Оценка помехоустойчивости биномиальных модифицированных кодов

ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ БИНОМИАЛЬНЫХ МОДИФИЦИРОВАННЫХ КОДОВ

Развитие систем автоматизированного управления ведет к усложнению информационных подсистем сбора и обработки информации и к повыш ению требований к достоверности передаваемых данных о протекании технологического процесса. Применение помехоустойчивых кодов для передачи информации позволяет существенно снизить риск приема недостоверной информации за счет введения избыточности в передаваемые сообщения. Ощибкообнаруживающая способность кода может быть оценена по вероятности необнаруживаемой ошибки, методика вычисления которой приведена в . В работах проведена оценка помехоустойчивости различных кодов и проанализирована возможность их применения в каналах связи с различной степенью асимметрии. Применение данных кодов сопровождается усложнением кодирующих устройств, а следовательно, ведет к уменьшению достоверности их работы. Применение биномиальных кодов позволяет повысить достоверность передаваемой информации, а возможность построения кодирующих и декодирующих устройств с встроенными системами контроля правильности их работы - повысить надежность работы приемо-передающей аппаратуры. В работах получены соотношения для вычисления вероятности необнаруживаемой ошибки и проведена оценка помехоустойчивости биномиальных кодов. Проведенные исследования показали, что биномиальные коды не всегда могут обеспечить требуемую достоверность передаваемых данных. Соотношения, приведенные в работе , позволяют построить на основе биномиальных кодов коды, обладающие более высокой помехоустойчивостью.

С учетом вышесказанного возникает необходимость в разработке алгоритмов построения кодов на основе биномиальных, обладающих более высокой ошибкообн аруживающей способностью, и получения соотношений для оценки их помехоустойчивости.

В работе рассмотрены основы теории двоичного биномиального счета и получены соотношения для определения количества биномиальных чисел, имеющих от 0 до единиц. Используя указанные соотношения, можно утверждать, что любой биномиальный код, построенный на основе системы счисления с параметрами n и, можно представить в виде объединения множеств кодовых комбинаций с одинаковым количеством единиц. Таким образом, возникает возможность построить код, состоящий из чисел биномиальной системы счисления с параметрами n и с определенным количеством единиц. Такой код будем называть биномиальным модифицированным кодом. Причем если код будет состоять из различных подмножеств с различным количеством единиц в составе кодовых комбинаций, то можно составить разных кодов:

Следовательно на основе биномиальной системы счисления с параметрами n и можно построить

различных биномиальных модифицированных кодов. Причем один код будет содержать все числа системы счисления. В случае если биномиальный модифицированный код будет состоять из одного подмножества с определенным числом единиц, то он будет представлять собой равновесный код длиной и количеством единиц, или равновесный код длиной и количеством единиц с дополнительными нулевыми разрядами до длины.

Алгоритм кодирования исходной кодовой комбинации биномиальным модифицированным кодом представлен на рисунке 1.

Для оценки биномиальных модифицированных кодов воспользуемся соотношениями, полученными в работе . Приведенная формула позволяет производить оценку вероятности необнаруживаемой ошибки для биномиального кода с параметрами n и k . При оценке биномиального модифицированного кода суммирование происходит для подмножеств с количеством единиц, которые присутствуют в данном коде.

Произведем оценку помехоустойчивости следующих кодов:

• - 1-го биномиального модифицированного кода (БМК №1), построенного на основе системы счисления с параметрами n=8 и k=4, q=4 (равновесный код);
• - циклического кода, построенного с помощью кодообразующего полинома (код представлен в таблице 1);
• - 2-го биномиального модифицированного кода (БМК №2), построенного на основе системы счисления с параметрами n=9 и k=6 и состоящего из комбинаций с числом единиц q=1, q=3, q=5 (код представлен в таблице 2);
• - 3-го биномиального модифицированного кода (БМК №3), построенного на основе системы счисления с параметрами n=9 и k=6 и состоящего из комбинаций с числом единиц q=2, q=6 (код представлен в таблице 3);
• - шестиразрядного натурального кода с битом контроля четности.

