Переводчик из 16 в 2 систему счисления. Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

Пример.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Тип урока: урок – закрепление изученного. (обобщающий)

Вид: комбинированный урок.

Цель: Обобщить и применить для решения задачи знания о способах и методах переводов чисел. Развитие познавательного интереса, творческой активности учащихся.

Задачи урока:

Обучающая: углубление, обобщение и систематизация приемов перевода чисел из одной в другую системы счисления.
Воспитательная : развитие познавательного интереса, логического мышления.
Развивающая : развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности.

Ход урока:

1. Организационный момент (3 мин).
2. Проверка домашнего задания:

а) Теория: Калькулятор (3 мин);
б) Практика: проверка д/з за ПК (7 мин).

3. Принцип “8-2-16”

а) теория: суть принципа, примеры (10 мин);
б) практика: выполнить практическое задание (по карточкам) (15 мин).

4. Запись домашнего задания (2 мин).
5. Подведение итогов.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания:

а) Пройти по рядам и посмотреть (поверхностно – есть или нет) записи решения упражнений. Предложить ученикам проверить домашние задания самостоятельно с помощью ПК. Для этого мы используем стандартное приложение ОС Windows – Калькулятор.

Запись на доске и в тетради:

Запуск: Пуск – Программы – Стандартные – Калькулятор

Команда: Вид – Инженерный.

С помощью этой программы можно переводить числа, записанные в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах координат. Имеют обозначения:

Hex (Hexadecimal) - шестнадцатеричная

Dec (Decimal) - десятичная

Oct (Octal) - восьмеричная

Bin (Binary) – двоичная.

Рисунок 1

Алгоритм перевода чисел:

Например, перевести число 19F 16 =X 10 .

1. Установить переключатель в положение Hex (щелкнув по нему левой кнопкой мыши).
2. Набрать число с помощью мышки или клавиатуры (латинские буквы).
3. Установить переключатель в положение Dec – получим ответ.
4. Проверить правильность в тетради и поставить +.

б) Ученики садятся за компьютеры и выполняют самопроверку.

1. Мы научились переводить числа из одной системы в другую (письменно или с помощью программы Калькулятор), а теперь давайте рассмотрим способы переводов, которые не требуют от нас каких-либо вычислений. Назовем его “Принцип 8-2-16”.

а) Раздаю на стол карточки с таблицами:

В восьмеричной системе счисления восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Перевод из этой системы в двоичную достаточно прост. Достаточно составить таблицу триад (по три цифры).

При переводе восьмеричного числа в двоичное заменяют каждую восьмеричную цифру на соответствующую триаду из таблицы (см примеры в карточке).

Для обратной операции, то есть для перевода из двоичной в восьмеричную систему, двоичное число разбивают на триады (справа налево), потом заменяют каждую группу одной восьмеричной цифрой.

Аналогично производим перевод из шестнадцатеричной в двоичную системы и наоборот.

б) Предлагаю ребятам для закрепления посостязаться друг с другом “Кто быстрее”, кроме скорости здесь большую роль играет внимательность и аккуратность.

• Давайте напишем числа в восьмеричной системе счисления, чтобы их было 17: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20 (в данном числовом ряде после числа 7 происходит превышения разряда так как числа 8 не существует мы переходи из разряда единиц в разряд десятков и так далее). Нам не случайно понадобились эти числа, потому что мы рассмотрим координатную плоскость для восьмеричной системы счисления. Вам будут даны координаты рисунка в двоичной системе координат, а рисунок нужно выполнить в восьмеричной системе. Точки соединять по порядку их следования.
• Раздаю карточки с координатами (2-4 варианта) и первую точку (произвольную) показывают на примере (на доске: расписав координаты и показав на координатной плоскости). Примеры таблиц с координатами:

Вариант 1.

Вариант 2.

• Первые 2-3 человека, выполнившие задание правильно (рисунок совпадает с оригиналом) получают оценку “5”.

Примеры рисунков – ответов:

/p>

Рисунок 2

Рисунок 3

1. В качестве домашнего задания прошу нарисовать рисунок в шестнадцатеричной системе счисления, записать координаты в таблицу в двоичной системе.
2. Итак мы рассмотрели несколько способ переводов чисел: общие и частные. Одни из них требовали от Вас умения решать задачи математическими методами, другие с привлечения компьютера, третьи с применением триад и тетрад. Таким образом, мы с вами повторили тему “Переводы чисел в различных системах счисления” и подготовились к контрольной работе. Удачи. До свидания!

