როგორც ცნობილია, ჟორდანია-გაუსის მეთოდი, რომელიც ასევე ცნობილია, როგორც უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, არის გაუსის მეთოდის მოდიფიკაცია ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების (SLAEs) ამოხსნისთვის.

მეთოდი დაფუძნებულია ელემენტარულ გარდაქმნებზე (სისტემის ეკვივალენტად გარდაქმნა), რომელიც მოიცავს:

• სისტემის განტოლების ორივე მხარეს ერთი და იმავე სისტემის სხვა განტოლების დამატება, გამრავლებული ნულის გარდა სხვა რიცხვზე;
• განტოლებების გადაწყობა სისტემაში;
• 0 = 0 ფორმის განტოლებათა სისტემიდან ამოღება.

გაუსის მეთოდისგან განსხვავებით, ყოველ საფეხურზე ერთი ცვლადი ამოღებულია ყველა განტოლებიდან ერთის გარდა.

მეთოდის ნაბიჯი შემდეგია:

• აირჩიეთ უცნობი ნულისაგან განსხვავებული კოეფიციენტით მომდევნო განტოლებაში (გამხსნელი ელემენტი);
• არჩეული განტოლების გაყოფა ამომრჩეველ ელემენტზე;
• შერჩეული განტოლების გამოყენებით, გამორიცხეთ ამომხსნელი ელემენტის უცნობი ყველა სხვა განტოლებიდან;
• მომდევნო საფეხურზე, სხვა უცნობიც ანალოგიურად გამოირიცხება ყველა განტოლებიდან ერთის გარდა;
• პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ ყველა განტოლება არ იქნება გამოყენებული.

მისი ალგორითმის მოწყობა შეგიძლიათ შემდეგნაირად:

SLAE მატრიცული ფორმისთვის A*x=b (მატრიცა A განზომილების m*n, არ არის აუცილებელი კვადრატული), შედგენილია შემდეგი ცხრილი:

ცხრილში არჩეულია a r,s ≠0 განმსაზღვრელი ელემენტი, შემდეგ r არის გადამწყვეტი მწკრივი, s არის გადამწყვეტი სვეტი.

შემდეგ ცხრილში გადასვლა ხორციელდება წესების მიხედვით:

1. განმსაზღვრელი მწკრივის ელემენტები გამოითვლება: a" r,j =a r,j /a r,s - ანუ ცხრილის r-სტრიქონი იყოფა გამხსნელ ელემენტზე;

2. გარჩევადობის სვეტის ყველა ელემენტი, გარდა r,s ტოლი ერთისა, ხდება ნულის ტოლი;

3. დასაშვები მწკრივისა და სვეტის გარეთ არსებული ელემენტები გამოითვლება ქვემოთ ნაჩვენები ფორმულის გამოყენებით:

დაბნეულობის თავიდან აცილება ადვილია, როდესაც ხედავთ, რომ ამ ფორმულის მრიცხველი მსგავსია 2-ზე-2 მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლის.

4. ხელით გაანგარიშებისას ბოლო საკონტროლო სვეტის მნიშვნელობა შედარებულია მწკრივის წინა ელემენტების ჯამთან. თუ მნიშვნელობები არ ემთხვევა, შეცდომები უნდა მოძებნოთ ამ ხაზში. ავტომატური გამოთვლებისთვის, საკონტროლო სვეტი შეიძლება გამოტოვდეს.

შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

1. აღმოფხვრის პროცესში სისტემის განტოლების მარცხენა მხარე უხვევს 0-ს, ხოლო მარჯვენა მხარე b≠0-ს, მაშინ სისტემას ამონახსნი არ აქვს.

2. მიიღება იდენტურობა 0 = 0 - განტოლება არის დანარჩენის წრფივი კომბინაცია და სისტემიდან შეიძლება წაიშალოს ნულების ხაზი.

3. უცნობების აღმოსაფხვრელად ყველა განტოლების გამოყენების შემდეგ, ცხრილი ან შეიცავს სასურველ ამონახსანს, ან აჩვენებს შეზღუდვების სისტემის შეუსაბამობას.

მოდით დავაპროგრამოთ მეთოდი Excel-ში ერთი ფორმულის გამოყენებით, რომლის შეცვლა არც ისე რთული უნდა იყოს. მაგალითად, SLAE გადასაჭრელად

შევავსოთ ფურცლის უჯრები A1-დან D4-ის ჩათვლით სისტემის კოეფიციენტებით, ამოვარჩიოთ გადამწყვეტი ელემენტი a 1,1 =1 და გავაკეთოთ მეთოდის პირველი ნაბიჯი A6 უჯრედში, სადაც შევიყვანთ „უნივერსალურ“ ფორმულას. იორდანე-გაუსის ტრანსფორმაცია:

IF(ROW($A$1)=ROW(A1);A1/$A$1;
IF(COLUMN($A$1)=COLUMN(A1),0,(A1*$A$1-
INDIRECT(ADDRESS(ROW(A1),COLUMN($A$1)))*
INDIRECT(ADDRESS(ROW($A$1),COLUMN(A1)))/$A$1))

შემდეგ ეტაპზე, გადამწყვეტი ელემენტი შეიძლება იყოს, მაგალითად, 2,2 =1 (უჯრედი B7). საკმარისია ფორმულის კოპირება A6-დან A11-ზე (ვტოვებთ ცარიელ ხაზზე, რათა ვიზუალურად გამოვყოთ მეთოდის საფეხურები), შევიდეთ ფორმულის რედაქტირების რეჟიმში (ორჯერ დააწკაპუნეთ უჯრედზე ან აირჩიეთ და დააჭირეთ F2-ს. გასაღები) და შეასწორეთ (ფრთხილად გადაიტანეთ მაუსი საზღვრებს გარეთ) ყველა ჩამაგრებული ბმული A1 უჯრედიდან B7-მდე.

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ დამაგრებული ბმული $A$1 ყველგან ფორმულაში ისეთი კონსტრუქციით, როგორიცაა INDIRECT(CELL), რომელიც ქმნის დინამიური ბმულის მისამართს. ვთქვათ, INDIRECT(F8), ხოლო F8 უჯრედში რეზოლუციის ელემენტის უჯრედის მისამართი ავტომატურად გენერირებული იქნება მომხმარებლის მიერ მითითებული მწკრივის და სვეტის ნომრის მიხედვით. შემდეგ ამ მწკრივისა და სვეტის ნომრებისთვის მოგიწევთ ცალკე უჯრედების მიწოდება, მაგალითად, ასე:

სამწუხაროდ, ეს ყველაფერი არაფერს მოგვცემს - $A$1-ის ნაცვლად, ჩვენ უბრალოდ უნდა დავაფიქსიროთ INDIRECT($F$8) ფორმულაში და მაინც გადავავლოთ და ჩამოვუშვათ იგივე რაოდენობის ბმულები ფორმულის კოპირებისას. გარდა ამისა, „ხელით“ შეყვანილი მწკრივისა და სვეტის ნომრები ასევე უნდა შემოწმდეს ვალიდობაზე (ყოველ შემთხვევაში, როგორც ფიგურაში), ასე რომ, ჩვენ არ გავამრავლებთ ერთეულებს.

თქვენ შეგიძლიათ იხილოთ მეთოდის მოქმედება მიმაგრებული Excel ფაილის პირველ ორ ფურცელზე (2 განსხვავებული მაგალითი).

