В 1933 г. В. А. Котельников доказал теорему, которая является одним из фундаментальных положений теоретической радиотехники. Эта теорема устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Построение ортонормированного базиса.

Как было показано, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству

являются ортогональными. Путем соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье.

Достаточно рассмотреть лишь функцию

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Поскольку

функции и будут ортонормированными, если

Бесконечная совокупность функций

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением Отдельная функция называется отсчетной функцией.

Ряд Котельникова. Если - произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот - , то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

Коэффициентами рада служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и отсчетной функции:

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Рэлея. Легко проверить, что отсчетная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную . Это видно из сравнения формул (5.3) и (5.13). Тогда, если - спектр изучаемого сигнала то

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как т. е. мгновенное значение сигнала отсчетной точке

Таким образом,

откуда следует выражение ряда Котельникова:

Теорему Котельникова на основании последнего равенства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени

Пример 5.1. Дан сигнал

Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих на частотах выше граничной частоты

Если то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала

В предельном случае, когда частота стремится к слева, т. е.

на каждый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки.

Если же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановлен ние исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -

Рис. 5.2. Аппаратурная реализация синтеза сигнала по ряду Котельникова

Аппаратурная реализация синтеза сигнала, представленного рядом Котельникова.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере; она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 5.2).

Пусть имеется совокупность генераторов, создающих на выходных зажимах отсчетные функции . Генераторы являются управляемыми - амплитуда их сигналов пропорциональна отсчетным значениям Если объединить колебания на выходах, подав их на сумматор, то с выхода сумматора в соответствии с формулой (5.18) можно будет снимать мгновенные значения синтезируемого сигнала s(t).

Пример 5.2. Прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой и длительностью не принадлежит к числу сигналов с ограниченным спектром. Тем не менее модуль его спектральной плотности достаточно быстро (по закону ) уменьшается с ростом частоты.

Описание такого сигнала двумя отсчетами в начале и в конце импульса будет означать замену исходного колебания сигналом со спектром, ограниченным сверху частотой Математическая модель этого сигнала такова:

Если же описать импульс тремя равноотстоящими отсчетами, то приходим к аппроксимирующему сигналу, содержащему частоты вплоть до

Естественно, что с ростом числа учитываемых членов, т. е. с уменьшением временного интервала между выборками, точность аппроксимации будет повышаться.

Оценка ошибки, возникающей при аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова.

Если - произвольный сигнал, то его можно представить суммой к в которую входит сигнал со спектром, ограниченным значением а также сигнал ошибки аппроксимации со спектром, занимающим в обшем случае бесконечную полосу частот .

Спектры указанных сигналов не перекрываются, поэтому сигналы ортогональны, а их энергии, т. е. квадраты норм, складываются:

В качестве меры ошибки аппроксимации можно принять расстояние, равное норме сигнала ошибки. Если - энергетический спектр сигнала то по теореме Рэлея

Пример 5.3. Дан экспоненциальный видеоимпульс , характеризующийся энергетическим спектром и нормой

Эффективная длительность этого импульса (см. гл. 2)

Спектр рассматриваемого сигнала неограничен. Поэтому следует предварительно подвергнуть сигнал низкочастотной фильтрации, пропустив его через фильтр нижних частот (ФНЧ). Значение верхней частоты полосы пропускания фильтра следует выбирать в зависимости от того, сколь часто берутся отсчеты сигнала на выходе ФНЧ. Предположим, что за время измеряются отсчетов с интервалом . Согласно теореме Котельникова, это означает, что .

Сигнал с выхода ФНЧ восстанавливается по своим отсчетным значениям точно. Однако по отношению к исходному видеоимпульсу неизбежна ошибка. В данном случае норма сигнала ошибки

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании ана­логового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации . Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Ес­ли аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотойF e , (т.е. функцияu(t) имеет вид плавно изме­няющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некото­ром небольшом временном интервале дискретизацииэта функция может существенно изменяться по амплитуде. Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сиг­нала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшени­ем интервала дискретизациисущественно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискре­тизациивозрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.

Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается тео­ремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в мате­матике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), дока­занной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возмож­ность правильно осуществить дискре­тизацию аналогового сигнала и опреде­ляет оптимальный способ его восста­новления на приемном конце по отсчетным значениям.

