ผลรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์คืออะไร การพึ่งพาเชิงเส้นและอันดับเมทริกซ์

โปรดทราบว่าแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ถือได้ว่าเป็นเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ของมิติ มและ nตามลำดับ ดังนั้นเมทริกซ์ขนาดจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นเซต ม n-มิติหรือ n มเวกเตอร์เลขคณิตมิติ โดยการเปรียบเทียบกับเวกเตอร์เรขาคณิต เราแนะนำแนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์

4.8.1. คำนิยาม. เส้น
เรียกว่า การรวมเชิงเส้นของสตริงด้วยอัตราต่อรอง
หากองค์ประกอบทั้งหมดของบรรทัดนี้มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

,
.

4.8.2. คำนิยาม.

สตริง
ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับแถวศูนย์นั่นคือ มีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด

,
.

4.8.3. คำนิยาม.

สตริง
ถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้นหากเพียงผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยเท่านั้นที่เท่ากับแถวศูนย์นั่นคือ

,

4.8.4. ทฤษฎีบท. (เกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์)

เพื่อให้แถวต่างๆ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่อย่างน้อยหนึ่งแถวจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ

การพิสูจน์:

ความจำเป็น.ปล่อยให้เส้น
เป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นจะมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของพวกมันเท่ากับแถวศูนย์:

.

โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์แรกของผลรวมเชิงเส้นไม่เป็นศูนย์ (ไม่เช่นนั้น แถวต่างๆ ก็สามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้) หารอัตราส่วนนี้ด้วย , เราได้รับ

,

นั่นคือแถวแรกเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ

ความเพียงพอยกตัวอย่างบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งว่า ก็คือผลรวมเชิงเส้นของตัวอื่นๆ แล้ว

นั่นคือ มีการรวมสตริงเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ
เท่ากับสตริงศูนย์:

ซึ่งหมายถึงเส้น
เป็นแบบพึ่งพาเชิงเส้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ความคิดเห็น

คำจำกัดความและข้อความที่คล้ายกันสามารถกำหนดให้กับคอลัมน์ของเมทริกซ์ได้

§4.9 อันดับเมทริกซ์

4.9.1. คำนิยาม. ส่วนน้อยคำสั่ง เมทริกซ์ ขนาด
เรียกว่าตัวกำหนดลำดับ โดยมีธาตุอยู่ตรงจุดตัดกันบางส่วน เส้นและ คอลัมน์

4.9.2. คำนิยาม. คำสั่งซื้อย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์ ขนาด
เรียกว่า ขั้นพื้นฐาน ส่วนน้อยถ้าเมทริกซ์รองทุกตัวอยู่ในลำดับ
มีค่าเท่ากับศูนย์

ความคิดเห็น เมทริกซ์สามารถมีตัวรองที่เป็นพื้นฐานได้หลายตัว แน่นอนว่าทั้งหมดจะอยู่ในลำดับเดียวกัน เมทริกซ์ก็เป็นไปได้เช่นกัน ขนาด
คำสั่งย่อย แตกต่างจากศูนย์ และผู้เยาว์มีระเบียบ
ไม่มีอยู่จริงนั่นคือ
.

4.9.3. คำนิยาม. แถว (คอลัมน์) ที่เป็นฐานรองเรียกว่า ขั้นพื้นฐานแถว (คอลัมน์)

4.9.4. คำนิยาม. อันดับของเมทริกซ์เรียกว่าลำดับของฐานรอง อันดับเมทริกซ์ แสดงโดย
หรือ
.

ความคิดเห็น

โปรดทราบว่าเนื่องจากความเท่าเทียมกันของแถวและคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ อันดับของเมทริกซ์จึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อถูกย้าย

4.9.5. ทฤษฎีบท. (ค่าคงที่ของอันดับเมทริกซ์ภายใต้การแปลงเบื้องต้น)

อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลงเบื้องต้น

ไม่มีข้อพิสูจน์

4.9.6. ทฤษฎีบท. (เกี่ยวกับผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน)

แถวด้านล่าง (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น แถว (คอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) ได้

การพิสูจน์:

เรามาพิสูจน์สตริงกันดีกว่า การพิสูจน์คำสั่งสำหรับคอลัมน์สามารถดำเนินการได้โดยการเปรียบเทียบ

ให้อันดับของเมทริกซ์ ขนาด
เท่ากับ , ก
− ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราถือว่าฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบน (ไม่เช่นนั้น เมทริกซ์สามารถลดลงเป็นรูปแบบนี้ได้โดยใช้การแปลงเบื้องต้น):

.

