Рис. 10. Временные параметры событий

Расчет ранних сроков свершения событий начинается с первого события к последнему (слева направо). Максимальная продолжительность среди путей, ведущих от исходного события до j-го:

t P j = t(L Ij). (1)

Максимальное время завершения всех k работ, входящих в j-е событие:

t P i = ( + ). (2)

Для исходного события ранний срок свершения события t P I = 0, для завершающего события t P J = t кр.

Расчет поздних сроков свершения событий начинается с последнего события до начального (справа налево). Разность между длительностью критического пути и максимальным из путей, ведущих от i-го события до завершающего:

t ni = t кр - t(L iJ). (3)

Минимальная разница между поздними сроками свершения последующих событий для всех k работ, выходящих из i-го события и длительностью этих работ:

t n i = ( + ). (4)

Поздний срок свершения завершающего события t nJ = t PJ = t кр.

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление данного события, не увеличивая при этом срок выполнения всего комплекса работ:

R i = t ni - t pi . (5)

События критического пути имеют нулевой резерв времени.

Определим временные параметры событий непосредственно на сетевом графике (рис. 11).

Рис. 11. Расчет временных параметров событий

Расчет ранних сроков свершения событий начинается слева направо, от первого события до десятого. К раннему сроку свершения предшествующего события (левый сектор) прибавляется продолжительность последующей работы, получаем ранний срок свершения последующего события. Если в событие входят несколько работ, то ранний срок его свершения определяется по максимуму, то есть событие не произойдет, пока не завершатся все эти работы.

Расчет поздних сроков свершения событий начинается справа налево, от десятого события к первому. Из позднего срока свершения последующего события (правый сектор) вычитается продолжительность предшествующей работы, получаем поздний срок свершения предшествующего события. Если из предшествующего события входят несколько работ, то поздний срок его свершения определяется по минимуму, то есть из всех возможных значений позднего срока свершения выбирается минимальное.

Результаты расчета представлены в табл. 2.

Таблица 2

№ события	Сроки свершения события	Резерв события (R i)
t pi	t ni

Расчет временных параметров работ

Для иллюстрации расчетов рассмотрим следующее графическое построение (рис. 12).

Рис. 12. Временные параметры работ и событий

Поздний срок начала работы t n н ij:

t n н ij = t nj - t ij . (9)

Полный резерв времени работы R nij показывает, насколько можно увеличить время выполнения данной работы, не изменяя окончательного срока выполнения комплекса работ:

R nij = t nj - t pi - t ij . (10)

Частный резерв времени работы (R ч ij) – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в допустимо поздний срок ее окончания:

R ч ij = t nj - t ni - t ij , (11)

R ч ij = t nij - R i . (12)

Свободный резерв времени работы R с ij – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в ранний срок свершения ее последующего события:

R с ij = t pj - t pi - t ij , (13)

R с ij = t nij - R j . (14)

Независимый резерв времени работы R н ij – это часть полного резерва, которая используется на увеличение продолжительности только данной работы, при этом все предшествующие работы могут заканчиваться в свои поздние сроки, а все последующие – в ранние:

R н ij = t pj - t ni - t ij , (15)

R н ij = R nij - R i - R j . (16)

Использование независимого резерва не влияет на величину резерва времени других работ.

Частные случаи при расчете резервов:

1. Если на критическом пути лежит событие i, то из выражения (12) следует

R i = 0; R nij = R ч ij .

2. Если на критическом пути лежит событие j, то из выражения (14) следует

R j = 0; R nij = R cij .

3. Если на критическом пути лежат и событие i и событие j, но сама работа не принадлежит критическому пути, то для этой работы все резервы равны

R i = 0; R j = 0; R nij = R ч ij = R cij = R н ij .

Коэффициент загруженности работы К з.

Результаты расчета временных параметров работ представлены в табл. 3.

Таблица 3

Код работы i - j	Длительность работы, t ij	Сроки работы	Резервы времени	Коэффициент загруженности, К з
t рн	t ро	t nн	t no	R n	R ч	R с	R н
1 – 2
2 – 3
2 – 4										0,5
2 – 5										0,23
3 – 5
3 – 6
4 – 6
4 – 9										0,34
5 – 8										0,58
6 – 7
7 – 8
8 – 9
9 – 10

Сетевое планирование в условиях неопределенности

В случаях, когда время выполнения работ точно не известно, то есть продолжительность работы является случайной величиной, для ее определения, на основе экспертного опроса даются три временные характеристики (оценки времени выполнения работ):

1. Оптимистическая (минимальная) оценка t oij .