Таблица 1 - Циклический код, построенный на основе полинома

Таблица 2 - Биномиальный модифицированный код БМК №2

Таблица 3 - Биномиальный модифицированный код БМК №3.

Произведем оценку вероятности необнаруживаемой ошибки для симметричного и асимметричного каналов с независимыми ошибками. Результаты исследований представлены на рисунках 2,3.

По результатам исследований можно сделать вывод о том, что при определенном уровне помех в канале связи применение биномиальных модифицированных кодов обеспечивает большую достоверность передаваемых данных в сравнении с применением циклического кода. Кроме того, биномиальные модифицированные коды обладают большей помехоустойчивостью, чем код с контролем четности.

Таким образом, в статье приведен алгоритм получения биномиальных модифицированных кодов на основе биномиальных кодов. Предложены соотношения для определения вероятности необнаруживаемой ошибки, и проведена оценка помехоустойчивости биномиальных модифицированных кодов. Полученные результаты свидетельствуют о том, что биномиальные модифицированные коды обеспечивают высокую ошибкообнаруживающую способность в каналах связи с высоким уровнем асимметрии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• 1. Борисенко А.А., Онанченко Е.Л. Оценка помехоустойчивости неразделимых кодов
• 2. // Вiсник Сумського державного унiверситету,1994. -№2. -С. 64-68.
• 3. Кулик И.А. Супрун А.В. К вопросу об оценке эффективности мажоритарного принципа кодирования // Вiсник Сумського державного унiверситету, 2002. -№12(45). -С. 138-143.
• 4. Кулик И.А. Ошибкообнаруживающая способность кода с битом паритета // Тезисы докладов «Современные методы кодирования в электронных системах», 2002. - С. 38-39.
• 5. Бережная О.В., Арбузов В.В., Арбузов М.В. О возможности применения равновесных кодов в асиметричных каналах связи // Тезисы докладов «Современные методы кодирования в электронных системах», 2004. - С. 65-66.
• 6. Гриненко В.В. Оценка помехоустойчивости биномиальных кодов //Вiсник Сумського державного унiверситету, 2002. -№1(34). -С. 76-80.
• 7. Гриненко В.В. Оценка помехоустойчивости систем передачи данных на основе биномиальных двоичных чисел //Вiсник Сумського державного унiверситету,2002. -№12(45). -С. 131-138.
• 8. Борисенко А.А. Основы теории биномиального счета //Вiсник Сумського державного унiверситету,1999. -№1(12). -С. 71-73.