Рис.14.1. Представление спектральной плотности

Согласно одной из наиболее из­вестных и простых интерпретаций тео­ремы Котельникова, произвольный сиг­нал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой F e может - быть полностью восстановлен по последо­вательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации и частотуF e (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

(2)

где k - номер отсчета; - значение сигнала в точках отсчета;- верхняя частота спектра сигнала.

Для доказательства теоремы Котельникова рассмотрим произвольный непрерывный сигнал и(t), спектральная плотность которого сосредото­чена в полосе частот(сплошная линия на рис.14.1).

Мысленно дополним график спектральной плотности симметрично значениям, повторяющимся с периодом, (штриховые линии на рис.14.1). Полученную таким образом периодическую функцию разложим в ряд Фу­рье, заменив в формуле

аргумент t на с, частотунаи (фор­мально)п наk . Тогда

(3)

Полагая, что в соотношении

период - это , а интервал дис­кретизациизапишем

(4)

Воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье и представим исходный непрерывный сигнал в следующем виде:

(5)

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-то отсчета времени. Поскольку время , то

Сравнив это выражение с формулой для C k , замечаем, чтоС учетом этого соотношения спектральная функция (3), после несложных преобра­зований, примет вид:

Затем проделаем следующее: подставим выражение в соотношение, изменим порядок интегрирования и суммирования, представим отно­шение как, и вычислим интеграл.

В результате получим такую фор­мулу:

Из этого соотношения следует, что непрерывная функция u(t) дейст­вительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплиту­ды в отсчетные моменты времени , что и доказывает теорему Ко­тельникова.

Простейшие сигналы вида ортогональные друг другу на интерва­ле времени -,, называются функ­циями отсчетов, базисными функция­ми, или функциями Котельникова. График k-й функции Котельникова представлен на рис. 2. Каждая из ба­зисных функцийs k (t) сдвинута относи­тельно подобной ближайшей функцииs k-1 (t) илиs k+1 (t) на интервал дискрети­зации. Элементарный анализ фор­мулы (10) и графика на рис. 14.3 пока­зывает, что сигналs k (t) отражается

Рис. 14.2. График базисной функции Котельникова

Рис.14.3. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова функцией sinx/x, которая также характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис. 14.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента t построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0,, 2и 3, взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты времени kDt, непрерывный сигнал абсолютно точно аппроксимируется независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) аппроксимируется тем точнее, чем больше суммируется членов ряда Котельникова (2).

Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности T х . Как известно, такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако на практике можно ограничиться некоторой верхней частотойF в за пределами которой в спектре содержится пренебрежительно малая доля энергии по сравнению с энергией всего исходного сигнала. В радиотехнике таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностьюT х с верхней граничной частотой спектраF в может быть представлен рядом Котельникова с определенным, ограниченным числом отсчетов

(10)

Здесь - число отсчетов.

Рис.14.4. Представление прямоугольного импульса отсчетами.

Теорема Котельникова (теорема отсчетов)

Проблема дискретизации сигналов с ограниченным спектром широко освещена в литературе, и основой ее служит теорема Котельникова (теорема Найквиста - Шеннона, или теорема отсчетов). Считается, что первыми фундаментальными трудами в этой области были работа В. А. Котельникова «О пропускной способности “эфира” и проволоки в электросвязи» (1933) и статья К. Шеннона «Связь при наличии шума» (1949). Статья К. Шеннона была написана на основе работы Е. Т. Уттакера «Функции, представляемые распространением теории интерполяции» (1915). Проблема представления функции отдельными значениями и восстановления ее при помощи интерполяции начала решаться в XVIII в. в работах О. Коши, П.-С. Лапласа и т.д., а позднее описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли.

Для того чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми погрешностями, необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации At. Интуитивно нетрудно понять следующую разумную идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой F B (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации At эта функция может существенно изменяться но амплитуде.

Точность восстановления аналогового сигнала по его отсчетам зависит от интервала дискретизации At. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала At существенно возрастают сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При большом интервале дискретизации At возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.