2. Пессимистическая (максимальная) оценка t nij .

3. Наиболее вероятная оценка t н.в ij .

Тогда среднее (ожидаемое) время выполнения работы определяется выражением

t o ж ij = ,

или, если известны только крайние оценки:

Тема 2. Элементы теории массового обслуживания

Основные понятия теории массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания (ТМО) являются процессы, в которых, с одной стороны, возникают запросы на выполнение каких-либо работ или услуг, а с другой стороны – производится удовлетворение этих запросов. Такие процессы реализуются в системах массового обслуживания (СМО).

Та часть СМО, в которой возникают запросы, называется обслуживаемой подсистемой, а та часть СМО, которая принимает запросы и удовлетворяет их, называется обслуживающей подсистемой.

Каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы называется заявкой , или требованием . Часть обслуживаемой подсистемы, которая в любой момент времени может послать только одно требование, называется источником требования , или объектом обслуживания . Обслуживанием называется удовлетворение поступившего в обслуживающую подсистему требования. Часть обслуживающей подсистемы, которая способна в любой заданный момент времени удовлетворять только одно требование, называется обслуживающим аппаратом . Обслуживающая подсистема – это совокупность однородных обслуживающих аппаратов (контролеров, наладчиков, рабочих, оборудования).

Прикладные задачи ТМО сводятся к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на обслуживание требований и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя были бы минимальными.

Поток требований – это последовательность возникающих во времени требований. Различают входящий и выходящий потоки и требований. По характеру потоки требований могут быть регулярными и стохастическими (вероятностными). В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от случайных факторов, т.е. и число требований, поступающих в систему в единицу времени, и интервал между требованиями – случайные величины.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания в единицу времени, называется интенсивностью поступлений (l) и определяется по формуле

где - среднее значение интервала между поступлениями очередных требований.

СМО с простейшими потоками требований обладают следующими свойствами: стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия.

Стационарным называется поток, характер которого с течением времени не меняется.

Ординарным называется такой поток, в котором в любой момент времени может поступить не более одного требования.

Потоком без последействия называется поток, в котором вероятность поступления определенного числа требований после какого-то произвольного времени t не зависит от числа требований, поступивших в систему до этого момента времени.

Если поток требований простейший, то его можно описать количественно с помощью функции Пуассона:

Р к (t) = , (2)

где Р k (t) – вероятность того, что в течение времени t в систему поступит точно k требований на обслуживание (k = 0,1,2 …).

Математически наличие простейшего потока требований можно определить с помощью статистической обработки данных. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и ее дисперсии

где lt – среднее число требований, поступивших на обслуживание за время t.

Время обслуживания – это период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание. Время нахождения требования в системе состоит из времени обслуживания и времени ожидания обслуживания. Время обслуживания одного требования – это случайная величина, характеризующаяся законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания, в котором плотность распределения убывает с возрастанием времени.

При показательном законе распределения времени обслуживания функция распределения F(t) обсл, представляющая собой вероятность того, что время обслуживания будет меньше заданной величины t, описывается следующим образом.

Параметры потока. Расчет временных параметров

Параметры – это характеристики потока, которые отражают развитие потоков в пространстве, в технологическом аспекте и во времени.

Пространственные параметры:

– N об – число объектов, где работают потоки;

– N э – количество этажей;

– A – число ярусов;

– m – количество захваток (секций или подъездов).

Технологические параметры:

– n – число потоков (процессов, видов работ);

– Q i – трудозатраты i -го вида работ (чел.-дн., чел.-смен.);

– O i – объем по i -му виду работ (натуральные, стоимостные показатели);

– q i – трудоемкость выполнения единицы объема работ (удельная трудоемкость);

Q i = q i ∙ O i ;

– М – мощность строительной организации по выпуску готовой продукции (тыс. м 2 вводимой площади).

Временные (расчетные) параметры

Дано : m = 5, n = 3, К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.

Построить график-циклограмму совместной работы трех кратноритмичных потоков. Графически указать все временные параметры (9 шт.). Аналитически вывести формулы всех параметров и рассчитать их реальные значения.

