Пусть дана матрица

Определение: Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак перед слагаемым определяется по правилу знаков:

Определение: Пусть – произвольная перестановка чисел 1,2,3...n. Говорят, что элементы и образуют инверсию (нарушение порядка), если, а. Перестановка чисел 1,2,3...n называется четной, если число инверсий, образованных ее элементами, четно, в противном случае она называется нечетной.

Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта перестановка четная, то ставим ²+², если нечетная, то ²–².

Определение: Рассмотрим перестановку:

Поменяем местами и, получим перестановку:

Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов и.

Утверждение: Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство: Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки.

Все элементы перестановок А и В, кроме и, образуют одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Если элементы и в перестановке А не образовывали инверсии, то в В – образуют, если в А – образовывали, то в В уже не будут образовывать. Таким образом, в результате транспозиции соседних элементов число инверсий либо увеличилось, либо уменьшилось на единицу. Четность поменялась.

Общий случай. Чтобы совершить транспозицию двух произвольных элементов перестановки, будем последовательно переставлять соседние элементы. Для того, чтобы поменять местами элементы и, сначала k раз меняем элемент с, ..., затем раз меняем до. Таким образом, перестановка совершается раз. Четность меняется на противоположную.

Утверждение: Рассмотрим все перестановки n символов 1,2,3,...,n. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно .

Доказательство: Выпишем все четные перестановки и зададим отображение с нечетными по правилу:

Все перестановки являются нечетными согласно предыдущей теореме.

Указанное нами отображение является биекцией множества всех четных перестановок на множество всех нечетных перестановок, в самом деле, по указанному правилу каждой четной перестановке ставится в соответствие единственная нечетная, т.е. это отображение, очевидно, инъективно: . Указанное отображение сюрьективно, в самом деле, каждая нечетная перестановка В является образом той четной перестановки А, которая получается из В заменой в В местами первого и второго символов, следовательно, отображение биективно, следовательно, число четных перестановок равно числу нечетных равно.

Определение: Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой.

Подстановку, заданную на множестве 1,2,3,...,n удобно записывать виде: или, где первая и вторая строчки – подстановки.

Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять местами любые два столбца, то получится та же подстановка.

Определение: Подстановка называется четной, если перестановки, записанные в первой и второй строчках либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной. Четность подстановки не изменится, если поменять в ней любые два столбца, следовательно, число четных подстановок равно числу нечетных, равно.

Теперь правило знаков в определении определителя можно сформулировать так: – произведение n сомножителей, взятых по одному из различных строчек и различных столбцов. Рассмотрим подстановку. Если она четная, то перед слагаемым ставится знак ²+², если нечетная, то ²–².

Пример:

1) Пусть дана матрица, тогда через обозначим транспонированную матрицу:

Докажем, что определитель равен определителю А. ().

Доказательство: Рассмотрим слагаемое входящее в det A. Элемент а является произведением сомножителей, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А, и, следовательно, разным строкам и столбцам матрицы, следовательно, каждый элемент является слагаемым и в и наоборот. Знак элемента а в определителе определяется четностью подстановки, а в – четностью подстановки. Но эти две подстановки одновременно либо четные либо нечетные.

2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель равен 0.

Доказательство: В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма n! нулей.

3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный.

В самом деле, пусть получена из матрицы а заменой двух строк: i и j. Все слагаемые вида входят и в определитель матрицы А и в определитель матрицы, знак перед этим слагаемым определяется с помощью подстановки: , а знак перед этим же слагаемым в определяется с помощью подстановки

Эти подстановки различной четности.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №8 (2 семестр)

Тема: Ранг матрицы. Базисные строки – база векторов – строк. Определитель Грамма и линейная зависимость.

Определение: Дана матрица

Пусть в А выделены строчки с номерами и столбцы. Элементы, стоящие на пересечении выбранных столбцов и строк образуют матрицу k-того порядка. Определитель М этой матрицы называется минором k-того порядка. Если в матрице А вычеркнуты выбранные строки и столбцы, то оставшиеся элементы образуют матрицу n-k-того порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору М.