Оптимальное значение интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова. Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций этой теоремы произвольный сигнал u(t ), спектр которого ограничен некоторой частотой F B , может быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений , следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации At и частоту F d = F n в теории связи иногда называют соответственно интервалом и частотой Найквиста.

Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; u(kAt) - значения непрерывного сигнала u(t) в точках отсчета; со в = 2nF n = к/At - верхняя частота спектра сигнала.

Для доказательства теоремы рассмотрим аналоговый сигнал u(f), спектральная плотность 5(со) которого сосредоточена в полосе -оо в t на со, частоту co t = со в на At и п на k. Тогда

Рис. 6.2. Представление спектральной плотности периодической функцией

Полагая в формуле (2.21) период 2со в, а интервал дискретизации At = л/со п, получим

Используя обратное преобразование Фурье (2.30), запишем сигнал как

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-vo отсчета времени. Поскольку t = kAt = kn/ со в, то

Сравнив эту формулу с формулой (6.4), замечаем, что C k = Atu(kAt). С учетом этого соотношения спектральная функция (6.3) после преобразований примет вид

Подставим соотношение (6.6) в формулу (6.5), изменим порядок интегрирования и суммирования, представим n/At =

Из этой формулы следует, что непрерывная функция u(t) действительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплитуды в отсчетные моменты времени t = kAt, что и доказывает теорему Котельникова. Сигналы

ортогональные на интервале [-°°, +°°], называются функциями отсчетов или функциями Котельникова. График k- функции Котельникова представлен на рис. 6.3. Каждая из функций s k (t) сдвинута относительно ближайшей s k ,(?) или s k + l (t) на интервал дискретизации At. Анализ формулы

(6.7) и графика на рис. 6.3 показывает, что сигнал s k (t) отражается функцией sinx/x y которая характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Рис. 6.3.

Представление сигнала u(t) рядом Котельникова (6.3) иллюстрируется диаграммами на рис. 6.4. На графике построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты 0, At, 2At и ЗД?, взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты kAt непрерывный сигнал абсолютно точно восстанавливается независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) восстанавливается тем точнее, чем больше суммируется членов ряда (6.3). Заметим, что соединить дискретные отсчеты сигнала на графике прямыми линиями было бы не совсем верно, так как при восстановлении непрерывного сигнала по дискретному используют более сложные интерполирующие функции.

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, большинство звуковых сигналов можно с некоторой степенью точности считать сигналами с ограниченным спектром. Их спектр лежит ниже 20 кГц. Это значит, что при дискретизации с частотой не менее 40 кГц мы можем потом более или менее точно восстановить исходный аналоговый звуковой сигнал по его цифровым отсчетам.

Рис. 6.4.

Пример 6.1

Сигнал звукового сопровождения в телевизионном канале ограничен верхней частотой /„ = 12 кГц. Определим интервал At между отсчетами, необходимый для неискаженного воспроизведения дискретизированного сигнала. Решение

Определяем интервал дискретизации: At = 1/(2/ в) = 1/(2 12 -10 ’) ~ 42 10 6 с.

Впоследствии было предложено много различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчетов:

• для функций, отсчеты которых берутся в произвольные моменты времени;
• для многомерных функций (например, для телевизионных сигналов);
• для функций, у которых берутся отсчеты и самой функции, и ее производной.

Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности Т п. Такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако всегда можно ограничиться верхней частотой F B , за пределами которой в спектре содержится малая доля энергии по сравнению с энергией всего сигнала. В теории связи таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностью Т И с верхней граничной частотой спектра F B может быть представлен рядом Котельникова с ограниченным числом отсчетов

Здесь Л г = TJAt - число отсчетов.

Пример 6.2

Представим рядом Котельникова прямоугольный импульс напряжения единичной амплитуды и длительности т„ для двух случаев: спектр аппроксимирующей функции ограничен значениями верхней частоты F Bl = 1/(2т и) и F d2 = 1/т„.

