Функциональная зависимость бд. Простейшие функциональные зависимости. Полнота системы правил Армстронга

Зависимости между атрибутами

Атрибут В функционально зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует только одно значение В.

Обознач-ся:А В

2. Если существует функциональная зависимость вида А В и В А, то между А и В имеется взаимосвязанное соответствие или функциональная взаимозависимость

Обозн: А В

Частичная функциональная зависимость это зависимость неключевого атрибута от части составного ключа.

Полная функциональная зависимость

Когда неключевой атрибут полностью зависит от составного ключа.

Пр: Кафедра(ФИО, должен, оклад, стаж, д_стаж, кафедра, предмет, группа, вид занятий)

ФИО кафедра

ФИО должность

Атрибут С зависит от А транзитивно если для атрибутов А,В,С выполняется условие А В и В С, но нет обратной зависимости А С

Пример. ФИО должность оклад

В отношении rатрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами изr.

Обозн. А В, А В, А В ФИО предмет

Замечание: В общем случае между двумя атрибутами одного отношения могут существовать функциональные и многозначные зависимости (1:1, 1:M,M:M) т.к. зависимость между атрибутами является причиной аномалий, то необходимо разбить отношение с зависимостями атрибутов на несколько отношений. В результате получается совокупность связанных отношений, связи между которыми отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Два или более атрибутов называются взаимонезависимыми, если не один из этих атрибутов не зависит функционально от других атрибутов (Обозн. А¬
В).

Выявление зависимостей между атрибутами

Выявление зависимостей между атрибутами необходимо для выполнения проектирования БД методом нормальных форм.

Основной способ определения функциональной зависимости- это внимательный анализ семантики атрибутов .

A1 A3

Кроме того, А2 ¬ А1, А3 ¬ А1

Перечисляя все существующие функциональные зависимости в отношении rполучим полное множество функциональных зависимостей, которые обозначаютсяF + .

Зная некоторые функциональные зависимости, с помощью аксиом вывода можно получить полное множество F + для какого-либо отношения.

Для отношения “кафедра”:

ФИО оклад

ФИО должность

ФИО стаж

ФИО кафедра

ФИО д_стаж

Стаж д_стаж

Должность оклад

Оклад должность

ФИО.Преподаватель.Группа Вид занятий

Нормализация отношений

В реляционной БД каждое отношение должно быть нормализовано. Нормальная форма – это ограничение на схему БД, которое позволяет избежать аномалий при добавлении, удалении и изменении данных.

Отношение считается нормализованным (1НФ), если каждое значение любого атрибута в каждом картеже является неделимым (атомарным) элементом. Такими атомарными значениями являются простые типы данных.

2НФ В основном используются три нормальных формы.

Для всех нормальных форм соблюдается правило вложенности

Преимущества нормализации :

Лучшая организация БД, что облегчает работу пользователям и администраторам БД.

Сокращается избыточность информации, что ведет за собой упрощение структуры и рациональное использование дискового пространства.

Минимизируется дублируемая информация.

Нормализация с разбиением БД на более мелкие таблицы дает большую гибкость при изменении структур данных.

Большая безопасность БД.

После нормализации БД организация защиты информации, содержащейся в ней, значительно упрощается.

Недостатки :

Снижение производительности при выполнении запросов в БД.

Определения:

Отношение находится в 1НФ, если все элементы соответствующих доменов являются атомарными для каждого атрибута в исходном отношении. Исходное отношение строится таким образом чтобы оно находилось в 1НФ.

Значение является не атомарным, если оно используется приложением по частям.

Перевод отношения в следующую нормальную форму осуществляется методом декомпозиции без потерь.

Такая декомпозиция должна обеспечивать то что запросы к исходному отношению и к отношениям, получаемым в результате декомпозиции, дадут одинаковый результат.

Основной операцией в методе является операция проекции.

r (A,B,C,D,E) C D

r1(A,B,C,E) r2(C,D)π CD (r)

Частичная зависимость от ключа неключевых атрибутов приводит к следующему:

1. В отношении имеется явное и не явное избыточное дублирование данных, например, повторение о стаже, должности и окладе преподавателя, проводящих занятия в нескольких группах и/или по разным предметам. Повторение данных об окладах для одной и той же должности или данные о надбавке за стаж.