Определение: Пусть выбраны строки с номерами и столбцы с номерами. Выражение называется алгебраическим дополнением минора М.

Теорема Лапласа: Пусть в квадратной матрице А выбраны k строк с номерами , где . Сумма произведений всевозможных миноров k-того порядка, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения равны определителю матрицы А.

Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Определение 7. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

Обозначение определителя: |А | = .

Например, при n = 6 произведение а 21 а 13 а 62 а 34 а 46 а 55 является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет . В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т.е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».

Произведение а 21 а 13 а 62 а 34 а 46 а 15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.

Свойства определителей.

1 0 . При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

Действительно, если (-1) к является членом определителя, то все a 1 , a 2 , … , a n различны и к – число инверсий в перестановке (a 1 , a 2 , … , a n). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот. Следовательно, в произведении все множители будут из разных столбцов и строк, т.е. это произведение будет входить в транспонированный определитель. Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке . Но это число, очевидно равно к. Итак, (-1) к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.

2 0 . Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.

3 0 . Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель l, то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (-1) s . Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель l.

4 0 . Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

Действительно, если (-1) к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение будет входить в виде (-1) s . Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.

5 0 . Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам р-ой строки, умноженным на l, т.е. |А | = = = 0.

6 0 . Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

Пусть элементы к-ой строки будут + с к1 , + с к2 , …. , + с кn . Тогда любой член определителя будет иметь вид

(-1) s = (-1) s + (-1) s .

Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять , , …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять с к1 , с к2 , …. , с кn .

7 0 . Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

Это свойство является следствием двух предыдущих.

Если в определителе |А | вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется минором, дополнительным для элемента и обозначается М кр . Число (-1) к+р ×М кр называется алгебраическим дополнением для элемента и обозначается А кр .

8 0 . Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Лемма 1 D = . (8)

Доказательство. Если а 11 = 0, то равенство (8) очевидно. Пусть а 11 ¹ 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит а 11 . Все они имеют вид , где g к и к пробегают значения от 2 до n . Знак этого члена в определителе D определяется чётностью подстановки s = .Таким образом D есть алгебраическая сумма слагаемых вида со знаками, определяемыми подстановкой s. Если в этой сумме вынести за скобки а 11 , то получим, что D = а 11 × S , где S есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой s. Этих слагаемых, очевидно, (n – 1)!. Но подстановка s и подстановка имеют одинаковую чётность. Следовательно, S = М 11 . Так как А 11 = (-1) 1+1 ×М 11 = М 11 , то D = а 11 ×А 11 .

Лемма 2. D = (9)

Доказательство. В определителе D переставим р-ую строку последовательно с каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки, но минор, дополнительный к элементу а рк не изменится. Всего будет сделано (р – 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить D 1 , то D = (-1) р-1 ×D. В определителе D 1 переставим к -ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (к – 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к а рк , не изменится. Получится определитель

D 2 = . Очевидно, D 2 = (-1) р-1 ×D 1 = (-1) р+к-2 ×D = (-1) р+к ×D. По лемме 1, D 2 = а рк ×М рк. Отсюда D = а рк × (-1) р+к × М рк = а рк ×А рк.

Теорема 3. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т.е. D = а к1 А к1 + а к2 ×А к2 +…+а kn ×А kn (10).

Доказательство. Пусть D = . Элементы к-ой строки запишем в виде а к1 =а л1 + 0 + …+ 0, а к2 = 0 + а к2 + 0 + … + 0, … , а = 0 + 0 + …+ 0 + а . Используя свойство 6 0 , получим, что D =
= = а к1 А к1 + а к2 А к2 + … + а А (использовали лемму 2).

Теорема 4. Сумма произведений элементов одной строкиопределителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Пусть D = . По предыдущей теореме

D = . Если взять , то в определителе Dбудет две одинаковые строки, т.е. D будет равен нулю. Следовательно, 0 = , если р ¹ к.

Замечание. Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка» заменить на слово «столбец».

Способ вычисления определителя n-го порядка.

