Урок 27

«Цикл с параметром»

Обоснование темы : цикл – это базовая структура в алгоритмизации. Практически ни одна серьезная задача не решается без этой конструкции. Очень широк спектр ее применения. Это и игровые программы, и компьютерная графика, и обработка текстов. Цикл используется во всех языках программирования. Кроме того, решение задач с использованием циклических структур, развивает мыслительную деятельность учащихся: анализ, синтез, сравнения и т.д. Для учителя эта тема интересна тем, что она предполагает уроки различных типов: комбинированные, теоретические, лабораторно-практические. Предложенный урок - комбинированный, с элементами игровой технологии.

Цель урока : ввести новые термины «цикл », « переменные цикла », «тело цикла » и подвести учащихся к понятию о существовании цикла с параметром.

Задачи урока:

Обучающая:

Знакомство учащихся с базовыми алгоритмическими структурами;

Научить уч-ся организовывать циклы с параметром;

Использовать циклы при работе с программой.

Развивающая:

Формирование навыков работы при создании программ, отработать приемы вставки в программу блоков цикла;

Формирование у учащихся приемов логического и алгоритмического мышления;

Развитие познавательного интереса;

Развитие умения планировать свою деятельность.

Воспитывающая:

Воспитывать необходимость связывать изучение нового материала с уже известными фактами;

Воспитывать ответственность за выполняемую работу;

Воспитывать аккуратность при выполнении вычислений.

Воспитание целеустремленной, конкурентоспособной личности учащихся.

Тип урока : получения новых знаний.

Оборудование: компьютеры, мульти-медийный проектор.

Формы учебной работы учащихся: фронтальная, индивидуальная работа за ПК.

Структура урока:

Актуализация знаний.

Изучение нового материала.

Применение приобретенных знаний и отработка навыков (Практическая работа на компьютере).

Домашнее задание.

Подведение итогов.

Ход урока

Актуализация знаний.

Как называется точное предписание, определяющее последовательность действий исполнителя, направленных на решение поставленной задачи? (Алгоритм)

Как называется алгоритм, действия которого выполняются строго по порядку? (Линейный алгоритм)

Как называется алгоритм, действия в котором выполняются в зависимости от выполнения или невыполнения некоторого условия? (Разветвляющийся алгоритм или ветвление)

Изучение нового материала.

При составлении алгоритмов довольно часто встречаются случаи, когда некоторую последовательность команд нужно выполнить несколько раз подряд. Поэтому эти алгоритмы называют циклическими. Алгоритм циклической структуры – это алгоритм, в котором предусмотрено неоднократное выполнение одной и той же последовательности действий. Изучение циклов демонстрирует учащимся главное преимущество компьютера перед человеком – выполнение большого числа действий за короткое время. Ведь даже весьма короткий циклический алгоритм, составить который не так уж долго, при исполнении может потребовать выполнения нескольких сотен действий, с которыми компьютер справится намного быстрее, чем человек. Учащиеся должны уметь организовать цикл и верно определить тело цикла. Более того, при конструировании алгоритмов важно использовать такую конструкцию цикла, которая окажется оптимальной для решения поставленной задачи. Многократное повторение последовательности действий называется циклом , а многократно повторяющиеся действия – телом цикла .

Существует три формы циклов: цикл с параметром, цикл с предусловием, цикл с постусловием. Каждая форма имеет стандартное описание на языке схем, а также соответствующий оператор алгоритмического языка.

Мы рассмотрим цикл с параметром. Цикл с параметром применяют тогда, когда известно число повторений одного и того же действия. Цикл с параметром по другому называют цикл со счетчиком. Если есть счетчик, то у этого счетчика есть начальное значение, конечное значение, приращение (шаг) счетчика.

И цикл с параметром имеет следующий вид:

for < параметр >:=A to B do begin

тело цикла

end ;

Здесь параметр – счетчик (переменная счетчика), А – начальное значение счетчика, В – конечное значение счетчика. В Turbo Pascal переменная счетчика изменяется только на 1 по умолчанию.

Рассмотрим небольшой пример.

Пример 1. Составить программу вычисления суммы целых чисел от 1 до 100.

program prim1;

var n,s:integer;

begin

s:=0;

for n:=1 to 100 do begin

s:=s+n;

end;

writeln (‘s=’,s);

end .

Пример 2. По древней легенде, мудрец, придумавший шахматы, потребовал от персидского шаха такое вознаграждение: пусть на шахматную доску кладут зерна пшеницы – на первую клетку 1 зерно, на 2-ю – 2 зерна, на 3-ю – 4 зерна, на 4-ю – 8 (то есть на следующую клетку кладется в раза больше зерен, чем на предыдущую). Сколько зерен будет лежать на последней клетке? Сколько всего зерна получит мудрец, если 15 зерен равны 1 г пшеницы?

program prim2;

var n:byte;

k,s,m:real;

begin

k:=1;

s:=1;

m:=0;

for n:=2 to 64 do begin

k:=k*2;

s:=s+k;

end;

m:=s/15;

writeln (‘k=’,k);

writeln (‘m=’,m);

readln;

end.

Применение приобретенных знаний и отработка навыков (практическая работа на компьютере).

Теперь мы перейдем к практической работе за компьютером. Перед учащимся ставится задача отладить блоки программ за компьютером и ставится задача вычисления значений функции.

Задание 1. (работа на компьютере). Составить программу вычисления значения функции .

program zadanie1;

var n:integer;

y:real;

begin

y:=0;

for n:=1 to 20 do begin

y:=y+1/n;

end;

writeln (‘y=’,y);

end .

