Дискретные вейвлет-преобразования.

6.3.3.1. Общие сведения о вейвлет-преобразованиях.

Вейвлетное преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье.

Вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT). DWT используется для преобразований и кодирования сигналов, CWT – для анализа сигналов.

В вейвлет-анализе роль базисных функций играют функции особого рода, называемые вейвлетами. Термин «вейвлет» (wavelet) в переводе с английского означает «маленькая (короткая) волна». Вейвлеты – это обобщенное название семейств дтематических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) функции посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени.

Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте.

Отличительной особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно использовать семейства функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности. Соответственно, исследователь имеет возможность гибкого выбора между ними и применения тех вейвлетных функций, которые наиболее эффективно решают поставленные задачи.

Основная область применения вейвлетных преобразований – анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени, когда результаты анализа должны содержать не только частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения о локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала.

На рисунке 3.1 анализируемый сигнал состоит из двух модулированных деесианов. Преобразование вейвлетом Морлета четко показывает их пространственную и частотную локализацию, в то время как спектр Фурье дает только частотную локализацию.

Одна из главных и особенно плодотворных идей вейвлетного представления сигналов заключается в разделении функций приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую – грубую, с достаточно медленной временной динамикой изменений, и детализирующую – с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.

Рисунок

Рисунок 3.1 – вейвлет-преобразование сигнала

6.3.3.2. Базисные функции вейвлет-преобразований.

Вейвлеты имеют вид коротких волновых пакетов с нулевым средним дееюнем, локализованных по оси аргументов, инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования. По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени.

Базисная функция вейвлет представляет собой некоторое «короткое» колебание. Причем понятие частоты спектрального анализа заменено масштабом, и для перекрытия «короткими волнами» всей временной оси введен сдвиг функций во времени. Базис вейвлетов – это временные функции типа:

, (3.1)

где b – сдвиг;

а – масштаб.

Функция должна иметь нулевую площадь. Фурье-преобразование таких функций равно нулю на нулевой частоте и имеет вид полосового фильтра. Различные значениях масштабного параметра "a" это соответствуют набору полосовых фильтров. Семейства вейвлетов во временной или частотной области используются для представления сигналов и функций в виде суперпозиций вейвлетов на разных масштабных уровнях декомпозиции (разложения) сигналов.

Следующая функция

не зависит от параметров и . Вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в пространстве:

.

На практике, в качестве базовой функции часто используют функцию

называемую мексиканской шляпой.

6.3.3.3. Непрерывное вейвлет-преобразование.

Пусть имеется функция и некоторая функция - базисная функция. Непрерывное вейвлет-преобразование описывается выражением вида:

. (3.2)

Если базисная функция описывается выражением:

,

то в результате имеется обычное преобразование Фурье (в этом случае параметр не используется).

Для перекрытия функцией вейвлета всей временной оси пространства используется операция сдвига (смещения по временной оси): , где значение b для НВП является величиной непрерывной. Для перекрытия всего частотного диапазона используется операция временного масштабирования вейвлета с непрерывным изменением независимой переменной: . Таким образом, путем сдвига по независимой переменной (t-b) вейвлет имеет возможность перемещаться по всей числовой оси произвольного сигнала, а путем изменения масштабной переменной "а" (в фиксированной точке (t-b) оси) «просматривать» частотный спектр сигнала по определенному интервалу окрестностей этой точки.

Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной финитной функции – вейвлета. При этом переменная "a" определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная "b" – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого повторяет временную шкалу анализируемого сигнала.

Понятие масштаба ВП имеет аналогию с масштабом географических карт. Большие значения масштаба соответствуют глобальному представлению сигнала, а низкие значения масштаба позволяют различить детали. В терминах частоты низкие частоты соответствуют глобальной информации о сигнале, а высокие частоты – детальной информации и особенностям, которые имеют малую протяженность, т.е. масштаб вейвлета, как единица шкалы частотно-временного представления сигналов, обратен частоте. Масштабирование, как математическая операция, расширяет или сжимает сигнал. Большие значения масштабов соответствуют расширениям сигнала, а малые значения – сжатым версиям. В определении вейвлета коэффициент масштаба а стоит в знаменателе. Соответственно, а > 1 расширяет сигнал, а < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Дискретное вейвлет-преобразование.

В принципе, при обработке данных на ПК может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования с заданием дискретных значений параметров (a, b) вейвлетов с произвольным шагом a и b. В результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для реконструкции сигналов.

Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) обеспечивает достаточно информации, как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти. ДВП оперирует с дискретными значениями параметров а и b , которые задаются, как правило, в виде степенных функций:

,

,

где ;

Целые числа;

Параметр масштаба;

Параметр сдвига.

Базис пространства в дискретном представлении:

Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования:

. (3.5)

Значение "a" может быть произвольным, но обычно принимается равным 2, при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием . Для диадного преобразования разработан быстрый алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе массивов цифровых данных.

