Частотная модуляция. Модуляция - чем отличаются виды модуляции AM, ЧМ (FM) и SSB: просто о сложном

19.07.2019

Рассмотренные выше методы анализа первичных сигналов позволяют определить их спектральные и энергетические характеристики. Первичные сигналы являются основными носителями информации. Вместе с тем их спектральные характеристики не соответствуют частотным характеристикам каналов передачи радиотехнических информационных систем. Как правило, энергия первичных сигналов сосредоточена в области низких частот. Так, например, при передаче речи или музыки энергия первичного сигнала сосредоточена примерно в диапазоне частот от 20 Гц до 15 кГц. В то же время диапазон дециметровых волн, который широко используются для передачи информационных и музыкальных программ, занимает частоты от 300 до 3000 мегагерц. Возникает задача переноса спектров первичных сигналов в соответствующие диапазоны радиочастот для передачи их по радиоканалам. Эта задача решается посредствам операции модуляции.

Модуляцией называется процедура преобразования низкочастотных первичных сигналов в сигналы радиочастотного диапазона .

В процедуре модуляции участвуют первичный сигнал и некоторое вспомогательное колебание , называемое несущим колебанием или просто несущей. В общем виде процедуру модуляции можно представить следующим образом

где – правило преобразования (оператор) первичного сигнала в модулированного колебание .

Это правило указывает, какой параметр (или несколько параметров) несущего колебания изменяются по закону изменения . Поскольку управляет изменением параметров , то, как было отмечено в первом разделе, сигнал , является управляющим (модулирующим), а – модулированным сигналами. Очевидно, соответствует оператору обобщенной структурной схемы РТИС.

Выражение (4.1) позволяет провести классификацию видов модуляции, которая представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.1

В качестве классификационных признаков выберем вид (форму) управляющего сигнала , форму несущего колебания и вид управляемого параметра несущего колебания.

В первом разделе была проведена классификация первичных сигналов. В радиотехнических информационных системах наиболее широкое распространение в качестве первичных (управляющих) сигналов получили непрерывные и цифровые сигналы. В соответствии с этим по виду управляющего сигнала можно выделить непрерывную и дискретную модуляцию.

В качестве несущего колебания в практической радиотехнике используются гармонические колебания и импульсные последовательности. В соответствии с формой несущего колебания различают модуляцию гармонической несущей и импульсную модуляцию .

И наконец, по виду управляемого параметра несущего колебания в случае гармонической несущей различают амплитудную , частотную и фазовую модуляцию . Очевидно, в этом случае в качестве управляемого параметра выступают соответственно амплитуда, частота или начальная фаза гармонического колебания. Если в качестве несущего колебания используется импульсная последовательность, то аналогом частотной модуляции является широтная импульсная модуляция , где управляемым параметром выступает длительность импульса, а аналогом фазовой модуляции – временная импульсная модуляция , где управляемым параметром выступает положение импульса на временной оси.

В современных радиотехнических системах наиболее широко в качестве несущего колебания используется гармоническое колебание. Учитывая это обстоятельство в дальнейшем, основное внимание будет уделено сигналам с непрерывной и дискретной модуляцией гармонической несущей.

4.2. Сигналы с непрерывной амплитудной модуляцией

Рассмотрение модулированных сигналов начнем с сигналов, у которых в качестве изменяемого параметра выступает амплитуда несущего колебания. Модулированный сигнал в этом случае является амплитудно-модулированным или сигналом с амплитудной модуляцией (АМ-сигналом ).

Как уже было отмечено выше, основное внимание будет уделено сигналам, несущее колебание которых представляет собой гармоническое колебание вида

где – амплитуда несущего колебания,

– частота несущего колебания.

В качестве модулирующих сигналов сначала рассмотрим непрерывные сигналы . Тогда модулированные сигналы будут являться сигналами с непрерывной амплитудной модуляцией . Такой сигнал описывается выражением

где – огибающая АМ-сигнала,

– коэффициент амплитудной модуляции.

Из выражения (4.2) следует, что АМ-сигнал представляет собой произведение огибающей на гармоническую функцию . Коэффициент амплитудной модуляции характеризует глубину модуляции и в общем случае описывается выражением

. (4.3)

Очевидно, при сигнал представляет собой просто несущее колебание.

Для более детального анализа характеристик АМ-сигналов рассмотрим простейший АМ-сигнал, в котором в качестве модулирующего сигнала выступает гармоническое колебание

, (4.4)

где , – соответственно амплитуда и частота модулирующего (управляющего) сигнала, причем . В этом случае сигнал описывается выражением

, (4.5)

и называется сигналом однотональной амплитудной модуляции.

На рис. 4.2 изображены модулирующий сигнал , колебание несущей частоты и сигнал .

Для такого сигнала коэффициент глубины амплитудной модуляции равен

Воспользовавшись известным тригонометрическим соот-ношением

после несложных преобразований получим

Выражение (4.6) устанавливает спектральный состав однотонального АМ-сигнала. Первое слагаемое представляет собой немодулированное колебание (несущее колебание). Второе и третье слагаемые соответствуют новым гармоническим составляющим, появившимся в результате модуляции амплитуды несущего колебания; частоты этих колебаний и называются нижней и верхней боковыми частотами, а сами составляющие – нижней и верхней боковыми составляющими.

Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют величину

, (4.7)

На рис. 4.3 изображен амплитудный спектр однотонального АМ-сигнала. Из этого рисунка следует, что амплитуды боковых составляющих располагаются симметрично относительно амплитуды и начальной фазы несущего колебания. Очевидно, ширина спектра однотонального АМ-сигнала равна удвоенной частоте управляющего сигнала

В общем случае, когда управляющий сигнал характеризуется произвольным спектром, сосредоточенным в полосе частот от до , спектральный характер АМ-сигнала принципиально не отличается от однотонального.

На рис. 4.4 изображены спектры управляющего сигнала и сигнала с амплитудной модуляцией. В отличие от однотонального АМ-сигнала в спектре произвольного АМ-сигнала фигурируют нижняя и верхняя боковые полосы. При этом верхняя боковая полоса является копией спектра управляющего сигнала, сдвинутой по оси частот на

величину , а нижняя боковая полоса представляет собой зекаль-ное отображение верхней. Очевидно, ширина спектра произвольного АМ-сигнала

т.е. равна удвоенной верхней граничной частоте управляющего сигнала.

