Равномерно непрерывные функции

Если функция непрерывна на каком-то интервале (запретном или открытом), то это, как мы уже знаем, означает, что для любой точки этого интервала при заранее заданном е> 0 существует такое д> 0, что из неравенства

х 0 - х< д

вытекает неравенство

f(x 0) - f(x) <

чтобы только точки х также находились в данном интервале.

Итак, понятно, что д зависит от е. Кроме того, для различных точек интервала при том же является число д может оказаться также разным, т.е. д зависит не только от е, но и от х 0 . Тогда принципиальное значение имеет тот факт, среди значений ддля разных точек интервала и при том же является наименьшее значение д, такого нет. В первом случае для данного е> 0 можно найти общее для всех точек интервала значения д и тогда говорят, что функция на интервале, что рассматривается е равномерно непрерывна.

Определениe. Функция называется равномерно непрерывной на данном промежутке, если, во-первых, она определена во всех точках этого промежутка, во-вторых, если справедливо такое условие: каждому произвольно малому е> 0 можно поставить в соответствие такое д> 0, из неравенства х 2 - х 1 < д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.

С определение равномерной непрерывности функции следует, что функция равномерно непрерывна на каком-то промежутке, непрерывна и в каждой точке этого промежутка. Обратное утверждение, как показывает пример функции на пивинтервали (0, 1], не всегда справедливо.

Теорема Кантора (о равномерной непрерывности функции). Если функция непрерывна на сегменте [а, b], то она равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство. Пусть имеем сколь угодно малое число е > 0. Разделим сегмент [а, b] на конечное число m частей так, чтобы колебания заданной непрерывной на (а, b] функции на каждом из так добытых частей сегментов

[а, с 1 ], [с 1 , с 2 ], [с 2 , с 3 ],…….., [с i , с i+1 ], ……., [а, b],

было меньше чем. Поскольку частных сегментов является конечное число, то и длины их есть конечные числа, а потому среди них есть наименьшая, которую обозначим через д. Возьмем теперь на сегменте [а, b] любые две точки х 1 и х 2 так, чтобы расстояние между ними было меньше бы:

х 2 - х 1 < д (95)

Такие две точки могут находиться или на том же частном сегменте, или на смежных частных сегментах. В первом случае

f(x 2) - f(x 1) < , (96)

Во втором же случае, если обозначить общий конец смежных частных сегментов через с i , получим:

f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(с i)+ f(с i) - f(x 1)|?,

f(x 2) - f(x 1) < (97)

Итак, в первом случае из неравенства (95) вытекает неравенство (96), а во втором - из неравенства (95) вытекает неравенство (97). Теорему доказано.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число >0 такое, что существуют значения х 1 и х 2 такие, чтоf(x 1) - f(x 2)>, - любое число при условии, что х 1 и х 2 близки к нулю.

Замечание

Выбор δ в определении равномерной непрерывности зависит от ε , но не от x 1 ,x 2 .

Свойства

• Функция, равномерно непрерывная на множестве M , непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как при любом src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на Другой пример: функция

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

Для любого src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины такой, что разница значений функции f (x ) = x 2 на концах отрезка будет больше В частности, на отрезке разница значений функции стремится к

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Равномеpно темперированный звукоряд
• Равномерно темперированный звукоряд

Смотреть что такое "Равномерно непрерывная функция" в других словарях:

Непрерывная функция - Эта статья о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… … Википедия

НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ - одно из основных понятий математического анализа. Пусть действительная функция f определена на нек ром подмножестве Едействительных чисел, т. е. . Функция f наз. непрерывной в точке (или, подробнее, непрерывной в точке по множеству Е), если для… … Математическая энциклопедия

Абсолютно непрерывная функция - Функция называется абсолютно непрерывной функцией на конечном или бесконечном отрезке, если, такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов области определения функции … Википедия

РЕКУРРЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ - функция, являющаяся рекуррентной точкой сдвигов динамич. системы. Эквивалентное определение: функция, где S метрич. пространство, наз. рекуррентной, если она имеет предкомпактное множество значений, равномерно непрерывна и для всякой… … Математическая энциклопедия

Почти периодическая функция - функция, значения которой при добавлении к аргументу надлежащим образом выбранных постоянных чисел (почти периодов) приближённо повторяются. Более точно: непрерывная функция f (x), определённая для всех действительных значений х,… … Большая советская энциклопедия

ВЫБОРОЧНАЯ ФУНКЦИЯ - функция аргумента t, однозначно соответствующая каждому наблюдению случайного процесса; здесь множество элементарных событий. Часто Д используются эквивалентные В. ф. термины реализация, траектория. Случайный процесс характери зустся… … Математическая энциклопедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ - к а к о й л и б о с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы X функция действительного переменного х, принимающая при каждом хзначение, равное вероятности неравенства ХМатематическая энциклопедия

ОБОБЩЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - функция удовлетворяющая системе с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях исходная система записывается в виде Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного… … Математическая энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… … Математическая энциклопедия

Плюрисубгармоническая функция - Плюрисубгармноническая функция вещественнозначная функция, от комплексных переменных в области комплексного пространства, удовлетворяющая следующим условиям … Википедия

Функция $%f(x)$% называется непрерывной в точке $%x_0$%, если $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.