Обратное дискретное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства:

. (3.6)

Число использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту m задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень (m = 0) обычно принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т.е. сам сигнал, а последующие уровни (m < 0) образуют ниспадающее вейвлет-дерево . В программном обеспечении вычислений для исключения использования отрицательной нумерации по m знак "минус" обычно переносится непосредственно в следующее представление базисных функций:

6.3.3.5. Частотно-временная локализация вейвлет-анализа.

Реальные сигналы, как правило, конечны. Частотный спектр сигналов обратно пропорционален их длительности. Соответственно, достаточно точный низкочастотный анализ сигнала должен производиться на больших интервалах его задания, а высокочастотный – на малых. Если частотный состав сигнала претерпевает существенные изменения на интервале его задания, то преобразование Фурье дает только усредненные данные частотного состава сигнала с постоянным частотным разрешением. Определенная частотно-временная локализация анализа создается дееюниием оконного преобразования Фурье, что дает семейства частотных спектров, локализованных во времени, но в пределах постоянной ширины окна оконной функции, а, следовательно, также с постоянным значением и частотного, и временного разрешения.

В отличие от оконного преобразования Фурье, вейвлет-преобразование, при аналогичных дискретных значениях сдвигов b, дает семейства спектров масштабных коэффициентов а сжатия-растяжения:

. (3.8)

Если считать, что каждый вейвлет имеет определенную «ширину» своего временного окна, которому соответствует определенная «средняя» частота спектрального образа вейвлета, обратная его масштабному коэффициенту а , то семейства масштабных коэффициентов вейвлет-преобразования можно считать аналогичными семействам частотных спектров оконного преобразования Фурье, но с одним принципиальным отличием. Масштабные коэффициенты изменяют «ширину» вейвлетов и, соответственно, «среднюю» частоту их фурье-образов, а, следовательно, каждой частоте соответствует своя длительность временного окна анализа, и наоборот. Так малые значения параметра а , характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения – низким частотам. За счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр b ) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. Многоразмерное временное окно вейвлет-преобразования адаптировано для оптимального выявления и низкочастотных, и высокочастотных характеристики сигналов.

Таким образом, на высоких частотах лучше разрешение по времени, а на низких – по частоте. Для высокочастотной компоненты сигнала мы можем точнее указать ее временную позицию, а для низкочастотной – ее значение частоты.

Высокочастотная (мелкомасштабная) информация вычисляется на основе длых интервалов сигналов, а низкочастотная – на основе больших. Поскольку анализируемые сигналы всегда конечны, то при вычислении коэффициентов на границах задания сигнала область достоверности выходит за пределы сигнала, и для уменьшения погрешности вычислений сигнал дополняется заданием начальных и конечных условий.

6.3.3.6. Достоинства и недостатки вейвлет-анализа.

К достоинствам вейвлет-анализа можно отнести:

Вейвлетные преобразования обладают всеми достоинствами преобразований Фурье;

Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени;

При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес;

Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач.

Недостатком вейвлетных преобразований является их относительная сложность.

6.3.3.7. Свойства вейвлет-анализа.

Получение объективной информации о сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций х(t) будем применять индекс TW.

Линейность .

TW[α·x 1 (t)+β·x 2 (t)] = α·TW+β·TW.

Инвариантность относительно сдвига . Сдвиг сигнала во времени на t 0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t 0:

TW = X(a, b-t o).

Инвариантность относительно масштабирования . Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала:

TW = (1/а о)·X(a/а о,b/а o).

Дифференцирование .

D n {TW}/dt n = TW.

TW = (-1) n x(t) dt.

Безразлично, дифференцировать функцию или анализирующий вейвлет. Если деелизирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для деелиза сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала x(t) с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Аналог теоремы Парсеваля для ортогональных и биортогональных вейвлетов.

X 1 (t)·x 2 *(t) = X ψ -1 a -2 X(a,b) X*(a,b) da db.

Отсюда следует, что энергия сигнала может вычисляться через коэффициенты вейвлет-преобразования.

Основы цифровой обработки сигналов: учебное пособие / Ю.А. Брюханов, А.А. Приоров, В.И. Джиган, В.В. Хрящев; Яросл. Гос. ун-т им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2013. – 344 с. (с. 270)

• Tutorial

Вейвлеты сейчас на слуху. Даже неискушённые в математике люди наверняка слышали, что с их помощью удаётся сжимать изображения и видео сохраняя приемлемое качество. Но что же такое вейвлет? Википедия отвечает на этот вопрос целым ворохом формул за которыми не так-то легко увидеть суть.

Попробуем на простых примерах разобраться, откуда же вообще берутся вейвлеты и как их можно использовать при сжатии. Предполагается, что читатель знаком с основами линейной алгебры, не боится слов вектор и матрица, а также умеет их перемножать. (А во даже попробуем что-то запрограммировать.)

