Что такое вынесение общего множителя за скобки. Вынесение за скобки общего множителя, правило, примеры. Как происходит вынесение общего множителя за скобки

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Определение 1

Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:

Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.

Пример 1

Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$

Решение:

Сначала вычислим проиведение коэффициентов

$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений

Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$

Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.

Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.

Мы нашли коэффициент будущего произведения.

Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Тогда итогом умножения одночленов будет:

${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.

Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:

Пример 2

Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$

Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.

Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент

Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:

Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.

Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:

${4x}^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.

${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:

${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.

Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .

Алгоритм

Замечание 1

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки

Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.

Пример 3

Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$

Решение:

Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

$45=3\cdot 3\cdot 5$

И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

$a^3=a^2\cdot a$

Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:

$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

\(5x+xy\) можно представить как \(x(5+y)\). Это и в самом деле одинаковые выражения, мы можем в этом убедиться если раскроем скобки: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Как видите, в результате мы получаем исходное выражение. Значит, \(5x+xy\) действительно равно \(x(5+y)\). Кстати, это надежный способ проверки правильности вынесения общих множителей – раскрыть полученную скобку и сравнить результат с исходным выражением.

Главное правило вынесения за скобку:

К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:

Правила вынесения за скобки

В математике принято выносить сразу все общие множители.

Пример: \(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.


Иногда общие члены сразу не видны.


Пример: \(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.


Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.

Пример : \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\(1\) \()\)

Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.

За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.


Пример: \(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно:

\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Скобка тоже может быть общим множителем.


Пример: \(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
С такой ситуацией (вынесением за скобку скобки) чаще всего мы сталкиваемся при разложении на множители методом группировки или

В этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя . Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.

Навигация по странице.

Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2 , который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3 , а 4 в виде произведения 2·2 . Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y) . Еще пример: в выражении x 3 +x 2 +3·x слагаемые имеют общий множитель x , который становится явно виден после замены x 3 на x·x 2 (при этом мы использовали ) и x 2 на x·x . После вынесения его за скобки получим x·(x 2 +x+3) .

Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y . Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y , откуда отчетливо виден общий множитель −1 , который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y) , в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y) . Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.

В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений . Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители .

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.

Урок алгебры в 7 классе.

Тема « Вынесение общего множителя за скобки».

Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

Цели урока:

Образовательная –

выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;

формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;

применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.

Развивающая –

способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.

Воспитательная -

воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.

Тип урока: комбинированный.

Основные результаты обучения:

уметь выносить общий множитель за скобки;

уметь применять данный способ при решении упражнений.

Ход урока.

1 модуль (30 мин).

1. Организационный момент.

приветствие;

подготовка обучающихся к работе.

2. Проверка домашнего задания.

Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.

3 . Актуализация опорных знаний.

Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).

Что такое НОД?

Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?

Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?

Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями

Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме

а (в + с)= ав + ас

* - знак умножения

Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).

1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5

2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)

3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)

На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.

Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:

2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!

Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.

На доске появляется запись:

Я могу написать это свойство в виде:

В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.

а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Остальные устно, проверить ответы:

е) 55*682 – 45*682 = 6820

ж) 7300*3 + 730*70 = 73000

з) 500*38 – 50*80 = 15000

Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)

Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.

4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.

Работа в парах.

Карточки для пар.

Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.

Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.

2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).

Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

Наибольший общий делитель коэффициентов.

Одинаковые буквенные переменные.

Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.

Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.

Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.

5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.

№657 (1 столбик)

2 модуль (30 мин).

1. Итог первой 30-минутки.

А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?

Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?

В) Как выносится общий множитель за скобки?

2. Первичное закрепление.

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).

2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).

3) 8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).

4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

5) 4 -2а = – 2 (2 – а).

3. Первичная проверка понимания.

Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне

Вынесите общий множитель за скобки:

Устно сделать проверку умножением.

4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.

Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).

Разложите на множители многочлен .

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:

Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством . Два раза меняем знак! Разложите на множители многочлен

Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .

А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.