Интеграция антенных систем в конструктивные элементы подвижных объектов Андрей Алексеевич Шпилевой - канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected] About authors Viktor Ponimatkin - PhD, senior research fellow, ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected] Aleksey Tipikin - PhD student, MESC MMF «VMF», Kaliningrad. E-mail: [email protected] 89 89 Andrey Shpilevoy - PhD, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected] УДК 621.396.62 Е. В. Волхонская, Е. В. Коротей, Е. В. Иванов ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПРИЕМА FSK-СИГНАЛОВ УСТРОЙСТВОМ КВАДРАТУРНОГО ПРИЕМА Проведена сравнительная оценка модельных и теоретической кривых зависимости вероятности битовой ошибки на выходе устройства квадратурного беспорогового приема MSK-сигналов на фоне белого гауссового шума. Показано, что данный способ обработки обеспечивает заявленную повышенную помехоустойчивость приема в области порога по сравнению с существующими демодуляторами. A comparative evaluation of the model and the theoretical curves of the probability of bit error at the output of the unbounded receiving device of MSK-signals in presence of white Gaussian noise. It is shown that this method of signal processing provides declared value of noise stability in critical values of SNR region compared with existing demodulators. Ключевые слова: частотная манипуляция, беспороговый прием, помехоустойчивость, вероятность битовой ошибки. Key words: frequency manipulation, unbounded receiving, noise stability, bit error ratio. Сигналы FSK (frequency shift key) и их модификации CPFSK (continuous phase FSK), и в частности MSK (minimum shift key), нашли широкое применение в системах передачи дискретной информации и современной цифровой связи. Демодуляция сигналов данного типа, как правило, осуществляется либо на основе частотного детектора, либо на основе фильтров . Демодуляторы первого типа популярны из-за простоты схемотехнического решения, однако настройки обладают не Волхонская Е. В., Коротей Е. В., Иванов Е. В., 2013 Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 4. С. 89-93. Е. В. Волхонская, Е. В. Коротей, Е. В. Иванов 90 высокой помехоустойчивостью по сравнению с потенциальной. Кроме того, данные демодуляторы находят ограниченное применение при работе с FDM-сигналами (frequency division multiplexing) и не используются при работе с DFSK-сигналами (double frequency shift key). Демодуляторы второго типа позволяют уменьшить вероятность битовой ошибки при передаче дискретной информации по каналу связи. Для обработки когерентных FSK-сигналов применяют демодуляторы на основе полосовых фильтров, настроенных на частоты mark и space, соответствующие передаче двоичных «1» и «0» в системах передачи дискретной информации на фоне белого гауссового шума. Критерий принятия решения о передаче того или иного бита - сравнение уровней сигналов на выходах полосовых фильтров. Демодулятор данного типа оптимален в том отношении, что характеристики полосовых фильтров согласованы с характеристиками полезного сигнала. Для обработки некогерентных FSK-сигналов на фоне белого гауссового шума применяют демодуляторы, принцип действия которых заключается в выделении огибающих сигналов с частотами mark и space и их последующем сравнении для принятия решения. Недостатками таких демодуляторов являются невысокая помехоустойчивость при приеме FSK-сигнала в условиях помех иного рода и наличие взаимосвязи между формой амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра, обеспечивающей максимальное ослабление уровня шума, и его оптимальной полосой пропускания. Из-за наличия шумов сигналы в каналах детекторов огибающей являются медленно меняющимися случайными функциями времени. Для сравнения уровней этих огибающих в каналах mark и space нецелесообразно использовать фиксированный порог компаратора. В связи с этим нашли применение детекторы с переменным порогом, характеристики которых оптимизированы по отношению к характеристикам полезного сигнала. Многообразие форм FSK-сигналов приводит к необходимости выбора схемотехнического решения демодулятора для их обработки. Так, для передачи дискретной информации в радиоканалах связи широкое применение нашли MSK-сигналы. Демодуляция таких сигналов осуществляется на базе стандартного частотного детектора (СЧД) или устройств квадратурного приема. Принцип действия устройств квадратурного приема базируется на выделении квадратурных составляющих MSK-сигнала с последующей их обработкой в соответствии с тем или иным алгоритмом . При малых отношениях «сигнал- шум» СЧД обладает низкой помехоустойчивостью по сравнению с устройствами квадратурного приема. В настоящее время ведутся разработки устройств квадратурного приема , обладающих повышенной помехоустойчивостью при относительно низких значениях входного отношения «сигнал-шум» (ОСШ) - от 0 до 5 дБ. В ряде работ приводятся результаты теоретической оценки вероятности битовой ошибки при приеме данными демодуляторами MSK-сигналов на фоне белого гауссового шума. 90 Помехоустойчивость квадратурного приема FSK-сигналов 91 Оценка полученных результатов показывает, что применение устройств квадратурного приема позволяет снизить пороговое ОСШ на 4,5-6 дБ по сравнению с СЧД, в то время как другие помехоустойчивые демодуляторы (на основе оптимальных алгоритмов обработки, принципа слежения за мгновенной частотой или последетекторной обработки) обеспечивают снижение порогового ОСШ на 2-3 дБ. С целью подтверждения теоретически