Возвратимся к сигналу однотональной амплитудной модуляции и найдем его энергетические характеристики. Средняя мощность АМ-сигнала за период управляющего сигнала определяется по формуле:

. (4.9)

Так как , а , положим , где . Подставляя выражение (4.6) в (4.9), после несложных, но достаточно громоздких преобразований с учетом того, что и с использованием тригонометрических соотношений

Здесь первое слагаемое характеризует среднюю мощность несущего колебания, а второе – суммарную среднюю мощность боковых составляющих, т.е.

Так как суммарная средняя мощность боковых составляющих делится поровну между нижней и верхней, что вытекает из (4.7), то отсюда следует

Таким образом, на передачу несущего колебания в АМ-сигнале тратится более половины мощности (с учетом того, что ), чем на передачу боковых составляющих. Так как информация заложена именно в боковых составляющих, передача составляющей несущего колебания нецелесообразна с энергетической точки зрения. Поиск более эффективных методов использования принципа амплитудной модуляции приводит к сигналам балансной и однополосной амплитудной модуляции.

4.3. Сигналы балансной и однополосной амплитудной модуляции

Сигналы балансной амплитудной модуляции (БАМ) характеризуются отсутствием в спектре составляющей несущего колебания. Перейдем сразу к рассмотрению сигналов однотональной балансной модуляции, когда в качестве управляющего колебания выступает гармонический сигнал вида (4.4). Исключение из (4.6) составляющей несущего колебания

приводит к результату

Рассчитаем среднюю мощность сигнала балансной модуляции. Подстановка (4.12) в (4.9) после преобразований дает выражение

Очевидно, что энергетический выигрыш при использовании сигналов балансной модуляции по сравнению с классической амплитудной модуляцией будет равен

При этот выигрыш составляет величину .

На рис. 4.5 представлен один из вариантов структурной схемы формирователя сигналов балансной амплитудной модуляции. Формирователь содержит:

Инв1, Инв2 – инверторы сигналов (устройства, изменяющие полярность напряжений на противоположную);
АМ1, АМ2 – амплитудные модуляторы;
SM – сумматор.

Колебание несущей частоты поступает на входы модуляторов АМ1 и АМ2 непосредственно. Что касается управляющего сигнала , то на второй вход АМ1 он поступает непосредственно, а на второй вход АМ2 – через инвертор Инв1. В результате на выходах модуляторов формируются колебания вида

На входы сумматора поступают соответственно колебания и . Результирующий сигнал на выходе сумматора составит

В случае однотональной амплитудной модуляции выражение (4.13) принимает вид

Используя формулу произведения косинусов, после преобразований получим

что с точностью до постоянного множителя совпадает с (4.12). Очевидно, ширина спектра сигналов БАМ равна ширине спектра сигналов АМ.

Балансная амплитудная модуляция позволяет исключить передачу несущего колебания, что приводит к энергетическому выигрышу. Вместе с тем, обе боковые полосы (боковые составляющие в случае однотональной АМ) несут одну и ту же информацию. Напрашивается вывод о целесообразности формирования и передачи сигналов с подавленной одной из боковых полос. В этом случае мы приходим к однополосной амплитудной модуляции (ОАМ).

Если из спектра сигнала БАМ исключить одну из боковых составляющих (скажем верхнюю боковую составляющую), то в случае гармонического управляющего сигнала получим

Так как средняя мощность сигнала БАМ делится поровну между боковыми составляющими, то очевидно, что средняя мощность сигнала ОАМ составит

Энергетический выигрыш по сравнению с амплитудной модуляцией составит

а при он будет равен .

Формирование однополосного АМ-сигнала может быть осуществлено на базе формирователей сигналов балансной модуляции. Структурная схема формирователя однополосного АМ-сигнала представлена на рис. 4.6.

В состав формирователя сигнала однополосной амплитудной модуляции входят:

На входы БАМ1 поступают сигналы:

Тогда на его выходе в соответствии с (4.15) формируется сигнал

На входы БАМ2 поступают сигналы

и .

С выхода БАМ2 снимается колебание, описываемое в соответствии с (4.14) с заменой косинусов на синусы

С учетом известного тригонометрического соотношения

выходной сигнал БАМ2 преобразуется к виду

Сложение сигналов (4.17) и (4.18) в сумматоре SM дает

что с точностью до постоянного множителя совпадает с (4.16). Что касается спектральных характеристик, то ширина спектра сигналов ОАМ вдвое меньше спектра АМ или БАМ сигналов.

Таким образом, при одинаковых и однополосная АМ обеспечивает существенный энергетический выигрыш по сравнению с классической АМ и балансной модуляцией. Вместе с тем, реализация сигналов балансной амплитудной и однополосной амплитудной модуляции сопряжена с некоторыми трудностями, касающимися необходимости восстановления несущего колебания при обработке сигналов на приемной стороне. Эта задача решается устройствами синхронизации передающей и приемной сторон, что в общем плане приводит к усложнению аппаратуры.

4.4. Сигналы с непрерывной угловой модуляцией

4.4.1. Обобщенное представление сигналов с угловой модуляцией

В предыдущем разделе была рассмотрена процедура модуляции, когда информационным параметром, изменяемым в соответствии с законом управляющего (модулирующего) сигнала являлась амплитуда несущего колебания. Однако помимо амплитуды несущее колебание характеризуется также частотой и начальной фазой

где – полная фаза несущего колебания, которая определяет текущее значение фазового угла.

Изменение либо , либо в соответствии с управляющим сигналом соответствует угловой модуляции . Таким образом, понятие угловой модуляции включает в себя как частотную (ЧМ), так и фазовую (ФМ) модуляцию.

Рассмотрим обобщенные аналитические соотношения для сигналов с угловой модуляцией. При частотной модуляции в соответствии с управляющим сигналом изменяется мгновенная частота несущего колебания в пределах от нижней до граничных частот

Наибольшее значение частотного отклонения от называется девиацией частоты

Если граничные частоты расположены симметрично относительно , то девиация частоты

. (4.22)

Именно такой случай частотной модуляции будет рассматриваться в дальнейшем.