ხაზოვანი ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრის ისეთი უნივერსალური მეთოდი, როგორიცაა სიმპლექსის მეთოდი. მისი აღწერილობები, როგორც წესი, საშინელი, გრძელი და თეორემებით გადატვირთულია. შევეცადოთ გავაკეთოთ მარტივი აღწერა და განვავითაროთ Excel-ში გამოსათვლელად შესაფერისი ალგორითმი. სინამდვილეში, simplex მეთოდი უკვე ჩაშენებულია სტანდარტული ანალიზის პაკეტის დანამატში და არ არის საჭირო მისი „ხელით“ დაპროგრამება, ამიტომ ჩვენს კოდს საკმაოდ საგანმანათლებლო მნიშვნელობა აქვს.

პირველი, მინიმუმ თეორია.

თუ SLAE-ის სვეტის ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, შესაბამისი ცვლადებია ძირითადი, და დანარჩენი - უფასო. მაგალითად, SLAU-ში

ცვლადები x 2 და x 4 ძირითადია, ხოლო x 1 და x 3 თავისუფალია. ძირითადი ცვლადები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და თავისუფალი შეიძლება გაკეთდეს, მაგალითად, ნულები და მიიღოთ ( x 2 =2, x 4 =1) - ძირითადი გადაწყვეტასისტემები.

სხვადასხვა გამხსნელი ელემენტების არჩევით შესაძლებელია SLAE-ების ხსნარების მიღება სხვადასხვა ფუძით. SLAE-ის ნებისმიერი არაუარყოფითი ძირითადი ამოხსნა ეწოდება მხარდამჭერი.

სიმპლექსის მეთოდი უზრუნველყოფს გადასვლას ერთი საცნობარო გადაწყვეტიდან მეორეზე, სანამ ის მიიღწევა ოპტიმალურიგამოსავალი, რომელიც იძლევა მინიმალურ ობიექტურ ფუნქციას.

სიმპლექსის მეთოდის ალგორითმი შემდეგია:

1. LP პრობლემა გარდაიქმნება კანონიკურ ფორმაში:

ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს შემდეგნაირად: სტანდარტულ ფორმულირებაში ჩაწერილ პრობლემამდე

ემატება დამატებითი საბალანსო ცვლადები, რომელთა რიცხვი შეესაბამება უტოლობის შეზღუდვების რაოდენობას m (შეზღუდვები უცნობის მნიშვნელობების არაუარყოფითობაზე არ არის გათვალისწინებული). ამის შემდეგ, უტოლობები "≤" ნიშნით გადაიქცევა თანასწორებად, მაგალითად, ფორმის შეზღუდვების სისტემა.

2*x 1 +3*x 2 ≤20
3*x 1 +x 2 ≤15
4*x 1 ≤16
3*x 2 ≤12
x 1, x 2 ≥0

ფორმას მიიღებს

2*x 1 +3*x 2 +x 3 =20
3*x 1 +x 2 +x 4 =15
4*x 1 +x 5 =16
3*x 2 +x 6 =12
x 1 , x 2 ,..., x 6 ≥0

ანუ, ბალანსის ცვლადების „ეკონომიკური“ მნიშვნელობა ძალიან მარტივია - ეს არის თითოეული ტიპის გამოუყენებელი რესურსების „ნარჩენები“.

თუ თავდაპირველ პრობლემაში მოიძებნებოდა არა მინიმუმი, არამედ მაქსიმუმი, ობიექტური ფუნქცია Z შეიცვლება Z 1 = -Z-ით. ამოცანების ამონახსნები ემთხვევა მინ Z = - max Z 1 . მაგალითად, მიზანი

Z(x 1,x 2)=2*x 1 +5*x2 (მაქს.)

გადაწერილი როგორც

Z 1 (x 1, x 2)=-2*x 1 -5*x 2 (წთ)

თუ თავდაპირველ ამოცანას ჰქონდა უტოლობის განტოლებები "≥" ნიშნით "≤"-ის ნაცვლად, თითოეული ასეთი უტოლობის ორივე მხარე მრავლდება -1-ზე და უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია, მაგალითად,

3*x 1 +x 2 +x 4 ≥15

გარდაიქმნება

3*x 1 -x 2 -x 4 ≤15

მოდელის კანონიკური ფორმა მიიღება და მას ვწერთ სიმპლექსის მაგიდა:

ძირითადი ცვლადები (BP) იწერება მარცხენა სვეტში, თუ ისინი ჯერ არ არის შერჩეული, ის ცარიელია.

2. ჟორდანი–გაუსის საფეხურების გამოყენებით მოძებნილია საწყისი საცნობარო გეგმა, ე.ი. SLAE მცირდება მის ძირითად ფორმამდე არაუარყოფითი თავისუფალი ტერმინებით b i >0. ამ შემთხვევაში, ობიექტური ფუნქცია Z უნდა იყოს გამოხატული მხოლოდ თავისუფალი უცნობის მიხედვით (Z-ს მწკრივში ნულოვანი კოეფიციენტები მხოლოდ საფუძველში მყოფი x i ცვლადების ქვეშაა). a r,s გადამწყვეტი ელემენტის შერჩევისას BP სვეტის r მწკრივში ვწერთ x ცვლადს, თუ იქ უკვე იყო ცვლადი, გადავხაზავთ მას (ვხსნით საფუძვლიდან).

3. x i სვეტების ქვეშ ვწერთ X * საცნობარო გეგმას: თავისუფალი ცვლადების ქვეშ - ნულები, ძირითადი ცვლადების ქვეშ - კოეფიციენტები b სვეტიდან, რომელიც შეესაბამება ძირითად ცვლადს.

ქვემოთ ვწერთ R ვექტორს წესის მიხედვით: ძირითადი ცვლადების ქვეშ არის ნულები, თავისუფალის ქვეშ R i =Z i.

თუ ყველა R i ≥0, ოპტიმალური გადაწყვეტა X * და მიზნობრივი მნიშვნელობა Z min = -q იქნა ნაპოვნი, წინააღმდეგ შემთხვევაში საჭიროა ახალი გეგმა, მაგრამ გაქვთ თუ არა, ამხანაგო ჟიუკოვ? (პუნქტი 4).

4. განმსაზღვრელი სვეტის s შესარჩევად აირჩიეთ ვექტორის R მაქსიმალური აბსოლუტური უარყოფითი კომპონენტი, არჩეულია განმსაზღვრელი სვეტი s. შემდეგ ვაანალიზებთ შეზღუდვების სისტემის მატრიცის მე-6 სვეტის კოეფიციენტებს. თუ ყველა a i,s ≤0, გამოსავალი არ არის და Z min მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე, წინააღმდეგ შემთხვევაში გადადით მე-5 საფეხურზე.

5. გადამწყვეტი სტრიქონის ასარჩევად ვწერთ არაუარყოფით მიმართებებს b i /A i,s ≥0, i=1,2,...,m და ვირჩევთ მათ შორის ყველაზე პატარას. თუ მინიმალური მიღწეულია რამდენიმე სტრიქონისთვის, რომელიმე მათგანი შეიძლება ჩაითვალოს გადამწყვეტად, ხოლო ახალ საცნობარო გეგმაში ზოგიერთი ძირითადი ცვლადის მნიშვნელობები გახდება 0-ის ტოლი, ანუ მივიღებთ გადაგვარებულ საცნობარო გეგმას.

6. ვასრულებთ ჟორდანია-გაუსის ტრანსფორმაციას a r,s გადამწყვეტი ელემენტით და გადავდივართ მე-3 საფეხურზე.