Для вычисления определителя n -го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 7 0 , а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (n – 1)-го порядка.

Пример. Вычислите определитель D = .

Решение. Получим нули во второй строке. Для этого второй столбец 1) умножим на (-2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (-4) и прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что D = . Разложим полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т.е. вторую строку и второй столбец. Знак алгебраического дополнения определяет (-1) 2+2 = (-1) 4 = +1. Итак, D = + . Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим первый столбец 1) на (-4) и прибавим ко второму столбцу, 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что

D = . Следовательно, D = (-1) 2+1 . Используя свойство 7 0 , прибавим к первому столбцу второй, получим D = - = -3×(23 – 40) = 51.

Некоторые определители (например, такие, в которых стоят «большие» миноры, целиком состоящие из нулей) удобно разлагать по нескольким строкам. Это позволяет делать теорема Лапласа. Пусть в определителе D выделен минор М s-го порядка, элементы которого стоят на строках с номерами к 1 ,к 2 ,…,к s и на столбцах с номерами р 1 ,р 2 ,…,р s . Вычеркнем строки и столбцы с указанными номерами. После этого останется определитель (n – s )-го порядка. Его называют минором М 1 , дополнительным к минору М. Если s = к 1 +…+ к s + р 1 +…+р s , то

алгебраическим дополнением к минору М называется А = (-1) s ×М 1 .

Теорема 5 (теорема Лапласа). Пусть в определителе n -го порядка выделены к строк (или столбцов). Определитель равен сумме произведений всех миноров, стоящих на выделенных строках, на их алгебраические дополнения.

Доказательство

(разложение по элементам i -й строки);

(разложение по элементам j -го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Теорема 6 (теорема Крамера). Если в системе линейных уравнений число неизвестных равно числу уравнений и определитель D системы отличен от нуля, то система имеет решение и только одно. Это решение получается по формулам , где каждое D к получается из D заменой к-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Пусть дана система и D ¹ 0. Умножим первое уравнение на А 1к, второе – на А 2к, … ,n- ое уравнение – на А nк и все уравнения сложим. Получим +… ... + + … + =

Используя теоремы 3 и 4, получим х 1 ×0 + … + х к ×D + … + х n ×0 = D к , где D к = (к-ый столбец в определителе D заменён столбцом свободных членов уравнений данной системы). Отсюда = для всех к = 1, 2, …, n .

ортогональный унитарный матрица полилинейный

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Вычисление определителей порядка N>3.

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка.

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;

б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.

Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,

Методы вычисления определителей n – го порядка 1. Метод приведения к треугольному виду Этот метод заключается в преобразовании определителя к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю. Пример 1. Вычислить определитель порядка n d= 01 01 01 01 11110 xxx xxx xxx xxx . Решение. Прибавим первую строку, умноженную на (– x) ко всем остальным: d= x x x x − − − − 0001 0001 0001 0001 11110 . К первому столбцу прибавим все последующие столбцы, умноженные на (1/x). Получим d= . 0000 0000 0000 0000 1111)1(x x x x x n − − − − − Мы получили треугольный вид, следовательно, определитель равен произведению элементов главной диагонали d=(– 1) n – 1 (n – 1)x n – 2 . Пример 2. Вычислить определитель 2221 2212 2122 1222 − − − − =d . Решение. Прибавим к первой строке все остальные, тогда в первой строке все элементы будут равны 2(n – 1) – 1=2n – 3 и, следовательно, общий множитель можно вынести за знак определителя: . 2221 2212 2122 1111)32(− − − −= nd Теперь воспользуемся тем, что в первой строке все элементы равны 1. Умножая первую строку на (– 2) и прибавляя её ко всем остальным строкам, мы получим. 0003 0030 0300 1111)32(− − − −= nd Побочная диагональ в определитель n-го порядка входит со знаком 2)1()1(− − nn (это легко проверить, если подсчитать число инверсий в подста- новке −− 1...21 ...321 nnn n). Тогда получим () ()() () () .32313321 1 1 2)1(1 2)1(−−=−−−= − − + − − nnd n nn n nn Пример 3. Вычислить определитель. 000 00330 00022 1321 nn nn d − − − − = Решение. Прибавим к (n – 1)-му столбцу n-ый, затем полученный (n – 1)-ый столбец прибавим к (n – 2)-му, и т. д. Тогда получим определитель треугольного вида. 2)1(! 0000 00300 00020 123 2)1(1 2)1(2)1(+ = −− + − ++ = nn n n nn nnnnnn d 2. Разложение определителя по строке (столбцу) Пример 1. Вычислить определитель d разложением по третьей строке, если d= 2164 7295 4173 2152 − −− −− − . Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение определителя по i-ой строке: d=a i1 A i1 +a i2 A i2 +…+a in A in , где A ij , j= n,1 – алгебраические дополнения элементов определителя. В нашем случае формула принимает вид d=a 31 A 31 +a 32 A 32 +a 33 A 33 +a 34 A 34 , т. е. мы имеем следующее разложение: d=5∙ (– 1) 3+1 ∙ 216 417 215 − − − +(– 9)∙(– 1) 3+2 ∙ 214 413 212 −− +2∙(– 1) 3+3 ∙ 264 473 252 − − − + + (-7)∙ (– 1) 3+4 ∙ 164 173 152 − −− − . Вычисляя полученные определители третьего порядка, получим d=5∙(– 6)+9∙12+2∙(– 54) + 7∙(– 3)= –51. Пример 2. Вычислить определитель d= 78102 4552 5882 6593 −−− . Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (– 1) ко всем остальным, получим d= 3350 4552 913130 2041 −−− . Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (– 2), получим d= 3350 0530 913130 2091 − −−− . Разложив этот определитель по первому столбцу, содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 1+1=2, т. е. чётной), получим d= 335 053 91313 − −−− . Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой строке третью, умноженную на 3, получим d= 335 053 042 − − . Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. е. чётной). Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу: d=3 53 42 − − =3(10 – 12)= – 6. Пример 3. Вычислить определитель. 000 11000 00300 00220 00011 nn nn d − −− − − = Решение. Разложим определитель по 1-му столбцу, тогда () () () . 1100 0030 0022 0001 1 000 1100 0030 0022 1 12 nn n n nn d n −− − − −−+ −− − −= + В этом равенстве первый и второй определители имеют треугольный вид, поэтому первый определитель равен n!, а второй определитель равен (– 1)(– 2) . . . (1 – n)=(– 1) n–1 (n – 1)!. Тогда получим: () () () .011!1!! 1212 =−+=−+= +−++ nnn nnnd 3. Теорема Лапласа Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1≤k≤n – 1. Тогда сумма произведений всех миноров k – го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d. Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель, предварительно преобразовав его. d= 43220 50300 20100 34523 12532 − − −− −− . Выберем третью и четвёртую строки. В них находится единственный минор отличный от нуля, поэтому d= 53 21 − ∙(– 1) 3+4+4+5 ∙ 320 423 232 − −− . Воспользовавшись формулами для вычисления определителей второго и третьего порядков, получим d=12–12+16+27=43. Пример 2. Вычислить определитель. 