Задание 2. Определите, какое количество раз выполняются операторы цикла?

for n:=10 to 12 do begin

y:=y+2*n;

end ;

Задание 3. Определите, какое значение примет переменная y ?

y:=0;

for n:=3 to 5 do begin

y:=y+n;

end;

Домашнее задание.

Гражданин 1 марта открыл счет в банке, вложив 1000 руб. Через каждый месяц размер вклада увеличивается на 2 % от имеющейся суммы. Определить сумму вклада через двенадцать месяцев.

program dom_zadanie;

var n:integer;

y:real;

begin

y:=1000;

for n:=1 to 12 do begin

y:=y+0.02*y;

end;

writeln (‘y=’,y);

end.

Подведение итогов.

Вопросы к учащимся.

С какой новой структурой мы познакомились?

Какие процессы можно описать ее используя?

§1. Виды циклических алгоритмов

Существуют три основные алгоритмические структуры: линейный алгоритм, алгоритм ветвления и циклический алгоритм.

В свою очередь циклические алгоритмы тоже могут быть трёх видов:

· цикл с параметром ,

· цикл с предусловием и

· цикл с постусловием .

Рассмотрим на нашем уроке цикл с параметром.

Как известно, цикл - это многократное повторение одних и тех же действий, до выполнения какого-либо условия.

§2. Графическое обозначение цикла с параметром в блок-схеме

В цикле с параметром количество повторений известно заранее . Блок-схема цикла с параметром имеет свой собственный блок в виде вытянутого шестиугольника,

внутри которого прописывается фраза:

Для i от А до B ,

переменная i является параметром цикла или счётчиком цикла,
А - начальное значение счётчика,
B - конечное значение счётчика.

Рассмотренная фраза указывает на количество повторений действий в цикле , переменная i осуществляет пересчёт повторений в промежутке от A до B .

После вытянутого шестиугольника в блок схеме перечисляются действия, которые необходимо выполнить внутри цикла; затем линиями связи указывается повторение действий и выход из цикла.

§3. Запись цикла с параметром на языке Паскаль

На языке программирования Паскаль, запись цикла с параметром осуществляется двумя способами:

в первом, счётчик цикла увеличивает своё значение на +1 и записывается

For i:=A to B do < действия цикла > ;

во втором, счётчик цикла уменьшается на значение -1 и записывается

For i:=B downto A do < действия цикла >;

Обратите внимание, что во второй записи цикла, при значении B большем А, сначала прописывается значение B , а затем A .

Так как переменная i выступает в роли счётчика цикла, то её тип должен быть целочисленным, то есть тип integer .

§4. Пример составления блок-схемы с использованием цикла с параметром

Рассмотрим решение следующей задачи: найдите значение функции y =5 x +8 для всех x принадлежащих от -5 до 5, учитывая, что значение x изменяется на единицу.

Составим блок-схему данной задачи. Первый блок - начало , затем сразу идёт блок цикла с параметром , в котором пишем фразу:

Для x от -5 до 5 .

Внутри цикла ставим блок действия , в котором вычисляем значение функции, то есть находим значение переменной y . Затем ставим блок вывода , в котором прописывает переменную y . Так как для каждого значения y найдено и выведено решение, то задача решена. Ставим последний блок - конец .

Обратите внимание, что при решении данной задачи не используется блок - ввода , так как все значения переменной x оговорены заранее.

Данная задача хороша тем, что переменная х используется в цикле в качестве параметра, то есть участвует не только при пересчете действий цикла, но и в вычислении значения y .

§5. Запись задачи на языке Паскаль

Запишем рассмотренную задачу на языке программирования. Первая строка program Fun ; здесь имя программы Fun это сокращение от слова функция. В разделе переменных var указываем x и y типа integer , так как параметр цикла может быть только перечисляемым типом, а при нахождении значения у не используется арифметического деления. Между словами BEGIN и END сначала пишем строку цикла

For i :=-5 to 5 do ,

затем между операторными скобками begin и end находим значение y и выводим найденное значение на экран процедурой writeln .

Обратите внимание на то, что в цикле необходимо реализовать нахождение у и вывод значения на экран монитора, поэтому были использованы операторные скобки begin и end . to B do , где переменная i изменяется на значение +1, и
For i := B downto A do , где i изменяется на значение -1.

Литература:

1. Язык Р ascal . Программирование для начинающих - http://pas1.ru

2. Основы программирования. Учебник – И.Г. Семакин - 2002

Здравствуйте, дорогие читатели! Вот мы с вами и подошли к изучению циклов. Циклы в Паскаль. Что это такое? Как этим пользоваться? Для чего они нужны? Именно на эти вопросы я сегодня и отвечу.
Если вы читали , то знаете, что существует три вида алгоритмов: линейный, разветвляющийся и циклический. Мы с вами уже знаем, как реализовывать и алгоритмы на Паскале. Приступим к изучению последнего типа алгоритмов.
В языке Pascal, как и в большинстве языков программирования, существует три типа циклических конструкций.

Любой цикл состоит из тела и заголовка. Тело цикла — это набор повторяющихся операторов, а условие — это логическое выражение, в зависимости от результата которого и происходит повторное выполнение цикла.

Возьмем одну задачу, которую будем решать, используя различные виды циклов.

Задача 1. Вывести все числа от 1 до числа, введенного с клавиатуры.

While, или цикл с предусловием

Как вы, наверное, уже поняли из названия, while — это цикл, в котором условие стоит перед телом. Причем тело цикла выполняется тогда и только тогда, когда условие true ; как только условие становится false

While имеет формат:

while < условие> do <оператор 1>; {Пока … делай ….}

Данный цикл подходит только для одного оператора, если же вы хотите использовать несколько операторов в своем коде, вам следует заключить их в операторные скобки — begin и end; .