Следствием избыточного дублирования является проблема редактирования данных. Часть избыточности устраняется при переходе в 2НФ.

Отношение находится в 2НФ, если:

Отношение находится в 1НФ.

Каждый неключевой атрибут функционально полностью зависит от первичного ключа.

Для устранения частичной зависимости и перевода отношения в 2НФ необходимо:

Построить проекцию без атрибутов, находящихся в частичной функциональной зависимости от первичного ключа.

Построить проекцию на части составного первичного ключа и атрибута, зависящие от этих частей.

В результате получим два отношения r1,r2, находящихся во 2НФ:

Переход ко 2НФ позволяет исключить явную избыточность данных в отношении r2, тем не менее, дублирование данных сохраняется и поэтому необходимо преобразоватьr2 в 3НФ.

Опр.1: Отношение находится в 3НФ, если:

Удовлетворяются все требования 2НФ.

Если каждый неключевой атрибут не транзитивно зависит от первичного ключа.

Опр.2: Отношение находится в 3НФ в том случае, если все неключевые атрибуты взаимно независимы и полностью зависят от первичного ключа.

ФИО оклад должность

ФИО стаж Д_стаж

ФИО должность оклад

Транзитивные зависимости также порождают избыточное порождение данных.

Чтобы устранить транзитивные зависимости, необходимо использовать проекцию на атрибуты, являющиеся причиной данных транзитивных зависимостей.

В результате получим:

На практике, в большинстве случаев приведение к 3НФ является достаточным, и дальнейшую нормализацию не проводят.

Если в отношении имеется зависимость атрибутов составного ключа от неключевых атрибутов, то необходимо перейти к усиленной 3НФ, она называется НФБК.

Опр. Отношение находится в НФБК, если оно находится в 3НФ, и в нем отсутствуют зависимости ключей (атрибутов составного ключа) от неключевых атрибутов.

При представлении концептуальной схемы в виде реляционной модели возможны различные варианты выбора схем отношений. Одни варианты выбора рассматривались в предыдущих разделах (п. 6.2.3), другие получаются объединением (или разбиением) некоторых схем отношений. От правильного выбора схем отношений, представляющих концептуальную схему, в значительной степени будет зависеть эффективность функционирования базы данных .

Рассмотрим для примера конкретную схему отношений и проанализируем её недостатки. Предположим, что данные о студентах, факультетах, специальностях, включены в таблицу со следующей схемой отношения: СТУДЕНТ (Код студента, Фамилия, Название факультета, Название специальности).

Эта схема отношений обусловливает следующие недостатки соответствующей базы данных :

• Дублирование информации (избыточность). У студентов, обучающихся на одном факультете, будет повторяться название факультета. Для разных факультетов будут повторяться специальности.
• Потенциальная противоречивость (аномалии обновления ). Если, например, изменится название специальности, то изменяя её в одном кортеже (у одного студента), необходимо изменять и во всех других кортежах, где она присутствует.
• Потенциальная возможность потери сведений (аномалии удаления ). При удалении информации о всех студентах, поступающих на определенную специальность, мы теряем все сведения об этой специальности.
• Потенциальная возможность невключения информации в базу данных (аномалии включения ). В базе данных будут отсутствовать сведения о специальности, если на ней нет обучающихся студентов.

В теории реляционных баз данных существуют формальные методы построения реляционной модели базы данных , в которой отсутствует избыточность и аномалии обновления , удаления и включения.

Нормализация. Первая нормальная форма .

Построение рационального варианта схем отношений (обладающего лучшими свойствами при операциях включения, модификации и удаления данных, чем все остальные наборы схем) осуществляется путем так называемой нормализации схем отношений . Нормализация производится в несколько этапов. На начальном этапе схема отношений должна находиться в первой нормальной форме ( 1НФ ).

Отношение находится в первой нормальной форме , если все атрибуты отношения принимают простые значения (атомарные или неделимые), не являющиеся множеством или кортежем из более элементарных составляющих .

