Разложить матрицу по элементам i строки онлайн. Найти определитель разложением по строке или столбцу
АЛГЕБРА
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы .
Определителем илидетерминантом n-го порядка называется число, записываемое в виде
и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:
,
распространенная на всевозможные различные перестановки 
из чисел . Число равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки к перестановке n
-го порядка . Произведение 
называется членом определителя
.
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )
или j- го столбца
d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Доказательство.
Убедимся в справедливости теоремы на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: D= = а 11 А 11 + а 12 А 12 + а 13 А 13 = {с учетом определения A ij получим}= =а 11 (-1) 2 М 11 + а 12 (-1) 3 М 12 + а 13 (-1) 4 М 13 = а 11 - а 12 + а 13 = а 11 (а 22 ×а 33 - а 23 ×а 32) - а 12 (а 21 ×а 33 - а 23 ×а 31) + а 13 (а 21 ×а 32 - а 22 ×а 31) = =а 11 ×а 22 ×а 33 + а 12 ×а 23 ×а 31 + а 13 ×а 21 ×а 32 - а 13 ×а 22 ×а 31 - а 12 ×а 21 ×а 33 - а 11 ×а 23 ×а 32 = {по правилу треугольников} = = D. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin.
Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя D есть только один ненулевой элемент а ij ¹ 0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение D = а ij ×А ij .
Определители n-го порядка удовлетворяют свойствам:
1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).
Доказательство:
D = = = a 11 ×a 22 - а 12 ×а 21
NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.
2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.
Доказательство:
D = = a 11 ×a 22 - а 12 ×а 21 = - (а 12 ×а 21 - a 11 ×a 22) = -
3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Пусть определитель D имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем: D = -D Þ D = 0.
4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Доказательство:
D= = la 11 ×a 22 - lа 12 ×а 21 = l(a 11 ×a 22 - а 12 ×а 21) = l .
Следствие: D = = l×m .
NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.
5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель l = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0×D = 0.
6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) l≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.
7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в
виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.
Доказательство:
D= 
= (а 11 + b 11)а 22 - (а 12 + b 12)а 21 = (а 11 а 22 - а 12 а 21) + (b 11 а 22 - b 12 а 21) = = + .
Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n-1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа l 1 , l 2 , …, l n - 1 . Например, в определителе
3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.
NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней "l i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if $l i ¹ 0).
8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.
Доказательство: D =
8 б) Величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число.
Доказательство:
Пусть D= Þ {к 1-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на число l} Þ
9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть = 0 (if i ≠ j).Например, пусть
Тогда а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.
Доказательство:
а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = а 11 ×(-1) 2+1 + а 12 ×(-1) 2+2 + а 13 ×(-1) 2+3 =
={это есть разложение по 1-й строке определителя (-1)× = 0}= 0.
Если определитель D¹0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.
АЛГЕБРА
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы .
Определителем илидетерминантом n -го порядка называется число, записываемое в виде
и вычисляемое по
данным числам
(действительным или комплексным) –
элементам определителя – по следующему
закону:
,
распространенная
на всевозможные различные перестановки
из чисел
.
Число
равно числу транспозиций, которые нужно
сделать, чтобы перейти от основной
перестановки
к перестановкеn
-го
порядка
.
Произведение
называетсячленом
определителя
.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d
= a i
1
A i
1
+ a i
2
A i
2
+... + a i
n
A i
n
(i =
)
или j- го столбца
d
= a 1
j
A 1
j
+ a 2
j
A 2
j
+... + a n
j
A n
j
(j
=
).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Доказательство.