Рис. 4.3. Увязка кратноритмичных потоков с опережающим
и отстающим ритмами

Рассмотрим все поточные временные параметры:

1. Ритм потока К i (известен): К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.

2. Организационный перерыв ∆t орг , i , i +1 – время между окончанием работы одного потока на захватке и началом работы следующего:

t 1 = 2·5 = 10 дн.;

t 2 = 1·5 = 5 дн.;

t 3 = 3·5 = 15 дн.

4. Время работы всех потоков на одной (первой) захватке

5. Шаг потока (К о i , i +1) – время между началами работы смежных потоков

(3.4)

;

6. Общая продолжительность работ – общий срок строительства

7. Период развертывания объектного потока – время от начала работы первого потока до начала работы последнего потока

8. Период свертывания объектного потока Т св – время потери объектным потоком своей мощности, время от окончания первого потока до окончания всех работ

9. Период установившегося объектного потока Т уст – время работы объектного потока на полную мощность (работают одновременно все потоки)

Лекция 5. Способы оптимизации графика
поточной организации работ (уравнивание шагов и ритмов работы смежных процессов)

При построении графика увязки кратноритмичных потоков на всех захватках, кроме критической, образуются организационные перерывы между смежными потоками (простой фронта работ), что является недостатком при организации работ. Этот недостаток можно ликвидировать с помощью перестройки графика увязки, т.е. провести его оптимизацию. Оптимизация ликвидирует или сокращает организационные перерывы на захватках, т.е. улучшает показатели календарного графика; происходит уравнивание шагов и ритмов смежных процессов несколькими способами.

Уравнять шаги и ритмы смежных процессов – значит решить две задачи:

1) изменить продолжительность по графику увязки потоков, чтобы ликвидировать или сократить простой фронта работ на захватках;

2) желательно в ходе оптимизации сократить срок строительства по сравнению с исходным графиком.

Рассмотрим следующие способы оптимизации:

1) корректировка мощности потоков с отстающим ритмом (увеличение);

2) корректировка мощности потоков с опережающим ритмом (уменьшение);

3) дополнительный ввод параллельно работающих бригад на захватках по потокам с отстающим ритмом;

Задачу оптимизации решим на примере исходного графика увязки, построенного в пункте 4.1. Лекции №4 "параметры потока"

1. Оптимизировать график совместной работы кратноритмичных потоков на одном объекте тремя способами уравнивания шагов и ритмов смежных процессов.

2. По каждому способу уравнивания определить графически и аналитически новый срок строительства, эффект уравнивания, периоды установившегося потока, свертывания и развертывания объектного потока. Сделать выводы.

3. Указать наиболее эффективный способ уравнивания.

Исходные данные :

N об = 1, m = 5, n = 3, К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.

(пример предыдущей задачи)

Примем это график увязки за исходный, который нужно оптимизировать, восстановим его изображение: (рис. 4.1)

D t орг 2,3 = 8

2 поток 3 поток

К 1 Dt орг 1,2 К 2 К 3

Рис. 5.1. Исходный график увязки до оптимизации

Т о = 22дня (рассчитано ранее)

Этот срок нужно изменить при оптимизации графика

· 1-й способ. Корректировка мощностиотстающих потоков (первый и третий потоки)

Увеличиваем в 2 раза мощность первого потока, тогда

К 1 = К 2 = 1.

Мощность третьего потока увеличивается в 3 раза, тогда его ритм К 3 уменьшится и станет К 3 =К 2 = 1. Получаем три равно ритмичных потока с минимальным ритмом: построим на исходном графике новый график, состоящих из трех потоков с ритмом, равным 1. Это мы оптимизировали по минимальному ритму (см. рис. 4.2.).

К 1 1 К 2 1 К 3 1

Т ур 1 DТ ур 1

T р 1 T уст 1 T св 1

Рис. 5.2. График оптимизации (уравнивания) первым способом

Увеличение мощности отстающих потоков (ярко выделенные потоки). Новый срок строительства (оптимизированный) = Т ур 1

или по формуле строительства равноритмичными

потоками

Эффект уравнивания или сокращение сроков по сравнению с исходным графиком = D Т ур 1

Выводы по 1-му способу :

1) полная ликвидация организационных перерывов;

2) уменьшение срока строительства на 15 дней.