Рассмотрим следующий пример.

Таблица представляет сущность ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ВЕДОМОСТЬ

Теперь на пересечении любой строки и любого столбца находится одно значение и, следовательно, данная таблица находится в первой нормальной форме .

Далее отношение , представленное в первой нормальной форме , последовательно преобразуется во вторую и третью нормальные формы . Процесс построения второй и третьей нормальных форм будет описан в следующих подразделах. При некоторых предположениях о данных третья нормальная форма является искомым наилучшим вариантом.

Если эти предположения не выполняются, то процесс нормализации продолжается и отношение преобразуется в четвертую и пятую нормальные формы . Построение соответствующих форм описано в литературе и в данной книге не рассматривается.

Прежде чем перейти к построению второй нормальной формы , необходимо определить ряд формальных понятий.

8.2. Функциональные зависимости (зависимости между атрибутами отношения)

Пусть R(A 1 , A 2 , ..., A n) – схема отношения , а X и Y – подмножества {A 1 , A 2 , ..., A n } .

Функциональная зависимость на отношении R – это утверждение вида "Если два кортежа R совпадают по атрибутам множества (т.е. эти кортежи имеют в соответствующих друг другу компонентах одни и те же значения для каждого атрибута множества X ), то они должны совпадать и по атрибутам множества . Формально эта зависимость записывается выражением X -> Y , причем говорится, что X функционально определяет Y . Часто используется другое утверждение: X функционально определяет Y или Y функционально зависит от X (обозначается X -> Y ) тогда и только тогда, когда каждое значение множества X отношения R связано с одним значением множества Y отношения R . Иначе говоря, если два кортежа R совпадают по значению X , они совпадают и по значению Y .

Замечание. Вообще говоря, под термином " отношение " могут подразумеваться два понятия:

• отношение как переменная, которая может принимать разные значения (таблица, в строки и столбцы которой могут быть вписаны разные значения);
• отношение, как набор конкретных значений (таблица с заполненными элементами).

Функциональные зависимости характеризуют все отношения, которые могут быть значениями схемы отношения R в принципе. Поэтому единственный способ определить функциональные зависимости – внимательно проанализировать семантику (смысл) атрибутов.

Функциональные зависимости являются, в частности, ограничениями целостности, поэтому целесообразно проверять их при каждом обновлении базы данных .

Пример функциональных зависимостей для отношения ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ВЕДОМОСТЬ

Код студента -> Фамилия Код студента, Код экзамена -> Оценка

Пример функциональных зависимостей для отношения СТУДЕНТ, приведенного в начале настоящей лекции

Код студента -> Фамилия, Код студента -> Факультет

Заметим, что последняя зависимость существует при условии, что один студент не может обучаться на нескольких факультетах.

Полное множество функциональных зависимостей

Для каждого отношения существует вполне определенное множество функциональных зависимостей между атрибутами данного отношения. Причем из одной или более функциональных зависимостей, присущих рассматриваемому отношению, можно вывести другие функциональные зависимости , также присущие этому отношению.

Заданное множество функциональных зависимостей для отношения R обозначим F , полное множество функциональных зависимостей, которые логически можно получить из F , называется замыканием F и обозначается F + .

Если множество функциональных зависимостей совпадает с замыканием данного множества, то такое множество функциональных зависимостей называется полным .

Введенные понятия позволяют формально определить понятие ключа.

Пусть существует некоторая схема R с атрибутами A 1 A 2 ...A n , F – некоторое множество функциональных зависимостей и X – некоторое подмножество R . Тогда X называется ключом, если, во-первых, в F + существует зависимость X -> A 1 A 2 ...A n и, во-вторых, ни для какого подмножества Y , входящего в X , зависимость Y -> A 1 A 2 ...A n не принадлежит F + .

Полной функциональной зависимостью называется зависимость неключевого атрибута от всего составного ключа .

Частичной функциональной зависимостью будем называть зависимость неключевого атрибута от части составного ключа .

