การคูณเมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วยตัวเลข การดำเนินการกับเมทริกซ์
การบรรยายครั้งที่ 1
เมทริกซ์
ความหมายและประเภทของเมทริกซ์
คำจำกัดความ 1.1เมทริกซ์ขนาด ต ปเป็นตารางตัวเลขสี่เหลี่ยม (หรือวัตถุอื่นๆ) ที่ประกอบด้วย มเส้นและ nคอลัมน์
เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน เช่น ก, บี, ค,...เรียกตัวเลข (หรือวัตถุอื่นๆ) ที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์สามารถเป็นฟังก์ชันได้ ในการกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์จะใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กของตัวอักษรละตินที่มีการจัดทำดัชนีคู่: อ๋อดัชนีแรกอยู่ที่ไหน ฉัน(อ่าน – และ) – หมายเลขบรรทัด ดัชนีที่สอง เจ(อ่าน – จื่อ) – หมายเลขคอลัมน์
คำจำกัดความ 1.2เมทริกซ์เรียกว่า สี่เหลี่ยม n-ลำดับแรกหากจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์และเท่ากับจำนวนเดียวกัน ป
สำหรับเมทริกซ์จตุรัส จะมีการแนะนำแนวคิด หลักและรองเส้นทแยงมุม
คำจำกัดความ 1.3เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์จตุรัสประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีดัชนีเดียวกัน เช่น เหล่านี้คือองค์ประกอบ: ก 11,22,…
คำจำกัดความ 1.4 เส้นทแยงมุมถ้าองค์ประกอบทั้งหมดยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์
คำจำกัดความ 1.5เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส สามเหลี่ยมหากองค์ประกอบทั้งหมดอยู่ด้านล่าง (หรือสูงกว่า) เส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับศูนย์
คำจำกัดความ 1.6เมทริกซ์จตุรัส ป-ตามลำดับ โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับหนึ่ง และส่วนที่เหลือเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์ n-ลำดับที่ และแสดงด้วยตัวอักษร อี.
คำจำกัดความ 1.7เมทริกซ์ทุกขนาดเรียกว่า โมฆะ,หรือ เมทริกซ์โมฆะถ้าองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์
คำจำกัดความ 1.8เรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยหนึ่งแถว เมทริกซ์แถว
คำจำกัดความ 1.9เรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยหนึ่งคอลัมน์ เมทริกซ์คอลัมน์
ก = (ก 11 ก 12 ...ก 1น) –เมทริกซ์แถว;
คำจำกัดความ 1.10เมทริกซ์สองตัว กและ ในเรียกว่ามีขนาดเท่ากัน เท่ากันหากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันทั้งหมดของเมทริกซ์เหล่านี้เท่ากันนั่นคือ ไอจ = บิจเพื่อสิ่งใดๆ ฉัน= 1, 2, ..., ที; เจ = 1, 2,…, n.
การดำเนินงานเกี่ยวกับเมทริกซ์
การดำเนินการหลายอย่างสามารถทำได้กับเมทริกซ์และตัวเลขด้วย การดำเนินการหลักเกี่ยวกับเมทริกซ์คือการบวก (ลบ) เมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข การคูณเมทริกซ์ การดำเนินการเหล่านี้คล้ายกับการดำเนินการกับตัวเลข การดำเนินการเฉพาะคือการขนย้ายเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข
คำจำกัดความ 1.11ผลคูณของเมทริกซ์ A ตามจำนวนแล เรียกว่าเมทริกซ์ ข = ก,ซึ่งมีองค์ประกอบได้มาจากการคูณองค์ประกอบของเมทริกซ์ กตามหมายเลข แล .
ตัวอย่างที่ 1.1ค้นหาผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ ก= 
ถึงหมายเลข 5
สารละลาย- .◄ 5A= 
กฎสำหรับการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข: หากต้องการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ด้วยตัวเลขนั้น
ผลที่ตามมา
1. ตัวประกอบร่วมขององค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดสามารถนำออกจากเครื่องหมายเมทริกซ์ได้
2. ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ กสำหรับหมายเลข 0 จะมีเมทริกซ์เป็นศูนย์: ก· 0 = 0 .