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวฐานก่อน เราจะดำเนินการพิสูจน์โดยขัดแย้งกัน ให้เราสมมติว่าแถวพื้นฐานนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จากนั้น ตามทฤษฎีบท 4.8.4 หนึ่งในสตริงสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงพื้นฐานที่เหลือได้ ดังนั้น หากเราลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากแถวนี้ เราจะได้แถวศูนย์ ซึ่งหมายความว่าค่ารอง
เท่ากับศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของฐานรอง ดังนั้นเราจึงได้รับความขัดแย้ง ดังนั้นจึงพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวพื้นฐานแล้ว

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าทุกแถวของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานได้ หากเป็นหมายเลขบรรทัดที่เป็นปัญหา ตั้งแต่ 1 ถึง รเห็นได้ชัดว่าสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 สำหรับเส้นตรง และค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สำหรับแถวที่เหลือ ให้เราแสดงว่าถ้าเป็นหมายเลขบรรทัด จาก
ก่อน
ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงพื้นฐานได้ พิจารณาเมทริกซ์ไมเนอร์
ได้จากพื้นฐานไมเนอร์
เพิ่มบรรทัด และคอลัมน์ตามใจชอบ
:

ให้เราแสดงให้เห็นว่าผู้เยาว์รายนี้
จาก
ก่อน
และสำหรับหมายเลขคอลัมน์ใดๆ ตั้งแต่ 1 ถึง .

แน่นอนถ้าเป็นหมายเลขคอลัมน์ ตั้งแต่ 1 ถึง รจากนั้นเราก็มีดีเทอร์มิแนนต์ที่มีคอลัมน์สองคอลัมน์เหมือนกัน ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเท่ากับศูนย์ หากเป็นหมายเลขคอลัมน์ จาก ร+1 ถึง และหมายเลขบรรทัด จาก
ก่อน
, ที่
เป็นเมทริกซ์รองของเมทริกซ์ดั้งเดิมที่มีลำดับสูงกว่าเมทริกซ์รองพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่ามีค่าเท่ากับศูนย์จากคำจำกัดความของฐานรอง ดังนั้นผู้เยาว์จึงได้รับการพิสูจน์ว่า
เป็นศูนย์สำหรับหมายเลขบรรทัดใดๆ จาก
ก่อน
และสำหรับหมายเลขคอลัมน์ใดๆ ตั้งแต่ 1 ถึง - เมื่อขยายออกไปในคอลัมน์สุดท้าย เราจะได้:

ที่นี่
− การบวกพีชคณิตที่สอดคล้องกัน สังเกตว่า
เนื่องจากฉะนั้น
เป็นผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้นองค์ประกอบของเส้น เคสามารถแสดงเป็นการรวมกันเชิงเส้นขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวพื้นฐานโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับหมายเลขคอลัมน์ :

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานได้ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

บรรยายครั้งที่ 13

4.9.7. ทฤษฎีบท. (อันดับของเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์)

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสไม่เป็นเอกพจน์ ลำดับของเมทริกซ์จึงจำเป็นและเพียงพอเท่ากับขนาดของเมทริกซ์นี้

การพิสูจน์:

ความจำเป็น.ปล่อยให้เมทริกซ์กำลังสอง ขนาด nก็ไม่เสื่อมเสียแล้ว
ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จึงเป็นพื้นฐานรอง เช่น

ความเพียงพออนุญาต
ดังนั้นลำดับของฐานรองจะเท่ากับขนาดของเมทริกซ์ ดังนั้น ฐานรองจึงเป็นปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ , เช่น.
ตามคำจำกัดความของผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน

ผลที่ตามมา

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสไม่เป็นเอกพจน์ จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่แถวของเมทริกซ์จะเป็นอิสระเชิงเส้น