заявленной помехоустойчивости разрабатываемых устройств квадратурного приема были проведены модельные исследования, в ходе которых оценивалась помехоустойчивость устройства беспорогового приема MSK-сигналов . Анализ полученных результатов показал, что предложенный алгоритм позволяет сделать лишь качественные выводы по помехоустойчивости разрабатываемого демодулятора, однако из-за введенных ограничений на учет влияния шумов на характеристики аддитивной смеси MSK-сигнала и белого гауссового шума данный алгоритм не позволяет с достаточной достоверностью произвести количественную оценку. Для решения задачи адекватной количественной оценки помехоустойчивости устройства беспорогового приема был применен иной критерий принятия решения о передаче того или иного бита. Суть данного критерия заключается в определении полярности бита в принятом сигнале на выходе интегратора, подключенного к исследуемому демодулятору. Если к моменту окончания элементарной посылки сигнал на выходе интегратора имеет положительную полярность, то принимается решение о приеме бита mark, а если отрицательную - то space. Если сигнал на выходе интегратора в момент окончания элементарной посылки имеет нулевое значение, делается вывод о наличии ошибки. Ошибкой также считаются ситуации, в которых полярности битов в исходном и принятом сигналах отличаются. В рамках модельного эксперимента, проводимого в среде MathCAD, анализировалась зависимость вероятности битовой ошибки на выходе демодулятора при прохождении через него аддитивной смеси MSK-сигнала и белого гауссового шума с различными значениями ОСШ в смеси. При этом были выбраны следующие характеристики аддитивной смеси: центральная частота спектра составляла 450 кГц в соответствии с частотой второго преобразователя частоты широко распространенных приемных устройств; сдвиг между частотами mark и space, соответствующий удвоенной девиации частоты, выбирался равным 4 кГц, что приемлемо для служебной радиосвязи; отношение «сигнал - шум» в аддитивной смеси варьировалось от 0 до 5 дБ с шагом 0,5 дБ. При таком выборе девиации частоты число посылок в полезном сигнале при однократном измерении вероятности битовой ошибки в зависимости от количества временных отсчетов в исследуемом сигнале составляло от 25 до 100, но поскольку интервал наблюдения теоретически должен быть бесконечен, то проводилась серия из 100 измерений с последующим усреднением полученных результатов. Уменьшение девиации частоты до типовых значений порядка 800 Гц оказалось нецелесообразным ввиду необходимости значительного увеличения машин- 91 Е. В. Волхонская, Е. В. Коротей, Е. В. Иванов ного времени для создания и обработки сигнала с тем же количеством элементарных посылок. На рисунке представлены пороговые кривые устройства квадратурного приема для различного числа временных отсчетов во входной аддитивной смеси MSK-сигнала и белого гауссового шума. 92 92 Рис. Зависимость вероятности битовой ошибки Pe на выходе устройства беспорогового приема MSK-сигналов от ОСШ 2 для различных количеств временных отсчетов: во входной аддитивной смеси aвх 1-100 тыс. отсчетов; 2-200 тыс.; 3-300 тыс.; 4-400 тыс.; 5-500 тыс.; 6 - теоретическая зависимость Сравнительный анализ полученных модельных кривых с теоретической зависимостью показывает, что увеличение объема выборки, соответствующее увеличению длительности интервала наблюдения, приводит к приближению модельной пороговой кривой к теоретической (рис., зависимость 6), уже при объемах выборки свыше 400 тыс. отсчетов (рис., зависимости 4, 5) модельная и теоретическая кривые практически совпадают. Модельные кривые 1-3 на рисунке не описывают реальную помехоустойчивость демодулятора, так как лежат ниже заявленной теоретической зависимости, что объясняется недостаточным объемом выборки и малым интервалом наблюдения. Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о действительной повышенной помехоустойчивости разрабатываемого демодулятора в области порога по сравнению с существующими демодуляторами, что является основанием для проведения в дальнейшем физического эксперимента. Список литературы 1. Watson B. FSK: signals and demodulation // Watkins-Johnson Company. URL: www.wj.com Помехоустойчивость квадратурного приема FSK-сигналов 93 2. Кантор Л. Я., Дорофеев В. М. Помехоустойчивость приема ЧМ-сигналов. М., 1977. 3. Гаранин А. С. Демодулятор частотно-манипулированных сигналов: авт. свид. СССР № 1461358 МПК Н04 L27/14 от 01.04.85. 4. Карлов А. М., Волхонская Е. В., Авдеев Е. Н. Способ квадратурного приема частотно-манипулированных сигналов с минимальным сдвигом: пат. на изобретение № 2192101 от 13.07.1999 7H 04 L 27/14. 5. Карлов А. М., Волхонская Е. В. Устройство квадратурного приема частотноманипулированных сигналов: пат. на изобретение. № 2247474 от 19.06.2003 МПК7 H 04 L 27/14. 6. Карлов А. М., Волхонская Е. В., Иванов Е. В. Устройство квадратурного приема частотно-манипулированных сигналов: пат. на изобретение. № 2425457 от 27.07.2010. Об авторах Елена Вячеславовна Волхонская - д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected] Евгений Владимирович Коротей - ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected] Евгений Валентинович Иванов - менеджер проекта, ООО «Экосолдерс». E-mail: [email protected] About authors Dr Elena Volkhonskaya - prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected] Evgeny Korotey - ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected] Evgeny Ivanov - project manager Ecosolders Ltd. E-mail: kld. [email protected] 93