Закон изменения полной фазы определяется как интеграл от мгновенной частоты. Тогда, с учетом (4.21) и (4.22), можно записать

Подставляя (4.23) в (4.20), получим обобщенное аналитическое выражение сигнала с частотной модуляцией

Слагаемое представляет собой составляющую полной фазы, обусловленную наличием частотной модуляции. Нетрудно убедится в том, что полная фаза сигнала с частотной модуляцией изменяется по закону интеграла от .

При фазовой модуляции , в соответствии с модулирующем сигналом , изменяется начальная фаза несущего колебания в пределах от нижнего до верхнего граничных значений фазы

Наибольшее отклонение фазового сдвига от называется девиацией фазы . Если и расположены симметрично относительно , то . В этом случае полная фаза сигнала с фазовой модуляцией

Тогда, подставляя (4.26) в (4.20), получим обобщенное аналитическое выражение сигнала с фазовой модуляцией

Рассмотрим, как изменяется мгновенная частота сигнала при фазовой модуляции. Известно, что мгновенная частота и текущая пол-

ная фаза связаны соотношением

Подставляя в это выражение формулу (4.26) и проведя операцию дифференцирования, получим

где – составляющая частоты, обусловленная наличием фазовой модуляции несущего колебания (4.20).

Таким образом, изменение начальной фазы несущего колебания приводит к изменению мгновенных значений частоты по закону производной от по времени.

Практическая реализация устройств формирования сигналов угловой модуляции может осуществляться одним из двух методов: прямым или косвенным. При прямом методе в соответствии с законом изменения управляющего сигнала изменяются параметры колебательного контура генератора несущего колебания. Выходной сигнал при этом оказывается промодулированным по частоте. Для получения сигнала фазовой модуляции на входе частотного модулятора включается дифференцирующая цепь.

Сигналы фазовой модуляции при прямом методе формируются путём изменения параметров колебательного контура усилителя, подключённого к выходу генератора несущего колебания. Для преобразования сигналов фазовой модуляции в сигнал частотной модуляции управляющее колебание подаётся на вход фазового модулятора через интегрирующую цепь.

Косвенные методы не предполагают непосредственного воздействия управляющего сигнала на параметры колебательного контура. Один из косвенных методов базируется на преобразовании амплитудно-модулированных сигналов в сигналы фазовой модуляции, а те, в свою очередь, - в сигналы частотной модуляции. Более подробно, вопросы формирования сигналов частотной и фазовой модуляции будут рассмотрены ниже.

4.4.2. Сигналы с частотной модуляцией

Анализ характеристик сигналов с угловой модуляцией мы начнём с рассмотрения однотональной частотной модуляции. Управляющий сигнал в этом случае представляет собой колебание единичной амплитуды (к этому виду всегда можно привести )

, (4.29)

а модулируемым параметром несущего колебания является мгновенная частота. Тогда, подставляя (4.29) в (4.24), получим:

Выполнив операцию интегрирования, приходим к следующему выражению сигнала однотональной частотной модуляции

Отношение

называется индексом частотной модуляции и имеет физический смысл части девиации частоты , приходящуюся на единицу частоты модулирующего сигнала. Так например, если девиация частоты несущего колебания МГц составляет , а частота управляющего сигнала кГц, то индекс частотной модуляции составит . В выражении (4.30) начальная фаза не учитывается как не имеющая принципиального значения.

Временная диаграмма сигнала при однотональной ЧМ представлена на рис. 4.7

Рассмотрение спектральных характеристик ЧМ-сигнала начнём с частного случая малого индекса частотной модуляции . Воспользовавшись соотношением

представим (4.30) в виде

Поскольку , то можно воспользоваться приближёнными представлениями

и выражение (4.31) приобретает вид

Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением

и полагая и , получим:

Это выражение напоминает выражение (4.6) для однотонального АМ – сигнала. Отличие состоит в том, что, если в однотональном АМ – сигнале начальные фазы боковых составляющих одинаковы , то в однотональном ЧМ сигнале при малых индексах частотной модуляции они отличаются на угол , т.е. находятся в противофазе.

Спектральная диаграмма такого сигнала показана на рис. 4.8

В скобках указаны значения начальной фазы боковых составляющих. Очевидно, ширина спектра ЧМ – сигнала при малых индексах частотной модуляции равна

Сигналы с частотной модуляцией с малым в практической радиотехнике применяются достаточно редко.

В реальных радиотехнических системах индекс частотной модуляции существенно превышает единицу.

Так например, в современных аналоговых системах мобильной связи, использующих для передачи речевых сообщений сигналы частотной модуляции при верхней частоте речевого сигнала кГц и девиации частоты кГц, индекс , как нетрудно убедиться, достигает значения ~3-4. В системах же радиовещания метрового диапазона индекс частотной модуляции может превышать значения, равного 10. Поэтому рассмотрим спектральные характеристики ЧМ сигналов при произвольных значениях величины .

Возвратимся к выражению (4.32). Известны следующие виды разложения

где – фунция Бесселя первого рода -го порядка.

Подставляя эти выражения в (4.32), после несложных, но довольно громоздких преобразований с использованием уже неоднократно упомянутых выше соотношений произведений косинусов и синусов, получим


(4.36)

где .

Полученное выражение представляет собой разложение однотонального ЧМ – сигнала на гармонические составляющие, т.е. амплитудный спектр. Первое слагаемое этого выражения является спектральной составляющей колебания несущей частоты с амплитудой . Первая сумма выражения (4.35) характеризует боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. нижнюю боковую полосу, а вторая сумма – боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. верхнюю боковую полосу спектра.

Спектральная диаграмма ЧМ – сигнала при произвольном представлена на рис. 4.9.

Проанализируем характер амплитудного спектра ЧМ – сигнала. В первую очередь отметим, что спектр является симметричным относительно частоты несущего колебания и теоретически является бесконечным.

Составляющие боковых боковых полос расположены на расстоянии Ω друг от друга, а их амплитуды зависят от индекса частотной модуляции. И наконец, у спектральных составляющих нижней и верхней боковых частот с чётными индексами начальные фазы совпадают, а у спектральных составляющих с нечётными индексами отличаются на угол .