005000 050000 500000 000500 000010 000001 − = d Решение. Данный определитель имеет вид, указанный в следствии из теоремы Лапласа, поэтому мы можем этим следствием воспользоваться. Тогда () .51 005 050 500 ,5 500 010 001 3 2)4)(3(3 − −− − −==−=−= n nn n BA По следствию из теоремы Лапласа имеем: () .51 2 2 147 2 − +− −== n nn BAd 4. Метод выделения линейных множителей Определитель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителей, находят частное от деления определителя на это произведение и тем самым находят выражение определителя. Пример. Вычислить определитель методом линейных множителей d= 2 2 9132 5132 32x-21 3211 x − . Решение. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (– 1), а к третьей – четвёртую, умноженную на (– 1): d= 2 2 2 2 9132 4000 32x-21 0010 x x x − − − . Воспользуемся тем, что в первой строке и в третьей строке стоит лишь по одному неравному нулю элементу, и обнулим элементы стоящие во втором и третьем столбцах: d= 0102 4000 0201 0010 2 2 − − x x . Прибавим ко второй строке четвёртую, тогда d= 0102 4000 0303 0010 2 2 − − x x . Из первой строки видно, что определитель делится на x 2 – 1, из второй строки видно, что определитель делится на 3, а из третьей строки видно, что он делится на x 2 – 4. Так как все эти множители взаимно просты, то определитель делится на их произведение 3(x 2 – 1)(x 2 – 4). В данном произведении член x 4 имеет знак «+», а в определителе он содержится со знаком « – », поэтому d= – 3(x 2 – 1)(x 2 – 4). 5. Метод представления определителя в виде суммы определителей Некоторые определители легко вычисляются путём разложения их в сумму определителей того же порядка относительно строк или столбцов. Пример. Вычислить определитель d= add acc abb aaa 42 32 22 12 + + + + . Элементы первого столбца являются суммами двух слагаемых, это даёт возможность данный определитель представить как сумму двух определителей: d= ad ac ab aa 42 32 22 12 + add acc abb aaa 4 3 2 1 . В первом определителе первый и четвёртый столбцы пропорциональны, следовательно, он равен нулю. Во втором определителе первый и третий столбцы равны, следовательно, он тоже равен нулю. Таким образом, d=0. 6. Метод изменения элементов определителя Этот метод основан на следующем свойстве: если ко всем элементам определителя D прибавить одно и то же число x, то определитель увеличится на произведение числа x на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D. D′=D+x = n ji ij A 1, . Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к вычислению определителя D и суммы его алгебраических дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём изменения всех элементов определителя на одно и то же число он приводится к такому виду, в котором легко сосчитать алгебраические дополнения всех элементов. Пример. Вычислить определитель D= n axxxx xaxx xxax xxxa 3 2 1 . Прибавим ко всем элементам число (– x), тогда D′= xa xa xa xa n − − − − 0000 000 000 000 3 2 1 . Алгебраические дополнения элементов определителя D, не лежащих на главной диагонали, равны нулю. Остальные алгебраические дополнения имеют положительный знак, поскольку все суммы индексов чётные. В нашем случае формула принимает вид: D′=(a 1 – x)…(a n – x), x = n ji ij A 1, = – x)()()()(1 1 11 xaxaxaxa ni n i i −…−−…− + = − . Тогда искомый определитель D=D′–x = n ji ij A 1, =(a 1 – x)…(a n – x)+x)()()()(1 1 11 xaxaxaxa ni n i i −…−−…− + = − = =x(a 1 – x)(a 2 – x)…(a n – x) − +…+ − + xaxax n 111 1 . 7. Метод рекуррентных соотношений Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением. Этот метод используется для вычисления определителей вида.)(000 00 0 00 21 −− −+= + + + + = nnn DDD αββα βα βαα ββαα ββα D n – (α+β)D n – 1 +αβD n – 2 =0 или, в общем виде D n – pD n – 1 +qD n – 2 =0, где p=α+β, q=αβ. Пусть рекуррентное соотношение имеет вид: D n =pD n – 1 – qD n – 2 , n>2, (5) где p, q – постоянные не зависящие от n. При q=0 D n вычисляется как член геометрической прогрессии: D n =p 1 − n D 1 ; здесь D 1 – определитель 1 – го порядка данного вида, т. е. элемент определителя D n , стоящий в левом верхнем углу. Пусть q>0 и α, β – корни квадратного уравнения x 2 – px+q=0. Тогда р=α+β, q=αβ и равенство (5) можно переписать так: D n – αD n – 1 =β (D n – 1 – αD n – 2) (6) или D n – βD n – 1 =α(D n – 1 – βD n – 2). (7) Предположим сначала, что α≠β. По формуле (n – 1) – го члена геометрической прогрессии находим из равенств (6) и (7): D n – αD n – 1 =β 2 − n (D 2 – αD 1) и D n – βD n – 1 =α 2 − n (D 2 – βD 1). Откуда.)