Решение задачи.

Program example_while; var i, N: integer; { объявляем переменные } begin i:= 1; { Присваиваем i значение 1 } readln(N); { Считываем последнее число } while i <= N do {Как только i станет больше N, цикл прекратится (можно было бы написать просто <, но пришлось бы добавлять 1 к N) } begin {Открываем операторные скобки} write(i, " "); {Выводим i} Inc(i); {увеличиваем i на один.} end; { закрываем скобки } end.

Repeat, или цикл с постусловием

Repeat — полная противоположность while . Repeat — это цикл, в котором условие стоит после тела. Причем оно выполняется тогда и только тогда, когда результат условия false ;как только логическое выражение становится true , выполнение цикла прекращается.

Repeat имеет формат:

repeat { повторяй … }
<оператор 1>;
< оператор 2>;
…
until {до…} <условие>

Begin и end не требуются.

Решение задачи.

Program example_repeat; var i, N: integer;{ объявляем переменные } begin i:= 1; { Присваиваем i значение 1 } readln(N); { Считываем последнее число } repeat {после repeat не требуется begin и end } write(i, " "); {Выводим i} Inc(i); {увеличиваем i на один.} until i = N + 1; {Например, i = 11, а N = 10. Цикл прекратится, так условие стало true.} end.

For, или цикл с параметром

For — это цикл, в котором тело выполняется заданное количество раз.

Существует две формы записи этого цикла:

Первая форма

for <счетчик1> := <значение1> to <конечное_значение> do <оператор1>;

<счетчик1> будет увеличиваться на 1.

<значение1> — это начальное значение счетчика. Это может быть переменная или число.
<конечное_значение> : как только значение <счетчик1> станет больше <конечное_значение>

Если требуется написать несколько операторов в теле цикла, используем begin и end .

И <счетчик1>, и <конечное_значение>, и <значение1> — переменные целого типа.

Чаще всего в качестве счетчика используется переменная i.

Вторая форма

for <счетчик2> := <значение2> downto <конечное_значение> do <оператор1>;

После каждой итерации значение <счетчик2> будет уменьшатся на 1.

<значение2> — это начальное значение счетчика.
<конечное_значение> : как только значение <счетчик2> станет меньше <конечное_значение>, выполнение цикла прекратится.

Два важных примечания:

1. Цикл повторяется, пока значение значение счетчика лежит в отрезке [значение; конечное_значение].
2. Изменять значение счетчика внутри тела нельзя ! Вот что выводит компилятор:

Решение задачи:

Program example_for; var i, N: integer; begin read(N); {предположим, что мы ввели 10} for i:= 1 to N do write(i, " "); {количество итераций - 10 - 1 + 1 = 10} end.

Согласитесь, данный код проще и лаконичнее, чем все предыдущие. И цикл for — не совсем обычный цикл, в нем нет логического условия. Поэтому цикл с параметром в программировании называют синтаксическим сахаром. Синтаксический сахар — это дополнения синтаксиса языка программирования, которые не добавляют новых возможностей, а делают использование языка более удобным для человека.

Давайте решим пару задач.

For1 . Даны целые числа K и N (N > 0). Вывести N раз число K.

Организовываем простой цикл от 1 до требуемого числа.

Program for1; var K, N, i: integer; begin read(K, N); for i:= 1 to N do write(K, " "); {Пишем К через пробел } end.

For2 . < B). Вывести в порядке возрастания все целые числа, расположенные между A и B (включая сами числа A и B), а также количество N этих чисел.

Так как A < B, то цикл должен будет выводить все числа от А до B. Чтобы сосчитать количество чисел, используем формулу: <конечное_значение> — <начальное_значение> + 1.

Program for2; var A, B, i, count: integer; begin read(A, B); for i:= A to B do write(i, " "); {выписываем числа от меньшего к большему} count:= B - A + 1; {считаем количество чисел} writeln; write("Количество чисел - ", count); end.

For9 . Даны два целых числа A и B (A < B). Найти сумму квадратов всех целых чисел от A до B включительно.

Организовываем такой же цикл, как и в предыдущей задаче, но одновременно суммируем квадраты всех чисел. Чтобы высчитать квадрат, используем функцию .

Program for9; var A, B, i, S: integer; begin read(A, B); S:= 0; {PascalABC делает это автоматически, но если у вас другой компилятор советуем обнулять переменные вручную} for i:= A to B do S:= S + Sqr(i); {складываем все квадраты} writeln; write("Сумма квадратов - ", S); end.

For13° . Дано целое число N (> 0). Найти значение выражения 1.1 – 1.2 + 1.3 – … (N слагаемых, знаки чередуются). Условный оператор не использовать.

Для того, чтобы поменять знак, каждую итерацию цикла меняем значение специальной переменной на противоположное.

Program for13; var N, A, i: integer; S: real; begin Write("N = "); readln(N); S:= 1.1; A:= 1; {Сначала положительное} for i:= 2 to N do {первую итерацию цикла мы уже произвели, поэтому начинаем отсчет с 2} begin A:= -A; {Теперь отрицательное} S:= S + A * (1 + i / 10); {Складываем} end; Writeln(S:5:1); {Отдадим под дробную часть одно знакоместо} end.

While1° . Даны положительные числа A и B (A > B). На отрезке длины A размещено максимально возможное количество отрезков длины B (без наложений). Не используя операции умножения и деления, найти длину незанятой части отрезка A.

