Способы представления чисел в компьютере. Представление чисел в компьютере. Представление целых и вещественных чисел в памяти компьютера. Проверка полноты поддержки IEE754

6 класс Деление

Тема урока: Умножение положительных и отрицательных чисел. 6 класс
Цели урока : организовать совместную деятельность, в процессе которой учащиеся предлагают свои версии, учатся их грамотно формулировать, слушать.

Задачи:

• 
  Организовать совместную деятельность, нацеленную на предметный результат: вывести правила умножения положительных и отрицательных чисел;
• 
  Создать условия для развития умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, учить думать, высказывать свое мнение;
• 
  Обучение учащихся поиску различных способов и методов решения практических задач;
• 
  Организовать рефлексию совместной деятельности.

Ход урока:

I. Погружение в проблемную ситуацию.

Приветствие учеников.

“Жил на свете богач, очень богатый богач, самый богатый на земле, но все ему казалось, что он еще недостаточно богат.
И вот однажды пришел к этому самому богатому богачу самый бедный бедняк на свете и сказал:
– О, господин! Сияние твоих сокровищ слепит глаза. И все-таки у меня есть способ умножить твое богатство. А заодно и свое.
Богач прямо затрясся от жадности:
– Чего ты стоишь? Умножай скорее!
– А ты не будешь на меня в обиде? – опасливо спросил бедняк.
– Да ты что! Ведь ты хочешь умножить мое богатство!
– Конечно, умножить, – подтвердил бедняк.
– Так умножай, и дело с концом! – закричал богач, теряя терпение.
– Быть по-твоему, – ответил тот. – Раз, два, три! Готово!
Богач бросился к своим сундукам да как закричит:
– Что ты наделал, негодный?! Ты меня разорил! Где мое золото? Где алмазы? Где жемчуга?
– Были у тебя, теперь они у меня, – сказал бедняк.– Ведь ты же сам просил меня умножить! Я и умножил.″

II. Создание проблемной ситуации.

• 
  Как вы думаете, почему так получилось?
• 
  Какое действие с числами нужно знать, что бы ответить на этот вопрос? (умножение)
• 
  А вы знаете, как выполняется умножение чисел? (натуральных и дробных положительных, да)
• 
  Тогда какая задача нашего сегодняшнего урока, что бы вы хотели узнать? (как умножить положительные и отрицательные числа)
• 
  А какие числа еще можно перемножать? (отрицательные)
• 
  Итак, тема нашего урока: «Умножение положительных и отрицательных чисел».

Вспомните, пожалуйста, какие методы мы использовали при выведении правил сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел и предложите свои версии, как нам получить правила умножения чисел.

III. Работа с версиями детей.

Версии фиксируются на доске и в тетрадях.

1. 
   Использовать термометр и рассмотреть умножение на примере изменения температуры.
2. 
   Умножение заменить сложением.

Предлагаю свою версию:

3. Условившись обозначать слово «друг» – положительным числом, а слово «враг» – отрицательным, можно получить интересное правило умножения чисел.
IV. Работа по обоснованию версий в группах.

Сейчас поработайте в группах, рассмотрите взятую вами версию на примерах и обязательно сделайте вывод, т.е. попробуйте сформулировать правило умножения чисел.

V. Представление группами результатов проверки версий.
1. Задача 1 . Температура воздуха понижается каждый час на 2 градуса. Сейчас термометр показывает нуль градусов. Какую температуру он покажет через 3 часа.

(– 2) · 3 = – 6

Задача 2. Температура воздуха понижается каждый час на 2 градуса. Сейчас термометр показывает нуль градусов. Какую температуру он показывал 3 часа назад.

(– 2) · (–3) = 6

2. Пример 1. (– 2) · 3 = (– 2) + (– 2) + (– 2) = – (2 + 2 + 2) = – 6

Пример 2. (– 2) · (–3) – сложением не заменить, но если (– 2) · 3 = – 6, то

(– 2) · (–3) – 6

так как 3 и – 3 противоположные числа, то и результат будет противоположный,

значит (– 2) · (–3) = 6
3. Друг моего друга - мой друг

(+X) · (+X)= (+X)

Друг моего врага - мой враг

(+X) · (-X)= (-X)

Враг моего друга - мой враг

(- X) · (+ X)= (- X)

Враг моего врага - мой друг

(- X) · (- X)= (+ X)

Выводы: 1) Произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел с разными знаками отрицательно;
2) Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули сомножителей.