()(12 1 12 1 βα αββα − −−− = −− DDDD D nn n (8) Пусть теперь α=β. Равенства (6) и (7) обращаются в одно и то же D n – αD n – 1 =α (D n – 1 – αD n – 2), откуда D n – αD n – 1 =Aα 2 − n , (9) где A=D 2 – αD 1 . Заменяя здесь n на n – 1, получим: D n – 1 – αD n – 2 =Aα 3 − n , откуда D n – 1 =αD n – 2 +Aα 3 − n . Подставляя это выражение в равенство (9), найдём D n =α 2 D n – 2 +2Aα 2 − n . Повторяя тот же приём несколько раз, получим D n =α 1 − n D 1 +(n – 1)Aα 2 − n , где A=D 2 – αD 1 . Пример 1. Вычислить определитель методом рекуррентных соотношений. d= 21...0000 12...0000 ..................... 00...2100 00...1210 00...0121 00...0012 . Решение. Разложим определитель по первой строке, тогда D n =2(– 1) 1+1 D n – 1 +(– 1) 2+1 2...000 ............... 0...210 0...120 0...011 . Определитель в последнем равенстве разложим по первому столбцу, тогда D n примет вид: D n =2D n – 1 – D n – 2 . Значит p=2, q=1. Решая уравнение x 2 – 2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β. Тогда по формуле D n =α 1 − n D 1 +(n – 1)Aα 2 − n , где A=D 2 – αD 1 находим, при α=1, D n =D 1 +(n – 1)A. В нашем случае D 1 =2, D 2 =3, тогда A=3 – 2=1. Следовательно, D n =2+(n – 1)=n+1. Пример 2. Вычислить определитель методом рекуррентных соотношений: d= 210...000 121...000 012...000 ..................... 000...210 000...122 000...043 . Решение. Разлагая d по последней строке, получим D n =2(– 1) nn + D n – 1 +(– 1))1(−+ nn 110...000 021...000 012...000 ..................... 000...210 000...122 000...043 . Определитель в последнем равенстве разложим по (n – 1) – му столбцу, тогда D n примет вид: D n =2D n – 1 – D n – 2 . Значит p=2, q=1. Решая уравнение x 2 – 2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β. Тогда по формуле D n = α n – 1 D 1 +(n – 1)Aα n – 2 , где A=D 2 – αD 1 находим, при α=1, D n =D 1 +(n – 1)A. В нашем случае D 1 =3, D 2 = – 2, тогда A= – 5. Следовательно, D n =3+(n – 1)(– 5)=8 – 5n. 8. Определитель Вандермонда Определителем Вандермонда называется определитель вида. 1111 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 −−−− = n n nnn n n aaaa aaaa aaaa d Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей a i – a j , где 1≤j

Определители n-го порядка

Определитель n–го порядка состоит из n 2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов, и имеет вид:

Элемент определителя а i j стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав а i3 (i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а 13 , а 23 , а 33 ,…,а n3 . Элементы а ij (при i=j) составляют главную диагональ определителя.

Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов.

2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.

6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Примеры.

№ 6. Вычислить определители:

а)

Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца.

б)

К элементам первой строки прибавили элементы третьей.

в)

Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю.

Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения.

Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент а ij , то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента а ij и обозначается М ij. Например, в определителе третьего порядка найдем минор М 21 элемента а 21 . Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец:

В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка.

Запишем миноры элементов а 32 и а 44 , например, определителя четвертого порядка:

Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i+ j , и обозначается А ij . Таким образом, А ij =(–1) i+ j ×М ij .

Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя .

.

Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя по строке или столбцу.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка:

- разложение по элементам первой строки.

Следствие . Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение.

Поэтому, например,

№.7

В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2.

Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка.

Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный.

Диагональным определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.

Треугольным определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

№ 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка

Раскладывая определитель по элементам 1 го столбца, мы получили произведение Но определитель (n–1)-го порядка А 11 таким же образом представим в виде произведения и т.д.

Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали:

№ 9 Вычислить определители:

1)