Сжатие изображений

Упрощённо, изображение представляют собой таблицу, в ячейках которой хранятся цвета каждого пикселя. Если мы работаем с чёрно-белым (или, точнее, серым) изображением, то вместо цвета в ячейки помещают значения яркости из отрезка . При этом 0 соответствует чёрному цвету, 1 - белому. Но с дробями работать неудобно, поэтому часто значения яркости берут целыми из диапазона от 0 до 255. Тогда каждое значение будет занимать ровно 1 байт.

Даже небольшие изображения требуют много памяти для хранения. Так, если мы кодируем яркость каждого пикселя одним байтом, то изображение одного кадра формата FullHD (1920×1080) займёт почти два мегабайта. Представьте, сколько памяти потребуется для хранения полуторачасового фильма!

Поэтому изображения стремятся сжать. То есть закодировать таким образом, чтобы памяти для хранения требовалось меньше. А во время просмотра мы декодируем записанные в память данные и получаем исходный кадр. Но это лишь в идеале.

Существует много алгоритмов сжатия данных. О их количестве можно судить по форматам, поддерживаемым современными архиваторами: ZIP, 7Z, RAR, ACE, GZIP, HA, BZ2 и так далее. Неудивительно, что благодаря активной работе учёных и программистов в настоящее время степень сжатия данных вплотную подошла к теоретическому пределу.

Плохая новость в том, что для изображения этот теоретический предел не так уж и велик. Попробуйте сохранить фотографию (особенно с большим количеством мелких деталей) в формате PNG - размер получившегося файла может вас расстроить.

Это происходит из-за того, что в изображениях из реального мира (фотографиях, например) значения яркости редко бывают одинаковыми даже у соседних пикселей. Всегда есть мельчайшие колебания, которые неуловимы человеческим глазом, но которые алгоритм сжатия честно пытается учесть.

Алгоритмы сжатия «любят», когда в данных есть закономерность. Лучше всего сжимаются длинные последовательности нулей (закономерность тут очевидна). В самом деле, вместо того, чтобы записывать в память 100 нулей, можно записать просто число 100 (конечно, с пометкой, что это именно количество нулей). Декодирующая программа «поймёт», что имелись в виду нули и воспроизведёт их.

Однако если в нашей последовательности в середине вдруг окажется единица, то одним числом 100 ограничится не удастся.

Но зачем кодировать абсолютно все детали? Ведь когда мы смотрим на фотографию, нам важен общий рисунок, а незначительные колебания яркости мы и не заметим. А значит, при кодировании мы можем немного изменить изображение так, чтобы оно хорошо кодировалось. При этом степень сжатия сразу вырастет. Правда, декодированное изображение будет незначительно отличаться от исходного, но кто заметит?

Преобразование Хаара

Итак, наша цель - преобразовать изображение так, чтобы оно хорошо сжималось классическими алгоритмами. Подумаем, как нужно изменить его, чтобы получить длинные цепочки нулей.

У «реальных» изображений, таких как фотографии, есть одна особенность - яркость соседних пикселей обычно отличается на небольшую величину. В самом деле, в мире редко можно увидеть резкие, контрастные перепады яркости. А если они и есть, то занимают лишь малую часть изображения.

Рассмотрим фрагмент первой строки яркостей из известного изображения «Lenna» (на рисунке).

154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156

Видно, что соседние числа очень близки. Чтобы получить желаемые нули или хотя бы что-то близкое к ним, можно закодировать отдельно первое число, а потом рассматривать лишь отличия каждого числа от предыдущего.

Получаем:

154, 1, 1, 1, 0, 0, 1, -2.

Уже лучше! Такой метод в самом деле используется и называется дельта-кодированием. Но у него есть серьёзные недостаток - он нелокальный. То есть нельзя взять кусочек последовательности и узнать, какие именно яркости в нём закодированы без декодирования всех значений перед этим кусочком.

Попробуем поступить иначе. Не будем пытаться сразу получить хорошую последовательность, попробуем улучшить её хотя бы немного.

Для этого разобьём все числа на пары и найдём полусуммы и полуразности значений в каждой из них.

(154, 155), (156, 157), (157, 157), (158, 156)
(154.5, 0.5), (156.5, 0.5), (157, 0.0), (157, -1.0)

Почему именно полусуммы и полуразности? А всё очень просто! Полусумма - это среднее значение яркости пары пикселей. А полуразность несёт в себе информацию об отличиях между значениями в паре. Очевидно, зная полусумму a и полуразность d можно найти и сами значения:
первое значение в паре = a - d,
второе значение в паре = a + d.

Это преобразование было предложено в 1909 году Альфредом Хааром и носит его имя.

А где же сжатие?

Полученные числа можно перегруппировать по принципу «мухи отдельно, котлеты отдельно», разделив полусуммы и полуразности:

154.5, 156.5, 157, 157; 0.5, 0.5, 0.0, -1.0.

Числа во второй половине последовательности как правило будут небольшими (то, что они не целые, пусть пока не смущает). Почему так?

Как мы уже выяснили раньше, в реальных изображениях соседние пиксели редко отличаются друг от друга значительно. Если значение одного велико, то и другого велико. В таких случаях говорят, что соседние пиксели коррелированы.