VI. Сравнение лично полученного результата с научным.

– Таким образом, мы с вами получили правила умножения положительных и отрицательных чисел.

– Откройте учебник, прочитайте правила, сравните их с теми, которые мы вывели сами, сделайте вывод, как умножить два отрицательных числа, как умножить два числа с разными знаками:

1. Установить какие знаки имеют множители.

2. Установить знак результата.

3. Найти модуль произведения.

– Давайте вернемся к сказке, которую вы услышали в начале урока. Можете ли вы сейчас ответить на вопрос, почему богач лишился своего богатства, на какое число бедняк умножил богатство богача?
– А сейчас задание для всех групп: определить знак произведения и вычислить.
а) (-7) · (-5) · 2 = 70

(-4) · (-10) · 8 = 320

б) (-2) · (-3) · (-4) = – 24

(-1,2) · (-2) · (-12)= – 28,8

в) (-1) · (-2) · (-5) · (-15) · 2 = 300
– Какой вывод можно сделать относительно знака произведения, где чётное (нечётное) число отрицательных множителей?

Вывод : 1. Если число отрицательных множителей нечетное, то произведение - число отрицательное.
2. Если число отрицательных множителей чётное, то произведение - число положительное.
VII.Рефлексия

– А теперь давайте попытаемся понять, что же каждому из нас дал сегодняшний урок. Интересно ли вам сегодня было. Давайте послушаем экспертов:

1. Как слаженно работала группа?

2. Все ли выдвигали версии в группе?

3. Все ли члены группы принимали участие в размышлениях и решении задач?

4. Кто из членов группы был более активным?

5. Кто не принимал участия в работе группы?

6. Кого и какими отметками можно оценить в группе?

Домашнее задание: п.35 правила

№ 1143 №1148.

Карточки для самостоятельной работы

Вариант 1 1. Вычислить: а) (-5) ∙ (-1) д) -0,6 ∙ (-2) ж) -2,5: (-0,05) з) -81: (-0,9) 2. Выполнить действия: 8 ∙ (-3 + 12) : 36 + 2 5 ∙ 3,7 - 4 ∙ 3,7	Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Вариант 2 1. Вычислить: г) -11 ∙ (-2) д) 0,8 ∙ (-4) ж) -3,6: (-0,6) 2. Выполнить действия: 9 ∙ (-7 + 12) : 15 + 4 3. Вычислить наиболее рациональным способом: - 2 ∙ 3,5 - 7 ∙ 3,5
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Вариант 3 1. Вычислить: а) (-9) ∙ (-1) д) -0,8 ∙ (-4) ж) -2,8: 0,07 з) -36: (-0,9) 2. Выполнить действия: 6 ∙ (-5 + 21) : 32 + 3 3. Вычислить наиболее рациональным способом 7,8 ∙ 2 - 7,8 ∙ 8	Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Вариант 4 1. Вычислить: д) 0,6 ∙ (-4) ж) -3,2: (-0,08) 2. Выполнить действия: 8 ∙ (-7 + 23) : 64 + 3 3. Вычислить наиболее рациональным способом 5,9 ∙ 3 - 5,9 ∙ 7

В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками . Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.

Навигация по странице.

Правило деления чисел с разными знаками

В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками . Его можно распространить и на рациональные числа , и на действительные числа , повторив все рассуждения из указанной статьи.

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .

Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.

Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.

Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .

Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.

Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.

Это же правило используется при делении отрицательных чисел .

Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.

Примеры деления чисел с разными знаками

Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками , чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.

Пример.

Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .

Решение.

Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел , получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .

Вот все решение: .

Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками : . Очевидно, мы пришли к такому же результату.

Ответ:

(−35):7=−5 .

Пример.

Вычислите частное 8:(−60) .

Решение.

По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4 , получаем .

Запишем все решение кратко: .

Ответ:

.