· 2-й способ . Корректировка мощности опережающих потоков

Это способ оптимизации или уравнивания шагов и ритмов смежных процессов предполагает уравнивание всех мощностей потоков, ориентируясь на самый маломощный поток, имеющий самый большой ритм.

В данном случае это третий поток, К 3 = 3

Для уравнивания мощности и приведения их к третьему потоку необходимо изменить мощность первого потока (уменьшить в 1,5 раза) тогда ритм его увеличится в 1,5 раза К 1 = 2*1,5 = 3. Мощность второго потока уменьшим в 3 раза, тогда ритм его увеличится в 3раза К 2 = 1*3 = 3. Между изменением мощности и значением ритма существует обратно пропорциональная зависимость. В результате получаем три равноритмичных потока с ритмами:

К 1 = К 2 = К 3 = 3

Новый график оптимизации по второму способу приведен на рис. 5.3.

К 1 2 К 2 2 К 3 2

Т ур 2 DТ ур 2

Т р 2 Т уст 2 Т св 2

Рис. 5.3. График уравнивания вторым способом оптимизации (уменьшение мощности опережающих потоков (ярко выделенные потоки))

Выводы по 2-му способу :

2) уменьшение срока строительства на 1 день.

Лекция 6. Оптимизация (уравнивание) графика увязки потоков третьим способом. Дополнительный ввод параллельно работающих бригад на захватках (отстающие потоки). неритмичные потоки

Правила построения графика уравнивания

1. Выстраиваем все потоки во взаимоувязке по первой захватке.

2. Продолжаем до последней захватки поток с К min .

Поток с минимальным ритмом – ось увязки (это второй поток).

3. Работа с отстающими потоками (первый и третий ):

Рассчитаем число бригад по первому потоку:

; (5.1)

Обозначим эти бригады: 1-я бригада ; 2-я бригада (----).

Вводим рабочие бригады по каждой захватке при непрерывной работе через шаг, равный минимальному ритму: К о = К min , срок строительства по уравненному графику К 2 неизменен = 2 дням (рис. 6.1.).

К о 2 ось 1

К 1 3 К 2 3 К 3 3

Т ур 3 DТ ур 3

Т р 3 Т св 3

Рис 6.1. График уравнивания третьим способом оптимизации. Дополнительно ввод параллельно работающих потоков на захватках по отстающим потокам.

По третьему потоку 1-я бригада (===); 2-я бригада (-.-.-.-); 3-я бригада (~~). Вводим бригады по каждой захватке через шаг К 0 = К min .

После окончательного построения графика:

Проверка третьего способа уравнивания: эффект уравнивания равен сумме организационных перерывов исходного графика увязки.

Выводы по 3-му способу:

1) полная ликвидация организационных перерывов на захватках;

2) сокращение срока строительства на 11 дней.

Увязка неритмичных потоков

Неритмичными называются потоки, ритмы которых отличаются друг от друга при переходе с одной захватки на другую.

Рассмотрим на примере построение графика работы неритмичных потоков, используя графический и аналитический методы их увязки.

Задача

Построить график совместной работы 3 неритмичных потоков на 4 захватках с учетом их взаимной увязки графическим и аналитическим способами, указать критические захватки и шаг потоков. Исходные данные

	Ритмы по захваткам
n	1 зах.	2 зах.	3 зах.	4 зах.
I п от
II п от
III п от

· 1-й способ. Графическая увязка неритмичных потоков

Рис. 6.2. Графический метод увязки неритмичных потоков

1. Строим циклограмму первого потока на всех захватках по исходным данным.

2. Строим пунктиром вариант работы второго потока, увязав с первым потоком только по первой захватке.

3. Анализируем построенную циклограмму второго потока в соответствии с принципами увязки потоков на каждой захватке. Находим величину отклонения от принципов увязки, обозначив ее через «а ».

4. Maксимальное отклонение «а » находится на третьей захватке и равно 2 дням: max «a » = Dt орг I,II на 1 захв.

5. Откладываем на графике от окончания работы I потока на 1 захватке величину Dt орг I , II = 2. Это точка начала работы II потока.

6. Выстраиваем циклограмму работы II потока из указанной точки. При увязке II и III потоков повторяется данный алгоритм увязки.

Общий срок строительства

· 2-й способ. Аналитическая увязка неритмичных потоков

Рис. 6.3. Аналитический метод увязки неритмичных потоков

Алгоритм увязки пары потоков (I и II)

1. Строим циклограмму I потока на всех захватках по исходным данным.