გეომეტრიულად, მარტივი მეთოდი შეესაბამება n-განზომილებიანი ამოზნექილი პოლიედრონის წვეროების უმოკლეს გადაკვეთას, რომელიც ქმნის პრობლემის შესაძლო გადაწყვეტილებების რეგიონს:

აქ ჩვენ გადავედით C საცნობარო გეგმიდან, რომელიც მრავალგანზომილებიანი მრავალკუთხედის ერთ-ერთი წვეროა, ოპტიმალურ გეგმაზე E=X *.

ამ ყველაფრის დაპროგრამება Excel-ში ადვილი არ არის, მაგრამ შესაძლებელია. თანდართულ დოკუმენტში მოცემულია 3 მაგალითი, რომლებიც ახორციელებენ პრობლემების გადაჭრას სიმპლექსის მეთოდით. მართალია, ნაბიჯის შესრულებისას თქვენ უკვე მოგიწევთ შეცვალოთ 3 ფორმულა; პირველი მაგალითის ფურცელზე მარტივი მეთოდისთვის ისინი ხაზგასმულია ყვითლად: I2 უჯრედში გადაჭრის მწკრივის არჩევისთვის მიმართებების გამოთვლა, BP სვეტის შევსება. A12 უჯრედში, ჯორდან-გაუსის ტრანსფორმაციის საფეხური B12 უჯრედში. როგორც ჟორდანია-გაუსის ტრანსფორმაციის მაგალითში, ფორმულების შეცვლა დაკავშირებულია მხოლოდ ახალი ხაზის მითითების აუცილებლობასთან, რომელიც შეიცავს უჯრედის მისამართს გადამჭრელ ელემენტთან (პირველი ნაბიჯისთვის - უჯრედი C9).

გაუს-იორდანიის მეთოდი. როგორ მოვძებნოთ მატრიცის ინვერსია
ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით?

ერთხელ გერმანელი მათემატიკოსი ვილჰელმ ჟორდანია (არასწორად ვწერთ გერმანულიდანიორდანია, როგორც იორდანია)დაჯდა განტოლებათა სხვა სისტემის ამოსახსნელად. მას უყვარდა ამის კეთება და თავისუფალ დროს აუმჯობესებდა უნარებს. მაგრამ შემდეგ დადგა მომენტი, როდესაც მას მობეზრდა ამოხსნის ყველა მეთოდი და გაუსის მეთოდიმათ შორის...

დავუშვათ, რომ გვეძლევა სისტემა სამი განტოლებით, სამი უცნობით და მისი გაფართოებული მატრიცა ჩაწერილია. ყველაზე გავრცელებულ შემთხვევაში, თქვენ იღებთ სტანდარტულ ნაბიჯებს და ასე შემდეგ ყოველდღე... იგივე - ნოემბრის უიმედო წვიმავით.

ცოტა ხნით ფანტავს მელანქოლიას სხვა გზამატრიცის საფეხურზე მიყვანა: , და ის სრულიად ექვივალენტურია და შეიძლება იყოს მოუხერხებელი მხოლოდ სუბიექტური აღქმის გამო. მაგრამ ადრე თუ გვიან ყველაფერი მოსაწყენი ხდება... და მერე ვიფიქრე ო rdan - რატომ შეგაწუხებთ გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობით? არ არის ადვილი პასუხის დაუყოვნებლივ მიღება დამატებითი ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით?

...დიახ, ეს მხოლოდ სიყვარულის გამო ხდება =)

ამ გაკვეთილის დასაუფლებლად, "ბუტკებს" მოუწევთ F გზით წასვლა ოდააყენეთ და განაახლეთ ელემენტარული ტრანსფორმაციები მინიმუმ საშუალო დონეზე, მინიმუმ 15-20 შესაბამისი დავალების შესრულების შემდეგ. ამიტომ, თუ ბუნდოვნად გესმით, რაზეა საუბარი და/ან გაკვეთილზე რაიმეს გაუგებრობა გაქვთ, გირჩევთ გაეცნოთ თემას შემდეგი თანმიმდევრობით:

კარგად, ეს აბსოლუტურად მშვენიერია, თუ ის დამუშავდა დეტერმინანტის რიგის შემცირება.

როგორც ყველას ესმის, გაუს-იორდანიის მეთოდი მოდიფიკაციაა გაუსის მეთოდიდა ჩვენ შევხვდებით ზემოთ უკვე გაჟღერებული მთავარი იდეის განხორციელებას უახლოეს ეკრანებზე. გარდა ამისა, ამ სტატიის რამდენიმე მაგალითიდან ერთ-ერთი მოიცავს ყველაზე მნიშვნელოვან აპლიკაციას - შებრუნებული მატრიცის პოვნა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.

Ბევრი ლაპარაკის გარეშე:

მაგალითი 1

ამოხსენით სისტემა გაუს-იორდანიის მეთოდით

გამოსავალი: ეს გაკვეთილის პირველი ამოცანაა გაუსის მეთოდი დუმებისთვის, სადაც 5-ჯერ გადავაქციეთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და მივიღეთ ის ეტაპობრივ ფორმამდე:

ახლა ნაცვლად საპირისპიროდამატებითი ელემენტარული გარდაქმნები ამოქმედდება. ჯერ უნდა მივიღოთ ნულები ამ ადგილებში: ,
და შემდეგ სხვა ნული აქ: .

იდეალური შემთხვევა სიმარტივის თვალსაზრისით:

(6) მეორე სტრიქონს დაემატა მესამე ხაზი. პირველ ხაზს დაემატა მესამე ხაზი.

(7) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –2-ზე.

საბოლოო სისტემის ილუსტრირება არ შემიძლია:

უპასუხე:

მე ვაფრთხილებ მკითხველს, რომ არ იყვნენ ცუდ ხასიათზე - ეს იყო მარტივი საჩვენებელი მაგალითი. გაუს-იორდანიის მეთოდს აქვს საკუთარი სპეციფიკური ტექნიკა და არა ყველაზე მოსახერხებელი გამოთვლები, ამიტომ გთხოვთ მოემზადოთ სერიოზული სამუშაოსთვის.

არ მინდა კატეგორიული და პრეტენზიული გამოვიჩინო, მაგრამ საინფორმაციო წყაროების აბსოლუტურ უმრავლესობაში, რაც მე მინახავს, ​​ტიპიური პრობლემები უკიდურესად ცუდად განიხილება - თქვენ უნდა გქონდეთ შესანიშნავი გონება და დახარჯოთ ბევრი დრო/ნერვები რთულზე, მოუხერხებელი ხსნარი წილადებით. პრაქტიკის წლების განმავლობაში, მე მოვახერხე გაპრიალება, არ ვიტყვი, რომ ეს არის საუკეთესო, მაგრამ რაციონალური და საკმაოდ მარტივი მეთოდი, რომელიც ხელმისაწვდომია ყველასთვის, ვინც იცის არითმეტიკული ოპერაციები:

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუს-იორდანიის მეთოდით.

გამოსავალი: დავალების პირველი ნაწილი ძალიან ნაცნობია:

(1) პირველი ხაზი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. მესამე სტრიქონს დაემატა პირველი 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი -5-ზე გამრავლებული მეოთხე სტრიქონს.

(2) მეორე ხაზი იყოფა 2-ზე, მესამე ხაზი იყოფა 11-ზე, მეოთხე ხაზი იყოფა 3-ზე.