Для вычисления замыкания множества функциональных зависимостей используются следующие правила вывода (

Метод нормальных форм

Преподаватель

Рис. 6.4. Исходное отношение ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

Неявная избыточность проявляется в одинаковых окладах у всех преподавателей и в одинаковых надбавках к окладу за одинаковый стаж. Если оклад изменится с 500 руб. до 510руб., то это значение надо изменить у всех преподавателей. Если при этом будет пропущен Сидоров, то база станет противоречивой. Это пример аномалии редактирования отношения с неявной избыточностью.

Исключение избыточности состоит в нормализации отношений.

Метод нормальных форм является классическим методом проектирования реляционных баз данных. Он основан на фундаментальном понятии зависимости между атрибутами отношений.

Атрибут В функционально зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует в точности одно значение В. Математически функциональная зависимость В от А обозначается записью А ® В. Это означает, что во всех кортежах с одинаковым значением атрибута а АТРИБУТ в БУДЕТ ИМЕТЬ ТАКЖЕ ОДНО И ТО ЖЕ ЗНАЧЕНИЕ. Атрибуты А и В могут быть составными – состоять из двух и более атрибутов. В отношении Преподаватель Функциональные зависимости следующие: ФИО ® Каф, ФИО ® Долж, Долж ® Оклад и др.

Функциональная взаимозависимость. Если существует функциональная зависимость вида А ® В и В ® А, то между А и В имеется взаимно однозначное соответствие, или функциональная взаимозависимость. Математически взаимозависимость обозначается как А « В или В « А.

Пример. Атрибут N (серия и номер паспорта) находится в функциональной взаимозависимости с атрибутом ФИО (фамилия, имя и отчество), если предполагается, что ситуация наличия в отношении полного совпадения фамилий, имен и отчеств у двух людей исключена.

Частичной функциональной зависимостью называется зависимость неключевого атрибута от части составного ключа. В отношении Преподаватель ключ является составным и состоит из атрибутов ФИО, Предмет и Группа. Все неключевые атрибуты функционально зависят от ключа с различной степенью зависимости. Например, атрибут Должность находится в функциональной зависимости от атрибута ФИО, являющегося частью ключа, т.е. находится в частичной зависимости от ключа.

Полная функциональная зависимость – зависимость неключевого атрибута от всего составного ключа. Например, атрибут ВидЗан находится в полной функциональной зависимости от составного ключа.

Атрибут С зависит от атрибута А транзитивно (существует транзитивная зависимость ), если для атрибутов А, В, С выполняются условия А ® В и В ® С, но обратная зависимость отсутствует. В примере транзитивной зависимостью связаны атрибуты:

ФИО ® Долж ® Оклад

В отношении R атрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами из R. Многозначные зависимости могут быть «один ко многим» (1:М), «многие к одному» (М:1) или «многие ко многим» (М:М), Обозначаемые соответственно: А Þ В, А Ü В и А Û В.

В рассматриваемом примере имеется многозначная зависимость М:М между атрибутами ФИО Û Предмет (один преподаватель может вести несколько предметов и один предмет могут вести несколько преподавателей).

Поскольку зависимость между атрибутами является причиной аномалий, то стараются такие отношения разделить на несколько отношений. В результате образуется совокупность связанных отношений (таблиц) со связями вида 1:1, 1:М, М:1 и М:М. Связи между таблицами отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Взаимно независимые атрибуты. Два или более атрибутов называются взаимно независимыми, если ни один из этих атрибутов не является функционально зависимым от других атрибутов. Математически отсутствие зависимости атрибута А от атрибута В обозначается как А Ø® В. Если имеет место А Ø® В и В Ø® А, то взаимная независимость обозначается А Ø= В.

Выявление зависимостей между атрибутами. Выявление зависимостей между атрибутами необходимо для выполнения проектирования базы данных методом нормальных форм.

Пример. Пусть задано отношение R со схемой R(А1, А2, А3) вида:

Априори известно, сто существуют функциональные зависимости:

А1®А2 и А2®А3.

Из анализа видно, что в отношении существуют еще зависимости:

А1®А3, А1А2®А3, А1А2А3®А1А2, А1А2®А2А3 и т.п..

