Интеграл 1 cosx в кубе. Калькулятор онлайн.Вычислить неопределенный интеграл (первообразную). Подстановка t = tg x

Основные свойства сложения и умножения чисел.

Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство

Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство

Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство

Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Для любых чисел а, b и c верно равенство

Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.

Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 2 Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.

Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.

Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:

Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.

Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.

Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.

Пример 4 Вычислим произведение 36·().

Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Тождества

Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.

Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:

Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то

Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.

Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можно привести и другие примеры тождеств:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тождественные преобразования выражений

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

если перед скобками стоит знак "плюс", то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;

если перед скобками стоит знак "минус", то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).

Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "плюс":

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "минус":

a-(4b-c)=a-4b+c.

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Применив указанные свойства действий, получим:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Например, в выражении 3+x число 3 можно заменить суммой 1+2 , при этом получится выражение (1+2)+x , которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a 5 степень a 5 можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a 4 . Это нам даст выражение 1+a·a 4 .

Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x 3 +2·x 2 , учитывая свойства степени, слагаемое 4·x 3 можно представить в виде произведения 2·x 2 ·2·x . После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x 2 , таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование - вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x 2 ·(2·x+1) .

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.

Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 +2·x . Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена : x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.