В самом деле, рассмотрим первые 2000 пар соседних пикселей и каждую пару представим на графике точкой.

Все точки выстраиваются вдоль одной прямой линии. И так практически во всех реальных изображениях. Верхний левый и нижний правый углы изображения практически всегда пусты.

А теперь рассмотрим график, точками в котором будут полусуммы и полуразности.

Видно, что полуразности находятся в гораздо более узком диапазоне значений. А это значит, что на них можно потратить меньше одного байта. Какое-никакое, а сжатие.

Применим математику!

Попробуем записать математические выражения, описывающие преобразование Хаара.

Итак, у нас была пара пикселей (вектор) , а мы хотим получить пару .

Такое преобразование описывается матрицей .

В самом деле , что нам и требовалось.

Внимательный читатель наверняка заметил, что рисунки из точек на двух последних графиках одинаковы. Разница лишь в повороте на угол в 45°.

В математике повороты и растяжения называются аффинными преобразованиями и описываются как раз при помощи умножения матрицы на вектор. Что мы и получили выше. То есть, преобразование Хаара - это просто поворот точек таким образом, чтобы их можно было удобно и компактно закодировать.

Правда, тут есть один нюанс. При аффинных преобразованиях может меняться площадь фигуры. Не то, чтобы это было плохо, но как-то неаккуратненько. Как известно, коэффициент изменения площади равен определителю матрицы. Посмотрим, каков он для преобразования Хаара.

Для того, чтобы определитель стал равен единице достаточно умножить каждый элемент матрицы на . На угол поворота (а значит, и на «сжимающую способность» преобразования) это не повлияет.

Получаем в итоге матрицу

А как декодировать?

Как известно, если у матрицы определитель не равен нулю, то для неё существует обратная матрица, «отменяющая» её действие. Если мы найдём обратную матрицу для H, то декодирование будет заключаться просто в умножении векторов с полусуммами и полуразностями на неё.

Вообще говоря, поиск обратной матрицы - не такая простая задача. Но, может, удастся как-то эту задачу упростить?

Рассмотрим поближе нашу матрицу. Она состоит из двух вектор-строк: и . Назовём их v 1 и v 2 .

Они обладают интересными свойствами.

Во-первых, их длины равны 1, то есть . Здесь буква T означает транспонирование. Умножение вектор-строки на транспонированный вектор-строку - это скалярное произведение.

Во-вторых, они ортогональны, то есть .

Матрица, строки которой обладают указанными свойствами называется ортогональной. Чрезвычайно важным свойством таких матриц является то, что обратную матрицу для них можно получить простым транспонированием.

В справедливости этого выражения можно убедиться умножив H обратную матрицу. На диагонали мы получим скалярные произведения вектор-строк на самих себя, то есть 1. А вне диагоналей - скалярные произведения вектор-строк друг на друга, то есть 0. В итоге произведение будет равно единичной матрице.

Мы любим ортогональные матрицы!

Увеличиваем число точек

Всё сказанное хорошо работает для двух точек. Но что делать, если точек больше?

В этом случае тоже можно описать преобразование матрицей, но большей по размеру. Диагональ этой матрицы будет состоять из матриц H, таким образом в векторе исходных значений будут выбираться пары, к которым независимо будет применяться преобразование Хаара.

То есть. исходный вектор просто обрабатывается независимо по парам.

Фильтры

Итак, когда мы знаем, как выполнять преобразование Хаара, попробуем разобраться с тем, что же оно нам даёт.

Полученные «полусуммы» (из-за того, что делим не на 2, приходится использовать кавычки) - это, как мы уже выяснили, средние значения в парах пикселей. То есть, фактически, значения полусумм - это уменьшенная копия исходного изображения! Уменьшенная потому, что полусумм в два раза меньше, чем исходных пикселей.

Но что такое разности?

Полусуммы усредняют значения яркостей, то есть «отфильтровывают» случайные всплески значений. Можно считать, что это некоторый частотный фильтр.

Аналогично, разности «выделяют» среди значений межпиксельные «всплески» и устраняют константную составляющую. То есть, они «отфильтровывают» низкие частоты.

Таким образом, преобразование Хаара - это пара фильтров, разделяющих сигнал на низкочастотную и высокочастотную составляющие. Чтобы получить исходный сигнал, нужно просто снова объединить эти составляющие.

Что нам это даёт? Пусть у нас есть фотография-портрет. Низкочастотная составляющая несёт в себе информацию об общей форме лица, о плавных перепадах яркости. Высокочастотная - это шум и мелкие детали.

Обычно, когда мы смотрим на портрет, нас больше интересует низкочастотная составляющая, а значит при сжатии часть высокочастотных данных можно отбросить. Тем более, что, как мы выяснили, она обычно имеет меньшие значения, а значит более компактно кодируется.