Каждый раз вычитаем B из А, пока А — В >= 0.

Program while1; var A, B: integer; begin readln(A, B); while (A - B) >= 0 do A:= A - B; {Пока разница положительная, вычитаем. Необходимо предусмотреть вариант с кратностью А и B, поэтому >=} write(A); end.

While4° . Дано целое число N (> 0). Если оно является степенью числа 3, то вывести True, если не является - вывести False.

Действуем следующим образом: пока N делится нацело на три, делим N нацело. Затем, если N = 1 — число является степенью тройки; если N <> 1, тогда число — не степень тройки. Для того чтобы решить эту задачу, требуется знать, что такое , и как работают .

Program while4; var N: integer; begin readln(N); while N mod 3 = 0 do N:= N div 3; {Пока остаток от деления на три равен нулю, делим N нацело } writeln(N = 1); {логическое выражение} end.

На сегодня все! Не забывайте почаще заходить на наш сайт и кликать по кнопочкам, которые расположены перед комментариями.

Цель : дать понятие о циклах с параметром, блок-схемах, изображающих такие циклы. Учить на частных примерах составлять блок-схемы и программы с циклами; дать понятие о различиях между циклами с предусловием, постусловием и циклом с параметром; учить в одной программе использовать разные циклы, если программа содержит несколько циклов; вводить и выполнять программы, используя компиляторы BPW или Turbo Pascal.

1. Оператор цикла for ... to ... do ...

Иногда заранее известно, сколько раз должен выполняться цикл. Для задач такого типа в языке Паскаль имеются операторы циклов с параметрами .
Формат записи таких операторов следующий:
for <пар.цикла > := <нач.знач > to <кон.знач .> do <оператор >.
Здесь for , to , do - зарезервированные слова (для, до, выполнить);
<пар. цикла > - параметр цикла - переменная типа integer (точнее, любого порядкового типа);
<нач. знач .> - начальное значение - число или выражение того же типа;
<кон. знач .> - конечное значение - число или выражение того же типа;
<оператор > - произвольный оператор Паскаля.
Если операторов несколько, тогда, как и в операторе while ... do ..., используются операторные скобки: begin ... end .
Например, возможны такие записи оператора цикла:

for i:= a to b do s1;

for j:= a to b do begin s1; s2; ..., sn end ; или

for k:= p to m do
begin
s1;
s2;
...
sn
end ;

Здесь s1, s2, s3, ... sn - операторы цикла.
При выполнении оператора for вначале вычисляется выражение <нач.знач .> и осуществляется присваивание его значения переменной цикла
<пар.цикла > := <нач. знач .>.
После этого циклически повторяются:
1) проверка условия <пар.цикла > <кон. знач .>; если условие не выполнено, оператор for завершает работу;
2) выполнение оператора <оператор > или операторов s1; s2; s3; ... sn;
3) переменная цикла <пар. цикла > увеличивается на единицу.

Надо сразу заметить, что задать шаг цикла, отличный от 1 в этом операторе, нельзя.

Графическое изображение циклов for будет таким (см. рис. 33):

Рис. 33

Здесь: i - переменная цикла; n - ее начальное значение; k - ее конечное значение. Тело цикла составляет оператор или несколько операторов: s1; s2; ... sn;, которые нарисованы в прямоугольнике.

Для иллюстрации работы оператора for рассмотрим пример уже ставший традиционным при изучении работы этого оператора.

Пример 1. Составить программу вычисления факториала числа n, т. е. n!.

Вспомним из математики, что факториал числа n равен произведению чисел от 1 до n.
Например:

Замечание . В математике принято: 0! = 1.

Блок-схема

Рис. 34

Программа

Program Problem1; { Вычисление факториала числа n! }
uses WinCrt;
var
n, f, i: longint;
begin

f:= 1;
if n <> 0 then for i:= 1 to n do f:= f*i;
end.

Переменная n - для вводимого пользователем числа, факториал которого надо найти; f - переменная, в которой будет "накапливаться " значение факториала числа n; i - переменная цикла.
Устанавливается первоначальное значение переменной f:= 1.
Далее начинается цикл. Переменной i присваивается начальное значение 1; оно сравнивается с конечным - n (1 <= n), если условие истинно, тогда выполняется оператор (в этой программе он один): f:= f*i, 1*1=1; значение переменной цикла увеличивается на 1, т. е. станет равным: i:= i + 1, 1 + 1 = 2 и цикл повторяется.
Когда значение i станет равным n, тогда цикл выполнится последний раз, потому что следующее значение i будет n + 1, что больше конечного значения n, условие i <= n - ложно , цикл не выполняется.

2. Оператор цикла for...downto...do...

Существует другая форма оператора цикла for:
for <пар.цик .> := <нач. зн .> downto <кон. зн .> do <оператор >.

Замена зарезервированного слова to на downto означает, что шаг параметра цикла равен (-1).

Изменение значения параметра идет от большего значения к меньшему, т. е.
<нач. знач .> <кон. знач .>.
Программу вычисления факториала числа можно составить, используя этот оператор цикла.
Программа

Program Problem1a;
uses WinCrt;
var
n, i, f: longint;
begin
write("Введите натуральное число "); readln(n);
f:= 1;
if n <> 0 then for i:= n downto 1 do f:= f*i;
writeln("Факториал числа ", n, " равен ", f)
end.

1. Измените программу так, чтобы она выдавала на экран не таблицу квадратов чисел от 1 до n, а квадрат только одного числа n, введенного пользователем.

2. Измените и дополните программу так, чтобы она выдавала значение квадрата числа и те нечетные числа, сумме которых он равен.