2. Производим суммирование ритмов по I потоку (SК I) и отдельно по II потоку (SК II), накапливая по захваткам, затем эти суммы вычитаем (из I потока вычитаем II поток).

Увязка I и II потока	1 зах.	2 зах.	3 зах.	4 зах.
SК I		1 + 3 = 4	4 + 2 = 6	6 + 1 = 7
SК II	–		2 + 1 = 3	3 + 4 = 7
Вычитаем			3 max

3. Максимальное значение разности находится на 3-й захватке и равно 3. Это шаг между I и II потоками по 1-й захватке:

max разность = К о I , II .

4. Отложив шаг К о I,II по 1-й захватке на графике, находим точку начала работы II потока.

Данный алгоритм повторяется при увязке II и III потоков.

После окончания увязки всех потоков и построения их циклограмм видим, что увязка I и II потоков происходит на 3-й захватке, увязка II и III потоков – на 3-й захватке.

Общий срок строительства Т о равен

ЛЕКЦИЯ 13. Сетевое моделирование
в календарном планировании строительства, объекта.

В табл. 1 приведены основные временные параметры сетевых графиков.

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок свершения 1-го собы­тия определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

где - любой путь, предшествующий i - му событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшест­вующих событий i, то ранний срок свершения события у удобно находить по формуле

Таблица 1.

Элемент сети, харак­теризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозна­чение пара­метра
Событие i	Ранний срок свершения события Позд­ний срок свершения события Резерв вре­мени события
Работа (i , j )	Продолжительность работы Ранний срок начала работы Ранний срок окончания работы Поздний срок начала работы Поздний срок окончания работы Полный резерв времени работы Частный резерв времени работы первого вида Частный резерв времени работы второго вида или свободный резерв времени работы Неза­висимый резерв времени работы
ПутьL	Продолжительность пути Продолжитель­ность критического пути Резерв времени пути

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения 1-го события равен

где - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующий путей, а следовательно, несколько последующих событий j , то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

Резерв времени i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задер­жать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения ком­плекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении со­бытия, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершаю­щего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым опреде­ляем длину критического пути, а, выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Пример 1. Определить временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Решение. Найденные параметры сведем в табл. 2.

При определении ранних сроков свершения событий двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1) и (2).

Для = 0 (нулевого события), очевидно, что = 0. Для = 1 = 0+8 = 8 (суток), так как для события 1 существует только один предшествующий путь . Для = 2 = 8+9 = 17 (суток), так как для события 2 существует только один предшествующий путь . Для=3 == 13 (суток), так как для события 3 существуют два предшествующих пути и и два предшествующих события 0 и 1.

Таблица 2.

Номер события	Сроки свершения события, сутки		Резерв времени , сутки
		поздний

Аналогично:

23 (суткам);

20 (суткам);

29 (суткам) и т.д.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11 (см. табл. 2):

(суткам).

При определении поздних сроков свершения событий двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы (3) и (4).

Для =11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): (сутки).

Для = 10 (суток), так как для события 10 существует только один последующий путь .

Для = 9 (суткам), так как для события 9 существуют два последующих пути и и два последующих события 10 и 11.

Аналогично:

(суткам);

(суткам) и т.д.

По формуле (5) определяем резервы времени -го события:

= 0; = 9 - 8 = 1; = 40 - 17 = 23 и т.д.

Резерв времени, например, события 2 - = 23 - означает, что время свершения события 2 может быть задержано на 23 суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя табл. 2, видим, что не имеют резервов времени события 0, 3, 5, 6, 9, 11. Эти события и образуют критический путь.

Примечание. Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, т.е. события с нулевыми резервами времени. Если критических пу­тей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определения критических путей рекомендуется использовать крити­ческие раб оты.

Теперь перейдем к параметрам работ .

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежу­точные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок начала работысовпадает с ранним сроком наступле­ния начального (предшествующего) события i , т.е.

Тогда ранний срок окончания работы определяется по формуле

Ни одна работа не может окончиться позже позднего допустимого срока своего конечного события i . Поэтому поздний срок окончания работы определяется соотношением

а поздний срок начала этой работы - соотношением

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала иокончания работы тесно связаны с соседними событиями ограничениями (6) - (9). ;

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы имеют все некритические пути. Резерв времени пути определяется как разность ме­жду длиной критического и рассматриваемого пути

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем , то критический путь переместится на путь L .