В таблице 4.1 приведены значения функции Бесселя для различных i и . Обратим внимание на составляющую несущего колебания . Амплитуда этой составляющей равна . Из таблицы 4.1 следует, что при амплитуда , т.е. спектральная составляющая несущего колебания в спектре ЧМ – сигнала отсутствует. Но это не означает отсутствия несущего колебания в ЧМ – сигнале (4.30). Просто энергия несущего колебания перераспределяется между составляющими боковых полос.

Таблица 4.1

Как уже подчёркивалось выше спектр ЧМ – сигнала теоретически является бесконечным. На практике же полоса пропускания радиотехнических устройств всегда ограничена. Оценим практическую ширину спектра, при котором воспроизведение ЧМ – сигнала можно считать неискажённым.

Средняя мощность ЧМ – сигнала определяется как сумма средних мощностей спектральных составляющих

Проведённые расчёты показали, что около 99% энергии ЧМ – сигнала сосредоточено в частотных составляющих с номерами . А это означает, что частотными составляющими с номерами можно пренебречь. Тогда практическая ширина спектра при однотональной ЧМ с учётом его симметрии относительно

а при больших значения

Т.е. равна удвоенной девиации частоты.

Таким образом, ширина спектра ЧМ – сигнала приблизительно в раз больше ширины спектра АМ – сигнала. Вместе с тем, для передачи информации используется вся энергия сигнала. В этом состоит преимущества сигналов частотной модуляции над сигналами амплитудной модуляции.

4.5. Сигналы с дискретной модуляцией

Рассмотренные выше сигналы с непрерывной модуляцией, в основном используются в системах радиовещания, радиотелефонии, телевидения и других. Вместе с тем, переход на цифровые технологии в радиотехнике, в том числе и в перечисленных областях, обусловил широкое использование сигналов с дискретной модуляцией или манипуляцией. Так как исторически сигналы дискретной модуляции впервые были использованы для передачи телеграфных сообщений, такие сигналы ещё называют сигналами амплитудной (АТ), частотной (ЧТ), и фазовой (ФТ) телеграфии. Ниже при описании соответствующих сигналов будет использована эта аббревиатура, что позволит отличать их от сигналов с непрерывной модуляцией.

4.5.1. Сигналы с дискретной амплитудной модуляцией

Сигналы дискретной амплитудной модуляции характеризуются тем, что амплитуда несущего колебания изменяется в соответствии с управляющим сигналом, который представляет собой последовательности импульсов, обычно прямоугольной формы. При исследовании характеристик сигналов с непрерывной модуляцией в качестве управляющего сигнала рассматривался гармонический сигнал. По аналогии с этим для сигналов с дискретной модуляцией в качестве управляющего сигнала используем периодическую последовательность прямоугольных импульсов

Очевидно, как следует из (4.39), длительность импульса составляет , а скважность .

На рис. 4.10 представлены эпюры управляющего сигнала , несущего колебания и амплитудно-манипулированного сигнала . Здесь и далее будем полагать амплитуду импульсов управляющего сигнала равной , а начальную фазу несущего колебания . Тогда сигнал с дискретной амплитудной модуляцией можно записать следующим образом

Ранее было получено разложение последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье (2.13). Для рассматриваемого случая и выражение (2.13) принимает вид

Подставляя (4.41) в (4.40) и используя формулу произведения косинусов, получим:

На рис. 4.11 изображён амплитудный спектр сигнала, модулированного по амплитуде последовательностью прямоугольных импульсов. Спектр содержит составляющую несущей частоты с амплитудой и две боковые полосы каждая из которых состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, располагающихся на частотах , амплитуды которых изменяются по закону . Боковые полосы, так же как и при непрерывной АМ, расположены зеркально по отношению к спектральной составляющей несущей частоты. Нули амплитудного спектра сигнала АТ соответствуют нулям амплитудного спектра сигнала , но сдвинуты влево и вправо на величину .

Ввиду того, что основная часть энергии управляющего сигнала сосредоточена в пределах первого лепестка спектра, практическую ширину спектра в рассматриваемом случае, исходя из рис. 4.11, можно определить как

. (4.43)

Этот результат согласуется с расчётами спектра, приведёнными в [Л.4], где показано, что большая часть мощности сосредоточена в боковых составляющих с частотами и .

4.5.2. Сигналы с дискретной частотной модуляцией

При анализе сигналов с дискретной угловой модуляцией удобно в качестве модулирующего сигнала использовать периодическую последовательность прямоугольных импульсов вида “меандр”. Тогда управляющий сигнал на интервале времени принимает значение , а на интервале времени - значение . Снова, как и при анализе сигналов АТ будем полагать .

Как следует из подраздела 4.3.1 сигнал с частотной модуляцией описывается выражением (4.24). Тогда с учётом того, что на интервале управляющий сигнал , а на интервале управляющий сигнал , проведя операцию интегрирования, получим выражение сигнала ЧТ

На рис 4.12 приведены временные диаграммы управляющего сигнала , несущего колебания и сигнала дискретной частотной модуляции .

С другой стороны сигнал ЧТ, как это следует из рис. 4.12, может быть представлен суммой двух сигналов дискретной амплитудной модуляции и , частоты несущих колебаний которых соответственно равны

Исходным для определения спектров колебаний при гармонической угловой модуляции является выражение (1.27). Примем для упрощения выражений и перепишем (1.27) в виде

Выражение (1.28) представляет сумму двух квадратурных колебаний частоты из которых каждое модулировано по амплитуде частотой Угловую модуляцию принято подразделять на узкополосную и широкополосную Наибольшее распространение в технике связи имеет широкополосная Начнем с определения спектра узкополосной угловой модуляции. Полагая имеем

Таким образом, спектр узкополосных сигналов угловой модуляции аналогичен спектру простейшего AM колебания, показанному на рис. 1.2. Он содержит компоненты несущей частоты и двух боковых частот Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является индекс модуляции Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, как и при AM: она равна удвоенной частоте модуляции.

Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от AM колебания, что является следствием различия в знаках (т. е. в сдвиге фаз на 180°) компонент нижней боковой частоты в выражениях (1.30) и (1.10). Это означает возможность преобразования AM колебания в узкополосное ФМ колебание поворотом фазы одной из боковых частот на 180°. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.8а построена векторная диаграмма AM колебания. Изменяя фазу нижней боковой частоты на 180°, получаем векторную диаграмму рис. 1.86, на которой конец вектора результирующего колебания перемещается с низкой частотой по горизонтальной линии, что соответствует изменению фазы При этом несколько изменяется и амплитуда Однако при изменение амплитуды пренебрежимо мало. Согласно рис. 1.8 б . Заменяя при малых тангенсы их аргументами, получаем изменение фазы соответствующее ФМ колебанию.

При широкополосной угловой модуляции и выражения (1.29) и (1.30) несправедливы. Приходится спектр колебаний определять непосредственно из (1.28). Выражения являются периодическими функциями частоты а потому они могут быть разложены в ряды Фурье. Первая из этих функций является четной, вторая - нечетной. В теории бесселевых

функций доказывается, что ряды Фурье для этих функций, имеют вид

где функция Бесселя первого рода порядка от аргумента На рис. 1.9 приведены графики функций Бесселя Подставляя (1.31) в (1.28), получим

Таким образом, спектр ЧМ и ФМ колебаний, модулированных гармоническим сигналом, оказывается дискретным, симметричным» относительно и содержащим бесконечное число боковых частот вида с амплитудами Для он построен на рис. 1.10. Соотношения между функциями Бесселя различных порядков, а следовательно, и между амплитудами различных боковых компонент определяются индексом модуляции При некоторых значениях отдельные компоненты могут исчезнуть (если Это же относится к амплитуде несущей щается в нуль при

Наличие бесконечно большого числа боковых компонент спектра означает, что теоретически спектр ФМ и ЧМ колебания является бесконечно широким. Однако функция Бесселя начиная с некоторых быстро убывают с ростом что видно на рис. 1.9 и 1.10. Это позволяет ограничить полезный (практический) спектр таких сигналов определенным количеством боковых частот. При ограничении спектра необходимо учитывать влияние Двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ослабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих. На практике выбирают компромиссное решение.

Если ограничиться в спектре боковыми составляющими, амплитуды которых не превосходят от максимальной амплитуды спектральной компоненты (см. рис. 1.10), то для каждого можно рассчитать соответствующую ширину спектра. Она окажется несколько большей, чем Из рис. 1.10 следует, что при Для 4 ширина спектра При больших индексах модуляции (порядка десятков

и сотен) практическая ширина спектра, подсчитанная подобным образом, близка к удвоенной девиации частоты

Заканчивая рассмотрение вопроса о ширине спектра сигналов гармонической угловой модуляции, подчеркнем ее отличие от интервала частот в пределах которого происходит изменение мгновенной частоты сигнала:

1) теоретическая ширина спектра

2) практическое ее значение при оказывается а при несколько превышает и лишь приближенно считается равной ей (1.33).

Рассмотрим влияние параметров модулирующего сигнала на спектры ФМ и ЧМ колебаний, используя для определения ширины спектра приближенное выражение (1.33). При изменении амплитуды X модулирующего сигнала спектры ФМ и ЧМ колебаний изменяются одинаково. При возрастании X происходит пропорциональное увеличение индекса модуляции, спектры расширяются за счет увеличения числа спектральных компонент.

Изменение частоты модулирующего колебания по-разному влияет на изменение спектров ФМ и ЧМ колебаний. При ФМ изменение не влияет на величину индекса модуляции, а следовательно, и на число спектральных составляющих (рис. 1.11а, б).

При ЧМ с уменьшением индекс модуляции увеличивается, что приводит к увеличению числа спектральных компонент (рис. 1.11 в, г). В итоге ширина спектра ЧМ колебания от частоты почти не зависит, а при ФМ изменяется пропорционально

Лекция № 6 Модулированные сигналы

Под модуляцией понимают процесс (медленный по сравнению с периодом несущего колебания), при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяют по закону передаваемого сообщения. Получаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами.В зависимости от того, какой из названных параметров несущего колебания подвергается изменению, различают два основных вида аналоговой модуляции: амплитудную и угловую. Последний вид модуляции, в свою очередь, разделяется на частотную и фазовую.В современных цифровых системах передачи информации широкое распространение получила квадратурная (амплитудно-фазовая, или фазоамплитуд- ная - ФАМ; amplitude phase modulation) модуляция, при которой одновременно изменяются и амплитуда и фаза сигнала. Этот тип модуляции относят как к аналоговым, так и цифровым видам.

В радиосистемах часто применяются и будут применяться различные виды импульсной и цифровой модуляции, при которой радиосигналы представляются в виде так называемых радиоимульсов.

Радиосигналы с аналоговыми видами модуляции В процессе амплитудной модуляции несущего колебания (1)

его амплитуда должна изменяться по закону: (2)

где U H - амплитуда несущей в отсутствие модуляции; ω 0 - угловая частота; φ 0 - начальная фаза; ψ(t) = ω 0 + φ 0 - полная (текущая или мгновенная) фаза несущей; k А - безразмерный коэффициент пропорциональности; e(t) - модулирующий сигнал. U H (t) в радиотехнике принято называть огибающей амплитудно-модулированного сигнала (АМ-сигнала).

Подставив (2) в (1) получим общую формулу АМ- сигнала (3)

Однотональная амплитудная модуляция если модулирующий сигнал - гармоническое колебание (4)

где Е 0 - амплитуда; Ω = 2π/Т 1 = 2πF - угловая частота модуляции; F -

циклическая частота модуляции; Т 1 - период модуляции; θ 0 - начальная фаза.

Подставив формулу (4) в соотношение (3), получим выражение для АМ-сигнала (5)

Обозначив через ∆U = k A E 0 - максимальное отклонение амплитуды АМ- сигнала от амплитуды несущей U H и проведя несложные выкладки, получим (6)

Коэффициент или глубина амплитудной модуляции.