3 . Продолжая тему возведения натуральных чисел в степень, без операций умножения, рассмотрим еще два интересных примера. В первом из них нам придется совмещать, "вкладывать " друг в друга два цикла for , а во втором, циклы for и repeat.

Пример 3. Куб любого натурального числа n равен сумме n нечетных чисел, следующих по порядку за числами, сумма которых составляла куб предыдущего числа n - 1:

13 = 1
23 = 3 + 5
33 = 7 + 9 + 11
43 = 13 + 15 + 17 + 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Основываясь на этом свойстве, создайте программу, позволяющую напечатать таблицу кубов натуральных чисел.

Вот здесь уже нужны два цикла. Один - внешний , по количеству нечетных чисел, которое равно возводимому в куб числу, например, для 43 этот цикл должен выполняться 4 раза. В этом же цикле надо будет после подсчета суммы выводить ее значение на экран вместе с числом, которое возводится в куб.
Второй - внутренний , который будет суммировать нечетные числа и "вырабатывать " нужные нечетные числа для суммирования.

Блок-схема

Рис. 36

Программа

Program Problem3; { Кубы натуральных чисел от 1 до n }
uses WinCrt;
var
i, j, n, s, k: longint;
begin
writeln("Введите натуральное число, до которого надо");
write("выводить кубы чисел "); readln(n);
writeln("Кубы чисел следующие:");
k:= 1;
for i:= 1 to n do
begin
s:= 0;
for j:= 1 to i do
begin
s:= s + k;
k:= k + 2
end ;
writeln("Куб числа ", i, " равен ", s)
end
end.

Разберем работу этой программы

Переменные i и j нужны в качестве переменных первого - внешнего и второго - внутреннего циклов. Переменная k для нечетных чисел, а s для суммы чисел. Тип этих переменных установлен целый, но longint, так как могут быть достаточно большие целые числа, большие 32767.
Программа начинается с запроса для пользователя с помощью операторов writeln и write о вводе натурального числа, до которого надо выдавать таблицу кубов чисел. Затем с помощью оператора readln это значение вводится в память компьютера и присваивается переменной n.
Выводится надпись "Кубы чисел следующие ". Она дана перед началом циклов по понятным причинам. В циклах ее дать нельзя, - она будет повторяться несколько раз. По окончании циклов тоже, тогда она будет написана внизу, после вывода самих чисел. Переменной k присваивается первое нечетное значение 1.
Начинается внешний цикл по количеству чисел, от 1 до n. В цикле несколько операторов, поэтому "открываются " операторные скобки: - begin ...
Перед началом внутреннего цикла обнуляется переменная s - сумма. Причем такое обнуление будет происходить каждый раз, когда повторяется внешний цикл, перед началом выполнения внутреннего цикла.
Внутренний цикл выполняется от 1 до i. Почему? В цикле вычисляется сумма и увеличивается нечетное k на 2, т. е. "вырабатывается " следующее нечетное число.

Заметьте! Переменной k не присваивается перед началом каждого внутреннего цикла 1. Почему?
Следующим оператором writeln внутри внешнего цикла выдается информация на экран. Почему он размещен во внешнем цикле?

Пример 4. Из математики известно, что всякая натуральная степень числа n есть сумма n последовательных нечетных натуральных чисел. Составьте программу, которая для любой степени натурального числа n находила бы последовательность нечетных чисел, сумме которых равна эта степень.

Например, для 53 она выдавала бы последовательность чисел: 21, 23, 25, 27, 29.

План составления программы

1. Определим цель составления программы: надо показать , что действительно любую натуральную степень натурального числа можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел.
А если это так, тогда нам совершенно необходимо знать значение степени числа n с показателем k.
Это можно сделать с помощью простого цикла:

s:= 1;
for i:= 1 to k do s:= s*n;

Значение степени будут накапливаться в переменной s, для этого ей устанавливается первоначальное значение 1.
В цикле, значение переменной s последовательно, k раз умножается на основание степени n. После выполнения цикла переменная s получит значение степени числа n с показателем k.
2. Вся острота вопроса состоит в том, что неизвестно первое нечетное число, от которого надо начинать суммирование последовательных нечетных чисел.
Для этого надо пробовать складывать нечетные числа вначале от 1 и далее (известно их количество - n);
1 + 3 + 5 + 7 + 9 ...,
а затем проверять полученный результат, сравнивая со значением степени s. Если равенство выполняется, тогда закончить цикл и вывести на экран полученные нечетные числа, если равенство не выполняется, тогда надо начинать суммирование со следующего нечетного числа - 3: 3 + 5 + 7 + 9 ... и т.д.
Этот процесс легче организовать с помощью цикла repeat . Переменной j, которая будет задавать начальные нечетные числа надо установить перед началом цикла первоначальное значение 1.
Общий вид такого цикла:

j:= 1;
repeat
. . . . . .
j:= j + 2
until ...= s;

3. Осталось продумать, как подсчитывать суммы последовательных нечетных чисел. Мы уже сталкивались с этим вопросом и знаем, что для этого надо создать цикл от 1 до n, в котором в одну из переменных, скажем m, накапливать эту сумму, а вторая переменная должна "вырабатывать " следующее нечетное число.
Этот цикл можно записать так:

p:= j; m:= 0;
for i:= 1 to n do
begin
m:= m + p;
p:= p + 2
end ;