การบวกเมทริกซ์
คำจำกัดความ 1.12ผลรวมของเมทริกซ์สองตัว A และ Bขนาดเดียวกัน เสื้อเรียกว่าเมทริกซ์ กับ= ก+ ในองค์ประกอบที่ได้มาจากการเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง กและเมทริกซ์ ใน, เช่น. ซีจ = ไอจ + บิจสำหรับ ฉัน = 1, 2, ..., ม; เจ= 1, 2, ..., n(เช่น เมทริกซ์จะถูกเพิ่มทีละองค์ประกอบ)
ผลที่ตามมาผลรวมเมทริกซ์ กโดยมีเมทริกซ์ศูนย์เท่ากับเมทริกซ์ดั้งเดิม: เอ + โอ = ก
1.2.3. การลบเมทริกซ์
ผลต่างของเมทริกซ์สองตัวขนาดเดียวกันถูกกำหนดโดยการดำเนินการก่อนหน้านี้: ก – ข = ก + (– 1)ใน.
คำนิยาม 1.13เมทริกซ์ –ก = (– 1)กเรียกว่า ตรงข้ามเมทริกซ์ ก.
ผลที่ตามมาผลรวมของเมทริกซ์ตรงข้ามเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์ : A + (–A) = O
การคูณเมทริกซ์
คำนิยาม 1.14การคูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ Bกำหนดเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง แล้ว ผลคูณของเมทริกซ์เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่า , แต่ละองค์ประกอบซึ่ง ซีจเท่ากับผลรวมผลคูณขององค์ประกอบ ฉันแถวที่หนึ่งของเมทริกซ์ กไปยังองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ บี.
ตัวอย่างที่ 1.4คำนวณผลคูณเมทริกซ์ ก · ข,ที่ไหน
ก= 
= 
ตัวอย่างที่ 1.5ค้นหาผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ เอบีและ เวอร์จิเนีย,ที่ไหน
หมายเหตุจากตัวอย่างที่ 1.4–1.5 พบว่าการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์มีความแตกต่างบางประการจากการคูณตัวเลข:
1) ถ้าผลคูณของเมทริกซ์ เอบีมีอยู่ จากนั้นหลังจากจัดเรียงตัวประกอบใหม่เป็นผลคูณของเมทริกซ์แล้ว เวอร์จิเนียอาจไม่มีอยู่จริง แท้จริงแล้วในตัวอย่างที่ 1.4 มีผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ AB อยู่ แต่ไม่มีผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ BA อยู่
2) แม้ว่าผลงานก็ตาม เอบีและ เวอร์จิเนียมีอยู่ ดังนั้นผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์อาจเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกันได้ ในกรณีที่ทั้งสองทำงาน เอบีและ เวอร์จิเนียมีเมทริกซ์ทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน (เป็นไปได้เฉพาะเมื่อคูณเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับเดียวกัน) จากนั้น กฎการสับเปลี่ยน (สับเปลี่ยน) ของการคูณยังคงใช้ไม่ได้เหล่านั้น. เอบี ใน A ดังตัวอย่างที่ 1.5;
3) อย่างไรก็ตาม หากคุณคูณเมทริกซ์กำลังสอง กไปจนถึงเมทริกซ์ประจำตัว อีลำดับเดียวกันนั้นแล้ว AE = EA = ก
ดังนั้นเมทริกซ์เอกลักษณ์จึงมีบทบาทในการคูณเมทริกซ์เหมือนกับที่เลข 1 ทำหน้าที่ในการคูณตัวเลข
4) ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวสามารถเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์ได้นั่นคือ จากข้อเท็จจริงที่ว่า เอบี= 0 มันไม่เป็นไปตามนั้น เอ = 0 หรือ บี= 0.
คู่มือนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการปฏิบัติ การดำเนินการกับเมทริกซ์: การบวก (ลบ) เมทริกซ์ การขนย้ายเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ การค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เนื้อหาทั้งหมดนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ โดยมีการยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นแม้แต่ผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ก็สามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการกับเมทริกซ์ได้ สำหรับการตรวจสอบตัวเองและการทดสอบตัวเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคำนวณเมทริกซ์ได้ฟรี >>>
ฉันจะพยายามลดการคำนวณทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด ในบางสถานที่คำอธิบาย "บนนิ้ว" และการใช้คำศัพท์ที่ไม่ใช่ทางวิทยาศาสตร์ก็เป็นไปได้ ผู้ชื่นชอบทฤษฎีที่มั่นคง โปรดอย่าวิจารณ์ หน้าที่ของเราคือ เรียนรู้ที่จะดำเนินการกับเมทริกซ์.
สำหรับการเตรียมการแบบ SUPER FAST ในหัวข้อ (ใครที่กำลัง “ลุกเป็นไฟ”) มีหลักสูตร pdf เข้มข้น เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ และทดสอบ!
เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางอัน องค์ประกอบ- เช่น องค์ประกอบเราจะพิจารณาตัวเลข ซึ่งก็คือเมทริกซ์เชิงตัวเลข องค์ประกอบเป็นคำศัพท์ ขอแนะนำให้จำคำนี้ไว้ซึ่งจะปรากฏบ่อยครั้งไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันใช้แบบอักษรตัวหนาเพื่อไฮไลต์
การกำหนด:เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่
ตัวอย่าง:พิจารณาเมทริกซ์สองคูณสาม:
เมทริกซ์นี้ประกอบด้วยหก องค์ประกอบ:
ตัวเลข (องค์ประกอบ) ทั้งหมดภายในเมทริกซ์มีอยู่ในตัวมันเอง นั่นคือไม่มีคำถามเกี่ยวกับการลบใด ๆ: 
เป็นเพียงตาราง(ชุด)ตัวเลข!
เราก็จะเห็นด้วยเช่นกัน อย่าจัดเรียงใหม่ตัวเลข เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในคำอธิบาย แต่ละหมายเลขมีที่ตั้งของตัวเองและไม่สามารถสับเปลี่ยนได้!
เมทริกซ์ที่ต้องการมีสองแถว: 
และสามคอลัมน์: 
มาตรฐาน: เมื่อพูดถึงขนาดเมทริกซ์แล้ว ตอนแรกระบุจำนวนแถวและระบุเฉพาะจำนวนคอลัมน์เท่านั้น เราเพิ่งแจกแจงเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 3 ออกมา
หากจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากันแสดงว่าเมทริกซ์นั้นถูกเรียก สี่เหลี่ยม, ตัวอย่างเช่น: 
– เมทริกซ์ขนาดสามคูณสาม
หากเมทริกซ์มีหนึ่งคอลัมน์หรือหนึ่งแถว เมทริกซ์ดังกล่าวก็จะถูกเรียกเช่นกัน เวกเตอร์.
อันที่จริง เรารู้จักแนวคิดเรื่องเมทริกซ์มาตั้งแต่สมัยเรียน เช่น พิจารณาจุดที่มีพิกัด "x" และ "y": โดยพื้นฐานแล้ว พิกัดของจุดจะถูกเขียนลงในเมทริกซ์ขนาดหนึ่งต่อสอง อย่างไรก็ตาม นี่คือตัวอย่างว่าทำไมลำดับของตัวเลขจึงมีความสำคัญ และเป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงบนระนาบ
ตอนนี้เรามาศึกษาต่อกันดีกว่า การดำเนินการกับเมทริกซ์:
1) ทำหน้าที่อย่างใดอย่างหนึ่ง การลบเครื่องหมายลบออกจากเมทริกซ์ (การนำเครื่องหมายลบเข้าไปในเมทริกซ์).
ลองกลับไปที่เมทริกซ์ของเราอีกครั้ง 
- ดังที่คุณคงสังเกตเห็นว่า มีจำนวนลบมากเกินไปในเมทริกซ์นี้ สิ่งนี้ไม่สะดวกมากจากมุมมองของการดำเนินการต่าง ๆ กับเมทริกซ์การเขียน minuses มากมายไม่สะดวกและการออกแบบก็ดูน่าเกลียด
ลองย้ายเครื่องหมายลบไปนอกเมทริกซ์ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์:
อย่างที่คุณเข้าใจที่ศูนย์ เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์ก็เท่ากับศูนย์ในแอฟริกาเช่นกัน
ตัวอย่างย้อนกลับ: 
- มันดูน่าเกลียด
เรามาแนะนำเครื่องหมายลบในเมทริกซ์โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกแต่ละตัวในเมทริกซ์:
มันดูดีขึ้นมาก และที่สำคัญที่สุด มันจะง่ายกว่าที่จะดำเนินการใดๆ กับเมทริกซ์ เนื่องจากมีสัญญาณพื้นบ้านทางคณิตศาสตร์ดังนี้: ยิ่งมี minuses มากเท่าไรก็ยิ่งเกิดความสับสนและข้อผิดพลาดมากขึ้นเท่านั้น.
2) พระราชบัญญัติที่สอง การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข.