Используемая литература:

1. Энциклопедия для детей. Том 22. Информатика/Глав. ред. Е. А. Хлебалина, вед. науч. ред. А.Г.Леонов.- М.: Аванта+, 2003. – 624 с.: ил.
2. Ефимова О., Морозов В., Угринович Н. Курс компьютерных технологий с основами информатики. Учебное пособие для старших классов. –М.: ООО “Издательство АСТ”; ABF, 2000. – 432 с.: ил.

Шестнадцатеричная система счисления (также — шестнадцатеричный код) является позиционной системой счисления с целочисленным основанием 16. Иногда в литературе также используется термин hex (произносится «хекс», сокращение от англ. hexadecimal). Цифрами данной системы счисления принято использовать арабские цифры 0—9, а также первые символы латинского алфавита A—F. Буквы соответствуют следующим десятичным значениями:

• * A —10;
• * B —11;
• * C —12;
• * D —13;
• * E — 14;
• * F — 15.

Таким образом, десять арабских цифр вкупе с шестью латинскими буквами и составляют шестнадцать цифр системы.

Кстати, на нашем сайте вы можете перевести любой текст в десятичный, шестнадцатеричный, двоичный код воспользовавшись Калькулятором кодов онлайн .

Применение . Шестнадцатеричный код широко применяется в низкоуровневом программировании, а также в различных компьютерных справочных документах. Популярность системы обоснована архитектурными решениями современных компьютеров: в них в качестве минимальной единицы информации установлен байт (состоящий из восьми бит) — а значение байта удобно записывать с помощью двух шестнадцатеричных цифр. Значение байта может ранжироваться с #00 до #FF (от 0 до 255 в десятичной записи) — другими словами, используя шестнадцатеричный код , можно записать любое состояние байта, при этом не остаётся «лишних» не используемых в записи цифр.

В кодировке Юникод для записи номера символа используется четыре шестнадцатеричных цифры. Запись цвета стандарта RGB (Red, Green, Blue — красный, зелёный, синий) также часто использует шестнадцатеричный код (например, #FF0000 — запись ярко-красного цвета).

Способ записи шестнадцатеричного кода.

Математический способ записи . В математической записи основание системы записывают в десятичном виде в нижнем индексе справа от числа. Десятичную запись числа 3032 можно записать как 3032 10 , в шестнадцатеричной системе данное число будет иметь запись BD8 16 .

В синтаксисе языков программирования . Синтаксис различных языков программирования по-разному устанавливает формат записи числа, использующего шестнадцатеричный код :

* В синтаксисе некоторых разновидностей языка ассемблера используется латинская буква «h», которая ставится справа от числа, например: 20Dh. Если число начинается с латинской буквы, то перед ним ставится ноль, например: 0A0Bh. Это сделано для того, чтобы отличать от констант значения, использующие шестнадцатеричный код ;

* В прочих разновидностях ассемблера, а также в Pascal (и его разновидностях, таких как Delphi) и некоторых диалектах Basic, применяют префикс «$»: $A15;

* В языке разметки HTML, а также в каскадных файлах CSS, для указания цвета в формате RGB с шестнадцатеричной системой записи, используется префикс «#»: #00DC00.

Как перевести шестнадцатеричный код в другую систему?

Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную. Для совершения операции перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную, требуется представить исходное число как сумму произведений цифр в разрядах шестнадцатеричного числа на степень основания.

Например, требуется выполнить перевод шестнадцатеричного числа A14: в нём три цифры. Используя правило, запишем его в виде суммы степеней с основанием 16:

A14 16 = 10.16 2 + 1.16 1 + 4.16 0 = 10.256 + 1.16 + 4.1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему и наоборот.

Для перевода используется таблица тетрад. Чтобы выполнить перевод числа из двоичной в десятичную систему, необходимо произвести разбиение его на отдельные тетрады справа налево, после чего, используя таблицу, выполнить замену каждой тетрады на соответствующую шестнадцатеричную цифру. При этом, если количество цифр не кратно четырём, то необходимо добавить соответствующее количество нулей справа от числа, для того, чтобы общее число двоичных цифр стало кратно четырём.