Под помехоустойчивостью понимают способность информационной системы противостоять вредному действию помех. В результате действия помех принятое сообщение будет в какой-то мере отличаться от переданного. Поэтому помехоустойчивость можно характеризовать как степень соответствия принятого сообщения переданному при заданной помехе. При сравнении нескольких систем та из них будет более помехоустойчивой, которая при одинаковой помехе обеспечит меньшее различие между принятым и переданным сообщениями.

Имеется несколько способов введения количественных характеристик помехоустойчивости. Рассмотрим сначала способы описания помехоустойчивости дискретных систем. Эти системы характерны тем, что все возможные сигналы конечной длительности образуют дискретное конечное множество; пусть общее число возможных сигналов равно N. Действие шумов сводится к тому, что некоторые символы в сигнале подменяются другими, в результате чего вместо переданного (например, i- го) сигнала принимается другой (например, k- й) сигнал. Помехоустойчивость системы связи наиболее полно может быть охарактеризована набором вероятностей {P ik } того, что при передаче i- го сигнала будет принят k- й (i,k= 1,2,...,N ); и если мы хотим задать требования к помехоустойчивости системы с учетом ценности каждого из сообщений в отдельности, то задание всей матрицы {P ik } необходимо.

Однако сравнение систем по их матрицам {P ik } (которые можно назвать «стохастическими матрицами трансформации сообщений» связано с рядом затруднений, а часто и не необходимо: достаточно ввести более простые характеристики помехоустойчивости. К таким простым параметрам относится, например, средняя вероятность ошибочного приема, Р ош.ср. :

где p i – вероятность передачи i- го сигнала.

Другим собирательным параметром, характеризующим помехоустойчивость системы, может служить остаточная средняя неопределенность относительно переданного сообщения, т.е. энтропия

Н 0 = -(1 – Р ош.ср.) log (1 – P ош. ср.) – Р ош.ср. log Р ош.ср. (9.3)

Для непрерывных систем связи описание помехоустойчивости требует специфического подхода, так как множество возможных сигналов даже конечной длительности несчетно. Действие шумов в линии связи сводится к тому, что вместо отправленного сигнала x(t) на выходе премника наблюдается другая функция времени, y(t). Чем ближе y(t) к x(t) при заданном шуме, тем более устойчива система по отношению к данной помехе. Для количественного описания помехоустойчивости необходимо ввести меру различия двух функций x(t) и y(t) . Чаще всего в качестве такой меры принимается средний квадрат разности сравниваемых функций:

(9.4)

«Расстояние» между функциями x(t) и y(t) может быть также определено с помощью так называемой абсолютной ошибки

(9.5)

Другим способом является «частотно-взвешенный эффективный критерий» . Идея этого критерия состоит в том, чтобы придавать различным частотным компонентам разности х и у разные веса. Это эквивалентно пропусканию разности x(t) – y(t) через фильтр с определенной переходной функцией h(t) ; выходной сигнал такого фильтра выразится как

(9.6)

«Расстояние» между функциями x(t) и y(t) определится как средняя мощность сигнала на выходе рассматриваемого гипотетического фильтра:

(9.7)

Введенные выше меры различия отправляемого и принимаемого сигналов могут служить основой для характеристики помехоустойчивости систем. Например, система может считаться достаточно помехоустойчивой, если «расстояние» между отправленным сигналом и сигналом на выходе системы не превышает заданной величины.