ตัวอย่าง:
ง่ายมาก คุณต้องคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์คูณด้วยตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้ - สาม
อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์:
– การคูณเมทริกซ์ด้วยเศษส่วน
ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าจะทำอย่างไร ไม่จำเป็น:
ไม่จำเป็นต้องใส่เศษส่วนลงในเมทริกซ์ ประการแรก เพียงแต่จะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมกับเมทริกซ์มีความซับซ้อนเท่านั้น และประการที่สอง ทำให้ครูตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้ยาก (โดยเฉพาะถ้า 
– คำตอบสุดท้ายของงาน)
และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง, ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยลบเจ็ด:
จากบทความ คณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลองหรือจะเริ่มต้นอย่างไรเราจำได้ว่าในคณิตศาสตร์ชั้นสูงพวกเขาพยายามหลีกเลี่ยงเศษส่วนทศนิยมด้วยลูกน้ำในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้
สิ่งเดียวก็คือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่ต้องทำในตัวอย่างนี้คือการบวกลบเข้ากับเมทริกซ์:
แต่ถ้าเพียงเท่านั้น ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์ถูกหารด้วย 7 ไร้ร่องรอยดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ (และจำเป็น!) ที่จะแบ่ง
ตัวอย่าง:
ในกรณีนี้คุณสามารถทำได้ จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดด้วย เนื่องจากตัวเลขเมทริกซ์ทั้งหมดหารด้วย 2 ลงตัว ไร้ร่องรอย.
หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษาไม่มีแนวคิดเรื่อง "การหาร" แทนที่จะพูดว่า “นี่หารด้วยสิ่งนั้น” คุณสามารถพูดว่า “นี่คูณด้วยเศษส่วน” ได้เสมอ นั่นคือการหารเป็นกรณีพิเศษของการคูณ
3) พระราชบัญญัติที่สาม เมทริกซ์ทรานสโพส.
ในการทรานสโพสเมทริกซ์ คุณต้องเขียนแถวของเมทริกซ์ลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ทรานสโพส
ตัวอย่าง:
ย้ายเมทริกซ์
มีเพียงบรรทัดเดียวที่นี่และตามกฎแล้วจะต้องเขียนในคอลัมน์:
– เมทริกซ์ที่ถูกย้าย
เมทริกซ์ที่ถูกย้ายมักจะระบุด้วยตัวยกหรือจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบน
ตัวอย่างทีละขั้นตอน:
ย้ายเมทริกซ์ 
ขั้นแรกเราเขียนแถวแรกใหม่ในคอลัมน์แรก:
จากนั้นเราเขียนบรรทัดที่สองใหม่ในคอลัมน์ที่สอง: 
และสุดท้าย เราเขียนแถวที่สามใหม่ในคอลัมน์ที่สาม:
พร้อม. หากพูดโดยคร่าวๆ การย้ายตำแหน่งหมายถึงการพลิกเมทริกซ์ไปด้านข้าง
4) พระราชบัญญัติที่สี่ ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์.
ผลรวมของเมทริกซ์เป็นการดำเนินการง่ายๆ
ไม่สามารถพับเมทริกซ์ทั้งหมดได้ ในการบวก (ลบ) เมทริกซ์ จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน
ตัวอย่างเช่นหากได้รับเมทริกซ์แบบสองคูณสองก็จะสามารถเพิ่มได้เฉพาะกับเมทริกซ์แบบสองคูณสองเท่านั้นและไม่มีใครอื่นได้! 
ตัวอย่าง:
เพิ่มเมทริกซ์ 
และ 
ในการเพิ่มเมทริกซ์ คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกัน:
สำหรับผลต่างของเมทริกซ์ กฎจะคล้ายกัน จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง.
ตัวอย่าง:
ค้นหาผลต่างเมทริกซ์ 
, 
คุณจะแก้ตัวอย่างนี้ให้ง่ายขึ้นได้อย่างไรเพื่อไม่ให้สับสน? ขอแนะนำให้กำจัด minuses ที่ไม่จำเป็นออกไปโดยเพิ่มเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:
หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา ไม่มีแนวคิดเรื่องการ "ลบ" แทนที่จะพูดว่า “ลบสิ่งนี้ออกจากสิ่งนี้” คุณสามารถพูดว่า “บวกจำนวนลบเข้ากับสิ่งนี้” ได้เสมอ นั่นคือการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก
5) พระราชบัญญัติที่ห้า การคูณเมทริกซ์.
เมทริกซ์ใดที่สามารถคูณได้?
เพื่อให้เมทริกซ์คูณด้วยเมทริกซ์ จำเป็น เพื่อให้จำนวนคอลัมน์เมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวเมทริกซ์.
ตัวอย่าง:
เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์?
ซึ่งหมายความว่าข้อมูลเมทริกซ์สามารถคูณได้
แต่ถ้าเมทริกซ์ถูกจัดเรียงใหม่ ในกรณีนี้ การคูณจะเป็นไปไม่ได้อีกต่อไป!