(3) მეორე და მესამე სტრიქონები პროპორციულია, მე-3 სტრიქონი ამოღებულია. მეოთხე სტრიქონს დაემატა მეორე ხაზი, გამრავლებული –7-ზე

(4) მესამე ხაზი იყოფა 2-ზე.

აშკარაა, რომ სისტემას უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი აქვს და ჩვენი ამოცანაა მისი გაფართოებული მატრიცა ფორმამდე მივიყვანოთ. .

Როგორ უნდა გააგრძელონ? პირველ რიგში, უნდა აღინიშნოს, რომ ჩვენ დავკარგეთ გემრიელი ელემენტარული ტრანსფორმაცია - სიმების გადაწყობა. უფრო ზუსტად, მათი გადაწყობა შესაძლებელია, მაგრამ ამას აზრი არ აქვს (უბრალოდ არასაჭირო მოქმედებებს შევასრულებთ). და შემდეგ მიზანშეწონილია დაიცვან შემდეგი შაბლონი:

Ჩვენ ვიპოვეთ უმცირესი საერთო ჯერადირიცხვები მესამე სვეტში (1, –1 და 3), ე.ი. – უმცირესი რიცხვი, რომელიც ნაშთის გარეშე იყოფა 1-ზე, –1-ზე და 3-ზე. ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, ეს არის „სამი“. ახლა მესამე სვეტში უნდა მივიღოთ რიცხვები, რომლებიც იდენტურია მოდულშიდა ეს მოსაზრებები განსაზღვრავს მატრიცის მე-5 ტრანსფორმაციას:

(5) პირველ სტრიქონს ვამრავლებთ –3-ზე, მეორე სტრიქონს ვამრავლებთ 3-ზე. ზოგადად რომ ვთქვათ, პირველი სტრიქონი ასევე შეიძლება გავამრავლოთ 3-ზე, მაგრამ ეს ნაკლებად მოსახერხებელი იქნება შემდეგი მოქმედებისთვის. კარგ რამეებს სწრაფად ეჩვევი:

(6) მეორე სტრიქონს დაემატა მესამე ხაზი. პირველ სტრიქონს დაემატა მესამე ხაზი.

(7) მეორე სვეტს აქვს ორი არა-ნულოვანი მნიშვნელობა (24 და 6) და ისევ უნდა მივიღოთ რიცხვები იდენტურია მოდულში. ამ შემთხვევაში ყველაფერი საკმაოდ კარგად გამოვიდა - 24-ის უმცირესი ჯერადი და ყველაზე ეფექტურია მეორე ხაზის -4-ზე გამრავლება.

(8) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი.

(9) საბოლოო შეხება: პირველი ხაზი იყოფა -3-ზე, მეორე ხაზი იყოფა -24-ზე და მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე. ეს მოქმედება შესრულებულია ᲑᲝᲚᲝᲯᲔᲠ! არავითარი ნაადრევი ფრაქციები!

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა ექვივალენტური ორიგინალური სისტემა:

ჩვენ უბრალოდ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადის მიხედვით:

და დაწერე:

უპასუხე: საერთო გადაწყვეტილება:

ასეთ მაგალითებში განხილული ალგორითმის გამოყენება ყველაზე ხშირად გამართლებულია, რადგან პირიქით გაუსის მეთოდიჩვეულებრივ მოითხოვს შრომატევადი და იმედგაცრუებული გამოთვლები წილადებს.

და, რა თქმა უნდა, ძალიან სასურველია შემოწმება, რომელიც ხორციელდება გაკვეთილზე განხილული ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით შეუთავსებელი სისტემები და სისტემები საერთო გადაწყვეტით.

თავად გადაჭრით:

მაგალითი 3

იპოვნეთ ძირითადი ამოხსნა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით

პრობლემის ეს ფორმულირება ითვალისწინებს გაუს-იორდანიის მეთოდის გამოყენებას, ხოლო ნიმუშის ხსნარში მატრიცა მცირდება სტანდარტულ ფორმამდე. ძირითადი ცვლადებით. თუმცა, ყოველთვის გახსოვდეთ ეს თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვა ცვლადები, როგორც ძირითადი. ასე რომ, მაგალითად, თუ პირველი სვეტი შეიცავს უხერხულ რიცხვებს, მაშინ სავსებით მისაღებია მატრიცის ფორმამდე შემცირება. (ძირითადი ცვლადები), ან ფორმაში (ძირითადი ცვლადები), ან თუნდაც ფორმაში ძირითადი ცვლადებით. არის სხვა ვარიანტებიც.

მაგრამ მაინც, ეს უკიდურესი შემთხვევებია - არ არის საჭირო კიდევ ერთხელ შოკში ჩააგდოთ მასწავლებლები თქვენი ცოდნით, გადაწყვეტის ტექნიკით და მით უმეტეს, რომ არ არის საჭირო ისეთი ეგზოტიკური იორდანიის შედეგების მიღება. . თუმცა, შეიძლება რთული იყოს წინააღმდეგობის გაწევა ატიპიური საფუძვლის გამოყენებით, როდესაც თავდაპირველ მატრიცას, ვთქვათ, მე-4 სვეტში აქვს ორი მზა ნული.

შენიშვნა : ტერმინს „საფუძველს“ აქვს ალგებრული მნიშვნელობა და ცნება გეომეტრიული საფუძველიარაფერ შუაშია!

თუ მონაცემთა ზომის გაფართოებულ მატრიცაში წყვილი მოულოდნელად აღმოჩენილია წრფივად დამოკიდებულიხაზები, მაშინ უნდა შეეცადოთ მიიყვანოთ იგი ჩვეულ ფორმაში ძირითადი ცვლადებით. ასეთი გადაწყვეტილების მაგალითია სტატიის მე-7 მაგალითში წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემებიდა იქ შერჩეულია სხვა საფუძველი.

ჩვენ ვაგრძელებთ ჩვენი კვალიფიკაციის ამაღლებას შემდეგ პრაქტიკულ პრობლემაზე:

როგორ მოვძებნოთ ინვერსიული მატრიცა გაუსის მეთოდით?

როგორც წესი, პირობა ჩამოყალიბებულია შემოკლებით, მაგრამ, არსებითად, აქ მუშაობს გაუს-იორდანიის ალგორითმი. პოვნის უფრო მარტივი მეთოდი ინვერსიული მატრიცაკვადრატული მატრიცისთვის მას დიდი ხნის წინ ვუყურეთ შესაბამის გაკვეთილზე და მკაცრ გვიან შემოდგომაზე გამოცდილი სტუდენტები ეუფლებიან მისი ამოხსნის ოსტატურ მეთოდს.

მომავალი მოქმედებების შეჯამება შემდეგია: პირველ რიგში, თქვენ უნდა დაწეროთ კვადრატული მატრიცა იდენტობის მატრიცასთან ერთად: . შემდეგ, ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, აუცილებელია იდენტურობის მატრიცის მიღება მარცხნივ, ხოლო (თეორიულ დეტალებში შესვლის გარეშე)შებრუნებული მატრიცა დახატული იქნება მარჯვნივ. სქემატურად გამოსავალი ასე გამოიყურება:

(ნათელია, რომ შებრუნებული მატრიცა უნდა არსებობდეს)

დემო 4

ვიპოვოთ მატრიცის შებრუნებული მატრიცა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვწერთ მას ერთ აღკაზმულობაში იდენტურობის მატრიცით და "ორი ცხენი" გამოდის:

(1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –3-ზე.

(2) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი.

(3) მეორე ხაზი იყოფა –2-ზე.