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с кри­тическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени работы показывает, на сколько можно увеличить время выполне­ния данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв определяется по формуле

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение ко­нечного события в его самый поздний срок (рис. 8 д).

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на макси­мальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, ле­жащих на других (не максимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

Остальные резервы времени работы являются частями ее полного резерва.

Частный резерв времени первого вида работы есть часть полного резерва времени, на кото­рую можно увеличить продолжи тельность работы, не изменив при этом позднего срока ее начальног о события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположе­нии, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см. рис. 8 б).

Рис. 8.

находится по формуле

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени работы представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см. рис. 8 в). Д. находится по формуле

(14)(15)

Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени работы - часть полного резерва времени, получаемая для слу­чая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начи­наются в ранние сроки (см. рис. 8 г)

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (16) или (17), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Следует отметить, что резервы времени работы , показанные на рис. 8, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение про­должительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а сво­бодный резерв времени - на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нару­шения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i , то

Если на критическом пути лежит конечное событие j , то

Если на критическом пути лежат начальное и конечное события i и j , но сама работа не при­надлежит этому пути, то

Соотношения (18) - (20) можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

С помощью критических работ, т.е. работ, не имеющих резервов времени, может быть определен критический путь сетевого графика. Этот способ определения критического пути целесообразно использо­вать тогда, когда сеть содержит несколько критических путей.

Пример 2. Вычислить временные параметры работ для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Результаты расчетов сведем в табл. 2.

Вычисление временных параметров работы покажем на примере работы (1 ,4):

ранний срок начала работы (по формуле (6)): (суток),

ранний срок окончания работы (по формуле (7)): (суток);

поздний срок начала работы (по формуле (9)): (суток), где ;

поздний срок окончания работы (по формуле (8)): (суток).

Таким образом, работа (1, 4) должна начаться в интервале (суток) и окончиться в интер­вале (суток) от начала выполнения проекта.

Полный резерв работы (7,4) (по формуле (11)): (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на 12 суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится.

Таблица 3.

		Продолжительность работы	Сроки начала и оконча­ния работы					Резервы времени работы

		Продолжительность работы	Сроки начала и окончания работы					Резервы времени работы

Покажем на примере работы ( 1, 4), что полный резерв времени работы равен продолжительно­сти максимального из путей, проходящих через данную работу.

Через работу (1 , 4) проходят семь полных путей (см. рис. 6):

	Продолжительность, сутки

Отсюда максимальным из путей, проходящих через работу (1, 4), является путьпродолжитель­ностью 49 (суток), резерв времени которого (по формуле (9))=61-49=12 (суток).

Как видим, полный резерв времени работы (1, 4) оказался равным резерву пути -максималь­ного из путей, проходящих через эту работу. Если увеличить продолжительность выполнения работы t (1, 4) на 12 суток, т.е. с 6 до 18 суток, то полностью будет: исчерпан резерв времени пути , т.е. этот путь станет также критическим, а резервы времени других путей уменьшатся соответственно на 12 су­ток.

Частный резерв времени работы (1, 4) первого вида определим по формуле (10) (или по фор­муле 12): (суток) или 12-1 = 11 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 11 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и последующих работ (по любому из путей) без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени од­ной предшествующей работы (0,1)).

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (7, 4) найдем по формуле (12) (или 13)): = 23 – 8 - 6 = 9 (суток) или = 12 - 3 = 9 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 9 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и предшествующих ей работ (в данном случае работы (0,1)) без нарушения резерва времени последующих работ.

Независимый резерв времени работы (1, 4) определим по формуле (16) (или (17)): = 23-9-6 = 8 (суток) или = 12-1-3 = 8 (суток), т.е. на 8 суток может быть уве­личена продолжительность работы (/, 4) без изменения резервов времени всех остальных работ.

Обратим внимание на то, что независимые резервы работ (1, 2), (2, 7) и (4, 7) отрицательны (в табл. 14.3 они обозначены прочерком). Например, = 33 – 40 - 3 = -10. Это означает, что работа (2, 7) продолжительностью 3 (суток) должна закончиться на 33-и сутки после начала комплекса работ, а начаться на 40-е сутки, что, естественно, невозможно.