ดังนั้นจึงไม่สามารถคูณได้:
ไม่ใช่เรื่องยากนักที่จะเผชิญกับงานที่มีกลอุบาย เมื่อนักเรียนถูกขอให้คูณเมทริกซ์ ซึ่งการคูณนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด
ควรสังเกตว่าในบางกรณี คุณสามารถคูณเมทริกซ์ได้ทั้งสองวิธี
ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ และทั้งการคูณและการคูณก็เป็นไปได้
ชั้นปีที่ 1 สูงขึ้น คณิตศาสตร์ กำลังศึกษาอยู่ เมทริกซ์และการดำเนินการขั้นพื้นฐานกับพวกเขา ที่นี่เราจัดระบบการดำเนินการพื้นฐานที่สามารถทำได้ด้วยเมทริกซ์ จะเริ่มทำความคุ้นเคยกับเมทริกซ์ได้ที่ไหน? แน่นอนว่าจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - คำจำกัดความ แนวคิดพื้นฐาน และการดำเนินการที่เรียบง่าย เรารับรองกับคุณว่าทุกคนที่อุทิศเวลาให้พวกเขาอย่างน้อยจะเข้าใจเมทริกซ์!
คำจำกัดความของเมทริกซ์
เมทริกซ์เป็นตารางธาตุรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พูดง่ายๆ ก็คือ ตารางตัวเลข
โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ ก , เมทริกซ์ บี และอื่น ๆ เมทริกซ์อาจมีขนาดแตกต่างกัน เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัส และยังมีเมทริกซ์แบบแถวและคอลัมน์ที่เรียกว่าเวกเตอร์อีกด้วย ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวและคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนเมทริกซ์ขนาดสี่เหลี่ยม ม บน n , ที่ไหน ม – จำนวนบรรทัด และ n – จำนวนคอลัมน์
รายการไหน ฉัน=เจ (a11, a22, .. ) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และเรียกว่าเส้นทแยงมุม
คุณสามารถทำอะไรกับเมทริกซ์? เพิ่ม/ลบ, คูณด้วยตัวเลข, ทวีคูณกันเอง, ย้าย- ทีนี้เกี่ยวกับการดำเนินการพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับเมทริกซ์ตามลำดับ
การดำเนินการบวกและการลบเมทริกซ์
ให้เราเตือนคุณทันทีว่าคุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน การบวก (หรือการลบ) เมทริกซ์นั้นง่ายมาก - คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง - ลองยกตัวอย่าง ลองบวกเมทริกซ์ A และ B ขนาด 2 คูณ 2 กัน
การลบทำได้โดยการเปรียบเทียบ เฉพาะเครื่องหมายที่ตรงกันข้ามเท่านั้น
เมทริกซ์ใดๆ สามารถคูณด้วยจำนวนใดก็ได้ เพื่อทำสิ่งนี้, คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น ลองคูณเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรกด้วยเลข 5:
การดำเนินการคูณเมทริกซ์
ไม่สามารถคูณเมทริกซ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันได้ ตัวอย่างเช่น เรามีเมทริกซ์สองตัว - A และ B ซึ่งสามารถคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ที่อยู่ในแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องในแถวที่ i ของปัจจัยแรกและคอลัมน์ที่ j ของ ที่สอง- เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริธึมนี้ ลองเขียนวิธีคูณเมทริกซ์กำลังสอง:
และตัวอย่างที่มีจำนวนจริง ลองคูณเมทริกซ์:
การดำเนินการย้ายเมทริกซ์
การขนย้ายเมทริกซ์คือการดำเนินการที่มีการสลับแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ลองย้ายเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรก:
ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์
ปัจจัยกำหนดหรือปัจจัยกำหนดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้น กาลครั้งหนึ่ง ผู้คนเกิดสมการเชิงเส้นขึ้นมา และหลังจากนั้นพวกเขาก็ต้องเกิดดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นมา ท้ายที่สุดแล้ว มันก็ขึ้นอยู่กับคุณแล้วว่าจะจัดการกับเรื่องทั้งหมดนี้ ดังนั้น แรงผลักดันครั้งสุดท้าย!
