунгах», «Песни о Роланде», «Песни о моем Сиде»), как правило, сливается с верностью роду, племени, родной стране, государству. Характерная фигура в эпосе этого времени - эпический «король», власть которого воплощает единство страны. Он показан в сложных отношениях с главным эпическим героем - носителем народных идеалов. Вассальная верность королю сочетается с рассказом о его слабости, несправедливости, с весьма критическим изображением придворной среды и феодальных раздоров (в цикле французских поэм о Гильоме Оранжском). В эпосе отражены и антиаристократические тенденции (в песнях о Дитрихе Бернском или в «Песни о моем Сиде»). В эпико-героические произведения XII-XIII вв. проникает уже порой и влияние куртуазного (рыцарского) романа (в «Песни о Нибелунгах»). Но даже при идеализации куртуазных форм быта эпос в основном сохраняет народно-героические идеалы, героическую эстетику. В героическом эпосе проявляются и некоторые тенденции, выходящие за пределы его жанровой природы, например, гипертрофированная авантюрность («Рауль де Камбре» и др.), материальные мотивировки поведения героя, терпеливо преодолевающего неблагоприятные обстоятельства (в «Песни о моем Сиде»), драматизм, доходящий до трагизма (в «Нибелунгах» и в «Песни о Роланде»). Эти разнообразные тенденции свидетельствуют о скрытых возможностях эпического рода поэзии, предвосхищают развитие романа и трагедии.

Стилистические особенности эпоса теперь во многом определяются отходом от фольклора и более глубокой переработкой фольклорных традиций. В процессе перехода от устной импровизации к рецитации по рукописям появляются многочисленные enjambements, т. е. переносы из стиха в стих, развивается синонимия, увеличивается гибкость и разнообразие эпических формул, иногда уменьшается число повторов, становится возможной более четкая и стройная композиция («Песнь о Роланде»).

Хотя широкая циклизация знакома и устному творчеству (например, в фольклоре Средней Азии), но в основном создание эпических произведений большого объема и их сложение в циклы поддерживается переходом от устной импровизации к рукописной книге. По-видимому, книжность способствует и зарождению «психологической» характеристики, а также интерпретации героического характера в плане своеобразной трагической вины. Однако взаимодействие фольклора и книжной словесности активно продолжается: в сочинении и особенно исполнении многих произведений эпоса велико участие в этот период шпильманов и жонглеров.

6) Одним из самых замечательных памятников средневековой литературы считается эпическое сказание французского народа - "Песнь о Роланде".

Незначительный исторический факт лег в основу этой героической эпопеи и со временем, обогатившись рядом позднейших событий, помог широкому распространению сказаний о Роланде, о войнах Карла Великого во многих литературах Западной Европы.

В "Песни о Роланде" отчетливо выражена идеология феодального общества, в котором верное служение вассала своему сюзерену было неприкасаемым законом, а нарушение его считалось предательством и изменой. Однако черты мужественной стойкости, воинской доблести, бескорыстной дружбы и вдумчивого отношения к происходящему не получили в поэме, как и в замечательном памятнике творчества русского народа "Слово о полку Игореве", сословно-феодальной приуроченности; напротив, эти убедительные свойства доблестных защитников родины - военачальников-пэров и их вассалов, воспринимались как типические, общенародные. Еще в большей степени признанию и сочувствию со стороны широких народных масс способствовали мысли о защите отечества, о позоре и опасности поражения, которые красной нитью проходят через всю поэму.

Определение
Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений ).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Само отображение f называется характеристикой функции .

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией : .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу - значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус : . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n - целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией . А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией .

Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция - это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

Например: y=x+1

2) Функция монотонно убывает при k < 0 .

Например: y=-x+1

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Например: y=-1

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число

D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .

Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

Например: y=\frac{1}{x}

2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Например: y=-\frac{1}{x}

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х. (наз.гипербола)

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= }