การพิสูจน์:

ความจำเป็น.เนื่องจากเมทริกซ์จตุรัสไม่ใช่เอกพจน์ อันดับของเมทริกซ์จึงเท่ากับขนาดของเมทริกซ์
นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นเป็นพื้นฐานรอง ดังนั้น ตามทฤษฎีบท 4.9.6 บนพื้นฐานรอง แถวของเมทริกซ์จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ความเพียงพอเนื่องจากแถวทั้งหมดของเมทริกซ์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น อันดับของเมทริกซ์จึงต้องไม่น้อยกว่าขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งหมายถึง
ดังนั้นตามทฤษฎีบท 4.9.7 ก่อนหน้า เมทริกซ์ ไม่เสื่อมโทรม

4.9.8. วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ในการค้นหาอันดับของเมทริกซ์

โปรดทราบว่าส่วนหนึ่งของวิธีนี้มีการอธิบายไว้โดยปริยายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทย่อยพื้นฐานแล้ว

4.9.8.1. คำนิยาม. ส่วนน้อย
เรียกว่า มีพรมแดนติดสัมพันธ์กับผู้เยาว์
หากได้รับจากผู้เยาว์
โดยการเพิ่มหนึ่งแถวใหม่และหนึ่งคอลัมน์ใหม่ให้กับเมทริกซ์ดั้งเดิม

4.9.8.2. ขั้นตอนการค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธี bordering minors

เราพบเมทริกซ์รองในปัจจุบันที่แตกต่างจากศูนย์

เราคำนวณผู้เยาว์ทั้งหมดที่อยู่ติดกับมัน

หากทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ผู้เยาว์ในปัจจุบันจะเป็นฐานหนึ่งและอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับลำดับของผู้เยาว์ในปัจจุบัน

หากในบรรดาผู้เยาว์ที่อยู่ติดกันมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่ไม่เป็นศูนย์ จะถือว่ายังเป็นปัจจุบันและขั้นตอนจะดำเนินต่อไป

โดยใช้วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ เราจะค้นหาอันดับของเมทริกซ์

.

ง่ายต่อการระบุลำดับรองอันดับสองที่ไม่เป็นศูนย์ในปัจจุบัน เช่น

.

เราคำนวณผู้เยาว์ที่อยู่ติดกับมัน:

ผลที่ตามมา เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นจึงเป็นผู้เยาว์
เป็นพื้นฐานนั่นคือ

ความคิดเห็น จากตัวอย่างที่พิจารณา เห็นได้ชัดว่าวิธีนี้ใช้แรงงานคนค่อนข้างมาก ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงมักใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นมากกว่าซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

4.9.9. การค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

ตามทฤษฎีบท 4.9.5 อาจแย้งได้ว่าอันดับของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเบื้องต้น (นั่นคือ อันดับของเมทริกซ์ที่เท่ากันจะเท่ากัน) ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์จึงเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนที่ได้รับจากเมทริกซ์ดั้งเดิมโดยการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนนั้นเห็นได้ชัดว่าเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์

เรามากำหนดอันดับของเมทริกซ์กันดีกว่า

โดยวิธีการแปลงเบื้องต้น

มานำเสนอเมทริกซ์กัน เพื่อดูขั้นตอน:

จำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ระดับผลลัพธ์คือสามดังนั้น

4.9.10. อันดับของระบบเวกเตอร์ปริภูมิเชิงเส้น

พิจารณาระบบเวกเตอร์
พื้นที่เชิงเส้นบางส่วน - ถ้ามันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็สามารถแยกแยะระบบย่อยอิสระเชิงเส้นได้

4.9.10.1. คำนิยาม. อันดับของระบบเวกเตอร์
พื้นที่เชิงเส้น เรียกว่าจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบนี้ อันดับระบบเวกเตอร์
แสดงว่าเป็น
.