Обратите внимание! Переменная p, каждый цикл repeat , (внешний по отношению к данному), будет получать новое начальное значение нечетного числа, а переменная m - для суммы должна обнуляться перед каждым новым суммированием для другой последовательности нечетных чисел.
4. Наконец, когда последовательность нечетных чисел найдена, ее надо вывести на экран. Для этого надо устроить еще один цикл от 1 до n, в котором выдавать значения этих нечетных чисел. За первое нечетное число из последовательности надо взять значение j, но так как оно уже увеличилось на 2, то из j следует вычесть 2. Этот цикл будет:

j:= j - 2;
for i:= 1 to n do
begin
write(j, " ");
j:= j + 2
end

Блок-схема

Рис . 37
Программа

Program Problem4;
uses WinCrt;
var
n, i, k, j, m, s, p: longint;
begin
write("Введите натуральное число - основание степени "); readln(n);
write("Введите натуральное число - показатель степени "); readln(k);
s:= 1; j:= 1;
for i:= 1 to k do s:= s*n;
repeat
p:= j;
m:= 0;
for i:= 1 to n do
begin
m:= m + p;
p:= p + 2
end ;
j:= j + 2
until m=s;
write("Степень с основанием ", n);
writeln(" и показателем ", k, " т. е. ", s);
writeln("равна сумме следующих нечетных чисел");
j:= j - 2;
for i:=1 to n do
begin
write(j, " ");
j:= j + 2
end
end.

Чтобы лучше понять ее работу, возьмите степень 25 и проверьте как будут последовательно выполняться операторы программы.

1 . Выполните эту программу на компьютерах.

2 . Составьте блок-схему и программу, которая выясняет, может ли произведение
а) трех; б) четырех последовательных натуральных чисел равняться некоторой степени некоторого натурального числа (квадрату, кубу, и т. д.)?

4. Разные задачи

Пример 5. Напечатать все четырехзначные числа, в десятичной записи которых нет двух одинаковых цифр.

Замечание . Перед началом составление блок-схемы этой задачи следует знать, как изображаются циклы в циклах, для циклов с параметрами. Общая конструкция двух вложенных циклов с параметрами будет такой:

Рис. 38
Сразу возникает мысль составить программу по следующей схеме:
организовать цикл по числу тысяч, t от 1 до 9, а затем внутренние циклы : по числу сотен, s от 0 до 9; по числу десятков, d от 0 до 9; по числу единиц, e от 0 до 9; проверка условия: если цифры различны, тогда составленное из них четырехзначное число выдавать на экран.
Блок-схема

Рис. 39
Программа

Program Problem5; { 1 - й способ }
uses WinCrt;
var
t, s, d, e: integer;
begin
for t:= 1 to 9 do
for s:= 0 to 9 do
for d:= 0 to 9 do
for e:= 0 to 9 do
if (t <> s) and (t <> d) and (t <> e) and (s <> d) and
(s <> e) and (d <> e)
then write(t*1000 + s*100 + d*10 + e, " ")
end .

Понятно, что эта программа выполнена нерационально. В ней все циклы выполняются полностью.
Программу можно усовершенствовать таким путем. Когда выполняется цикл сотен, тогда следующий цикл десятков надо начинать выполнять, если цифра сотен s не равна цифре тысяч t, в противном случае, иначе , цикл сотен надо продолжить, т. е. взять следующую цифру сотен.
Для цифры десятков, также установить условие, что следующий цикл единиц будет выполняться, если цифра десятков d не равна цифре сотен и тысяч, в противном случае, иначе , надо переходить к следующей цифре десятков.
И тогда, "внутри " цикла единиц достаточно записать условие, если цифры единиц e не равны цифре десятков d , сотен s и тысяч t, тогда четырехзначное число является искомым и оно выводится на экран.

Блок-схема

Рис . 40

Программа

Program Problem5a; { 2 - й способ }
uses WinCrt;
var
t, s, d, e: integer;
begin
writeln("Все четырехзначные числа из разных цифр");
for t:= 1 to 9 do
for s:= 0 to 9 do if s <> t then
for d:= 0 to 9 do if (d <> s) and (d <> t) then
for e:= 0 to 9 do
if (e <> d) and (e <> s) and (e <> t)
then write((((t*10 + s)*10 + d)*10) + e, " ")
end .

Задание 4

1. Дополните и измените эту программу так, чтобы она выдавала на экран не только различные четырехзначные числа, но и их количество.

2. При умножении четырехзначного числа, состоящего из разных цифр, на 9 получилось в произведении число, которое отличалось от множимого только тем, что между цифрами тысяч и сотен оказался нуль. Найти множимое. Составить блок-схему и программу.

Пример 6. Тройки натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих равенству: - называются Пифагоровыми числами.
Например, 3, 4 и 5 являются Пифагоровыми числами, поскольку

Составить программу для нахождения и печати всех Пифагоровых чисел, не превышающих 20.

Математика этого вопроса проста. Для чисел a, b и c возможные значения - это натуральные числа от 1 до 20.
Первоначальное значение a - единица, a = 1. Будем просматривать всевозможные значения b от 1 до 20, а также значения c от 1 до 20 и проверять выполнение равенства a a + b b = c c. Как только равенство будет выполняться, тогда выводить на экран значения a, b и c.
Далее надо брать значение a = 2 и проверять значения b уже от 2 до 20. Почему не от 1, а от 2? Да потому, что набор двух чисел из 1 и 2 уже был рассмотрен при значениях a = 1 и b = 2, чтобы не повторять значения a и b, т.е. избежать появления двух одинаковых пар чисел, значения b следует начинать просматривать или до значения a или от a до 20.
В связи с этим, возможны несколько способов организации циклов для переменных a и b.
1-й способ:

for a:= 1 to 20 do
for b:= a to 20 do

2-й способ:

for a:= 20 downto 1 do
for b:= 1 to a do

3-й способ:

for a:= 1 to 20 do
for b:= 1 to a do

Нетрудно видеть, что при каждом из этих способов не будут повторяться пары чисел. Проверьте это самостоятельно.
Для значений c мы обязаны проверять все натуральные числа от 1 до 20 для каждой пары чисел a и b. Поэтому цикл для c должен быть таким: for c:= 1 to 20 do

Блок-схема

Рис . 41

Программа

Program Problem6;
uses WinCrt;
var
a, b, c: integer;
begin
writeln("Тройки Пифагоровых чисел из промежутка ");
for a:= 1 to 20 do
for b:= 1 to a do
for c:= 1 to 20 do
if a*a + b*b = c*c then writeln(a, " ", b, " ", c)
end .