უპასუხე:

შეამოწმეთ პასუხი პირველ გაკვეთილზე როგორ მოვძებნოთ მატრიცის ინვერსია?

მაგრამ ეს იყო კიდევ ერთი მაცდური პრობლემა - რეალურად, გამოსავალი ბევრად უფრო შრომატევადი და შრომატევადია. როგორც წესი, თქვენ წარმოგიდგენთ სამ-სამ მატრიცას:

მაგალითი 5

გამოსავალი: ჩვენ ვამაგრებთ პირადობის მატრიცას და ვიწყებთ ტრანსფორმაციების შესრულებას "ჩვეულებრივი" ალგორითმის დაცვით. გაუსის მეთოდი:

(1) პირველი და მესამე სტრიქონები შეიცვალა. ერთი შეხედვით, რიგების გადაწყობა უკანონო ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში მათი გადაწყობა შესაძლებელია - ბოლოს და ბოლოს, შედეგად, მარცხნივ უნდა მივიღოთ იდენტურობის მატრიცა, ხოლო მარჯვნივ ჩვენ "აიძულებთ" მივიღოთ ზუსტად მატრიცა. (მიუხედავად იმისა, გადავაწყობთ თუ არა ხაზებს ამოხსნის დროს). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ აქ, პერმუტაციის ნაცვლად, შეგიძლიათ მოაწყოთ "ექვსები" პირველ სვეტში (უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) 3, 2 და 1). LCM გადაწყვეტა განსაკუთრებით მოსახერხებელია, როდესაც არ არის "ერთეულები" პირველ სვეტში.

(2) 1-ლი სტრიქონი დაემატა მე-2 და მე-3 სტრიქონებს, გამრავლებული -2-ზე და -3-ზე, შესაბამისად.

(3) მე-3 სტრიქონს დაემატა მე-1 სტრიქონი, გამრავლებული –1-ზე

ამოხსნის მეორე ნაწილი შესრულებულია წინა აბზაციდან უკვე ცნობილი სქემის მიხედვით: მწკრივების პერმუტაციები უაზრო ხდება და მესამე სვეტში ვპოულობთ რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს (1, –5, 4): 20. არსებობს მკაცრი ალგორითმი LCM-ის მოსაძებნად, მაგრამ აქ შერჩევა ჩვეულებრივ საკმარისია. კარგია, თუ აიღებთ უფრო დიდ რიცხვს, რომელიც იყოფა 1-ზე, -5-ზე და 4-ზე, მაგალითად, რიცხვი 40. განსხვავება იქნება უფრო რთულ გამოთვლებში.

გათვლებზეა საუბარი. პრობლემის გადასაჭრელად, არ არის სირცხვილი მიკროკალკულატორით შეიარაღებაში - აქ უამრავი რიცხვია ჩართული და გამოთვლითი შეცდომის დაშვება ძალიან სამწუხარო იქნება.

(4) გავამრავლოთ მესამე სტრიქონი 5-ზე, მეორე სტრიქონი 4-ზე, პირველი სტრიქონი "მინუს ოცზე":

(5) მესამე სტრიქონი დაემატა პირველ და მე-2 სტრიქონებს.

(6) პირველი და მესამე სტრიქონები იყოფა 5-ზე, მეორე ხაზი გამრავლდა –1-ზე.

(7) მეორე სვეტის (–20 და 44) არა ნულოვანი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 220. გაამრავლეთ პირველი მწკრივი 11-ზე, მეორე მწკრივი 5-ზე.

(8) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი.

(9) პირველი სტრიქონი გამრავლდა –1-ზე, მეორე სტრიქონი გაიყო „უკან“ 5-ზე.

(10) ახლა მარცხენა მატრიცის მთავარ დიაგონალზე მიზანშეწონილია მიიღოთ დიაგონალური რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (44, 44 და 4). აბსოლუტურად გასაგებია, რომ ეს რიცხვია 44. მესამე სტრიქონს ვამრავლებთ 11-ზე.

(11) გაყავით თითოეული ხაზი 44-ზე. ეს მოქმედება შესრულებულია ბოლოს!

ასე რომ, შებრუნებული მატრიცა არის:

მათი ჩასმა და ამოღება, პრინციპში, არასაჭირო ქმედებებია, მაგრამ ამას მოითხოვს დავალების რეგისტრაციის პროტოკოლი.

უპასუხე:

შემოწმება ტარდება გაკვეთილზე განხილული ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით ინვერსიული მატრიცა.

მოწინავე ადამიანებს შეუძლიათ გარკვეულწილად შეამცირონ გამოსავალი, მაგრამ მე უნდა გაგაფრთხილოთ, რომ აქ ჩქარობა სავსეა შეცდომის დაშვების გაზრდილი რისკით.

მსგავსი ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 6

იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა გაუს-იორდანიის მეთოდით.

დავალების სავარაუდო მაგალითი გვერდის ბოლოში. და ისე, რომ "სიმღერით არ იმოძრაოთ", მე შევქმენი გამოსავალი უკვე აღნიშნულ სტილში - ექსკლუზიურად სვეტების LCM-ის მეშვეობით რიგების ერთი გადანაწილებისა და დამატებითი ხელოვნური გარდაქმნების გარეშე. Ჩემი აზრით, ეს სქემა, თუ არა ყველაზე, მაშინ ერთ-ერთი ყველაზე საიმედოა.

ხანდახან მოსახერხებელია უფრო მოკლე „მოდერნისტული“ გადაწყვეტა, რომელიც შემდეგია: პირველ ეტაპზე ყველაფერი ჩვეულებრივადაა: .

მეორე საფეხურზე, კარგად ჩამოყალიბებული ტექნიკის გამოყენებით (მე-2 სვეტის რიცხვების LCM-ის მეშვეობით), მეორე სვეტში ერთდროულად ორგანიზებულია ორი ნული: . განსაკუთრებით რთულია ამ ქმედების წინააღმდეგობა, თუ მე-2 სვეტი შეიცავს იგივე აბსოლუტური მნიშვნელობის რიცხვებს, მაგალითად, იგივე ბანალურ „ერთეულებს“.

და ბოლოს, მესამე საფეხურზე, იმავე გზით ვიღებთ საჭირო ნულებს მესამე სვეტში: .

რაც შეეხება განზომილებას, უმეტეს შემთხვევაში აუცილებელია "სამი სამზე" მატრიცის გადაჭრა. თუმცა, დროდადრო ჩნდება პრობლემის მსუბუქი ვერსია "ორი ორზე" მატრიცით და მძიმე... - ვებგვერდი სპეციალურად ყველა მკითხველისთვის:

მაგალითი 7

იპოვეთ მატრიცის ინვერსია ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით

ეს არის დავალება ჩემი საკუთარი ფიზიკა-მათემატიკის ტესტიდან ალგებრაში, ... ოჰ, სად არის ჩემი პირველი წელი =) თხუთმეტი წლის წინ (ფოთოლი გასაკვირია ჯერ არ გაყვითლებულა)მე ეს გავაკეთე 8 ნაბიჯით, მაგრამ ახლა მხოლოდ 6-ია! მატრიცა, სხვათა შორის, ძალიან კრეატიულია - პირველივე ეტაპზე რამდენიმე მაცდური გადაწყვეტა ჩანს. ჩემი უახლესი ვერსია არის გვერდის ბოლოში.