ความคิดเห็น หากระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น อันดับของระบบจะเท่ากับจำนวนเวกเตอร์ในระบบ

ให้เรากำหนดทฤษฎีบทที่แสดงความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดเรื่องอันดับของระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นและอันดับของเมทริกซ์

4.9.10.2. ทฤษฎีบท. (อันดับของระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้น)

อันดับของระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ซึ่งมีคอลัมน์หรือแถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์ในบางพื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น

ไม่มีข้อพิสูจน์

ผลที่ตามมา

เพื่อให้ระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ลำดับของเมทริกซ์ คอลัมน์หรือแถวที่เป็นพิกัดของเวกเตอร์ในบางพื้นฐาน จำเป็นและเพียงพอจะเท่ากับจำนวน ของเวกเตอร์ในระบบ

หลักฐานก็ชัดเจน

4.9.10.3. ทฤษฎีบท (ในมิติของเปลือกเชิงเส้น)

มิติของเวกเตอร์ตัวเรือเชิงเส้น
พื้นที่เชิงเส้น เท่ากับอันดับของระบบเวกเตอร์นี้:

ไม่มีข้อพิสูจน์

อนุญาต

คอลัมน์เมทริกซ์มิติ ผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์เมทริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์คอลัมน์ โดยเรียกจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์การรวมเชิงเส้น- หากในการรวมเชิงเส้นเราหาค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นจะเท่ากับเมทริกซ์คอลัมน์ศูนย์

เรียกว่าคอลัมน์ของเมทริกซ์ เป็นอิสระเชิงเส้น หากผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์เท่านั้น เรียกว่าคอลัมน์ของเมทริกซ์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากมีชุดตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งอย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เป็นศูนย์ และผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกัน สามารถให้คำจำกัดความของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์ได้ ต่อไปนี้ ทฤษฎีบททั้งหมดได้รับการกำหนดไว้สำหรับคอลัมน์ของเมทริกซ์

ทฤษฎีบท 5

หากมีศูนย์ในคอลัมน์เมทริกซ์ คอลัมน์เมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

การพิสูจน์. พิจารณาชุดค่าผสมเชิงเส้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์สำหรับคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด และอีกค่าหนึ่งสำหรับคอลัมน์ศูนย์ทั้งหมด มันเท่ากับศูนย์ และในบรรดาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นจะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น คอลัมน์ของเมทริกซ์จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ทฤษฎีบท 6

ถ้า คอลัมน์เมทริกซ์ เป็นแบบพึ่งพาเชิงเส้น ก็แค่นั้นแหละ คอลัมน์เมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

การพิสูจน์. เพื่อความแน่นอน เราจะถือว่าคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้น ตามคำจำกัดความของการพึ่งพาเชิงเส้น จะมีชุดตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็นศูนย์ และผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

เรามาสร้างผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์ รวมถึงคอลัมน์ที่เหลือที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ด้วย

แต่ . ดังนั้น คอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ผลที่ตามมา- ในบรรดาคอลัมน์เมทริกซ์อิสระเชิงเส้น คอลัมน์ใดๆ ก็ตามจะเป็นอิสระเชิงเส้น (ข้อความนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายโดยมีข้อขัดแย้ง)

ทฤษฎีบท 7

เพื่อให้คอลัมน์ของเมทริกซ์เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่คอลัมน์ของเมทริกซ์อย่างน้อยหนึ่งคอลัมน์จะต้องเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ

การพิสูจน์.

ความจำเป็น.ปล่อยให้คอลัมน์ของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น กล่าวคือ มีชุดตัวเลขจำนวนหนึ่งที่แตกต่างจากศูนย์อย่างน้อยหนึ่งชุด และผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

ให้เราถือว่าแน่ชัดว่า นั่นคือคอลัมน์แรกคือผลรวมเชิงเส้นของส่วนที่เหลือ

ความเพียงพอ- ให้อย่างน้อยหนึ่งคอลัมน์ของเมทริกซ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ เช่น โดยที่ คือตัวเลขบางตัว

จากนั้น นั่นคือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์มีค่าเท่ากับศูนย์ และในบรรดาตัวเลขในการรวมเชิงเส้น อย่างน้อยหนึ่ง (ที่ ) แตกต่างจากศูนย์

ให้อันดับของเมทริกซ์เป็น ตัวรองที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของลำดับที่ 2 จะถูกเรียก ขั้นพื้นฐาน - แถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีพื้นฐานรองเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน .

เมทริกซ์– ตารางสี่เหลี่ยมที่มีตัวเลขเรียงกันเรียงตามลำดับ ขนาด m*n (เรียงเป็นแถว) องค์ประกอบของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยที่ i คือหมายเลขแถว aj คือหมายเลขคอลัมน์

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป (การลบ)เมทริกซ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์มิติเดียวเท่านั้น ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ซึ่งมีองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ คือผลรวม (ผลต่าง) ขององค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิม

การคูณ (การหาร)ต่อหมายเลข– การคูณ (การหาร) ของแต่ละองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยจำนวนนี้

การคูณเมทริกซ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์เท่านั้น จำนวนคอลัมน์ของคอลัมน์แรกจะเท่ากับจำนวนแถวของคอลัมน์ที่สอง

การคูณเมทริกซ์– เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบที่ระบุโดยสูตร:

เมทริกซ์ทรานสโพส– เมทริกซ์ B ดังกล่าว แถว (คอลัมน์) ซึ่งเป็นคอลัมน์ (แถว) ในเมทริกซ์ A ดั้งเดิม กำหนด

เมทริกซ์ผกผัน

สมการเมทริกซ์– สมการในรูปแบบ A*X=B เป็นผลคูณของเมทริกซ์ คำตอบของสมการนี้คือเมทริกซ์ X ซึ่งพบได้โดยใช้กฎ:

1. การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์ เกณฑ์การพึ่งพาเชิงเส้น เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของคอลัมน์เมทริกซ์ (แถว)

เรียกว่าระบบแถว (คอลัมน์) เป็นอิสระเชิงเส้นหากผลรวมเชิงเส้นไม่สำคัญ (จะพึงพอใจเมื่อ a1...n=0 เท่านั้น) โดยที่ A1...n คือคอลัมน์ (แถว) aa1...n คือสัมประสิทธิ์การขยาย

เกณฑ์: เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ของระบบอย่างน้อยหนึ่งตัวจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ของระบบ

สภาพที่เพียงพอ:

1. ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์และคุณสมบัติของพวกมัน

เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ (ดีเทอร์มิแนนต์)– ตัวเลขสำหรับเมทริกซ์จตุรัส A สามารถคำนวณได้จากองค์ประกอบของเมทริกซ์โดยใช้สูตร:

โดยที่ คือส่วนย่อยเพิ่มเติมขององค์ประกอบ

คุณสมบัติ:

1. เมทริกซ์ผกผัน อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน– เมทริกซ์จตุรัส X ดังกล่าว ซึ่งเมื่อรวมกับเมทริกซ์จตุรัส A ที่มีลำดับเดียวกัน จะเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับ A เมทริกซ์จตุรัสใดๆ ที่มีดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์จะมีเมทริกซ์ผกผัน 1 ตัว พบว่าใช้วิธีการแปลงเบื้องต้นและใช้สูตร:

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์ ทฤษฎีบทบนพื้นฐานรอง เกณฑ์สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ให้เท่ากับศูนย์ การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์ การคำนวณอันดับโดยวิธีการแปลงเบื้องต้น การคำนวณเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

อันดับเมทริกซ์ –ลำดับพื้นฐานรอง (rg A)

พื้นฐานรอง –ลำดับรอง r ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นลำดับรองทั้งหมด r+1 และสูงกว่าจะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทรองพื้นฐาน -ในเมทริกซ์ A ที่กำหนดเอง แต่ละคอลัมน์ (แถว) คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) ซึ่งมีฐานรองอยู่

การพิสูจน์:ปล่อยให้ฐานรองในเมทริกซ์ A ของมิติ m*n อยู่ในแถว r แรกและคอลัมน์ r แรก ให้เราพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งได้มาจากการกำหนดองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ s และคอลัมน์ที่ k ให้กับฐานรองของเมทริกซ์ A