Убедимся в
справедливости теоремы на примере
разложения определителя 3-го порядка,
например, по 1-й строке. По теореме это
разложение будет иметь вид: =
=
а 11 А 11
+ а 12 А 12
+ а 13 А 13
= {с учетом определения A ij
получим}= =а 11 (1) 2 М 11
+ а 12 (1) 3 М 12
+ а 13 (1) 4 М 13
= а 11 
а 12 
+ а 13 
= а 11 (а 22 а 33
а 23 а 32)
а 12 (а 21 а 33
а 23 а 31)
+ а 13 (а 21 а 32
а 22 а 31)
= =а 11 а 22 а 33
+ а 12 а 23 а 31
+ а 13 а 21 а 32
а 13 а 22 а 31
а 12 а 21 а 33
а 11 а 23 а 32
= {по правилу треугольников} =
=.
Аналогичный результат получается при
разложении определителя по любой строке
(столбцу). Fin.
Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя есть только один ненулевой элемент а ij 0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение = а ij А ij .
Определители n -го порядка удовлетворяют свойствам:
1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).
Доказательство:
=
=
= a 11 a 22
а 12 а 21
NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.
2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.
Доказательство:
=
=
a 11 a 22
а 12 а 21
=
(а 12 а 21
a 11 a 22)
= 
3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Пусть определитель имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем: = = 0.
4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Доказательство:
=
=a 11 a 22
а 12 а 21
= (a 11 a 22
а 12 а 21)
=
.
Следствие:
=
=
.
NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.
5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0 = 0.
6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) ≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.
7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в
виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.
Доказательство:
=
=
(а 11 +
b 11)а 22
(а 12
+ b 12)а 21
= (а 11 а 22
а 12 а 21)
+ (b 11 а 22
b 12 а 21)
= =
+
.
Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа 1 , 2 , …, n 1 . Например, в определителе
3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.
NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if i 0).
8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.
Доказательство: =
8
б) Величина определителя не изменится,
если к элементам любой его строки
(столбца) прибавить соответствующие
элементы любой другой строки (столбца)
определителя, умноженные на одно и то
же число.
Доказательство:
Пусть =
{к 1-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную
на число }
=
.
9) Сумма произведений
элементов какой-либо строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения
соответствующих элементов любой другой
строки (столбца) определителя равна
нулю, то есть
=
0 (if
i
≠ j).Например,
пусть
=
0
Тогда а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.
Доказательство:
а 11 А 21
+ а 12 А 22
+ а 13 А 23
= а 11 (1) 2+1 
+ а 12 (1) 2+2 
+ а 13 (1) 2+3 
=
={это есть разложение
по 1-й строке определителя (1)
= 0}= 0.
Если определитель 0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.
Обратная матрица
Опр. Матрица
называется присоединенной (союзной) к
квадратной матрице А, если она состоит
из алгебраических дополнений элементов
транспонированной матрицы А т.
Чтобы получить присоединенную матрицу
,
следует транспонировать матрицу А, а
затем все ее элементы заменить их
алгебраическими дополнениями, то есть
=
(3.1)
Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|0.
Опр. Квадратная матрица А 1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие
А 1 А = АА 1 = Е (3.2)
NB. Обратная матрица А 1 возможна только для невырожденной матрицы А.
Теорема.
Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А 1 , которая находится по формуле
А 1
=
(3.3)
Доказательство.
1) Из определения А 1 А = АА 1 следует, что А и А - 1 это квадратные матрицы одного порядка.
Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим
А
=
=
=
= |A|
=
|A|E
Следовательно,
А
= |A|E.
Аналогично доказывается, что
А
= |A|E.
Из А
=
|A|E
А 1 А
=
А - 1 ×|A|E
Е
=
А 1 |A|
=
А 1 |A|
А 1
=
.
2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение АВ=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А 1 и получим: А 1 АВ = А 1 Е ЕВ = А 1 Е В = А 1 . Fin.
Свойства обратной матрицы:
АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Наибольший общий делитель двух многочленов (алгоритм Евклида).