В качестве меры помехоустойчивости могут быть приняты и другие числовые характеристики, например, логарифм обратной величины среднеквадратичной ошибки в непрерывном случае, минус логарифм вероятности ошибки в дискретном случае, различным способом введенные понятия эквивалентного отношения сигнала к шуму и пр.

Обычно качество системы связи оценивают по ее помехоустойчивости, основной характеристикой которой является средняя вероятность ошибки при данном отношении сигнал-шум. При этом для некоторых систем интерес представляет вероятность ошибки в бите сообщения а для некоторых - во всем кодовом слове (сообщении) При декодировании с возможностью отказа будем различать вероятность ошибки в кодовом слове и вероятность отказа

Вероятность ошибки может быть определена как по точным формулам, так и по приближенным. Альтернативным путем вычисления вероятности ошибки является статистическое моделирование на ЭВМ, однако последнее возможно, если вероятность ошибки в символе на выходе декодера достаточно мала, и связано с большими вычислительными затратами.

Будем рассматривать и жесткое, и мягкое декодирование, причем в случае мягкого (и квантованного) декодирования

ограничимся Наряду с вероятностью ошибки важной характеристикой является энергетический выигрыш кодирования (ЭВК)

где - отношение сигнал-шум при вероятности ошибки в бите (либо в -ичном символе) по входу декодера - вероятность ошибки по входу декодера, приводящая к вероятности ошибки по выходу декодера. Энергетический выигрыш показывает, на сколько децибел можно уменьшить отношение сигнал-шум в системе с кодированием по сравнению с системой без кодирования при одинаковых вероятности ошибки и скорости передачи.

Утверждение 3.17. В системе с асимптотический (при в случае жесткого и мягкого декодирования соответственно равен

где -минимальное расстояние кода; число исправляемых ошибок.

Приведем теперь краткую сводку формул, позволяющих вычислять в различных случаях вероятности ошибок декодирования.

Утверждение 3.18. Вероятности ошибок и отказа от декодирования для блочного линейного кода при исправлении ошибок вычисляются по формулам

где - вероятность ошибки в символе на входе декодера; число слов веса

Утверждение 3.19. Вероятность ошибки при декодировании двоичного блочного линейного кода по максимуму правдоподобия для жесткого и мягкого декодирования вычисляется по аддитивной оценке

где отношение сигнал-шум на бит; число информационных символов кода; скорость кода, - интеграл вероятности.

Утверждение 3.20. Вероятность ошибки при декодировании двоичного блочного линейного кода по максимуму правдоподобия для мягкого канала вычисляется по тангенциальной оценке

где - граничное значение аргумента, а находится из уравнения

Утверждение 3.21. Вероятность ошибки в бите при пороговом (мажоритарном) декодировании двоичного линейного кода по максимуму правдоподобия для жесткого, квантованного и мягкого каналов вычисляется по формулам

где вероятность того, что при данном выходе канала ошибка в проверке будет равна 1; черта сверху означает усреднение, а

Здесь вероятность жесткой ошибки; вероятности попадания в соответствующую зону квантования в канале с двумя входами и выходами, а число символов в проверке, попавших в зону квантования.

При каскадном кодировании легко вычислять вероятность ошибки, комбинируя оценки утверждений 3.18-3.21, при этом в формулу для вероятности ошибки в бите или слове внешнего кода в качестве вероятности ошибки символа подставляется вероятность ошибки в слове внутреннего кода. Если декодер внешнего кода исправляет ошибки и стирания, то вероятность ошибки в бите оценивается по формуле

где вероятность ошибки в символе; вероятность стирания символа; дробная часть числа число ошибок; число стираний. В случае OK-кодов порядка вероятности ошибки в слове и бите задаются следующими выражениями :

где длина внешнего кода; число информационных символов в внешнем коде; число информационных символов в внутреннем коде;

Соответственно вероятность ошибки в слове внешнего кода и вероятность ошибки в бите внешнего кода при ошибочном декодировании внешним кодом