В отношении отсутствует функциональная зависимость атрибута А1 от атрибута А2 и от атрибута А3, т.е.

А2 Ø® А1, А3 Ø® А1.

Отсутствие зависимости А1 от А2 объясняется тем, что одному и тому же значению атрибута А2 (21) соответствуют разные значения атрибута А1 (12 и 17).

Все существующие функциональные зависимости в отношении составляют полное множество функциональных зависимостей , которое обозначим F + . Полное множество функциональных зависимостей может быть выведено на основе 8 аксиом вывода: рефлективности, пополнения, транзитивности, расширения, продолжения, псевдотранзитивности, объединения и декомпозиции.

В отношении Преподаватель можно вывести следующие функциональные зависимости:

ФИО ® Оклад

ФИО ® Долж

ФИО ® Стаж

ФИО ® Надб

ФИО ® Каф

Стаж ® Надб

Долж ® Оклад

Оклад ® Долж

ФИО. Предм. Группа ® Оклад

Рис. 6.5. Зависимости между атрибутами.

Предполагается, что один преподаватель в одной группе может проводить один вид занятий (лекции или лабораторные работы). ФИО – уникальны. Имеется зависимость ФИО ® Стаж, а обратное утверждение не верно, т.к. одинаковый стаж имеют несколько преподавателей. Относительно других зависимостей рассуждения аналогичны. Между должностью и окладом устанавливается взаимно однозначная зависимость.

Один преподаватель в одной группе по разным предметам может проводить разные виды занятий. Определение ВидаЗанятий связано с указанием ФИО, Предмета и Группы. Действительно, Петров М.И. в 256-й группе читает лекции и проводит лабораторные занятия, но лекции читает по СУБД, а лабораторные работы по Графике.

Зависимости между атрибутами ФИО, Предмет и Группа не выведены, т.к. они образуют составной ключ и не учитываются в процессе нормализации отношения (таблицы).

Нормальные формы. Процесс проектирования баз данных с использованием нормальных форм является итерационным и состоит в последовательном переводе отношений из первой нормальной формы в нормальные формы более высокого порядка. Каждая следующая форма ограничивает определенный тип функциональных зависимостей, устраняет соответствующие аномалии при выполнении операций над отношениями базы данных и сохраняет свойства предыдущих форм.

Выделяют следующую последовательность нормальных форм:

° Первая нормальная форма (1НФ);

° Вторая нормальная форма (2НФ);

° Третья нормальная форма (3НФ);

° Усиленная третья нормальная форма, или нормальная форма Бойса-Кодда (БКНФ);

° Четвертая нормальная форма (4НФ);

° Пятая нормальная форма (5НФ).

Первая нормальная форма Отношение находится в 1НФ, если все его атрибуты являются простыми (имеют единственное значение). Исходное отношение строится таким образом, чтобы оно было в 1НФ.

Перевод отношения в следующую нормальную форму осуществляется методом «декомпозиции без потерь», т.е. запросы (выборка данных по условию) к исходному отношению и к отношениям, полученным в результате декомпозиции, должны дать одинаковый результат.

Основной операцией метода декомпозиции является операция проекции.

Пример. Пусть в отношении R(A,B,C,D,E,…) имеется функциональная зависимость С ® D. Декомпозиция отношения R на два новых отношения R1(A, B,C,E,…) и R2(C,D) устранит функциональную зависимость атрибутов и переведет отношение R в следующую нормальную форму. Отношение R2 является проекцией отношения R на атрибуты C и D.

Исходное отношение Преподаватель имеет составной ключ ФИО, Предм, Группа и находится в 1НФ. Атрибуты Стаж, Надб, Каф, Долж, Оклад находятся в функциональной зависимости от части составного ключа – атрибута ФИО . Эта частичная зависимость приводит к явной и неявной избыточности данных, что создает проблемы их редактирования. Часть избыточности устраняется при переводе отношения во 2НФ.

Вторая нормальная форма. Отношение находится во 2НФ, если оно находится в 1НФ и каждый неключевой атрибут функционально полно зависит от первичного ключа (составного).