1. Составьте блок-схему и программу, которая находит все решения уравнения где n - заданное число, из промежутка .

2. Найти все натуральные x из промежутка , для которых выражение является квадратом натурального числа.

Пример 7. Сколькими способами заданное натуральное число n можно представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел:

Перестановка слагаемых нового способа не дает. Операцией возведения в степень 1/3 пользоваться нельзя.

Сразу возникает следующая простая идея составления программы.

Организовать два цикла, один - внешний цикл с переменной i от 1 до n, а второй - внутренний цикл по j, также от 1 до n.

Сущность работы программы будет заключаться в следующем:

первое значение i равно 1, оно умножается трижды само на себя (этим заменяется возведение в 3-ю степень);
затем "перебираются " все значения j от 1 до n, каждое из которых также умножается трижды на себя и складывается со значением i i i, т. е. i в кубе;
далее, эта сумма проверяется, равна ли она значению n, если равенство выполняется, тогда счетчик, заведомо определенный в программе увеличивается на 1, а значения i и j можно вывести на экран;
цикл по i продолжается, i принимает второе значение - 2 и снова начинает выполняться внутренний цикл по j от 1 до n и так далее.
Если мы составим программу по этому плану, то она будет иметь два существенных недостатка:
1) проделывается много бесполезной работы - оба цикла организованы от 1 до n и среди них много лишних (достаточно брать значения от 1 до корня кубического из n);
2) программа будет выдавать значения, которые получаются при перестановки слагаемых, например: 2 2 2 + 3 3 3 = 35 и 3 3 3 + 2 2 2 = 35, что является недопустимым по условию задачи. Как устранить эти недостатки?
Первый недостаток устраним, если предварительно выясним, сколько значений для каждого из чисел надо рассматривать, чтобы выполнялось неравенство
Для этого можно организовать цикл с предусловием, цикл "пока ", в который включить счетчик - k, который бы подсчитывал, сколько раз такой цикл будет выполняться.

Это можно сделать так:

k:= 0; i:= 1;
while i*i*i + 1 <= n do
begin
k:= k + 1;
i:= i + 1
end ;

Теперь можно значительно уменьшить число циклов для "испытуемых " чисел и организовать их от 1 до k, ибо при значениях i больше k, даже при самом маленьком значении j (j:= 2) неравенство i i i + 1 <=n не выполняется.
Чтобы устранить второй недостаток, т. е., чтобы не выдавать варианты с перестановкой слагаемых можно поступить так:

внешний цикл по i первого числа устроить от k до 1, а внутренний цикл для второго числа по j делать от 1 до i. Получится такая часть программы:

p:= 0;
for i:= k downto 1 do
for j:= 1 to i do
if i*i*i + j*j*j = n
then
begin
p:= p + 1;
end ;

Внимательно разберитесь с этой частью программы и подумайте, почему в этом случае мы избегаем повторения вариантов и исключаем случаи перестановки слагаемых?

Осталось красиво закончить программу. Ведь очень часто будут встречаться случаи, когда число вообще нельзя представить в виде суммы кубов двух чисел. Надо учесть и это обстоятельство.

Для этого, после выполнения всех циклов введем условный оператор, в котором, в зависимости от значений счетчика p будут выдаться соответствующие сообщения.

Если p = 0, тогда выдать сообщение, что число нельзя представить в виде суммы кубов двух чисел, а иначе , выдать сообщение о количестве способов.
Эта часть программы может быть выполнена так:

if p = 0
then
begin

end
else

Блок-схема

Рис . 42

Программа

Program Problem7;
uses WinCrt;
var
i, j, n, k, p: longint;
begin
write("Введите натуральное число "); readln(n);
k:= 0; i:= 1;
while i*i*i + 1 <= n do
begin
k:= k + 1; i:= i + 1
end ;
p:= 0;
for i:= k downto 1 do
for j:= 1 to i do
if i*i*i + j*j*j=n
then
begin
p:= p + 1;
writeln(i, "*", i, "*", i, "+", j, "*", j, "*", j, "=", n)
end ;
if p = 0
then
begin
write("Число ", n, " нельзя представить в виде ");
writeln("суммы кубов двух чисел")
end
else writeln("Число способов равно ", p)
end .

Еще одно решение этой задачи

Program Problem7b;
uses WinCrt;
label 1, 2;
var
i, j, m, k, n: longint;
begin
write("Введите натуральное число "); readln(n);
m:= 0; i:= 1; j:= 1;
while j*j*j + 1 < n do j:= j + 1;
repeat
k:= i*i*i + j*j*j;
if k = n then m:= m + 1;
if k <= n then i:= i + 1;
if k >= n then j:= j - 1;
until i > j;
if m = 0 then goto 1;
write("Число ",n," можно представить в виде суммы");
writeln(" кубов двух чисел ",m," способами"); goto 2;
1: write("Это число не представимо в виде");
writeln(" суммы кубов двух чисел");
2: end .