โปรดทราบว่าสำหรับคุณใดๆ ดีเทอร์มีแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ ถ้า หรือ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ D จะมีแถวที่เหมือนกันสองแถวหรือคอลัมน์ที่เหมือนกันสองคอลัมน์ หากเป็นเช่นนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ D จะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมันเป็นลำดับรองของ (r+แล)-ro เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามแถวสุดท้าย เราจะได้: โดยที่การเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของแถวสุดท้ายอยู่ที่ไหน โปรดทราบว่าเนื่องจากนี่คือผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้นที่ไหน การเขียนความเสมอภาคสุดท้ายสำหรับ เราได้ , เช่น. คอลัมน์ที่ k (สำหรับค่าใดๆ) คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของฐานรอง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์

เกณฑ์ งและเอตเอ=0– ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อแถว (คอลัมน์) ของมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเท่านั้น

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

1) การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

2) การเพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดอื่นให้กับองค์ประกอบของบรรทัดเดียว

3) การจัดเรียงสตริงใหม่

4) ขีดฆ่าแถวใดแถวหนึ่ง (คอลัมน์) ที่เหมือนกัน

5) การขนย้าย;

การคำนวณอันดับ –จากทฤษฎีบทย่อยพื้นฐาน อันดับของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวอิสระเชิงเส้นสูงสุด (คอลัมน์ในเมทริกซ์) ดังนั้น หน้าที่ของการแปลงเบื้องต้นคือการค้นหาแถว (คอลัมน์อิสระเชิงเส้นทั้งหมด)

การคำนวณเมทริกซ์ผกผัน- การแปลงสามารถทำได้โดยการคูณเมทริกซ์ T บางตัวด้วยเมทริกซ์ A ซึ่งเป็นผลคูณของเมทริกซ์เบื้องต้นที่สอดคล้องกัน: TA = E

สมการนี้หมายความว่าเมทริกซ์การแปลง T คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ ดังนั้นแล้ว

ให้ k แถวและ k คอลัมน์ (k ≤ min(m; n)) ถูกสุ่มเลือกในเมทริกซ์ A ของมิติ (m; n) องค์ประกอบเมทริกซ์ที่อยู่บริเวณจุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่เลือกจะก่อให้เกิดเมทริกซ์จตุรัสลำดับ k ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่ารอง M kk ของลำดับ k y หรือลำดับที่ k รองของเมทริกซ์ A

อันดับของเมทริกซ์คือลำดับสูงสุดของ r ผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ A และลำดับรองใดๆ ของ r ที่ไม่ใช่ศูนย์ถือเป็นผู้เยาว์พื้นฐาน การกำหนด: รัง A = r ถ้ารัง A = รัง B และขนาดของเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน เมทริกซ์ A และ B จะเรียกว่าเทียบเท่ากัน การกำหนด: A ~ B.

วิธีการหลักในการคำนวณอันดับของเมทริกซ์คือวิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์และวิธีการ

วิธีการกั้นพรมแดนผู้เยาว์

สาระสำคัญของวิธีผู้เยาว์ที่มีขอบเขตมีดังนี้ ให้พบอันดับรอง k ซึ่งแตกต่างจากศูนย์แล้วในเมทริกซ์ จากนั้นเราจะพิจารณาด้านล่างเฉพาะลำดับรอง k+1 ที่มี (เช่น เส้นขอบ) ลำดับรอง k ที่แตกต่างจากศูนย์ หากทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ k มิฉะนั้นในบรรดาผู้เยาว์ที่มีขอบเขตของลำดับที่ (k+1) จะมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์และทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมด

ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์)

เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ดา 2, แลมบ์ดา โดยที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

แถวของเมทริกซ์ A เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหากความเท่าเทียมกันข้างต้นเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ตัวเลขทั้งหมด แลมบ์ดา 1 = แลมบ์ดา 2 = … = แลมบ์ = 0

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของคอลัมน์ของเมทริกซ์ A ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

ถ้าแถวใดๆ (a l) ของเมทริกซ์ A (โดยที่ (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) สามารถแสดงเป็น

แนวคิดของการรวมคอลัมน์เชิงเส้นมีการกำหนดในลักษณะเดียวกัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับพื้นฐานรองนั้นใช้ได้