Для устранения частичной зависимости необходимо использовать операцию проекции, разложив исходное отношение не несколько отношений следующим образом:

° Построить проекцию без атрибутов, находящихся в частичной зависимости от первичного ключа;

° Построить проекции на части составного первичного ключа и атрибуты, зависящие от этих частей.

Переведем отношение Преподаватель во 2НФ. В результате получим два отношения R1 и R2.

R1

Рис. 6.6. Отношения базы данных ПРЕПОДАВАТЕЛЬ во 2 НФ

В отношении R1 первичный ключ составной ФИО, Предм, Группа , в отношении R2 ключ – ФИО. В результате исключена явная избыточность данных о преподавателях. В R2 по-прежнему имеет место неявное дублирование данных.

Для дальнейшего совершенствования переведем отношения в 3НФ.

Реляционная база данных содержит как структурную, так и семантическую информацию. Структура базы данных определяется числом и видом включенных в нее отношений, и связями типа "один ко многим", существующими между кортежами этих отношений. Семантическая часть описывает множество функциональных зависимостей, существующих между атрибутами этих отношений. Дадим определение функциональной зависимости.

Определение: Если даны два атрибута X и Y некоторого отношения, то говорят, что Y функционально зависит от X, если в любой момент времени каждому значению X соответствует ровно одно значение Y. Функциональная зависимость обозначается X -> Y. Отметим, что X и Y могут представлять собой не только единичные атрибуты, но и группы, составленные из нескольких атрибутов одного отношения. Можно сказать, что функциональные зависимости представляют собой связи типа "один ко многим", существующие внутри отношения.

2-аянормальная форма (2НФ) отношения. Определение полной функциональной зависимости и 2НФ. Характеристика отношения во 2НФ. Алгоритм приведения ко 2НФ. Теорема Хита. Примеры.

Понятие полной функциональной зависимости.

Определение: неключевой атрибут функционально полно зависит от составного ключа если он функционально зависит от всего ключа в целом, но не находится в функциональной зависимости от какого-либо из входящих в него атрибутов.

Определение: избыточная функциональная зависимость - зависимость, заключающая в себе такую информацию, которая может быть получена на основе других зависимостей, имеющихся в базе данных.

2NF - вторая нормальная форма.

Определение второй нормальной формы: отношение находится во 2НФ , если оно находится в 1НФ и каждый неключевой атрибут функционально полно зависит от ключа.

Корректной считается такая схема базы данных, в которой отсутствуют избыточные функциональные зависимости. В противном случае приходится прибегать к процедуре декомпозиции (разложения) имеющегося множества отношений. При этом порождаемое множество содержит большее число отношений, которые являются проекциями отношений исходного множества. (Операция проекции описана в разделе, посвященном реляционной алгебре). Обратимый пошаговый процесс замены данной совокупности отношений другой схемой с устранением избыточных функциональных зависимостей называется нормализацией.

Условие обратимости требует, чтобы декомпозиция сохраняла эквивалентность схем при замене одной схемы на другую, т.е. в результирующих отношениях:

1)не должны появляться ранее отсутствовавшие кортежи;

2)на отношениях новой схемы должно выполняться исходное множество функциональных зависимостей.

Теорема Хита

Пусть дано отношение .

Если r удовлетворяет функциональной зависимости , то оно равно соединению его проекцийи

3-я нормальная форма (3НФ) отношения. Определение транзитивной зависимости и 3НФ.Алгоритм приведения к 3НФ.Нормальная форма Бойса-Кодда (НФБК).Определение и алгоритм приведения к НФБК. Характеристика отношения в 3НФ и в НФБК. Примеры.

Функциональная взаимозависимость. Если существует функциональная зависимость вида А->В и В->А, то между А и В имеется взаимно однозначное соответствие, или функциональная взаимозависимость, обозначаемая как А<->В или В<->А.

Если отношение находится в 1НФ, то все неключевые атрибуты функцио­нально зависят от ключа с различной степенью зависимости.