და ბოლო რჩევა - ასეთი მაგალითების შემდეგ, ტანვარჯიში თვალებისთვის და კარგი მუსიკა დასვენებისთვის ძალიან სასარგებლოა =)

Წარმატებას გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 3: გამოსავალი: ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით ვიღებთ ძირითად ამონახსნებს:


(1) პირველი და მეორე სტრიქონები შეიცვალა.
(2) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 5-ზე.
(3) მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.
(4) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.
(5) მესამე ხაზი იყოფა 7-ზე.
(6) მე-3 სვეტის (–3, 5, 1) რიცხვების უმცირესი ჯერადი არის 15. პირველი მწკრივი მრავლდება 5-ზე, მეორე მწკრივი მრავლდება –3-ზე, მესამე მწკრივი მრავლდება 15-ზე.
(7) პირველ სტრიქონს დაემატა მე-3 სტრიქონი. მეორე ხაზს დაემატა მე-3 სტრიქონი.
(8) პირველი ხაზი გაყოფილი იყო 5-ზე, მეორე ხაზი -3-ზე, მესამე ხაზი იყოფა 15-ზე.
(9) მე-2 სვეტის (–2 და 1) არანულოვანი რიცხვების უმცირესი ჯერადი უდრის: 2. მეორე მწკრივი გამრავლდა 2-ზე.
(10) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი.
(11) მეორე ხაზი იყოფა 2-ზე.
მოდით გამოვხატოთ ძირითადი ცვლადები თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით:

უპასუხე : საერთო გადაწყვეტილება:

მაგალითი 6: გამოსავალი: ჩვენ ვპოულობთ შებრუნებულ მატრიცას ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით:


(1) პირველი ხაზი გამრავლდა –15-ზე, მეორე სტრიქონი გამრავლდა 3-ზე, მესამე ხაზი გამრავლდა 5-ზე.
(2) პირველი ხაზი დაემატა მე-2 და მე-3 სტრიქონებს.
(3) პირველი ხაზი იყოფა –15-ზე, მეორე ხაზი –3-ზე, მესამე ხაზი –5-ზე.
(4) მეორე ხაზი გამრავლდა 7-ზე, მესამე ხაზი გამრავლდა –9-ზე.
(5) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი.


(6) მეორე ხაზი იყოფა 7-ზე.
(7) პირველი ხაზი გამრავლდა 27-ზე, მეორე სტრიქონი გამრავლდა 6-ზე, მესამე ხაზი გამრავლდა –4-ზე.
(8) პირველ და მეორე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი.
(9) მესამე ხაზი იყოფა -4-ზე. პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –1-ზე.
(10) მეორე ხაზი იყოფა 2-ზე.
(11) თითოეული ხაზი იყოფა 27-ზე.
Როგორც შედეგი:
უპასუხე :

მაგალითი 7: გამოსავალი: ვიპოვოთ შებრუნებული მატრიცა გაუს-იორდანიის მეთოდით:
(1) მე-3 სტრიქონი დაემატა პირველ და მე-4 სტრიქონებს.
(2) პირველი და მეოთხე სტრიქონები შეიცვალა.
(3) მე-2 სტრიქონს დაემატა 1-ლი ხაზი. 1-ლი ხაზი დაემატა მე-3 სტრიქონს, გამრავლებული 2-ზე:


(4) მე-3 სტრიქონს დაემატა მე-2 სტრიქონი, გამრავლებული –2-ზე. მე-4 სტრიქონს დაემატა მე-2 ხაზი.
(5) მე-4 სტრიქონი დაემატა პირველ და მე-3 სტრიქონებს, გამრავლებული –1-ზე.
(6) მეორე სტრიქონი გამრავლდა –1-ზე, მესამე ხაზი გაყოფილი იყო –2-ზე.
უპასუხე :

4. ჟორდანია - გაუსის მეთოდი.

ძირითადი ელემენტის არჩევის სქემა არის ის, რომ მოთხოვნა, რომ დიაგონალური ელემენტები akk, რომლებშიც დაყოფა ხდება აღმოფხვრის პროცესში, არ იყოს ნულის ტოლი, შეიცვლება უფრო მკაცრით: K-ის ყველა ელემენტიდან. -ე სვეტი, აირჩიეთ ყველაზე დიდი მოდულში და გადააწყვეთ განტოლებები ისე, რომ ეს ელემენტი დასრულდეს acc ელემენტის ადგილზე. მთავარი ელემენტის არჩევა და სტრიქონების ასოცირებული გადაწყობა აუცილებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც ნებისმიერ i-ე საფეხურზე ACC = 0 ან ძალიან ცოტაა ACC-ები i-ე სვეტის დარჩენილი ელემენტებისთვის: ასეთ „პატარაზე“ გაყოფისას. ” ACC, დიდი ACC მიიღება რიცხვები დიდი აბსოლუტური შეცდომებით, რის შედეგადაც გამოსავალი შეიძლება დიდად დამახინჯდეს.

ქვემოთ მოცემულია უცნობების სრული აღმოფხვრის ალგორითმი ან ჟორდანი–გაუსის მეთოდი. მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ პირველი განტოლების გათვალისწინების შემდეგ იგი შეიცავს უცნობს ნულისაგან განსხვავებული კოეფიციენტით (შემდგომში მოხსენიებული, როგორც გადამწყვეტი ელემენტი) და პირველი განტოლების გაყოფა ამ კოეფიციენტზე, პირველი განტოლების გამოყენებით, ეს უცნობი. გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან პირველის გარდა. მეორე განტოლებაში უცნობის არჩევა ნულისაგან განსხვავებული კოეფიციენტით და მეორე განტოლების მასზე გაყოფა, მეორის გამოყენებით ამოიღებს სხვა უცნობებს ყველა განტოლებიდან მეორეს გარდა და ა.შ., ე.ი. ერთი განტოლების გამოყენებით, ისინი მთლიანად აღმოფხვრის ერთ უცნობს. პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ ყველა განტოლება არ იქნება გამოყენებული.

როგორც ცნობილია, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებს შეიძლება ჰქონდეთ ერთი ამონახსნი, ბევრი ამონახსნები, ან სისტემები შეიძლება იყოს არათანმიმდევრული. სისტემის მატრიცის ელემენტების ელემენტარული გარდაქმნებით, ეს შემთხვევები ვლინდება შემდეგნაირად:

1. აღმოფხვრის პროცესში სისტემის პირველი განტოლების მარცხენა მხარე ხდება ნული, ხოლო მარჯვენა მხარე უდრის ნულისაგან განსხვავებულ რაღაც რიცხვს. იმათ. 02+=bc0.

ეს ნიშნავს, რომ სისტემას არ აქვს ამონახსნები, რადგან I-ე განტოლება არ შეიძლება დაკმაყოფილდეს უცნობის ნებისმიერი მნიშვნელობით;

2. პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები ქრება. ეს ნიშნავს, რომ პირველი განტოლება არის სხვების წრფივი კომბინაცია; სისტემისთვის ნაპოვნი ნებისმიერი გამოსავალი აკმაყოფილებს მას, ამიტომ მისი გაუქმება შესაძლებელია. სისტემაში უცნობის რიცხვი მეტია განტოლებათა რაოდენობაზე და, შესაბამისად, ასეთ სისტემას ბევრი ამონახსნები აქვს;

3. მას შემდეგ რაც გამოყენებული იქნება ყველა განტოლება უცნობის აღმოსაფხვრელად, მიიღება სისტემის ამონახსნი.