Многочленом n -ой степени называется функция вида
где
– постоянные коэффициенты (действительные
или комплексные), а
– комплексная переменная, которая может
принимать любые комплексные значения
или, выражаясь геометрическим языком,
может быть любой точкой комплексной
плоскости.
Если
при
,
то число
называетсякорнем
или нулем
многочлена
.
Для многочленов определены следующие арифметические операции:
В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.
Деление многочленов с остатком.
,
где
– частное, а
– остаток.
Теорема Безу.
Для того, чтобы
многочлен
имел (комплексный) корень
,
необходимо и достаточно, чтобы он делился
на
,
т.е. чтобы его можно было представить в
виде произведения,
где
– некоторый многочлен степениn
-1
.
Если при разложении
,
то на основании теоремы Безу применимой
к
,
многочлен
не делится на
,
а
хотя и делится на
,
но не делится на
.
В этом случае говорят, что
–простой
корень (нуль)
многочлена
.
Пусть теперь
.
Тогда по теореме Безу, применимой к
,
многочлен
делится на
,
и мы получим
,
где
– некоторый многочлен степениn
-2
.
Если
,
то
делится на
,
но не делится на
,
и тогда число
называетсякорнем
(нулем) кратности 2
.
В общем случае для
некоторого натурального
имеет место
где
– многочлен степениn
-
s
,
и тогда говорят, что
–корень
(нуль) многочлена
кратности
s
.
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).
Всякий многочлен
n
-ой
степени (ненулевой, т.е.
)
имеет по крайней мере один комплексный
корень (нуль).
Следствие из теоремы Гаусса.
Многочлен n
-ой
степени
со старшим не равным нулю коэффициентом
имеетn
комплексных корней с учетом кратности,
иначе говоря
представляется в виде произведения
где
– различные корни
кратностей, соответственно
.
Если
у многочлена с вещественными коэффициентами
есть комплексные корни, то они входят
сопряженными парами, т.е. если
– корень многочлена
,
то и корень
будет являться корнем многочлена
.
Раскладывая
в разложении на квадратичные множители
многочлена
комплексные корни
на сопряженные, т.е.
получим разложение многочлена
на линейные множители.
В результате получим разложение вида
где
отвечает вещественному корнюb
кратности l
,
а
– комплексным корням
и
кратностиm
.
Наибольший общий делитель многочленов
Пусть даны
произвольные многочлены
и
.
Многочлен будет называтьсяобщим
делителем
для
и
,
если он служит делителем для каждого
из этих многочленов. Свойство 5. показывает,
что к числу общих делителей многочленов
и
принадлежат все многочлены нулевой
степени. Если других общих делителей
эти два многочлена не имеют, то они
называютсявзаимно
простыми
.
В общем же случае
многочлены
и
могут обладать делителями, зависящими
от
,
и введем понятие онаибольшем
общем делителе
этих многочленов.
Наибольшим общим
делителем
отличных от нуля многочленов
и
называется такой многочлен
,
который является их общим делителем и,
вместе с тем, сам делится на любой другой
общий делитель этих многочленов.
Обозначается наибольший общий делитель
многочленов
и
символом
.
Это определение
оставляет открытым вопрос, существует
ли наибольший общий делитель для любых
многочленов
и
.
Ответ на этот вопрос положительный.
Существует метод для практического
разыскания наибольшего общего делителя
данных многочленов, называемыйалгоритмом
последовательного деления
или
алгоритмом
Евклида.
Алгоритм Евклида – метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Он первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме как способ нахождения общей меры двух отрезков. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, как в кольце целых чисел, так и в кольце многочленов от одного переменного является частным случаем некого общего алгоритма в евклидовых кольцах.
Алгоритм Евклида
для нахождения наибольшего общего
делителя двух многочленов
и
состоит в последовательном делении с
остатком
на
,
затем
на первый остаток
,
затем
на второй
остаток
и так далее.