На рис. 3.10 приведены результаты расчета по (3.43) вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум для кодов БЧХ длины от 31 до 1023 с относительными скоростями при жестком декодировании по расстоянию, а на рис. 3.11 - результаты расчета энергетического выигрыша

Рис. 3.10 Зависимость вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум для кодов при жестком декодировании

Рис. 3.11 Зависимость от вероятности ошибки в бите для кодов при жестком декодировании

кодирования от для кодов БЧХ длины 127; 255; 511 с числом исправляемых ошибок На рис. 3.12 приведены результаты расчета зависимости ошибки в слове от отношения сигнал-шум для декодирования по максимуму правдоподобия кодов (7,4); (18,9); (24,12); (48,24); (128,64) (первый член). Расчет проводился по аддитивной и тангенциальной оценкам. На рис. 3.13 приведены характеристики субоптимальных алгоритмов декодирования Чейза, Велдона и оптимального порогового алгоритма для кодов (24, 12, 8) и (21, 11, 6) при различном числе уровней квантования. В приведены параметры мажоритарных кодов и при (они чуть хуже, чем у кодов БЧХ).

На рис. 3.14 приведены результаты расчета зависимости нормированного отношения сигнал-шум от скорости каскадного кода с внутренними ортогональными кодами, принимаемыми по максимуму правдоподобия, и внешними кодами РС с исправлением ошибок при вероятности, ошибки в бите .

На рис. 3.15 приведены результаты расчета -кодов порядка с внешними кодами РС длины и внутренними кодами длины Внутренние коды декодируются по максимуму правдоподобия, а внешние - с исправлением ошибок .

На рис. 3.14, 3.15 приведены также огибающие соответствующего множества точек. Каждой одной колоколообразной кривой соответствует своя система внутренних вложенных кодов.

Рис. 3.12. Зависимость вероятности ошибки в слове от нормированного отношения сигнал-шум при мягком декодировании по максимуму правдоподобия аддитивная оценка, - тангенциальная оценка): 1 - код (7, 4); 2 - код (18, 9); 3 - код (24, 12), 4 - код (48, 24); 5 - код (128, 64)

Рис. 3.13 Зависимость вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум при субоптимальном декодировании код ( код (21, 11,6): 1 - алгоритм Чейза № 1; 2 - алгоритм Чейза № 2; 3 - алгоритм Чейза № 3; 4 - алгоритм Велдона ; 5, 6, 7 - пороговое декодирование 4)

Важным элементом использования корректирующих кодов в системах связи с двоичной фазовой модуляцией является возможность обеспечения устойчивости к начальной неопределенности и случайным скачкам фазы опорного колебания (к «обратной работе»). Известны различные методы по борьбе с «обратной работой», в том числе в случае отсутствия кодирования - применение относительной модуляции . Однако при применении

Рис. 3.14. Зависимость нормированного отношения сигнал-шум от скорости каскадного кода с внутренними ортогональными и внешними кодами при

Рис. 3.15. Зависимость от скорости OK-кода при мягком декодировании внутрених кодов по максимуму правдоподобия

кодирования методы относительной модуляции становятся неэффективными в связи с пакетированием ошибок на входе декодера (при внутренней по отношению к кодированию относительной модуляции) . Здесь коротко рассмотрим кодовые методы устранения неоднозначности фазы, так как другие методы слабо зависят от кодовых свойств или менее эффективны. Эти методы связаны с использованием прозрачных и фазируемых кодов .

Определение 3.16. Прозрачным назовем двоичный код, в котором содержатся инверсии всех кодовых слов. Фазируемым назовем двоичный код, в котором не содержатся инверсии всех кодовых слов.

Утверждение 3.22. Для того чтобы линейный двоичный код был Прозрачным, необходимо и достаточно, чтобы сумма строк порождающей матрицы была равна вектору из одних единиц. «Прозрачная» форма порождающей матрицы единственна с точностью до перестановки строк.

В приведена следующая сводка фактов, известных относительно прозрачных кодов:

1. Коды Хэмминга, Голея, Рида - Маллера, примитивные коды БЧХ, коды на основе матриц Адамара, коды РС, коды Нордстрома - Робинсона, Кердока, Препараты, квадратично-вычетные, совершенные и равномерно упакованные прозрачны.