Степень сжатия можно увеличить, применяя преобразование Хаара многократно. В самом деле, высокочастотная составляющая - это всего лишь половина от всего набора чисел. Но что мешает применить нашу процедуру ещё раз к низкочастотным данным? После повторного применения, высокачастотная информация будет занимать уже 75%.

Хоть мы пока и говорили об одномерных цепочках чисел, этот подход хорошо применим и для двумерных данных. Чтобы выполнить двумерное преобразование Хаара (или аналогичное ему), нужно лишь выполнить его для каждой строки и для каждого столбца.

После многократного применения к, например, фотографии замка Лихтенштейн, получим следующий рисунок.

Черные области соответствуют низкой яркости, то есть значениям, близким к нулю. Как показывает практика, если значение достаточно мало, то его можно округлить или вообще обнулить без особого ущерба для декодированного рисунка.

Этот процесс называется квантованием. И именно на этом этапе происходит потеря части информации. (К слову, такой же подход используется в JPEG, только там вместо преобразования Хаара используется дискретное косинус-преобразование.) Меняя число обнуляемых коэффициентов, можно регулировать степень сжатия!

Конечно, если обнулить слишком много, то искажения станут видны на глаз. Во всём нужна мера!

После всех этих действий у нас останется матрица, содержащая много нулей. Её можно записать построчно в файл и сжать каким-то архиватором. Например, тем же 7Z. Результат будет неплох.

Декодирование производится в обратном порядке: распаковывем архив, применяем обратное преобразование Хаара и записываем декодированную картинку в файл. Вуаля!

Где эффективно преобразование Хаара?

Когда преобразование Хаара будет давать наилучший результат? Очевидно, когда мы получим много нулей, то есть, когда изображение содержит длинные участки одинаковых значений яркости. Тогда все разности обнулятся. Это может быть, например, рентгеновский снимок, отсканированный документ.

Говорят, что преобразование Хаара устраняет константную составляющую (она же - момент нулевого порядка), то есть переводит константы в нули.

Но всё же в реальных фотографиях областей с одинаковой яркостью не так много. Попробуем усоврешенствовать преобразование, чтобы оно обнуляло ещё и линейную составляющую. Иными словами, если значения яркости будут увеличивать линейно, то они тоже обнулятся.

Эту задачу и более сложные (устранение моментов более высоких порядков) решила Ингрид Добеши - один из создателей теории вейвлетов.

Преобразование Добеши

Для нашего усовершенствованного преобразования уже будет мало двух точек. Поэтому будем брать по четыре значения, смещаясь каждый раз на два.

То есть, если исходная последовательность - 1, 2, 3, 4, 5, 6,…, N-1, N, то будем брать четвёрки (1, 2, 3, 4), (3, 4, 5, 6) и т. д. Последняя четвёрка «кусает последовательность за хвост»: (N-1, N, 1, 2).

Точно так же попробуем построить два фильтра: высокочастотный и низкочастотный. Каждую четвёрку будем заменять на два числа. Так как четвёрки перекрываются, то количество значений после преобразования не изменится.

Пусть значения яркостей в четвёрке равны x, y, z, t. Тогда первый фильтр запишем в виде

Четыре коэффициента, образующих вектор-строку матрицы преобразования, пока нам неизвестны.

Чтобы вектор-строка коэффициентов второго фильтра был ортогонален первому, возьмём те же коэффициенты но переставим их и поменяем знаки:

Матрица преобразования будет иметь вид.

Требование ортогональности выполняется для первой и второй строк автоматически. Потребуем, чтобы строки 1 и 3 тоже были ортогональны:

Векторы должны иметь единичную длину (иначе определитель будет не единичным):

Преобразование должно обнулять цепочку одинаковых значений (например, (1, 1, 1, 1)):

Преобразование должно обнулять цепочку линейно растущих значений (например, (1, 2, 3, 4)):

Кстати, если обнуляется эта четвёрка, то будут обнуляться и любые другие линейно растущие или линейно убывающие. В этом легко убедиться, записав соответствующее уравнение и разделив все коэффициенты на первый множитель.

Получили 4 уравнения, связывающие коэффициенты. Решая их, получаем:

Подставив их в матрицу, получаем искомое преобразования. После его применения к фотографиям получим больше нулей и малых коэффициентов, что позволит сжать изображение сильнее.

Другая приятная особенность - артефакты после квантования будут не так заметны.

Это преобразование получило название вейвлета D4 (читателю предлагается самостоятельно разгадать тайну этого буквенно-цифрового названия).

Другие вейвлеты

Мы, конечно, можем не остановиться на этом, и потребовать устранения параболической составляющей (момент 2-го порядка) и так далее. В результате получим вейвлеты D6, D8 и другие.

Чтобы не считать всё вручную, коэффициенты можно посмотреть в википедии .

Добеши открыла весьма интересный способ получения коэффициентов этих преобразований, но увы, это уже выходит за рамки нашей статьи.