แถวพื้นฐานและคอลัมน์พื้นฐานมีความเป็นอิสระเชิงเส้น แถว (หรือคอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) กล่าวคือ แถว (คอลัมน์) ที่ตัดกันฐานรองรอง ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ A: rang A = k เท่ากับจำนวนสูงสุดของแถวอิสระเชิงเส้น (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ A

เหล่านั้น. อันดับของเมทริกซ์คือมิติของเมทริกซ์จตุรัสที่ใหญ่ที่สุดภายในเมทริกซ์ที่ต้องกำหนดอันดับซึ่งปัจจัยกำหนดไม่เท่ากับศูนย์ ถ้าเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือถ้ามันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือศูนย์ ดังนั้นสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับต่ำกว่า แถวและคอลัมน์จะถูกเลือกโดยพลการ

นอกจากปัจจัยกำหนดแล้ว อันดับของเมทริกซ์ยังสามารถคำนวณได้จากจำนวนแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ ซึ่งเท่ากับจำนวนแถวหรือคอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น แล้วแต่จำนวนใดจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น หากเมทริกซ์มีแถวอิสระเชิงเส้น 3 แถวและคอลัมน์อิสระเชิงเส้น 5 คอลัมน์ อันดับของเมทริกซ์จะเป็น 3

ตัวอย่างการหาอันดับของเมทริกซ์

ใช้วิธีกำหนดขอบเขตรองในการหาอันดับของเมทริกซ์

วิธีแก้ไข: อันดับรองอันดับสอง

M 2 รองที่มีพรมแดนติดก็ไม่ใช่ศูนย์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ผู้เยาว์ทั้งสองอยู่ในลำดับที่สี่ โดยมีพรมแดนติดกับ M 3

มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ A คือ 3 และฐานรองคือ ตัวอย่างเช่น M 3 รองที่แสดงไว้ข้างต้น

วิธีการแปลงระดับเบื้องต้นนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงระดับเบื้องต้นของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนอันดับ เมื่อใช้การแปลงเหล่านี้ คุณสามารถทำให้เมทริกซ์อยู่ในรูปแบบที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้น 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)) มีค่าเท่ากับศูนย์ เห็นได้ชัดว่าอันดับ A = r โปรดทราบว่าหากเมทริกซ์ลำดับที่ n มีรูปแบบของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน นั่นคือเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดภายใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น คำจำกัดความจะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก . คุณสมบัตินี้สามารถใช้เมื่อคำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น: จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติเหล่านี้เพื่อลดเมทริกซ์ให้เหลือรูปสามเหลี่ยม จากนั้นโดยการเลือกดีเทอร์มิแนนต์ที่สอดคล้องกัน เราจะพบว่าอันดับของเมทริกซ์ เท่ากับจำนวนองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักที่แตกต่างจากศูนย์

โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น หาอันดับของเมทริกซ์

วิธีแก้ปัญหา ให้เราแสดงแถวที่ i ของเมทริกซ์ A ด้วยสัญลักษณ์ α ผม . ในระยะแรก เราจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น

ในขั้นตอนที่สอง เราทำการเปลี่ยนแปลง

ระบบของเวกเตอร์ที่มีลำดับเดียวกันเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากเวกเตอร์เป็นศูนย์สามารถหาได้จากเวกเตอร์เหล่านี้ผ่านผลรวมเชิงเส้นที่เหมาะสม (ไม่อนุญาตให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ เนื่องจากนี่เป็นเรื่องเล็กน้อย) มิฉะนั้น เวกเตอร์จะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สามตัวต่อไปนี้:

เป็นแบบเชิงเส้นตรง เนื่องจากตรวจสอบได้ง่าย ในกรณีของการพึ่งพาเชิงเส้น เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ เสมอ ในตัวอย่างของเรา: อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบด้วยการคำนวณที่เหมาะสม สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความต่อไปนี้: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากเวกเตอร์อื่น ๆ หากไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ได้