ამრიგად, იორდანე-გაუსის ტრანსფორმაციის საბოლოო მიზანი არის მოცემული წრფივი სისტემიდან მიღება

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

აქ x1, x2, ..., xn არის უცნობი, რომელიც უნდა განისაზღვროს. a11, a12, …, amn - სისტემის კოეფიციენტები - და b1, b2, ... bm - თავისუფალი ტერმინები - ვარაუდობენ, რომ ცნობილია. სისტემის კოეფიციენტების (aij) ინდექსებში მითითებულია (i) და უცნობი (j) განტოლების რიცხვები, რომლებზეც დგას ეს კოეფიციენტი, შესაბამისად.

სისტემა (1) ეწოდება ერთგვაროვანს, თუ მისი ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია (b1 = b2 = … = bm = 0), წინააღმდეგ შემთხვევაში მას უწოდებენ არაჰომოგენურს.

სისტემა (1) ეწოდება კვადრატულს, თუ განტოლებების რიცხვი m უდრის უცნობის n რიცხვს.

(1) სისტემის ამონახსნი არის n რიცხვების სიმრავლე c1, c2, …, cn, ისე, რომ თითოეული ci-ს ნაცვლად xi-ს (1) სისტემაში ჩანაცვლება ყველა მის განტოლებას იდენტურებად აქცევს.

სისტემა (1) ეწოდება თანმიმდევრულს, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი და არათანმიმდევრული, თუ მას არ აქვს რაიმე ამონახსნი.

(1) ტიპის ერთობლივ სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ან მეტი გამოსავალი.

(1) ტიპის ერთობლივი სისტემის c1(1), c2(1), …, cn(1) და c1(2), c2(2), …, cn(2) ხსნარებს უწოდებენ განსხვავებულს, თუ მინიმუმ ერთი დარღვეულია თანასწორობა:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

(1) ფორმის ერთდროულ სისტემას ეწოდება განსაზღვრული, თუ მას აქვს უნიკალური ამონახსნი; თუ მას აქვს მინიმუმ ორი განსხვავებული ამონახსნი, მაშინ მას განუსაზღვრელი ეწოდება. თუ უცნობზე მეტი განტოლებაა, მას ზედმეტად განსაზღვრული ეწოდება.

მოდით ამოხსნათ განტოლებების შემდეგი სისტემა:

მოდით დავწეროთ 3x4 მატრიცის სახით, სადაც ბოლო სვეტი თავისუფალი წევრია:

მოდით გავაკეთოთ შემდეგი:

· მე-2 სტრიქონს დაამატეთ: -4 * სტრიქონი 1.

· მე-3 სტრიქონს დაამატეთ: -9 * სტრიქონი 1.

· მე-3 სტრიქონს დაამატეთ: -3 * სტრიქონი 2.

· გაყავით ხაზი 2 -2-ზე

· 1 სტრიქონს დაამატეთ: -1 * სტრიქონი 3.

· მე-2 სტრიქონს დაამატეთ: -3/2 * სტრიქონი 3.

· 1 სტრიქონს დაამატეთ: -1 * სტრიქონი 2.

მარჯვენა სვეტში ვიღებთ გამოსავალს:

.

ნიუტონის მეთოდში შეინიშნება დაახლოების პროცესის დაახლოების დაჩქარება. 5. ტანგენტის მეთოდი (ნიუტონის მეთოდი) ტანგენტის მეთოდი, რომელიც დაკავშირებულია ი. ნიუტონის სახელთან, განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტური რიცხვითი მეთოდია. მეთოდის იდეა ძალიან მარტივია. ავიღოთ x0 წარმოებული წერტილი და მასში ჩავწეროთ f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება: y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) გრაფიკები...

გადაწყვეტილებები რიცხვითი გამოთვლის მეთოდებიდან. განტოლების ფესვების დასადგენად არ არის საჭირო აბელის, გალუას, ტყუილის და სხვა ჯგუფების თეორიების ცოდნა და სპეციალური მათემატიკური ტერმინოლოგიის გამოყენება: რგოლები, ველები, იდეალები, იზომორფიზმი და ა.შ. n-ე ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის უნარი და რთული რიცხვიდან ფესვების ამოღება. ფესვების დადგენა შესაძლებელია ...

ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მათემატიკა და შემუშავებული სწავლების მეთოდოლოგიის ეფექტურობის ტესტირება. მუშაობის ეტაპები: 1. ფაკულტატური კურსის შემუშავება თემაზე: „ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას“ მოსწავლეებთან კლასებში გაღრმავებული მათემატიკით. 2. შემუშავებული არჩევითი კურსის ჩატარება. 3. დიაგნოსტიკური ტესტის ჩატარება...

... „ივლენს თავს“ მხოლოდ ტრანსფორმაციის პროცესში. ჩვენ განვიხილავთ ახალი ცვლადის აშკარაობას და „დაფარულობას“ კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით ამ ნაშრომის მეორე თავში. 2. უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობები ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას ამ თავში განვიხილავთ ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობებს სტანდარტულ და არასტანდარტულ...

იგი იწერება გაფართოებული მატრიცის სახით, ე.ი. თავისუფალ წევრთა სვეტში მოთავსებულია ერთ მატრიცაში უცნობის კოეფიციენტებით. ალგორითმი შედგება საწყისი მატრიცის, რომელიც ახასიათებს წრფივი განტოლებათა სისტემას, იდენტურობის მატრიცამდე შემცირებას ეკვივალენტური გარდაქმნების გზით (მატრიცის მწკრივის გამრავლება მუდმივზე და დამატება სხვა მატრიცის მწკრივთან). 1/a[i][i] გამოიყენება როგორც მუდმივი, ე.ი. დიაგონალური ელემენტის ორმხრივი. ბუნებრივია, რიგ შემთხვევებში წარმოიქმნება პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია ნულზე გაყოფასთან, რომლებიც წყდება რიგებისა და სვეტების გადალაგებით:

მთელი ალგორითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 10 პუნქტში:

ჩვენ ვირჩევთ მატრიცის პირველ რიგს, როგორც საცნობარო მწკრივს.

თუ საცნობარო მწკრივის ელემენტი, რომლის ინდექსი ტოლია საცნობარო მწკრივის რიცხვის, ნულის ტოლია, მაშინ ჩვენ ვცვლით მთელ საცნობარო მწკრივს ქვემოდან პირველ რიგში, რომლის სვეტს არ აქვს ნული. .

ჩვენ ვყოფთ საცნობარო მწკრივის ყველა ელემენტს ამ მწკრივის პირველ არანულოვან ელემენტზე მარცხნიდან.

ქვემოთ დარჩენილი სტრიქონებიდან გამოკლებულია საცნობარო მწკრივი, გამრავლებული იმ ელემენტზე, რომლის ინდექსი უდრის საცნობარო მწკრივის რაოდენობას.

აირჩიეთ შემდეგი ხაზი, როგორც მითითების ხაზი.

გაიმეორეთ ნაბიჯები 2-5, სანამ საცნობარო ხაზის ნომერი არ გადააჭარბებს ხაზების რაოდენობას.

ჩვენ ვირჩევთ ბოლო ხაზს, როგორც მითითების ხაზს.

გამოვაკლოთ საორიენტაციო ხაზის ზემოთ თითოეულ სტრიქონს, გამრავლებული ამ ხაზის ელემენტზე, ინდექსით, რომელიც ტოლია საცნობარო ხაზის რაოდენობას.

აირჩიეთ ზემოთ მოცემული ხაზი, როგორც საცნობარო ხაზი.