Подчеркнем, что резервы критических работ (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, II ), так же как и резервы критических событий, равны нулю.

Рис. 9.

Следует отметить, что в случае достаточно простых сетевых графиков результаты расчета их временных параметров можно фиксировать прямо на графике. Параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ - над соответствующими стрелками (рис. 9). При этом отпадает необходимость составления таблиц.

В таблице 59 приведены основные временные параметры сетевых графиков. Рассмотрим содержание и расчет этих параметров.

Начнем с параметров событий.

Ранний (или ожидаемый) срок t p (i) свершения i-го события определяется Продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

где Ln - любой путь, предшествующий i-у событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

(2)

Поздний (или предельный) срок t n (i) свершения i-го события равен:

(3)

где L ci , -- любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Таблица 59 - Основные временные параметры сетевых графиков

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

(4)

Резерв времени R(i ) i -го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

(5)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события не имеют резервов времени, т.к. любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Определим, например, временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис.4. Результаты расчета временных параметров можно фиксировать прямо на графике. В этом случае параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ - над соответствующими стрелками (рисунок 3). В этом случае отпадает необходимость составления таблиц.

При определении ранних сроков свершения событий t p (i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1)и (2). Для i =1 (первого события). Очевидно t p (i) =0.

Рисунок 3 - Расположение временных параметров непосредственно на сетевом графике.

Для i = 2 t p (2)=t p (1) + t (0,2) = 0 + 5 = 5 (суток), т.к. для события 2 существует только один предшествующий путь

Для i = 3 t p (3)=t p (1) + t (1,3) = 0 + 8 = 8 (суток), т.к для события 3 существует только один предшествующий путь

Для i = 4 t p (4)=t p (2) + t (2,4) = 5 + 9 = 14 (суток), т.к. для события 4 существует один предшествующий путь

Для i = 5 t p (5)=max{t p (1) + t (1,5); t p (2) + t (2,5); t p (3) + t (3,5)}=max{0+8;5+3;8+4}= =max{8;8;12}=12 (суток), т.к. для события 5 существует три предшествующих пути Е, :1 - 5, 1 -+2 -+5 и 1 +З -+5 и три предшествующих события. Аналогично рассчитаем ранние сроки свершения остальных событий и запишем их в левой части каждого кружка сетевого графика (рисунок 4).

Рисунок 4 - Сетевой график с временными параметрами

Длина критического пути равна раннему сроку свершении завершающего события 10: t kp =t p (10) = 34 (суткам).

При определении поздних сроков свершения событий t n (i) двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево и используем формулы (3) и (4).

Для i =10 (завершающего события) поздний срок свершения события должен быть равен его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t n (10) = t p (10) = 34 (суток).

Для i = 9 t n (9) = t n (10) - t (9,10) = 34-7 = 27 (суток), так как для события 9 существует только один последующий путь L с9: 9 10.

Для i =8 t n (8) = t n (10) - t (8,10) =34-11 = 23(суток), так как для события 8 существует только один последующий путь L с8:8 10.

Для i =7

t n (7) = min{ t n (8)- t (7,8); t n (19) - t (7,9); t n (10) - t (7,10)} =

Min{22,23,28) = 22 (суток), т.к. для события 7 существует три последующих пути

L с7:7 8 10, 7 10, 7 9 10 и три последующих события 8,9 и 10. Аналогично рассчитаем поздние сроки свершения остальных событий и поместим эти значения в правой части каждого кружка (рисунок 4).

По формуле (5) определим резервы времени i -го события:

R(1) = 0; R(2) = 7 -5 = 2; R(3) = 8- 8 = 0 и т.д.

Резерв времени события 2 - R(2) = 2 - означает, что время свершения события 2 может быть задержано на двое суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя сетевой с временными параметрами (рис.4) видим, что не имеют резервов времени события 1, 3, 5, 6, 8, 10. Эти события и образуют критический путь (на рисунке 4 он выделен жирным шрифтом).

Перейдем к параметрам работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок t рн (i,j ) начала работы (i,j ) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i , т.е.

t рн (i,j )=t p (i) (6)

Тогда ранний срок t ро, окончания работы (i,j ) определяется по формуле:

t ро (i,j )=t p (i) + t (i,j ) (7)

Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j . Поэтому поздний срок t nо (i,j ) окончания работы (i,j ) определяется соотношением:

t n о (i,j )=t n (j ), (8)

а поздний срок t n н (i,j ) начала этой работы соотношением

t n н (i,j )=t п (j ) - t (i,j ) (9)

Среди резервов времени работ выделяют четыре их разновидности.