Домашнее задание

Чтобы окончательно разобраться с основами, предлагаю написать на вашем любимом языке программу, которая открывает изображение, выполняет преобразование Хаара (или даже D4), квантует результат, а потом сохраняет результат в файл. Попробуйте сжать этот файл своим любимым архиватором. Хорошо сжимается?

Попробуйте выполнить обратное преобразование. Как вы объясните характер артефактов на изображении?

Заключение

Итак, мы кратко рассмотрели основные идеи дискретного вейвлет-преобразования.

Конечно, в этой статье не были рассмотрены очень многие интересные математические детали и практические применения вейвлет-преобразований. Но нельзя объять необъятное. Да и многое сложно объяснить не повышая градус матана. Надеюсь, что и написанное оказалось кому-то полезным. Добавить метки

Непрерывное вейвлет-преобразование

Свойства вейвлет преобразования

Требования к вейвлетам

Для осуществления вейвлет-преобразования вейвлет-функции должны удовлетворять следующим критериям:

1. Вейвлет должен обладать конечной энергией:

2. Если фурье-преобразование для, то есть

тогда должно выполняться следующее условие:

Это условие называется условием допустимости, и из него следует что вейвлет при нулевой частотной компоненте должен удовлетворять условию или, в другом случае, вейвлет должен иметь среднее равное нулю.

3. Дополнительный критерий предъявляется для комплексных вейвлетов, а именно, что для них Фурье-преобразование должно быть одновременно вещественным и должно убывать для отрицательных частот.

4. Локализация: вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его средняя частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его среднюю частоту и ширину спектра также вдвое.

1. Линейность

2. Инвариантность относительно сдвига

Сдвиг сигнала во времени на t0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t0.

3. Инвариантность относительно масштабирования

Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала.

4. Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Это свойство особенно полезно, если сигнал задан дискретным рядом.

Вейвлет преобразование для непрерывного сигнала относительно вейвлет функции определяется следующим образом:

где означает комплексное сопряжение для, параметр соответствует временному сдвигу, и называется параметром положения, параметр задает масштабирование и называется параметром растяжения.

Весовая функция.

Мы можем определить нормированную функцию следующим образом

что означает временной сдвиг на b и масштабирование по времени на a. Тогда формула вейлет-преобразования изменится на

Исходный сигнал может быть восстановлен по формуле обратного преобразования

В дискретном случае, параметры масштабирования a и сдвига b представлены дискретными величинами:

Тогда анализирующий вейвлет имеет следующий вид:

где m и n - целые числа.

В таком случае для непрерывного сигнала дискретное вейвлет-преобразование и его обратное преобразование запишутся следующими формулами:

Величины также известны как вейвлет-коэффициенты.

есть постоянная нормировки.

Вейвлет-преобразование - преобразование, похожее на преобразование Фурье (или гораздо больше на оконное преобразование Фурье) с совершенно иной оценочной функцией. Основное различие лежит в следующем: преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование использует функции, локализованные как в реальном, так и в в Фурье-пространстве. В общем, вейвлет-преобразование может быть выражено следующим уравнением:

где * - символ комплексной сопряженности и функция ψ - некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольным образом, но она должна удовлетворять определённым правилам.

Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Это является основной причиной, почему термин «вейвлет-преобразование » используется в весьма различных ситуациях и для различных применений. Также существует множество типов классификации вариантов вейвлет-преобразования. Здесь мы покажем только деление, основанное на ортогональности вейвлетов. Можно использовать ортогональные вейвлеты для дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

1. Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшее число коэффициентов вейвлет-спектра, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр весьма хорош для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь избыточной информации.
2. Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течение его длительности и сравнивать этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированы и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

Дополнительные подробности о вейвлет-преобразовании доступны на тысячах интернет-ресурсов о вейвлетах в сети, или, например, здесь .

В библиотеке обработки данных Gwyddion реализованы оба этих преобразования и использующие вейвлет-преобразование модули доступны в меню Обработка данных → Интегральные преобразования .

Дискретное вейвлет-преобразование

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определённым правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлет-преобразования (CWT), или его реализации для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT).

Вейвлет может быть сконструирован из функции масштаба, которая описывает свойства его масштабируемости. Ограничение состоит в том, что функция масштаба должна быть ортогональна к своим дискретным преобразованиям, что подразумевает некоторые математические ограничения на них, которые везде упоминаются, т.е. уравнение гомотетии

где S - фактор масштаба (обычно выбирается как 2). Более того, площадь под функцией должна быть нормализована и функция масштабирования должна быть ортогональна к своим численным переносам, т.е.

После введения некоторых дополнительных условий (поскольку вышеупомянутые ограничения не приводят к единственному решению) мы можем получить результат всех этих уравнений, т.е. конечный набор коэффициентов a k которые определяют функцию масштабирования, а также вейвлет. Вейвлет получается из масштабирующей функции как N где N - чётное целое. Набор вейвлетов затем формирует ортонормированный базис, который мы используем для разложения сигнала. Следует отметить, что обычно только несколько коэффициентов a k будут ненулевыми, что упрощает расчёты.