გაიმეორეთ 8-9 მანამ, სანამ საცნობარო ხაზის რაოდენობა არ იქნება პირველი ხაზის რიცხვზე ნაკლები.

გაანგარიშების მაგალითი 1

მოდით არსებობდეს განტოლებათა სისტემა:

მოდით დავწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:

და შეასრულოს მისი სიმების ელემენტარული გარდაქმნები.

ამისთვის გავამრავლოთ პირველი სტრიქონი 1-ზე და გამოვაკლოთ მეორე სტრიქონს; შემდეგ გავამრავლოთ პირველი სტრიქონი 2-ზე და გამოვაკლოთ მესამე სტრიქონს.

შედეგად, ჩვენ მოვხსნით ცვლადსx 1 ყველა განტოლებიდან პირველის გარდა. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა გამოვაკლოთ მე-3 სტრიქონი 2 გამრავლებული 3-ზე:

ახლა ჩვენ გამოვაკლებთ 1 სტრიქონს პირველ სტრიქონს 3 და შემდეგ სტრიქონს 2:

გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ განტოლებათა სისტემას:

აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს შემდეგი ამონახსნი:

x1 = 1, x2 = 3, x3 = -1

გაანგარიშების მაგალითი 2

მაგალითად, გადავწყვიტოთ მატრიცის სახით წარმოდგენილი განტოლებათა სისტემა (ცხრილი 1) გაუს-იორდანიის მეთოდით.

პირველი რიგის 3-ზე გაყოფით (პირველი რიგის ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე), მივიღებთ:

	4/3		1/3

გავამრავლოთ პირველი სტრიქონი 1-ზე და გამოვაკლოთ მეორე სტრიქონს. გავამრავლოთ პირველი სტრიქონი 6-ზე და გამოვაკლოთ მესამე სტრიქონს. ჩვენ ვიღებთ:

	4/3		1/3
	17/3		17/3

პირველ სვეტში დიაგონალის გარდა ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მოდი ვიზრუნოთ მეორე სვეტზე, ამისთვის ვირჩევთ მეორე სტრიქონს მითითებად. მეორე გაყავით 17/3-ზე:

	4/3		1/3
		3 /17

გაამრავლეთ სტრიქონი 2 -6-ზე და გამოვაკლოთ მესამე სტრიქონს:

	4/3		1/3
		3 /17
		3 3 /17

ახლა მესამე ხაზი არის დამხმარე ხაზი, გაყავით იგი-33/17:

	4/3		1/3
		3 /17
			17/3

ჩვენ ვამრავლებთ მითითების ხაზს 3/17-ზე და ვაკლებთ მას მეორეს. გავამრავლოთ მესამე სტრიქონი 1-ზე და გამოვაკლოთ პირველს

	4/3
			17/3

მიიღება სამკუთხა მატრიცა, ალგორითმი იცვლება(რომლის დროსაც ვიღებთ პირადობის მატრიცას). მეორე ხაზი ხდება საცნობარო ხაზი. გავამრავლოთ მესამე სტრიქონი 4/3-ზე და გამოვაკლოთ პირველს:

			10/3
			17/3

მატრიცის ბოლო სვეტი არის განტოლებების სისტემის გამოსავალი.

გაუს-იორდანიის მეთოდი წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი და ფართოდ გამოყენებული მეთოდია. მატრიცულ მეთოდს და კრამერის მეთოდს აქვს მინუსი, რომ ისინი არ იძლევიან პასუხს იმ შემთხვევაში, როდესაც detA = 0, მაგრამ განსაზღვრავენ მხოლოდ უნიკალურ ამონახსნებს, როდესაც detA არ არის 0-ის ტოლი. მკვეთრად იზრდება განტოლებების რაოდენობის მატებასთან ერთად. გაუსის მეთოდი პრაქტიკულად თავისუფალია ამ ხარვეზებისგან.

გაუსის მეთოდის ალგორითმი

1. წრფივი განტოლებათა სისტემის საფუძველზე ვადგენთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას;
2. ჩვენ ვამცირებთ მატრიცას "სამკუთხა" ფორმამდე;
3. განვსაზღვრავთ ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგებს და ამის საფუძველზე ვაკეთებთ დასკვნას სისტემის თავსებადობისა და შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რაოდენობის შესახებ;
4. თუ სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი, ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას და ვპოულობთ მას, თუ სისტემას აქვს მრავალი ამონახსნი: ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს ცვლადების საშუალებით, რომლებსაც შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები;

გაუსის მეთოდის მე-2 საფეხურის კომენტარი.სამკუთხა მატრიცა არის მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

ორიგინალური გაფართოებული მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე დასაყვანად, ჩვენ ვიყენებთ განმსაზღვრელთა შემდეგ ორ თვისებას:

თვისება 1. განმსაზღვრელი არ იცვლის მნიშვნელობას, თუ პარალელური მწკრივის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტები გამრავლებული თვითნებურ იმავე რიცხვზე დაემატება მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტს.

თვისება 2. როდესაც მატრიცის ნებისმიერი ორი სვეტი ან მწკრივი გადალაგდება, მისი განმსაზღვრელი ცვლის საპირისპირო ნიშანს და დეტერმინანტის აბსოლუტური მნიშვნელობა უცვლელი რჩება.

დეტერმინანტების ამ თვისებებზე დაყრდნობით, ჩვენ შევქმნით ალგორითმს მატრიცის სამკუთხა ფორმად გადაქცევისთვის:

1. განვიხილოთ ხაზი i (დაწყებული პირველიდან). თუ ელემენტი a i უდრის ნულს, შეცვალეთ მატრიცის i-ე და i+1-ე რიგები. დეტერმინანტის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება. თუ 1 1 განსხვავდება ნულიდან, გადადით შემდეგ ეტაპზე;
2. თითოეული j სტრიქონისთვის, i-th-ის ქვემოთ, ვპოულობთ კოეფიციენტის მნიშვნელობას K j =a j i /a i i;
3. ჩვენ ხელახლა ვიანგარიშებთ ყველა j მწკრივის ელემენტებს, რომლებიც მდებარეობს i მიმდინარე მწკრივის ქვემოთ, შესაბამისი კოეფიციენტების გამოყენებით ფორმულის მიხედვით: a j k new=a j k -K j *a i k ; რის შემდეგაც, ვუბრუნდებით ალგორითმის პირველ საფეხურს და განვიხილავთ შემდეგ ხაზს, სანამ არ მივიღებთ ხაზს i=n-1, სადაც n არის A მატრიცის განზომილება.
4. მიღებულ სამკუთხა მატრიცაში გამოვთვლით Pa i i მთავარი დიაგონალის ყველა ელემენტის ნამრავლს, რომელიც იქნება განმსაზღვრელი;

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მეთოდის არსი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად. ჩვენ უნდა გავაკეთოთ მატრიცის ყველა ელემენტი მთავარი დიაგონალის ნულის ქვემოთ. პირველ რიგში ვიღებთ ნულებს პირველ სვეტში. ამისთვის ჩვენ თანმიმდევრულად ვაკლებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებულ ჩვენ საჭირო რიცხვზე (ისე, რომ გამოკლებისას მივიღებთ ნულს სტრიქონის პირველ ელემენტში), ყველა ქვემდებარე ხაზს. შემდეგ იგივე ვაკეთებთ მეორე მწკრივს, რომ მივიღოთ ნულები მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვემოთ მეორე სვეტში. და ასე შემდეგ მანამ, სანამ არ მივიღებთ ბოლო ხაზს.