ดีเทอร์มิแนนต์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของเมทริกซ์จตุรัส ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ
ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสที่ง่ายที่สุด คุณต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง ซึ่งประกอบไปด้วยองค์ประกอบหนึ่ง มีค่าเท่ากับองค์ประกอบนี้
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์เป็นสามคูณสาม? นี่เป็นเรื่องยากกว่า แต่คุณสามารถรับมือได้
สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักกับผลคูณขององค์ประกอบที่วางอยู่บนรูปสามเหลี่ยมที่มีหน้าขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งผลคูณของ องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่วางอยู่บนสามเหลี่ยมที่มีหน้าของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิขนานกันจะถูกลบออก
โชคดีที่ในทางปฏิบัติ แทบไม่มีความจำเป็นที่จะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่
ที่นี่เราดูการดำเนินการพื้นฐานของเมทริกซ์ แน่นอนว่าในชีวิตจริงคุณอาจไม่เคยพบเห็นระบบสมการเมทริกซ์เลยแม้แต่น้อย หรือในทางกลับกัน คุณอาจพบกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้มากเมื่อคุณต้องระดมสมองจริงๆ ในกรณีเช่นนี้มีบริการนักศึกษาระดับมืออาชีพ ขอความช่วยเหลือ รับโซลูชันคุณภาพสูงและละเอียด เพลิดเพลินไปกับความสำเร็จทางวิชาการและเวลาว่าง
หัวข้อนี้จะครอบคลุมการดำเนินการต่างๆ เช่น การบวกและการลบเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ และการย้ายเมทริกซ์ สัญลักษณ์ทั้งหมดที่ใช้ในหน้านี้นำมาจากหัวข้อที่แล้ว
การบวกและการลบเมทริกซ์
ผลรวมของ $A+B$ ของเมทริกซ์ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ และ $B_(m\times n)=(b_(ij))$ เรียกว่าเมทริกซ์ $C_(m \times n) =(c_(ij))$ โดยที่ $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ สำหรับ $i=\overline(1,m)$ และ $j=\overline( 1,n) $.
มีการแนะนำคำจำกัดความที่คล้ายกันสำหรับความแตกต่างของเมทริกซ์:
ความแตกต่างระหว่างเมทริกซ์ $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ และ $B_(m\times n)=(b_(ij))$ คือเมทริกซ์ $C_(m\times n)=( c_(ij))$ โดยที่ $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ สำหรับ $i=\overline(1,m)$ ทั้งหมด และ $j=\overline(1, น)$
คำอธิบายสำหรับรายการ $i=\overline(1,m)$: show\hide
สัญกรณ์ "$i=\overline(1,m)$" หมายความว่าพารามิเตอร์ $i$ แตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง m ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ $i=\overline(1,5)$ บ่งชี้ว่าพารามิเตอร์ $i$ รับค่า 1, 2, 3, 4, 5
เป็นที่น่าสังเกตว่าการดำเนินการบวกและการลบถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น โดยทั่วไป การบวกและการลบเมทริกซ์เป็นการดำเนินการที่ชัดเจนตามสัญชาตญาณ เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วหมายถึงเพียงผลรวมหรือการลบองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่านั้น
ตัวอย่างหมายเลข 1
ให้เมทริกซ์สามตัว:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); - F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right) -
เป็นไปได้ไหมที่จะหาเมทริกซ์ $A+F$? ค้นหาเมทริกซ์ $C$ และ $D$ ถ้า $C=A+B$ และ $D=A-B$
เมทริกซ์ $A$ มี 2 แถวและ 3 คอลัมน์ (หรืออีกนัยหนึ่ง ขนาดของเมทริกซ์ $A$ คือ $2\คูณ 3$) และเมทริกซ์ $F$ มี 2 แถวและ 2 คอลัมน์ ขนาดของเมทริกซ์ $A$ และ $F$ ไม่ตรงกัน ดังนั้นเราจึงไม่สามารถบวกเข้าด้วยกันได้ กล่าวคือ การดำเนินการ $A+F$ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์เหล่านี้
ขนาดของเมทริกซ์ $A$ และ $B$ เท่ากัน กล่าวคือ ข้อมูลเมทริกซ์มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน ดังนั้นการดำเนินการเพิ่มเติมจึงใช้ได้กับข้อมูลเหล่านั้น
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(อาร์เรย์) \right)= \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
ลองหาเมทริกซ์ $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(อาร์เรย์) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(อาร์เรย์) \right) $$
คำตอบ: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(อาร์เรย์) \right)$
การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข
ผลคูณของเมทริกซ์ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ด้วยจำนวน $\alpha$ คือเมทริกซ์ $B_(m\times n)=(b_(ij))$ โดยที่ $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ สำหรับ $i=\overline(1,m)$ และ $j=\overline(1,n)$ ทั้งหมด
พูดง่ายๆ ก็คือ การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนหนึ่งหมายถึงการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่กำหนดด้วยจำนวนนั้น
ตัวอย่างหมายเลข 2
เมทริกซ์ได้รับ: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$ ค้นหาเมทริกซ์ $3\cdot A$, $-5\cdot A$ และ $-A$
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (อาร์เรย์) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(อาร์เรย์) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(อาร์เรย์) \right) -
สัญกรณ์ $-A$ เป็นสัญกรณ์ชวเลขสำหรับ $-1\cdot A$ นั่นคือ หากต้องการค้นหา $-A$ คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ $A$ ด้วย (-1) โดยพื้นฐานแล้ว นี่หมายความว่าเครื่องหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ $A$ จะเปลี่ยนเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ ซ้าย(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
คำตอบ: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
ผลคูณของเมทริกซ์สองตัว
คำจำกัดความของการดำเนินการนี้ยุ่งยากและไม่ชัดเจนเมื่อมองแวบแรก ดังนั้นก่อนอื่นฉันจะระบุคำจำกัดความทั่วไปแล้วเราจะวิเคราะห์โดยละเอียดว่ามันหมายถึงอะไรและทำงานอย่างไร
ผลคูณของเมทริกซ์ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ โดยเมทริกซ์ $B_(n\times k)=(b_(ij))$ คือเมทริกซ์ $C_(m\times k) )=(c_( ij))$ โดยที่แต่ละองค์ประกอบ $c_(ij)$ เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ i ของเมทริกซ์ $A$ โดยองค์ประกอบของ j - คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
ลองดูการคูณเมทริกซ์ทีละขั้นตอนโดยใช้ตัวอย่าง อย่างไรก็ตาม คุณควรทราบทันทีว่าไม่สามารถคูณเมทริกซ์ทั้งหมดได้ หากเราต้องการคูณเมทริกซ์ $A$ ด้วยเมทริกซ์ $B$ อันดับแรกเราต้องแน่ใจว่าจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $B$ (มักเรียกเมทริกซ์ดังกล่าวว่า ตามที่ตกลงกัน- ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $A_(5\times 4)$ (เมทริกซ์มี 5 แถวและ 4 คอลัมน์) ไม่สามารถคูณด้วยเมทริกซ์ $F_(9\times 8)$ (9 แถวและ 8 คอลัมน์) เนื่องจากตัวเลข ของคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A $ ไม่เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $F$ กล่าวคือ $4\neq 9$. แต่คุณสามารถคูณเมทริกซ์ $A_(5\times 4)$ ด้วยเมทริกซ์ $B_(4\times 9)$ ได้ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $ บี$. ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการคูณเมทริกซ์ $A_(5\times 4)$ และ $B_(4\times 9)$ จะเป็นเมทริกซ์ $C_(5\times 9)$ ซึ่งมี 5 แถวและ 9 คอลัมน์:
ตัวอย่างหมายเลข 3
เมทริกซ์ที่กำหนด: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ และ $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. ค้นหาเมทริกซ์ $C=A\cdot B$
ก่อนอื่น เรามากำหนดขนาดของเมทริกซ์ $C$ กันทันที เนื่องจากเมทริกซ์ $A$ มีขนาด $3\คูณ 4$ และเมทริกซ์ $B$ มีขนาด $4\คูณ 2$ ดังนั้นขนาดของเมทริกซ์ $C$ คือ: $3\คูณ 2$:
ดังนั้น จากผลคูณของเมทริกซ์ $A$ และ $B$ เราควรจะได้เมทริกซ์ $C$ ซึ่งประกอบด้วยสามแถวและสองคอลัมน์: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(อาร์เรย์) \right)$ หากการกำหนดองค์ประกอบทำให้เกิดคำถาม คุณสามารถดูหัวข้อก่อนหน้าได้: “เมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์” ซึ่งในตอนต้นของการอธิบายการกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์ เป้าหมายของเรา: ค้นหาค่าขององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ $C$
เริ่มจากองค์ประกอบ $c_(11)$ กันก่อน ในการรับองค์ประกอบ $c_(11)$ คุณต้องค้นหาผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวแรกของเมทริกซ์ $A$ และคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ $B$:
ในการค้นหาองค์ประกอบ $c_(11)$ เอง คุณจะต้องคูณองค์ประกอบของแถวแรกของเมทริกซ์ $A$ ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ $B$ กล่าวคือ องค์ประกอบแรกไปเป็นชิ้นแรก ชิ้นที่สองไปชิ้นที่สอง ชิ้นที่สามไปชิ้นที่สาม ชิ้นที่สี่ไปชิ้นที่สี่ เราสรุปผลลัพธ์ที่ได้รับ:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0 -