Решение

Для первого случая интервал дискретизации At = 1/(2F B) = т и, а значит, импульс будет представлен всего двумя отсчетными значениями - в начале и концс импульса. Подставив в формулу (6.8) значения амплитуды и длительности импульса, запишем математическую модель аппроксимирующей функции:

Во втором случае импульс дискретизируют тремя равными отсчетами, производимыми в моменты t = 0, т (1 /2 и т и, т.е. в начале, середине и конце импульса. Тогда

Временные диаграммы аппроксимирующих функций u 2 (t) и u 3 (t) и образующие их члены ряда Котельникова представлены на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Представление прямоугольного импульса отсчетами:

а - двумя; 6 - тремя

Пример б.З

Определим минимальную частоту дискретизации по Котельникову, при которой гармонический сигнал u(t) = cos(2nF 0 t +

Решение

При выборе интервала дискретизации At = 1/(2F B), где F B - верхняя граничная частота спектра, непрерывный сигнал u(t) можно восстановить по отсчетам (рис. 6.6, а). Если соотношение частот F 0 щ = = cos (knF 0 /F B + %).

В предельном случае, когда частота сигнала F 0 стремится к частоте дискретизации F B слева, т.е. F 0 = lim (F n - р), на каждом периоде исходного сигнала долж-

но осуществляться два отсчета.

Восстановление функции зависит от фазы отсчетов сигнала относительно выборок. Если максимум синусоиды приходится на середину интервала между отсчетами, то погрешность наибольшая, если же на отсчет, то - наименьшая.

Рис. 6.6.

а - при F 0 по двум отсчетам

Очевидно, что выборки могут попадать на нулевые значения синусоиды, экстремумы или промежуточные значения. Так как априорно фаза выборок относительно дискретизируемой синусоиды неизвестна, то после восстановления сигнала фильтром синусоиду можно не увидеть. В этом примере самая высокая точность восстановления синусоиды будет тогда, когда обе выборки взяты в ее максимальных значениях. Колебание на входе ФНЧ имеет пилообразную форму той же частоты, что и частота синусоиды (штриховые линии на рис. 6.6, б).

Если отсчеты производят недостаточно часто и условия теоремы Котельникова нарушаются, то однозначное восстановление гармонического сигнала невозможно. В этих случаях через отсчетные моменты времени можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -F n F Можно утверждать, что погрешность восстановления синусоиды при частоте выборок 2F 0 может составлять 100%. Уже этого достаточно для подтверждения правильности изложенных выводов.

Пример 6.4

Дискретизированный в соответствии с теоремой Котельникова непрерывный сигнал u(t) имеет два отсчета на временной оси (рис. 6.7). Вычислим мгновенное значение исходного сигнала в момент времени t = 1 мкс.

Рис. 6.7.

Решение

По рис. 6.7 определяем, что интервал дискретизации = 210 (, си верхняя частота спектра исходного сигнала со в = к/ At = 1,57- 10 f> с -1 . Согласно формуле

(6.8) ряд Котельникова в этом случае примет вид

Из этого соотношения находим мгновенное значение аналогового сигнала в момент времени t = 1 мкс: u(t = 1 мкс) = 22,3 В.

Теорема Котельникова

5.3. Теорема Котельникова.

5.3.1. Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.5.2а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.5.1, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.

Рис. 5.1. График реализации телеграфного сигнала.

а)

б)

в)

г)
Рис. 5.2. Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал; в – дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г – ошибка квантования

5.3.2. Сигналы с дискретным временем.

Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.5.2 а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.5.2б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.5.2б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.

5.3.3. Цифровые сигналы.

Как будет показано в дальнейшем, при передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешенным значением. Число разрешенных значений амплитуд импульсов конечно и задано. Например, на рис.5.2в разрешенные значения амплитуд пронумерованы цифрами 1, 2, 3, …; величина Δu равна разности между любыми двумя соседними разрешенными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса сигнала uΔ(t), подлежащее передаче, попадает между разрешенными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешенному значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием, совокупность разрешенных значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал Δu между соседними разрешенными значениями – шагом квантования. Например, на рис. 2в разрешенные значения амплитуд импульсов приняты равными целым числам 0; 1; 2; 3 и образуют равномерную шкалу квантования, которая может быть продолжена и на область отрицательных значений сигнала u(t); при этом шаг квантования Δu=1.

Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигнала uΔ(t), также является импульсным сигналом, для которого введем обозначения u ц(t). Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешенные значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют дискретными или цифровыми. Квантование приводит к ошибке квантования e(t) = u ц(t) – uΔ(t). На рис.5.2г приведен пример временной диаграммы ошибки е(t). Передача цифрового сигнала u ц(t) вместо сигнала uΔ(t) фактически эквивалентна передаче импульсного сигнала uΔ(t) с предварительно наложенным на него сигналом ошибки е(t), который в этом случае может рассматриваться как помеха. Поэтому е(t) часто называют помехой квантования или шумом квантования.

5.3.4. Теорема Котельникова.

Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А.Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем f в герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.

Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой f в. Если интервал дискретизации Δt<2 f в, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой w в<=wΔ/2 можно представить рядом

, (2)

Где u(nΔt), n=…-1, 0, +1,… - отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), wΔ = 2¶fΔ , fΔ=ЅΔt – частота дискретизации по времени.

Ряд 2 имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала u(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(nΔt), n=…-1, 0, +1, … как до, так и после указанного момента t. Точное равенство в (2) достигается, только когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (2), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала u(t).

Представление сигнала u(t) рядом (2) иллюстрируется с помощью рис.5.3, на котором изображены временные диаграммы сигнала u(t) и трех слагаемых ряда (2).

Рис.5.3. Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова.

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако, выбирая шаг дискретизации Δt достаточно малый, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота f в = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ і 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fΔ<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании ана­логового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации

. Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Ес­ли аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой F e , (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изме­няющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некото­ром небольшом временном интервале дискретизации эта функция может существенно изменяться по амплитуде.
Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сиг­нала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации . Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшени­ем интервала дискретизации существенно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискре­тизации возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.
Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается тео­ремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в мате­матике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), дока­занной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возмож­ность правильно осуществить дискре­тизацию аналогового сигнала и опреде­ляет оптимальный способ его восста­новления на приемном конце по отсчетным значениям.
Рис.14.1. Представление спектральной плотности

Согласно одной из наиболее из­вестных и простых интерпретаций тео­ремы Котельникова, произвольный сиг­нал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой F e может - быть полностью восстановлен по последо­вательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

(1)

Интервал дискретизации

и частоту F e (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом (2)

Где k - номер отсчета;

- значение сигнала в точках отсчета; - верхняя частота спектра сигнала.
Для доказательства теоремы Котельникова рассмотрим произвольный непрерывный сигнал и(t), спектральная плотность которого сосредото­чена в полосе частот (сплошная линия на рис.14.1).
Мысленно дополним график спектральной плотности симметрично значениям, повторяющимся с периодом , (штриховые линии на рис.14.1). Полученную таким образом периодическую функцию разложим в ряд Фу­рье, заменив в формуле

аргумент t на с

, частоту на и (фор­мально) п на k . Тогда (3)

период - это

, а интервал дис­кретизации запишем (4)

Воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье и представим исходный непрерывный сигнал в следующем виде:

(5)

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-то отсчета времени. Поскольку время , то

Сравнив это выражение с формулой для C k , замечаем, что С учетом этого соотношения спектральная функция (3), после несложных преобра­зований, примет вид: (7)

Затем проделаем следующее: подставим выражение

в соотношение , изменим порядок интегрирования и суммирования, представим отно­шение как , и вычислим интеграл.
В результате получим такую фор­мулу:

Из этого соотношения следует, что непрерывная функция u(t) дейст­вительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплиту­ды в отсчетные моменты времени

, что и доказывает теорему Ко­тельникова.
Простейшие сигналы вида ортогональные друг другу на интерва­ле времени -, , называются функ­циями отсчетов, базисными функция­ми, или функциями Котельникова. График k-й функции Котельникова представлен на рис. 2. Каждая из ба­зисных функций s k (t) сдвинута относи­тельно подобной ближайшей функции s k-1 (t) или s k+1 (t) на интервал дискрети­зации . Элементарный анализ фор­мулы (10) и графика на рис. 14.3 пока­зывает, что сигнал s k (t) отражается
Рис. 14.2. График базисной функции Котельникова


Рис.14.3. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова функцией sinx/x, которая также характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис. 14.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента t построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0,