Частичной функцио­ нальной зависимостью (частичной ФЗ) называется зависимость неключевого атрибута от части составного ключа. В рассматриваемом отношении атрибут Должн находится в функциональной зависимости от атрибута ФИО, являющегося частью ключа. Тем самым атрибут Должн находится в частичной зависимости от ключа отношения.

Альтернативным вариантом является полная функциональная зависи­ мость неключевого атрибута от всего составного ключа. В нашем примере атрибут ВидЗан находится в полной функциональной зависимости от составного ключа.

Атрибут С зависит от атрибута А транзитивно (существует транзитив ная зависимость), если для атрибутов А, В, С выполняются условия А->В и В->С, но обратная зависимость отсутствует. В отношении на рис. 4.4 транзитивной зависимостью связаны атрибуты:

Ф И О ->Д олжн -> Оклад

Между атрибутами может иметь место многозначная зависимость.

В отношении R атрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами из R,

Многозначные зависимости могут быть «один ко многим» (1:М), «многие к одному» (М:1) или «многие ко многим» (М:М), обозначаемые соответственно: А=>Б, А<=Би А<=>Б.

Например, пусть преподаватель ведет несколько предметов, а каждый предмет может вестись несколькими преподавателями, тогда имеет местозависимость ФИО<=>Предмет. Так, из таблицы, приведенной на рис. 4.4, видно, что преподаватель Иванов И.М. ведет занятия по двум предметам, а дисциплина СУБД - читается двумя преподавателями: Ивановым И.М. и Петровым М.И.

Замечание . В общем случае между двумя атрибутами одного отношения могут существовать зависимости: 1:1, 1:М, М:1 и М:М. Поскольку зависимость между атрибутами является причиной аномалий, стараются расчленить отношения с зависимостями атрибутов на несколько отношений. В результате образуется совокупность связанных отношений (таблиц) со связями вида 1:1, 1:М, М:1 и М:М (подраздел 3.2). Связи между таблицами отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Взаимно независимые атрибуты. Два или более атрибута называютсявзаимно независимыми, если ни один из этих атрибутов не является функционально зависимым от других атрибутов. В случае двух атрибутов отсутствие зависимости атрибута А от атрибута В можно обозначить так: A¬->B. Случай, когда A¬->В и B¬->A, можно обо­значить А¬<->В.

4.3.3 Аксиомы Армстронга

Чтобы определить ключи и понять логические следствия функциональных зависимостей в общем случае, необходимо вычислить замыкание F + изF или по крайней мере знать для заданногоF и функциональной зависимостиX Y , содержится лиX Y вF + . Для этого необходимо иметь правила вывода, которые указывают, как из одной или более зависимостей выводить другие зависимости.

Множество таких правил называют аксиомами Армстронга . Предположим, что задана некоторая схема отношения с множеством атрибутовМ, универсальным множеством атрибутов, и множество функциональных зависимостейF , связывающих только атрибуты, принадлежащиеМ. Тогда имеем следующие правила вывода (аксиомы):

А1: (рефлексивность). ЕслиY ≤ X ≤ М, то X Y логически следует изF . Заметим, что это правило даеттривиальные зависимости, т. е. зависимости, правая часть которых содержится в левой части. Его использование не зависит отF .

А2: (пополнение). ЕслиX Y иZ≤ М , тоX UZ  Y UZ . Важно напомнить, что данная зависимостьX Y либо принадлежитF , либо может быть выведена из принадлежащихF зависимостей с использованием описываемых аксиом.

A3:(транзитивность). ЕслиX Y иY Z, тоX Z .

Относительно легко доказывается, что аксиомы Армстронга являются надежными, т. е. приводят только к истинным заключениям. Это означает, что используя их, мы не можем вывести из F какую-либо зависимость, которая не принадлежитF + . Более сложно доказать их полноту, означающую, что эти аксиомы могут быть использованы для получения каждого справедливого следствия из зависимостей. Это означает, что при заданном множестве зависимостейF правила позволяют нам вывести все зависимости, принадлежащиеF + .

Из аксиом Армстронга выводятся еще 5 аксиом (расширения, продолжения, псевдотранзитивности, объединения и декомпозиции), используемых для построенияполного семейства ФЗ.