เรามาแก้โจทย์ต่อแล้วหา $c_(12)$ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคูณองค์ประกอบของแถวแรกของเมทริกซ์ $A$ และคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ $B$:
คล้ายกับอันก่อนหน้านี้ เรามี:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. -
พบองค์ประกอบทั้งหมดของแถวแรกของเมทริกซ์ $C$ แล้ว มาดูบรรทัดที่สองกันดีกว่า ซึ่งเริ่มต้นด้วยองค์ประกอบ $c_(21)$ หากต้องการค้นหา คุณจะต้องคูณองค์ประกอบของแถวที่สองของเมทริกซ์ $A$ และคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23 -
เราค้นหาองค์ประกอบถัดไป $c_(22)$ โดยการคูณองค์ประกอบของแถวที่สองของเมทริกซ์ $A$ ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. -
หากต้องการค้นหา $c_(31)$ ให้คูณองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์ $A$ ด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8 -
และสุดท้าย หากต้องการค้นหาองค์ประกอบ $c_(32)$ คุณจะต้องคูณองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์ $A$ ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216 -
พบองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ $C$ แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือเขียนว่า $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( อาร์เรย์) \right)$ หรือเขียนเต็มๆว่า
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right) -
คำตอบ: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
อย่างไรก็ตาม มักไม่มีเหตุผลที่จะอธิบายรายละเอียดตำแหน่งของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดเล็ก คุณสามารถทำได้ดังนี้:
เป็นที่น่าสังเกตว่าการคูณเมทริกซ์นั้นไม่มีการสลับสับเปลี่ยน ซึ่งหมายความว่าในกรณีทั่วไป $A\cdot B\neq B\cdot A$ เฉพาะเมทริกซ์บางประเภทเท่านั้นที่เรียกว่า เปลี่ยนแปลงได้(หรือการสับเปลี่ยน) ความเท่าเทียมกัน $A\cdot B=B\cdot A$ เป็นจริง มันขึ้นอยู่กับการไม่สับเปลี่ยนของการคูณอย่างชัดเจน ซึ่งเราต้องระบุอย่างชัดเจนว่าเราคูณนิพจน์ด้วยเมทริกซ์เฉพาะอย่างไร: ทางด้านขวาหรือด้านซ้าย ตัวอย่างเช่น วลี “คูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน $3E-F=Y$ ด้วยเมทริกซ์ $A$ ทางด้านขวา” หมายความว่าคุณต้องการได้รับความเท่าเทียมกันต่อไปนี้: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot เอ$.
การย้ายด้วยความเคารพต่อเมทริกซ์ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ คือเมทริกซ์ $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, สำหรับองค์ประกอบที่ $a_(ij)^(T)=a_(ji)$
พูดง่ายๆ เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่ถูกย้าย $A^T$ คุณจะต้องแทนที่คอลัมน์ในเมทริกซ์ดั้งเดิม $A$ ด้วยแถวที่สอดคล้องกันตามหลักการนี้: มีแถวแรก - จะมีคอลัมน์แรก ; มีแถวที่สอง - จะมีคอลัมน์ที่สอง มีแถวที่สาม - จะมีคอลัมน์ที่สามเป็นต้น ตัวอย่างเช่น ลองหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายไปยังเมทริกซ์ $A_(3\times 5)$:
ดังนั้น หากเมทริกซ์ดั้งเดิมมีขนาด $3\คูณ 5$ ดังนั้นเมทริกซ์ทรานสโพสจะมีขนาด $5\คูณ 3$
คุณสมบัติบางประการของการดำเนินการกับเมทริกซ์
ในที่นี้จะถือว่า $\alpha$, $\beta$ เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ $A$, $B$, $C$ เป็นเมทริกซ์ สำหรับคุณสมบัติสี่รายการแรกฉันระบุชื่อ ส่วนที่เหลือสามารถตั้งชื่อได้โดยการเปรียบเทียบกับสี่รายการแรก
- $A+B=B+A$ (การสับเปลี่ยนของการบวก)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (การเชื่อมโยงของการบวก)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (การกระจายตัวของการคูณด้วยเมทริกซ์เทียบกับการบวกตัวเลข)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (การกระจายตัวของการคูณด้วยตัวเลขที่สัมพันธ์กับการบวกเมทริกซ์)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$ โดยที่ $E$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่สอดคล้องกัน
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$ โดยที่ $O$ คือเมทริกซ์ศูนย์ที่มีขนาดเหมาะสม
- $\ซ้าย(A^T \right)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
ในส่วนถัดไป เราจะพิจารณาการดำเนินการยกเมทริกซ์ให้เป็นกำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และยังแก้ตัวอย่างที่จำเป็นต้องดำเนินการหลายอย่างกับเมทริกซ์