При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.

Пример.

Решение.

Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.

Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь : , а также

В центре внимания этой статьи находится деление отрицательных чисел . Сначала дано правило деления отрицательного числа на отрицательное, приведено его обоснования, а после этого приведены примеры деления отрицательных чисел с подробным описанием решений.

Навигация по странице.

Правило деления отрицательных чисел

Прежде чем дать правило деления отрицательных чисел, напомним смысл действия деление. Деление по своей сути представляет нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. То есть, число c является частным от деления a на b , когда c·b=a , и наоборот, если c·b=a , то a:b=c .

Правило деления отрицательных чисел следующее: частное от деления одного отрицательного числа на другое равно частному от деления числителя на модуль знаменателя.

Запишем озвученное правило с помощью букв. Если a и b отрицательные числа, то справедливо равенство a:b=|a|:|b| .

Равенство a:b=a·b −1 легко доказать, отталкиваясь от свойств умножения действительных чисел и определения взаимно обратных чисел. Действительно, на этой основе можно записать цепочку равенств вида (a·b −1)·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которая в силу смысла деления, упомянутого в начале статьи, доказывает, что a·b −1 есть частное от деления a на b .

А это правило позволяет от деления отрицательных чисел перейти к умножению.

Осталось рассмотреть применение рассмотренных правил деления отрицательных чисел при решении примеров.

Примеры деления отрицательных чисел

Разберем примеры деления отрицательных чисел . Начнем с простых случаев, на которых отработаем применение правила деления.

Пример.

Разделите отрицательное число −18 на отрицательное число −3 , после этого вычислите частное (−5):(−2) .

Решение.

По правилу деления отрицательных чисел частное от деления −18 на −3 равно частному от деления модулей этих чисел. Так как |−18|=18 и |−3|=3 , то (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , осталось лишь выполнить деление натуральных чисел , имеем 18:3=6 .

Аналогично решаем вторую часть задания. Так как |−5|=5 и |−2|=2 , то (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Этому частному отвечает обыкновенная дробь 5/2 , которую можно записать в виде смешанного числа .

Эти же результаты получаются, если использовать другое правило деления отрицательных чисел. Действительно, числу −3 обратно число , тогда , теперь выполняем умножение отрицательных чисел : . Аналогично, .

Ответ:

(−18):(−3)=6 и .

При делении дробных рациональных чисел удобнее всего работать с обыкновенными дробями. Но, если удобно, то можно делить и конечные десятичные дроби .

Пример.

Выполните деление числа −0,004 на −0,25 .

Решение.

Модули делимого и делителя равны соответственно 0,004 и 0,25 , тогда по правилу деления отрицательных чисел имеем (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• либо выполнить деление десятичных дробей столбиком ,
• либо перейти от десятичных дробей к обыкновенным, после чего разделить соответствующие обыкновенные дроби.

Разберем оба подхода.

Чтобы разделить столбиком 0,004 на 0,25 сначала перенесем запятую на 2 цифры вправо, при этом придем к делению 0,4 на 25 . Теперь выполняем деление столбиком:

Таким образом, 0,004:0,25=0,016 .

А теперь покажем, как бы выглядело решение, если бы мы решили осуществить перевод десятичных дробей в обыкновенные . Так как и , то , и выполняем

Урок математики в 6 классе.

Деление чисел с разными знаками.

Цель: Научить учащихся делить числа с разными знаками.

Образовательные: Учить детей делить числа с разными знаками;

Развивающие: Развивать познавательный интерес, с помощью использования исторического материала;

Воспитывающие: Учить правильной записи деления чисел с разными знаками.

Ход урока:

1) Проверка домашнего задания.

2) Актуализация знаний.

3) Изучение нового материала.

4) Закрепление пройденного материала.

5) Запись домашнего задания.

6) Подведение итогов урока.

I . Проверка домашнего задания.

Учитель: Есть вопросы по домашнему заданию?

Если вопросов нет, то Один-два человека идут к доске, еще три человека получают карточку.

Карточка.

II . Актуализация знаний.

Найдите значение выражения.

1. – 0,4 * (- 2,5)

Решить уравнение:
1) х* 47= 141

III . Изучение нового материала

Решим следующее уравнение.