Дано натуральное n. Можно ли n представить в виде суммы трех квадратов натуральных чисел? Если можно, то указать все тройки x, y, z таких натуральных чисел, что Перестановка слагаемых нового способа не дает. Составить блок-схему и программу.

5. Преобразование типов

Пример 8. Двузначное десятичное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найти все такие числа.

Пусть искомое двузначное число = a 10 + b, тогда число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке будет = b 10 + a, например, 12 и 21, 13 и 31 и т. п.
Сумма этих чисел должна давать полный квадрат, т.е. точный квадрат целых чисел. Как это проверить?
Проверку можно было бы выполнить так: извлечь квадратный корень из полученной суммы; затем округлить результат до целого числа, а потом умножить полученный результат на себя, если снова получится сумма этих чисел, то значит она является точным или полным квадратом.
Например, 12 + 21=33, извлекаем квадратный корень из 33, он равен 5.74...; округляем, будет 6; умножаем 6 само на себя и получаем 36.
Мы не получили исходного результата, значит сумма 33 не является точным квадратом.
Еще один пример, чтобы вам была понятна идея решения. Пусть двузначное число 29, тогда число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке - 92, в сумме они дают 121. Извлекаем квадратный корень из 121 и получаем 11. Умножив 11 само на себя, снова получим 121. Делаем вывод, что получен точный квадрат, а значит двузначное число 29 является искомым.
Чтобы составить программу по этому принципу, придется извлекать квадратный корень из суммы, что можно сделать с помощью стандартной функции sqrt(x). Результат функции sqrt(x) является вещественным числом, его надо округлить или отбросить дробную часть, а нам неизвестно, как это сделать.
Но, даже более существенным, является то, что если квадратный корень в множестве целых чисел извлекается нацело, как для 121 (он равен 11), то на множестве вещественных чисел мы не получим строго число 11, а результат будет очень близок к 11 и после умножения на себя всё равно не получится 121, т.е. возникает необходимость преобразовать вещественное значение в целое.
Итак перед нами две задачи: 1) выяснить как округлять числа и; 2) установить, как преобразовывать вещественный тип в целый.

Для этого в Паскале есть стандартные функции round(x) и trunc(x)

Стандартные функции round и trunc предназначены для замены значений вещественного типа значениями целого типа.
Функция round (x) округляет вещественное число x до целого - ее значение есть ближайшее целое число:
round (4.2) = 4, round (4.7) = 5, round (4.5)=5,
round (-4.2) = -4, round (-4.7) = -5, round (-4.5) = -5.
Функция trunc (x) отбрасывает (без округления) дробную часть вещественного числа x:
trunc (1.2) = 1, trunc (5.8) = 5, trunc (-1.2) = -1,
trunc (-5.8) = -5, trunc (-6.7) = -6, trunc (8,9) = 8

Функции округления связаны так:
trunc (x + 0.5) = round (x), если x 0,
trunc (x - 0.5) = round (x), если x < 0.
Итак, в программе можно воспользоваться одной из этих функций. Какой? Подумайте сами и попробуйте применить в программе вначале функцию trunc , а потом замените ее на round и сравните полученные результаты.

Показать, что четырехзначное число, у которого цифры тысяч и десятков одинаковы и цифры сотен и единиц тоже одинаковы, не может быть точным квадратом.

Произведение шести последовательных натуральных чисел может быть равно произведению трех последовательных натуральных чисел. Например, 1 2 3 4 5 6 = 8 9 10 = 720. Есть ли еще такие числа?

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.

Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа.

Существуют ли такие целые числа, которые уменьшаются в 57 раз при зачеркивании их первой (слева) цифры?

Найти четырехзначное число, зная, что оно является квадратом натурального числа и что цифры его распадаются на две пары, состоящие из одинаковых цифр.

Найдите все семизначные числа, которые делятся на 15 и записываются только цифрами 0 и 1.

Шестизначное число начинается с цифры 1. Если эту цифру переставить в конец числа, то новое число будет в три раза больше первоначального. Найдите число.

Сколько точных квадратов можно составить из цифр 3, 4, 5, 6?

Даны 20 различных натуральных чисел, не больших 50. Найдите два из них, разность которых равна 4, 5 или 9.

Во сколько раз увеличится двузначное число, если справа к нему приписать такое же двузначное число?

Определить наибольшее значение отношения трехзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.

Найти трёхзначное число, кратное 45, если разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297.

Найти четырёхзначное число, кратное 11, при условии: b + c = a и есть полный квадрат.

Найти трёхзначное число, равное сумме цифры десятков, квадрата цифры сотен и куба цифры единиц.

Найти два числа, произведение которых есть трёхзначное число, являющееся кубом некоторого числа, а частное является квадратом этого числа.

Разность между числом и произведением его цифр равна сумме цифр этого числа. Найти это число.

Найти все значения числа m, для которых сумма 1! + 2! + , + m! является полным квадратом.

Найти положительное четырёхзначное число, кратное 7 и представляющее собою сумму куба и квадрата некоторого числа.

Некоторое число при делении на 7 дает в остатке 3; его квадрат при делении на 72 дает остаток 44; его куб при делении на 73 даёт остаток 111. Найти это число.

1. При каком натуральном значении a число a2 + a + 1589 будет точным квадратом?
2. Найти совершенное число вида 16p.
3. Найти два числа, если сумма их квадратов равна 468, а сумма их общего наибольшего делителя и наименьшего кратного равна 42.