На следующем рисунке показаны некоторые масштабирующие функции и вейвлеты. Наиболее известным семейством ортонормированных вейвлетов явлется семейство Добеши. Её вейвлеты обычно обозначаются числом ненулевых коэффициентов a k , таким образом, мы обычно говорим о вейвлетах Добеши 4, Добеши 6, и т.п. Грубо говоря, с увеличением числа коэффициентов вейвлета функции становятся более гладкими. Это явно видно при сравнении вейвлетов Добеши 4 и 20, представленных ниже. Другой из упомянутых вейвлетов - простейший вейвлет Хаара, который использует прямоугольный импульс как масштабирующую функцию.

Функция масштабирования Хаара и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).

Функция масштабирования Добеши 4 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).

Функция масштабирования Добеши 20 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).

Существует несколько видов реализации алгоритма дискретного вейвлет-преобразования. Самый старый и наиболее известный – алгоритм Малла (пирамидальный). В этом алгоритме два фильтра – сглаживающий и несглаживающий составляются из коэффициентов вейвлета и эти фильтры рекуррентно применяются для получения данных для всех доступных масштабов. Если используется полный набор данных D = 2 N и длина сигнала равна L , сначала рассчитываются данные D /2 для масштаба L /2 N - 1 , затем данные (D /2)/2 для масштаба L /2 N - 2 , … пока в конце не получится 2 элемента данных для масштаба L /2 . Результатом работы этого алгоритма будет массив той же длины, что и входной, где данные обычно сортируются от наиболее крупных масштабов к наиболее мелким.

В Gwyddion для расчёта дискретного вейвлет-преобразования используется пирамидальный алгоритм. Дискретное вейвлет-преобразование в двумерном пространстве доступно в модуле DWT.

Дискретное вейвлет-преобразование может использоваться для простого и быстрого удаления шума с зашумлённого сигнала. Если мы возьмём только ограниченное число наиболее высоких коэффициентов спектра дискретного вейвлет-преобразования, и проведём обратное вейвлет-преобразование (с тем же базисом) мы можем получить сигнал более или менее очищенный от шума. Есть несколько способов как выбрать коэффициенты, которые нужно сохранить. В Gwyddion реализованы универсальный порог, адаптивный по масштабу порог и адаптивный по масштабу и пространству порог . Для определения порога в этих методах мы сперва определяем оценку дисперсии шума, заданную

где Y ij соответствует всем коэффициентам наиболее высокого поддиапазона масштаба разложения (где, как предполагается, должна присутствовать большая часть шума). Или же дисперсия шума может быть получена независимым путём, например, как дисперсия сигнала АСМ, когда сканирование не идёт. Для наиболее высокого поддиапазона частот (универсальный порог) или для каждого поддиапазона (для адаптивного по масштабу порога) или для окружения каждого пикселя в поддиапазоне (для адаптивного по масштабу и пространству порога) дисперсия рассчитывается как

Значение порога считается в конечном виде как

Когда порог для заданного масштаба известен, мы можем удалить все коэффициенты меньше значения порога (жесткий порог) или мы можем уменьшит абсолютное значение этих коэффициентов на значение порога (мягкий порог).

Удаление шума DWT доступно в меню Обработка данных → Интегральные преобразования → Удаление шума DWT .

Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием произвольных масштабов и практически произвольных вейвлетов. Используемые вейвлеты не ортогональны и данные, полученные в ходе этого преобразования высоко коррелированы. Для дискретных временных последовательностей также можно использовать это преобразование, с ограничением что наименьшие переносы вейвлета должны быть равны дискретизации данных. Это иногда называется непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT) и это наиболее часто используемый метод расчёта CWT в реальных применениях.

В принципеЮ непрерывное вейвлет-преобразование работает используя напрямую определение вейвлет-преобразования, т.е. мы рассчитываем свёртку сигнала с масштабированным вейвлетом. Для каждого масштаба мы получаем этим способом набор той же длины N , что и входной сигнал. Используя M произвольно выбранных масштабов мы получаем поле N×M , которое напрямую представляет плоскость время-частота. Алгоритм, используемый для этого расчёта может быть основан на прямой свёртке или на свёртке посредством умножения в Фурье-пространстве (это иногда называется быстрым вейвлет-преобразованием).

Выбор вейвлета для использования в разложении на время-частоту является наиболее важной вещью. Этим выбором мы можем влиять на разрешение результата по времени и по частоте.Нельзя изменить этим путём основные характеристики вейвлет-преобразования (низкие частоты имеют хорошее разрешение по частотам и плохое по времени; высокие имеют плохое разрешение по частотам и хорошее по времени), но можно несколько увеличить общее разрешение по частотам или по времени. Это напрямую пропорционально ширине используемого вейвлета в реальном и Фурье-пространстве. Если, например, использовать вейвлет Морле (реальная часть – затухающая функция косинуса), то можно ожидать высокого разрешения по частотам, поскольку такой вейвлет очень хорошо локализован по частоте. наоборот, используя вейвлет Производная Гауссиана (DOG) мы получим хорошую локализацию по времени, но плохую по частоте.