Спектр АМ-сигнала . Применив в выражении (5) тригонометрическую формулу произведения косинусов, после несложных выкладок получим (7)

Из формулы (7) видно, что при однотональной амплитудной модуляции спектр АМ-сигнала состоит из трех высокочастотных составляющих. Первая из них представляет собой исходное несущее колебание с постоянной амплитудой U H и частотой с ω 0 . Вторая и третья составляющие характеризуют новые гармонические колебания, появляющиеся в процессе амплитудной модуляции и отражающие передаваемый сигнал. Колебания с частотами ω 0 + Ω и ω 0 - Ω называются соответственно верхней (upper sideband - USB) и нижней (lower sideband - LSB) боковыми составляющими.

Реальная ширина спектра АМ-сигнала при однотональной модуляции (8)

На практике однотональные АМ-сигналы используются либо для учебных, либо для исследовательских целей. Реальный же модулирующий сигнал имеет сложный спектральный состав. Математически такой сигнал, состоящий из N гармоник, можно представить тригонометрическим рядом N (10)

Здесь амплитуды гармоник сложного модулирующего сигнала E i произвольны, а их частоты образуют упорядоченный спектр Ω 1 < Ω 2 < ...< Ω i < ...< Ω N . В отличие от ряда Фурье частоты Ω i не обязательно кратны друг другу. Подставляя (10) в (3), после несложных преобразований, получим выражение АМ-сигнала с начальной фазой несущего ф0 = О (11)

(12)

Совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции.Эти коэффициенты характеризуют влияние гармонических составляющих модулирующего сигнала на общее изменение амплитуды высокочастотного колебания. Воспользовавшись тригонометрической формулой произведения двух косинусов и проделав несложные преобразования, запишем (11) в виде (13)

Рис. 2. Спектральные диаграммы при модуляции сложным сигналом:

а - модулирующего сигнала; б - АМ-сигнала

Ширина спектра сложного АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего сигнала Ω N , т. е. (14)

Частотная модуляция

При частотной модуляции (frequency modulation; FM) мгновенное значение несущей частоты ω(t) связано с модулирующим сигналом e(t) зависимостью (15)

здесь k Ч - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад/(В-с).

Полную фазу ЧМ-сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования мгновенной частоты, выраженной через формулу (15),

Рис. 3. Частотная однотональная модуляция:

а - несущее колебание; б - модулирующий сигнал; в - ЧМ-сигнал

Максимальное отклонение частоты от значения ω 0 , или девиация частоты (frequency deviation) при частотной модуляции;

Максимальное отклонение от текущей фазы ω 0 t или девиация фазы несущего колебания называется индексом частотной модуляции (index of frequency modulation). Данный парамер определяет интенсивность колебаний начальной фазы радиосигнала.

С учетом полученных соотношений (1) и (16) частотно-модулированный сигнал запишется в следующем виде:

Спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции. Преобразуем полученное выражение (17)

Спектр ЧМ-сигнала при m«1 (такую угловую модуляцию называют узкополосной). В этом случае имеют место приближенные равенства: (18)

Подставив формулы (18) в выражение (17), после несложных математических преобразований получим (при начальных фазах модулирующего и несущего колебаний θ 0 = 0 и φ 0 = 0): (19)

Видим, что по аналитической записи спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции напоминает спектр АМ- сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (ω 0 + Ω) и (ω 0 - Ω) причем и амплитуды их рассчитываются аналогично (только вместо коэффициента амплитудной модуляции М в формуле для ЧМ-сигнала фигурирует индекс угловой модуляции m). Но есть и принципиальное отличие, превращающее амплитудную модуляцию в частотную, знак минус перед одной из боковых составляющих.

Спектр ЧМ-сигнала при m > 1 . Из математики известно (20) (21)

где J n (m) - функция Бесселя 1 -го рода n-го порядка.

В
теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой формулой (22)

Ряды (20) и (21) подставим в формулу (17), а затем заменим произведение косинусов и синусов полусуммами косинусов соответствующих аргументов. Тогда, с учетом (22), получим следующее выражение для ЧМ-сигнала (23)

Итак, спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией при индексе

модуляции m > 1 состоит из множества высокочастотных гармоник: несущего колебания и бесконечного числа боковых составляющих с частотами ω 0 + nΩ. и ω 0 -nΩ, расположенными попарно и симметрично относительно несущей частоты ω 0 .

При этом, исходя из (22), можно отметить, что начальные фазы боковых колебаний с частотами ω 0 + nΩ. и ω 0 -nΩ совпадают, если m - четное число, и отличаются на 180°, если m - нечетное. Теоретически спектр ЧМ- сигнала (так же и ФМ-сигнала) бесконечен, однако в реальных случаях он ограничен. Практическая ширина спектра сигналов с угловой модуляцией

ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике в радиотехнике и связи, имеют индекс модуляции m>> 1, поэтому

Полоса частот ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией равна удвоенной девиации частоты и не зависит от частоты модуляции.

Сравнение помехоустойчивости радиосистем с амплитудной и угловой модуляцией. Следует отметить, что радиосигналы с угловой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитудной модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к заметному искажению передаваемого сообщения.

2. Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает при неизменной средней мощности колебаний.

Продолжаем серию общеобразовательных статей, под общим названием «Теория радиоволн».
В предыдущих статьях мы познакомились с радиоволнами и антеннами: Давайте ближе познакомимся с модуляцией радиосигнала.

В рамках этой статьи, будет рассмотрена аналоговая модуляция следующих видов:

Амплитудная модуляция
Амплитудная модуляция c одной боковой полосой
Частотная модуляция
Линейно-частотная модуляция
Фазовая модуляция
Дифференциально-фазовая модуляция

Амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции, огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпадающему с законом передаваемого сообщения. Частота и фаза несущего колебания при этом не меняется.

Одним из основных параметров АМ, является коэфициент модуляции(M).
Коэффициент модуляции - это отношение разности между максимальным и минимальным значениями амплитуд модулированного сигнала к сумме этих значений(%).
Проще говоря, этот коэффициент показывает, насколько сильно значение амплитуда несущего колебания в данный момент отклоняется от среднего значения.
При коэффициенте модуляции больше 1, возникает эффект перемодуляции, в результате чего происходит искажение сигнала.

Спектр АМ

Данный спектр свойственен для модулирующего колебания постоянной частоты.