Что называется корнем?

Как найти корень данного уравнения?

Умеем ли мы делить числа разного знака?

На что умножить 25, что бы получилось – 125 (-5).

Сделаем проверку

5* 25= -125 , т.е. -125: 25=-5

Отсюда, пожалуйста, сделаете вывод, как делить числа разного знака?

Правило формулируют ученики.

Решим еще одно уравнение.

Умеем ли мы делить отрицательные числа?

На что нужно умножить -14 , что бы получилось -42 (3)

Т.е. -42: (-14)=3

Давайте выведем правило деление чисел одного знака.

Правило формулируют ученики.

Посмотрите какое правило Вам предлагают в учебнике. (п. 36)

IV . Закрепление пройденного материала.

Известно, что натуральны ечисла возникли при с чете предметов. Потребность человека и змерять величины ито объстоятельство,
что результат измерения не всегда выражается целыми
числами при вел красширению множества натуральных чисел.
Были введены ноль и дробные числа. Процесс историчес кого
развити японяти ячисла на этом не закончился. Однако не
всегдапервым толчком красширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Бывала итак,
что задачи самой математики требовали расширения понятия
числа.

Именно так обстояло дело свозникновением отрицательных
чисел.

Давайте с вами вспомним, когда нам понадобились отрицательные числа? (при вычитании из меньшего большего.)

Для производства вычислений математики того времени пользовались
счетной доской, на которой числа изображались спомощью
счетных палочек. Так как знаков +и-вто время еще не
было, палочками красного цвета изображали положительные
числа, отрицательные же -палочками черного цвета. Отрицательные числа долгое время называли словами, которые означали «долг», «недостача».

На слайде Вы сейчас видете древние счетные доски Рилян, Греков и Китайцев.

Даже вV II в. вИндии положительныечисла толковались как имущество, аотрицательные -как
, долг. Вдревнем Китае были известны лишь правила сложения
ивычитания положительных иотрицательных чисел; правила
умножения иделения не применялись.

На слайде 8

В древней Индии математик Бхаскара (XII в.) выразил правила
умноженияиделения следующим образом: «Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества на долг есть убыток. То же правило имеет место и
при делении».

Долгое время отрицательные числа вызывали неодобрение. Не одобряли их долго иевропейские математики, потому
что истолкование «имущество -долг» вызывало недоумения и
сомнения. В самом деле, можно «складывать» или «вычитать»
имущества идолги, но какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг?

Вот почему сбольшим трудом завоевывали себе место вматематике отрицательные числа.

И только в 17 веке в Европе отрицательные числа прочно вошли в математику.

Давайте, сейчас вернемся в меню (слайд 2) . И выполним гимнастику для глаз. Каждый пункт выполнен в виде какой-либо фигуры, сейчас по очереди только глазами обведите каждую из них сначала по часовой стрелке, потом против часовой стрелки.

У каждого из Вас есть таблица, заполните ее.

b

0 , 48

b

0 , 48

В 1881 году была найдена зарытой вземле близ Бахшали (се веро-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая -
как полагают, относится кV I -V III вв. Вэтом памятнике, написонном на березовой коре иизвестном внастоящее время под названием « Бахшалийской рукописи», содержится такая задача: (слайд 11)

«Из четырех жертвователей второй дал вдвое
больше первого, третий -втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, авсе вместе дали 132. Сколько дал первый?»

Решение: (слайд 12)

I жертвователь - Х

II жертвователь – 2х

III жертвователь- 3*2х 132

IV жертвователь- 4*3*2х

Х+ 2х+ 3*2х+4*3*2х=132

Х+2х+6х+24х=132

В этой же рукописи предложено решение методом ложного положения, когда предполагается, что первый пожертвовал - 1, второй-2 , третий-6 и четвертый -24.

Вместе получилось 33, что в 4 раза меньше 132.Следовательно, первый пожертвовал -4.

IV . Запись домашнего задания.

П. 36, № 1172 (а-е), № 1173 (а - в), № 1175.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением .

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

• положительное число х положительное число = положительное число;
• отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
• положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
• отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.