И в чем отличие от обычной непрерывности?>

Обычная (поточечная) непрерывность является локальным свойством функции. Это значит, что она выполняется в конкретной точке. Заметим, что определение непрерывности функции даётся именно в точке. При этом мы знаем, что есть функции, которые непрерывны не только в какой-то одной точке, но и на каком-то множестве (например, $%f(x)=\sin x$% непрерывна на $%\mathbb{R}$%). Это не отменяет локального характера непрерывности, то есть просто означает, что если мы будем в каждой отдельно взятой точке $%\mathbb{R}$% проверять $%\sin x$% на непрерывность, то функция ему будет удовлетворять в данной конкретной точке . Так как в каждой точке $%x_0$% множества $%\mathbb{R}$% условие непрерывности функции $%\sin x$% в точке $%x_0$% выполнено, то функцию называют непрерывной на этом множестве. При этом, когда мы изучали непрерывность функции в каждой отдельной точке, мы (при заданном $%\varepsilon$%) для этой точки брали $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. То есть для разных точек множества будут получаться (вообще говоря) разные дельты. Таким образом, наблюдается неравномерность свойства функции "быть непрерывной" по дельта: грубо говоря, в точке $%x_1$% функция непрерывна с одной дельтой, а в точке $%x_2$% - с другой дельтой.

Как понимать δ>0, если функция непрерывна, то по любому для любого эпсилон должна найтись дельта.>

Вы правильно заметили, что если функция непрерывна, то для любого эпсилон дельта найдётся. Однако на практике ситуация часто такая - Вам дана функция (например, $%y=3+x$%) и точка (например, $%x_0=2$%). Спрашивается, будет ли функция $%f$% непрерывной в точке $%x_0$%? Как это выяснить? Самый базовый способ - это проверить, выполнено ли определение непрерывности функции в точке. А именно, я буду Вам давать разные эпсилон ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% и так далее), а Вы мне будете подбирать такую дельту, зависящую от этого эпсилон и точки икс нулевое, что определение выполняется. Если после того, как я Вам перечислю все положительные эпсилон (это будет нелегко, но всё же), окажется, что Вы мне для каждого эпсилон такую дельту нашли, то мы согласимся, что функция в этой точке непрерывна. Если в какой-то момент я Вам скажу такое эпсилон (например, $%\varepsilon=1/1000$%), для которого Вы не сможете найти дельту такую, что определение выполняется, то функция не может быть непрерывной в этой точке (она в ней не удовлетворяет определению непрерывности).

Когда условие |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>

Я в этой Вашей цитате заменил равномерную непрерывность на обычную (такое ощущение, что Вам сначала надо с ней разобраться). Заметьте, что для того, чтобы признать функцию разрывной (не являющейся непрерывной), нужно, чтобы определение непрерывности (которое в начале сообщения) не выполнялось. Причём не какой-то кусок этого определения, а оно целиком. Вместо определения в этом случае должно выполняться его логическое отрицание . Мнемоническое правило составления отрицания такое: нужно все кванторы "существует" (значок $%\exists$%) и "для любого" (значок $%\forall$%) заменить на противоположные (то есть $%\exists$% заменить на $%\forall$%, а $%\forall$% заменить на $%\exists$%). Также нужно сменить знак последнего неравенства на противоположный (в данном случае $%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Функция $%f(x)$% является разрывной (т.е. не является непрерывной) в точке $%x_0$%, если $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x-x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Отсюда видим, что Ваш критерий отсутствия непрерывности (условие $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Чтобы в этом лучше разобраться, полезно самостоятельно разобрать пару-тройку базовых примеров на эту тему (например, исследовать какую-нибудь совсем простую функцию на непрерывность в точке $%x_0$% и если она в ней непрерывна, то явно указать $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а если разрывна, то указать $%\varepsilon$%, для которого выполняется отрицание и т.п.). После того, как Вы станете "на ты" с определением непрерывности и его отрицанием (вообще и на $%\varepsilon$%-$%\delta$% языке в частности), переходить к равномерной непрерывности будет намного легче. И, само собой, нужно прочитать про непрерывность и равномерную непрерывность в учебнике анализа. По ссылке, которую Вы привели, находятся какие-то материалы, больше напоминающие шпору к экзамену, где равномерная непрерывность объясняется в одну строчку. Как можно в таком формате осваивать это (и другие понятия) в математике - мне совершенно неясно.
P.S. Просьба к другим участникам проверить данный ответ (на предмет того, правильно ли я всё изложил), так как он носит методический характер.