На графике, по оси Х представлена частота, по оси У - амплитуда.
Для АМ, кроме амплитуды основной частоты, находящейся в центре, представлены также значения амплитуд справа и слева от частоты несущей. Это так называемые левая и правая боковые полосы. Они отнесены от частоты несущей на расстояние равное частоте модуляции.
Расстояние от левой до правой боковой полосы называют ширина спектра .
В нормальном случае, при коэффициенте модуляции <=1, амплитуды боковых полос меньше или равны половине амплитуды несущей.
Полезная информация заключена только в верхней или нижней боковых полосах спектра. Основная спектральная составляющая - несущая, не несет полезной информации. Мощность передатчика при амплитудной модуляции в большей части расходуется на «обогрев воздуха», за счет не информативности самого основного элемента спектра.

Амплитудная модуляция с одной боковой полосой

В связи с неэффективностью классической амплитудной модуляции, была придумана амплитудная модуляция с одной боковой полосой.
Суть ее заключается в удалении из спектра несущей и одной из боковых полос, при этом вся необходимая информация передается по оставшейся боковой полосе.

Но в чистом виде в бытовом радиовещании этот вид не прижился, т.к. в приемнике нужно синтезировать несущую с очень высокой точностью. Используется в аппаратуре уплотнения и любительском радио.
В радиовещании чаще используют АМ с одной боковой полосой и частично подавленной несущей:

При такой модуляции соотношение качество/эффективность наилучшим образом достигается.

Частотная модуляция

Вид аналоговой модуляции, при которой, частота несущей изменяется по закону модулирующего низкочастотного сигнала. Амплитуда при этом остается постоянной.

а) - несущая частота, б) модулирующий сигнал, в) результат модуляции

Наибольшее отклонение частоты от среднего значения, называется девиацией .
В идеальном варианте, девиация должна быть прямо пропорционально амплитуде модулирующего колебания.

Спектр при частотной модуляции выглядит следующим образом:

Состоит из несущей и симметрично отстающей от нее вправо и влево гармоник боковых полос, на частоту кратную частоте модулирующего колебания.
Данный спектр представляет гармоническое колебание. В случае реальной модуляции, спектр имеет более сложные очертания.
Различают широкополосную и узкополосную ЧМ модуляцию.
В широкополосной - спектр частот, значительно превосходит частоту модулирующего сигнала. Применяется в ЧМ радиовещании.
В радиостанциях применяют в основном узкополосную ЧМ модуляцию, требующую более точной настройки приемника и соответственно более защищенную от помех.
Спектры широкополосной и узкополосной ЧМ представлены ниже

Спектр узкополосной ЧМ напоминает амплитудную модуляцию, но если учесть фазу боковых полос, то окажется, что эти волны имеют постоянную амплитуду и переменную частоту, а не постоянную частоту и переменную амплитуду (AM). При широкополосной ЧМ амплитуда несущей может быть очень малой, что обусловливает высокую эффективность ЧМ; это значит, что большая часть передаваемой энергии содержится в боковых частотах, несущих информацию.

Основные преимущества ЧМ, перед АМ - энергоэффективность и помехоустойчивость.

Как разновидность ЧМ, выделяют Линейно-частотную модуляцию.
Суть ее заключается в том, что частота несущего сигнала изменяется по линейному закону.

Практическая значимость линейно-частотно-модулированных (ЛЧМ) сигналов заключается в возможности существенного сжатия сигнала при приеме с увеличением его амплитуды над уровнем помех.
ЛЧМ находят применение в радиолокации.

Фазовая модуляция

В реальности, больше применяют термин фазовая манипуляция, т.к. в основном производят модуляцию дискретных сигналов.
Смысл ФМ таков, что фаза несущей, изменяется скачкообразно, при приходе очередного дискретного сигнала, отличного от предыдущего.

Из спектра можно видеть, почти полное отсутствие несущей, что указывают на высокую энергоэффективность.
Недостаток данной модуляции в том, что ошибка в одном символе, может привести к некорректному приему всех последующих.

Дифференциально-фазовая манипуляция

В случае этой модуляции, фаза меняется не при каждом изменении значения модулирующего импульса, а при изменении разности. В данном примере при приходе каждой «1».

Преимущество этого вида модуляции в том, что в случае возникновения случайной ошибки в одном символе, это не влечет дальнейшую цепочку ошибок.

Стоит отметить, что существуют также фазовые манипуляции такие как квадратурная, где используется изменение фазы в пределах 90 градусов и ФМ более высоких порядков, но их рассмотрение выходит за рамки данной статьи.

PS: хочу еще раз отметить, что цель статей не заменить учебник, а рассказать «на пальцах» об основах радио.
Рассмотрены лишь основные виды модуляций для создания у читателя представления о теме.

В данной статье речь пойдет о спектре сигнала с угловой модуляцией. Сначала рассмотрим однотональную угловую модуляцию, после чего рассмотрим более общий случай при произвольном модулирующем сигнале. Необходимо отметить, что в аналитическом виде можно получить выражение для спектра только в случае однотональной угловой модуляции.

Предварительно приведем некоторые математические соотношения из теории функций Бесселя и комплексных чисел, которые будут нам необходимы при анализе.

В математике доказывается, что функция раскладывается в бесконечный ряд:

(1)

Где - функция Бесселя первого рода целого порядка аргумента , - мнимая единица. Аналогично функция представляется рядом:

Вспомним из теории комплексных функций что:

Где - модулирующий сигнал, - индекс фазовой модуляции, - несущая частота, - случайная начальная фаза несущего колебания. Рассмотрим случай однотональной фазовой модуляции, когда где - частота модулирующего сигнала, - начальная фаза модулирующего сигнала. Тогда

Разложим на три суммы:

Возьмем теперь реальную часть:

(12)

Анализ спектра сигнала с однотональной угловой модуляцией

Теперь разбираемся. Спектр бесконечен и состоит из гармоник кратных частоте модулирующего сигнала вправо и влево от центральной частоты. Амплитуды гармоник зависят от индекса модуляции . При этом пять слагаемых показывают поведение спектра.