Полный резерв времени R n (i,j) работы (i,j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится.

Полный резерв R n (i,j) определяется по формуле:

R n (i,j ) = t п (j ) - t p (i) - t (i,j ) (10)

Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и возможно допустить свершение ее конечного события в его самый поздний срок.

Остальные резервы времени работы являются частями полного ее резерва. Частный резерв времени первого вида R 1 (i,j) работы (i,j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки R 1 (i,j) находится по формуле:

R 1 (i,j ) = t п (j ) – t п (i) - t (i,j ) , (11)

R 1 (i,j ) = R п (i ,j ) - R(i) (12)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени R с (i,j ) работы (i,j ) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Эти резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки. R с (i,j ) находится по формуле:

R с (i,j ) = t р (j ) – t р (i) - t (i,j ) , (13)

R с (i,j ) = R п (i ,j ) - R(i ), (14)

Независимый резерв времени R п работы (i ,j ) есть часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки:

R н (i,j ) = t р (j ) – t п (i) - t (i,j ) , (15)

R н (i,j ) = R п (i ,j ) - R(i) - R(j ) (16)

Примечание - Резервы времени работы (i ,j ) могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работ t (i,j ) занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями.

Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая формулой (15) или (16), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Отрицательное значение R н (i,j ) не имеет реального смысла, т.к. в этом случае предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих и последующих работ, свободный резерв времени - на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, также как и критические события, резервов времени не имеют.

Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути.

R(L )=t kp – t (L ) (17)

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличен продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее, чем R(L ), то критический путь переместится на путь L . Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, несовпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Вычислим в качестве примера временные параметры работ, для рассматриваемого сетевого графика (рисунок 4). Результаты расчетов сведем в таблицу 60.

Вычисление временных параметров работы (i,j ) покажем на примере работы (2,4): ранний срок начала работы (по формуле (6)) t рн (2,4) = t р (2) = 5 (суток); ранний срок окончания работы (по формуле (7)): t ро (2,4) = t р (2) + t (2,4) = 5 + 9 = 14 (суток); поздний срок начала работы по формуле (9): t пн (2,4)= t п (4) - t (2,4) = 16 - 9 = 7 (суток); поздний срок окончания работы (по формуле (8)): t по (2,4) = t п (4)= 16 (суток).

Таким образом, работа (2,4) должна начаться в интервале (суток) от начала выполнения проекта. Полный резерв работы (2,4) (по формуле (10)):

R n (2,4) = t п (4) - t p (2) - t (2,4) = 16-5-9=2 (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на двое суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится. Частный резерв времени работы (2,4) первого вида определим по формуле (11) (или по формуле (12)):

R 1 (2,4) = t п (4) – t п (2) - t (2,4)=16-7-9=0 (суток) (или R 1 (2,4) = R п (2,4) - R(2) = 2 - 2 = 0 (суток)), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта не может быть задержано выполнение работы (2,4) и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени одной предшествующей работы (1,2)).

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (2,4) найдем по формуле (13) или (14):

R с (2,4) = t р (4) – t р (2) - t (2,4) = 14 – 5 – 9 = 0 (суток);

R с (2,4) = R п (2,4) - R(2)= 2 - 2 = 0 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта не может быть задержано выполнение работы (2,4) (в данном случае работы (1,2)) без нарушения резерва времени последующих работ. Независимый резерв времени работы (2,4) определим по формуле (15) или (16):

R н (2,4) = t р (4) – t п (2) - t (2,4) = 14 – 7 - 9 = -2.

Это означает, что работа (2,4) продолжительностью 9 (суток) должно закончиться на 14-е сутки после начала комплекса работ, а начаться на 7-е сутки, что естественно невозможно. поэтому в таблице 60 обозначим прочерком независимые резервы времени, имеющие отрицательное значение. Подчеркнем, что резервы критических работ (1,3), (3,5), (5,6), (6,8), (8,10),также как и резервы критических событий, равны нулю.

Таблица 60 - Временные параметры работ для сетевого графика (рисунок 4), сутки