ขอให้เราพิจารณาระบบของเวกเตอร์โดยไม่ต้องระบุว่ามันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น สำหรับแต่ละระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ a สามารถระบุจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดที่เป็นไปได้ ตัวเลขนี้แสดงด้วยตัวอักษร คืออันดับของระบบเวกเตอร์นี้ เนื่องจากแต่ละเมทริกซ์สามารถดูเป็นระบบของเวกเตอร์คอลัมน์ได้ อันดับของเมทริกซ์จึงถูกกำหนดให้เป็นจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นที่มีอยู่ เวกเตอร์แถวยังใช้เพื่อกำหนดอันดับของเมทริกซ์อีกด้วย ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันสำหรับเมทริกซ์เดียวกัน และต้องไม่เกินค่าที่น้อยที่สุดของ หรือ อันดับของเมทริกซ์จตุรัสของลำดับตั้งแต่ 0 ถึง หากเวกเตอร์ทั้งหมดเป็นศูนย์ อันดับของเมทริกซ์ดังกล่าวจะเป็นศูนย์ หากเวกเตอร์ทั้งหมดเป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งกันและกัน อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากัน หากเราสร้างเมทริกซ์จากเวกเตอร์ด้านบน อันดับของเมทริกซ์นี้คือ 2 เนื่องจากเวกเตอร์ทุกๆ 2 ตัวสามารถลดลงเหลือ 1 ใน 3 ด้วยผลรวมเชิงเส้น ดังนั้นอันดับจึงน้อยกว่า 3

แต่เราแน่ใจได้ว่าเวกเตอร์สองตัวใดๆ ก็ตามจะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นอันดับ

เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าเอกพจน์ถ้าเวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวมีค่าเท่ากับศูนย์และไม่มีเมทริกซ์ผกผันตามที่ระบุไว้ข้างต้น ข้อสรุปเหล่านี้เทียบเท่ากัน ด้วยเหตุนี้เมทริกซ์จตุรัสจึงเรียกว่าไม่เอกพจน์หรือไม่ใช่เอกพจน์หากเวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวไม่เป็นอิสระจากกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวไม่เท่ากับศูนย์และมีเมทริกซ์ผกผันอยู่ (เปรียบเทียบกับหน้า 43)

อันดับของเมทริกซ์มีการตีความทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างชัดเจน หากอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ แสดงว่าปริภูมิ -มิติถูกขยายด้วยเวกเตอร์ หากอันดับเป็นเวกเตอร์ก็จะอยู่ในสเปซย่อย - มิติที่รวมพวกมันทั้งหมดไว้ ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์จึงสอดคล้องกับมิติที่ต้องการขั้นต่ำของปริภูมิ "ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด" สเปซย่อย - มิติในปริภูมิ - มิติเรียกว่าไฮเปอร์เพลน - มิติ อันดับของเมทริกซ์สอดคล้องกับมิติที่เล็กที่สุดของไฮเปอร์เพลนซึ่งเวกเตอร์ทั้งหมดยังคงอยู่

มุมฉาก เวกเตอร์ a และ b สองตัวตั้งฉากร่วมกันถ้าผลคูณสเกลาร์ของพวกมันเป็นศูนย์ หากเมทริกซ์ลำดับมีความเท่าเทียมกันโดยที่ D คือเมทริกซ์แนวทแยง ดังนั้นเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ A จะเป็นมุมตั้งฉากร่วมกันในทิศทางคู่ หากเวกเตอร์คอลัมน์เหล่านี้ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน นั่นคือ ลดลงเหลือความยาวเท่ากับ 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่ และเราพูดถึงเวกเตอร์ออร์โธนอร์มอล ถ้า B เป็นเมทริกซ์จตุรัสและมีค่าเท่ากัน เมทริกซ์ B จะเรียกว่ามุมฉาก ในกรณีนี้ ตามมาจากสูตร (1.22) ว่าเมทริกซ์มุมฉากจะไม่เป็นเอกพจน์เสมอ ดังนั้น จากมุมตั้งฉากของเมทริกซ์ ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์คอลัมน์จึงเป็นไปตามนั้น ข้อความตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง: ความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ไม่ได้หมายความถึงความตั้งฉากแบบคู่ของเวกเตอร์เหล่านี้