Первое слагаемое показывает, что амплитуды четных гармоник ниже центральной частоты равны , при этом фаза этих гармоник равна , при этом каждая четвертая гармоника, начиная со второй (2,6,10,14,18... гармоники) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для первого слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 малиновым цветом.

Второе слагаемое показывает амплитуды и фазы нечетных гармоник ниже центральной частоты. Амплитуды нечетных гармоник ниже центральной частоты равны , а фазы . Сдвиг фазы на из-за того, что во вторую сумму входят синусы, а не косинусы. Как и в первом слагаемом каждая четвертая гармоника, начиная с первой (1,5,9,13,17...) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для второго слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 синим цветом.

Третье слагаемое показывает гармонику несущей частоты. Ее амплитуда , фаза . На рисунке 1 гармоника центральной частоты — черная.

Четвертое слагаемое показывает амплитуды и фазы четных гармоник выше центральной частоты. Амплитуды такие же как и у четных гармоник ниже центральной частоты, а фазы равны , причем уже известный множитель сдвигает каждую четвертую фазу на , начиная со второй. На рисунке 1 гармоники четвертого слагаемого показаны красным цветом.

И наконец последнее пятое слагаемое соответствует нечетным гармоникам выше центральной. Амплитуды те же что и у нечетных гармоник ниже центральной частоты, фазы равны . Сдвиг фазы на из-за того, что в сумму входят синусы, а не косинусы, ну и конечно же каждая четвертая гармоника сдвинута на начиная с первой. На рисунке 1 гармоники пятого слагаемого показаны зеленым.

Рисунок 1: Амплитудный и фазовый спектры сигнала с фазовой модуляцией при m = 10

Несколько комментариев к рисунку 1. Полоса сигнала с угловой модуляцией по уровню 0,5 (-3 дБ) зависит от индекса модуляции и частоты модулирующего сигнала:

(13)

Где - девиация частоты. Чем выше частота модулирующего сигнала и чем выше индекс модуляции, тем полоса сигнала шире. Из рисунка 1 хорошо видно, что при ровно 10 гармоник справа и слева имеют амплитуду выше половины максимума. На фазовом спектре показаны параллельные прямые проведенные через фазовый спектр касающиеся каждую четвертую гармонику и показывающие сдвиг фаз при изменении номера гармоники. При этом необходимо отметить, что приведенный на рисунке 1 фазовый спектр не учитывается периодичность фазы. Фазовый спектр с учетом периодичности фазы представлен на рисунке 2.

Рисунок 2: Фазовый спектр с учетом периодичности фазы

При этом полученный спектр с однотональной фазовой модуляцией при частоте модулирующего сигнала и индексе модуляции соответствует спектру сигнала с однотональной частотной модуляцией при девиации частоты Таким образом, однотональная фазовая и частотная модуляции неотличимы. Различия будут наблюдаться если частота модулирующего сигнала будет меняться. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пусть имеется модулирующий сигнал с частотой 10 кГц.

(14)

Рассмотрим два сигнала - PM сигнал и - FM сигнал. Девиацию фазы при PM зададим , девиацию частоты при FM зададим . Несущую частоту обоих сигналов зададим равной

Амплитудные спектры FM и PM сигналов при данных параметрах приведены на рисунке 3.

Рисунок 3: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 10 кГц

Амплитудные спектры получились одинаковые, так как при заданных параметрах FM сигнала получаем девиацию фазы FM сигнала как у PM . Таким образом, получили сигналы в полосе 200 кГц с одинаковым количеством гармоник справа и слева от несущей .

Теперь уменьшим частоту модулирующего сигнала в 2 раза, то есть Несущую частоту, а также девиацию частоты и фазы не меняем. Амплитудные спектры в этом случае приведены на рисунке 4.

Рисунок 4: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 5 кГц

Спектры изменились. Давайте разберемся. Шаг между гармониками уменьшился в 2 раза (по сравнению с рисунком 3), так как шаг между гармониками равен частоте модулирующего сигнала, а она уменьшилась в 2 раза.

Поскольку при FM задается девиация частоты, то полоса FM сигнала не изменилась по сравнению с полосой FM сигнала на рисунке 3. Поскольку девиация частоты и девиация фазы связаны соотношением то девиация фазы при FM выросла в 2 раза за счет уменьшения частоты модулирующего сигнала (девиация частоты при FM не может изменятся).

Действительно, количество гармоник в полосе сигнала FM увеличилось в 2 раза. В PM, наоборот, задается девиация фазы, то есть количество гармоник в спектре, поэтому при уменьшении расстояния между гармониками девиация частоты PM сигнала уменьшается, в данном случае в 2 раза по сравнению с рисунком 3. Спектр PM как бы сжался по оси частот, не изменив формы, а спектр FM наоборот приобретает больше гармоник. Если же еще уменьшить частоту модулирующего колебания например до 2 кГц, то спектр FM останется таким же широким, так как девиация частоты не изменилась, но будет еще более насыщен гармониками, так как девиация фазы будет равна спектр PM же еще более «сожмется» оставив тоже количество гармоник. Девиация частоты при PM будет всего В этом можно убедится рассмотрев рисунок 5.

Рисунок 5: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 2 кГц

Общий случай спектра сигнала с угловой модуляцией

В случае однотональной угловой модуляции спектр сигнала симметричен, однако в общем случае спектр сигнала с угловой модуляцией не является симметричным. Симметричность спектра возникает в том случае, когда форма модулирующего сигнала сверху и снизу будет одинакова на рисунке приведен пример модулирующего сигнала, угловая модуляция которого приведет к несимметричному относительно центральной частоты спектру. В обоих случаях центральная частота равна 200кГц.

Рисунок 6: Несимметричный спектр FM и PM сигнала

Из рисунка явно видно, что спектры FM и PM сигналов несимметричны относительно 200 кГц, также формы спектров явно различаются. Несимметричность спектров сигналов с угловой модуляцией приводит к тому, что невозможно осуществить однополосную угловую модуляцию.

Выводы

Таким образом, мы получили аналитическое выражение для спектра сигнала с угловой модуляцией рассмотрели разницу FM и PM сигналов при изменении частоты модулирующего сигнала, а также показали несимметричность спектра сигнала с угловой модуляции при произвольном модулирующим сигнале.