Непрерывное вейвлет-преобразование реализовано в модуле CWT, который доступен в меню Обработка данных → Интегральные преобразования → CWT .

Источники

A. Bultheel: Bull. Belg. Math. Soc.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Image Processing, (2000) 9 p. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Image Processing, (2000) 9 p. 1522

Вейвлеты (от англ. wavelet ), всплески - это математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени.

Для обработки дискретных сигналов используется дискретное вейвлет-преобразование (ДВП, DWT).

Первое ДВП было предложно венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2 n чисел, вейвлет преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2 n −1 разность и 1 общая сумма. Мы начнем с одномерного массива данных, состоящего из N элементов. В принципе, этими элементами могут быть соседние пикселы изображения или последовательные звуковые фрагменты. Примером будет служить массив чисел (2,9,12,10,9,8, 8,7). Сначала вычислим четыре средние величины (Рис. 40)

Ясно, что знания этих четырех полусумм не достаточно для восстановления всего массива, поэтому мы еще вычислим четыре полуразности

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

которые будем называть коэффициентами деталей. Средние числа можно представлять себе крупномасштабным разрешением исходного образа, а детали необходимы для восстановления мелких подробностей или поправок. Если исходные данные коррелированы, то крупномасштабное разрешение повторит исходный образ, а детали будут малыми.

Массив, состоящий из четырех полусумм и четырех полуразностей, можно использовать для восстановления исходного массива чисел. Новый массив также состоит из восьми чисел, но его последние четыре компоненты, полуразности, имеют тенденцию уменьшаться, что хорошо для сжатия.

Повторим нашу процедуру применительно к четырем первым (крупным) компонентам нашего нового массива. Они преобразуются в два средних и в две полуразности. Остальные четыре компонента оставим без изменений. Следующая и последняя итерация нашего процесса преобразует первые две компоненты этого массива в одно среднее (которое, на самом деле, равно среднему значению всех 8 элементов исходного массива) и одну полуразность.

Рисунок 3.18. Илллюстрация работы одномерного вейвлет-преобразования.

В итоге получим массив чисел, который называется вейвлетным преобразованием Хаара исходного массива данных .

Одномерное вейвлетное преобразование Хаара легко переносится на двумерный случай. Стандартное разложение (рис. 3.19) начинается вычислением вейвлетных преобразований всех строк изображения. К каждой строке применяются все итерации процесса, до тех пора, пока самый левый элемент каждой строки не станет равен среднему значению чисел этой строки, а все остальные элементы будут равны взвешенным разностям. Получится образ, в первом столбце которого стоит среднее столбцов исходного образа. После этого стандартный алгоритм производит вейвлетное преобразование каждого столбца. В результате получится двумерный массив, в котором самый левый верхний угловой элемент равен среднему всего исходного массива. Остальные элементы верхней строки будут равны средним взвешенным разностям, ниже стоят разности средних, а все остальные пикселы преобразуются в соответствующие разности.

Пирамидальное разложение вычисляет вейвлетное преобразование, применяя итерации поочередно к строкам и столбцам. На первом шаге вычисляются полусуммы и полуразности для всех строк (только одна итерация, а не все вейвлетное преобразование). Это действие производит средние в левой половине матрицы и полуразности - в правой половине. На втором шаге вычисляются полусуммы и полуразности для всех столбцов получившейся матрицы.

Рисунок 3.19. Стандартное двумерное вейвлет-преобразование

Рисунок 3.20. Пирамидальное двумерное вейвлет-преобразование

Результатом двумерного вейвлет-преобразования является набор матриц, соответствующих различным спектральным составляющим исходного изображения. При этом в левом верхнем углу находится низкочастотная компонента LL4 (рис. 3.21), которая создавалась только на основе полусумм и является уменьшенной копией исходного изображения.

Рисунок 3.21. Составляющие двумерного вейвлет-преобразования

Остальные компоненты преобразования можно использовать для восстановления исходного изображения. При этом, высокочастотные компоненты хорошо поддаются сжатию с использованием алгоритмов RLE и Хаффмана. Следует также отметить, что при сжатии с потерей информации возможно также использовать квантование, а также прямое отбрасывание части компонент. Результатом таких операций является хорошая степень сжатия. На рис. 3.22 приведен пример кодирования изображения, использующего вейвлет-преобразование.

Следует отметить, что двумерное вейвлет-преобразование требует значительных вычислительных ресурсов при реализации обычными программными методами. Однако, алгоритм вейвлет-преобразования состоит из большого количества простых преобразований, которые хорошо поддаются распараллеливанию. В результате, это преобразование хорошо выполняется аппаратно при использовании специализированной элементной базы.

Рисунок 3.22 . Пример вейвлет-преобразования изображения.

Вейвлет-преобразование используется в стандарте сжатия изображений JPEG2000, а также предусмотрено в качестве инструмента в формате MPEG-4.