Так как степени остатков все время
понижаются, то в этой цепочке
последовательных делений мы дойдем до
такого места, на котором деление
совершится нацело и процесс остановится.
Последний отличный от нуля остаток
,
на который нацело делится предыдущий
остаток
,
и является наибольшим общим делителем
многочленов
и
.
Для доказательства запишем изложенное в виде следующей цепочки равенств:
Последнее равенство
показывает, что
служит делителем для
.
Отсюда следует, что оба слагаемых правой
части предпоследнего равенства делятся
на
,
а поэтому
будет делителем и для
.
Далее, таким же путем, поднимаясь вверх,
мы получим, что
является делителем и для
,
…,
,
.
Отсюда ввиду второго равенства, будет
следовать, что
служит делителем для
,
а поэтому, на основании первого равенства,
- и для
.
Возьмем теперь
произвольный общий делитель
многочленов
и
.
Так как левая часть и первое слагаемое
правой части первого из равенств делятся
на
,
то
также будет делится на
.
Переходя ко второму и следующему
равенствам, таким же способом получим,
что на
делятся многочлены
,
,
… Наконец, если уже будет доказано, что
и
делятся на
,
то из предпоследнего равенства получим,
что
делится на
.
Таким образом,
на самом деле будет наибольшим общим
делителем для
и
.
Мы доказали, что
любые два многочлена обладают наибольшим
общим делителем, и получили способ его
вычисления. Этот способ показывает, что
если многочлены
и
имеют оба
рациональные или действительные
коэффициенты, то и коэффициенты их
наибольшего общего делителя также будут
рациональными или, соответственно,
действительными,
хотя у этих многочленов могут существовать
и такие делители, не все коэффициенты
которых рациональны (действительны).
Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков - использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.
Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.
Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:
\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}
$A_{ij}$ обозначает алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$. Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры . Запись $a_{ij}$ обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему Матрицы. Виды матриц. Основные термины .
Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква "сигма").
Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования , а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.
Расшифруем запись $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+\ldots $$
Следующее целое число после единицы - двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+\ldots $$
После двойки следующее число - тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$
Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$
Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=55$.
Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)$. Индекс суммирования здесь - буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.
$$ \sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$
Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:
\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}
Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде:
$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right|$$
Выберем произвольный столбец в этом определителе. Возьмём, к примеру, столбец под номером 4. Запишем формулу для разложения определителя по выбранному четвёртому столбцу:
Аналогично, выбирая, к примеру, третью строку, получим разложение по этой строке:
Пример №1
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.
Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу . Запишем это разложение в общем виде:
$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}. $$
Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой . Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:
\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end{aligned}
Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть
Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:
$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$
Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.
Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, - до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.
Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, - просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0$. Используя формулу для разложения по второму столбцу, получим:
$$ \Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$
Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.
Ответ : $\Delta A=134$.
Пример №2
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.
Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу, запишем разложение определителя по третьей строке:
$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}. $$
Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}. $$
Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).
\begin{aligned} & A_{31}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=10;\\ & A_{33}=(-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-34. \end{aligned}
Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:
$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}=\\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
Ответ : $\Delta A=86$.
В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!
Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.
На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: 
.
Определитель четвертого порядка 
тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.
Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!
(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)
Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!
Обозначения
: Если дана матрица 
, то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .
1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.
2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.
Начнем с определителя «два» на «два» :
ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.
Сразу рассмотрим пример:
Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.
Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.
Начнем с двух простых способов
Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:
Пример:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя
Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.
Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу
.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный
алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.
В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке
.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.
Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.
Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:
И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?
Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.
Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке
, очевидно, что всё вращается вокруг неё:
Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)
Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
2) Затем записываем сам элемент:
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ
данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент:
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:
Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
8) Записываем третий элемент:
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!
Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.
Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:
В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :
А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.
Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!
Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
Ответ.
12. Слау 3 порядка
1. Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
2. Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
3. Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель
Решение.
Ответ.
4.Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание.
Вычислить
определитель 
приведением
его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