Таблица тетрад для перевода.

Для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную, необходимо выполнить обратную операцию: выполнить замену каждой цифры на тетраду из таблицы.

Пример перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную : A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Пример перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную : 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

В этом примере количество цифр в исходном двоичном числе не было равным четырём (9), поэтому были добавлены незначащие нули — общее число цифр стало 12.

Автоматический перевод . Быстрый перевод из шестнадцатеричной системы счисления в одну из трёх популярных систем (двоичную, восьмеричную и десятичную), как и обратный перевод, можно выполнить, используя стандартный калькулятор из комплекта поставки ОС Windows. Откройте калькулятор, выберите в меню Вид -> Программист. В данном режиме можно устанавливать систему счисления, используемую в данный момент (см. меню слева: Hex, Dec, Oct, Bin). При этом изменение текущей системы счисления автоматически производит перевод.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Возникли какие-то трудности и недопонимания с преобразованием чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления? Записывайтесь ко мне на индивидуальные уроки по информатике и ИКТ. На своих частных уроках мы с учениками разбираем не только теоретическую часть, но также решаем колоссальное количество различных тематических упражнений.

Нужно знать, что такое двоичная или бинарная система счисления

Прежде чем размышлять о том, как перевести число из 2 в 16, необходимо хорошо понимать, что собою представляют числа в двоичной системе счисления. Напомню, что алфавит бинарной системы счисления состоит из двух допустимых элементов – 0 и 1 . Это означает, что абсолютно любое число, записанное в двоичном виде, будет состоять из набора нулей и единиц. Вот примеры чисел, записанных в бинарном представлении: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Нужно знать, что такое шестнадцатеричная система счисления

С бинарной системой мы разобрались, вспомнили базовые моменты, сейчас поговорим о 16-ричной системе. Алфавит 16-ричной системы счисления состоит из шестнадцати различных знаков: 10 арабских цифр (от 0 до 9) и 6 первых заглавных латинских букв (от "А" до "F"). Это означает, что абсолютно любое число, записанное в шестнадцатеричном виде, будет состоять из знаков вышеприведенного алфавита. Вот примеры чисел, записанных в 16-ричном представлении:

Поговорим об алгоритме преобразования числа из 2-ной в 16-ричную систему счисления

Нам потребуется в обязательном порядке рассмотреть кодировочную таблицу Тетрад. Без применения данной таблицы будет довольно затруднительно оперативно осуществлять перевод чисел из 2 в 16 систему.

Назначение кодировочной таблицы Тетрад: однозначно сопоставить символы двоичной системы счисления и 16-ричной системы счисления.

Таблица Тетрад имеет следующую структуру:

Допустим нам требуется преобразовать число 101011111001010 2 в 16-ричную систему. В первую очередь необходимо исходный бинарный код разбить на группы по четыре разряда, причем, что очень важно, разбиение в обязательном порядке следует начинать справа налево.

101 . 0111 . 1100 . 1010

После разбиения мы получили четыре группы: 101, 0111, 1100 и 1010. Особого внимания требует самый левый сегмент, то есть сегмент 101. Как видно, его длина составляет 3 разряда, а необходимо, чтобы его длина равнялась четырем, следовательно, дополним данный сегмент ведущим незначащим нулем:

101 -> 0 101.

Вы скажите, а собственно на каком основании мы дописываем слева от числа какой-то 0? Все дело в том, что добавление незначащих нулей не оказывает никакого влияния на значение исходного числа. Следовательно, мы имеем полное право дописать слева от бинарного числа не только один ноль, а в принципе любое количество нулей и получить число нужной длины.

На заключительном этапе преобразования необходимо каждую из полученных бинарных групп перевести в соответствующее значение по кодировочной таблице Тетрад.

101011111001010 2 = 57СА 16

А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимединым решением, в котором показано как преобразуется из бинарного состояния в 16-ричное состояние:

Краткие выводы

В данной небольшой статье мы разобрали тему «Системы счисления: как перевести из 2 в 16 ». Если у вас остались какие-либо вопросы, недопонимания, то звоните и записывайтесь на мои индивидуальные уроки по информатике и программированию. Я предложу вам решить не один десяток подобных упражнений и у вас не останется ни одного вопроса. Вообще, системы счисления – чрезвычайно важная тема, которая образует фундамент, используемый на протяжении всего курса .