2. Каскадные коды Форни, обобщенно-каскадные и итеративные коды прозрачны, если прозрачны составляющие их коды. Операция прямой суммы кодов сохраняет прозрачность.

3. Условие прозрачности циклических кодов - делимость на проверочного многочлена или отсутствие корня 1 у порождающего многочлена.

4. Если известен весовой спектр линейного кода А, то код А дуальный коду А, будет прозрачным при условии где мощность кода

5. Для нелинейных кодов условие симметричности спектра расстояний эквивалентно условию прозрачности. Для прозрачности нелинейного кода, дуального данному коду со спектром расстояния необходимо выполнение условия при где компонента спектра расстояний кода; значение многочлена Кравчука.

Из п. 3 следует, что коды нечетной длины с проверкой на четность фазируемы. Известны также верхние границы объема прозрачных кодов и некоторые свойства весового нумератора линейного прозрачного кода. В частности, весовой нумератор может быть представлен в виде многочлена от

причем степени только нечетны при четном и только четны при нечетном степень не превосходит степень не превосходит

Весовой нумератор дуального к прозрачному кода можно представить в виде многочлена от

Рассмотрим корректирующую способность фазируемых кодов. Предварительно опишем процедуру приема фазируемых кодов, совмещенную с оценкой неизвестной «фазы» (как и ранее, ограничимся двоичным случаем).

Пусть А - фазируемый код с параметрами , А - множество инверсий всех слов кода А. Сформируем новый код с параметрами Процедура приема выглядит так:

2) если решение декодера принадлежит подкоду А, положить сдвиг фазы и выдать решение;

3) если решение принадлежит подкоду А, положить инвертировать решение.

Для кодов БЧХ справедливо следующее

Утверждение 3.23. Прозрачный код с расстоянием есть объединение его фазируемого подкода А с расстоянием с инверсиями слов этого подкода, причем

Данное утверждение практически очевидно: если учесть, что порождающий полином прозрачного кода есть то порождающий полином фазируемого кода есть

Рассмотрим теперь мажоритарные коды. В дополнение к определенным выше понятиям введем свойство автоматической фазируемости как некоторое свойство фазируемого кода, описываемое через свойство его декодера. Пусть существует декодер фазируемого кода, исправляющий только ошибки в канале без скачков фазы. Для автоматически фазируемого кода потребуем, чтобы тот же декодер без каких-либо изменений его структуры в канале со скачками фазы одновременно исправлял бы и ошибки, и скачки фазы. Будем подразумевать, что используется алгоритм декодирования мажоритарных кодов без коррекции синдрома.

Утверждение 3 24. Если в каждой проверке относительно ошибочного символа содержится четное число символов, то код прозрачен и исправляет ошибок

Утверждение 3.25. Если число разделенных проверок относительно ошибочного символа нечетно и в каждой проверке содержится нечетное число символов, то код автоматически фазируем и исправляет ошибок

Рассмотрим теперь применение утверждений 3 24 и 3.25 к конкретным кодам Заметим, что любой евклидово-геометрический двоичный код характеризуется геометрией и числом шагов ортогонализации на первом шаге декодирования такого кода каждая проверка является -мерной плоскостью и состоит из точек .

Любой проективно-геометрический код характеризуется геометрией и числом шагов ортогонализации на первом шаге декодирования каждая проверка является -мерной плоскостью и состоит из точек .

Утверждение 3.26. Любой двоичный евклидово-геометрический код прозрачен, а проективно-геометрический код автоматически фазируем.

Теперь кратко рассмотрим способы реализации алгоритмов кодирования и декодирования корректирующих кодов, причем основное внимание будем уделять уже реализованным системам. Подробный обзор реализованных систем кодирования приведен по сверточным кодам в , а по блочным - в .

Если в начальные периоды развития техники кодирования предпочтение отдавалось аппаратным способам реализации кодеков, то в последнее время предпочтение часто отдается программным методам реализации и комбинированным программно-аппаратным методам. Кроме того, при реализации аппаратными методами все большее внимание уделяется технологии БИС и СБИС.