Какой смысл имеет целевая функция. Основы теории оптимизации. Листинг решения прямой задачи оптимизации
где - постоянные затраты, которые не зависят от режима обработки, мин;
Здесь - подготовительно – заключительное время на операцию, мин;
Размер партии обрабатываемых деталей;
Вспомогательное время операции, мин;
Время на обслуживание без учета времени на замену инструмента, мин;
Время на отдых рабочего, мин;
Затраты времени, связанные с заменой затупившегося инструмента и соответствующей поднастройкой технологической системы;
где - время на замену инструмента и соответствующую размерную настройку;
Диаметр и длина обрабатываемого вала;
Коэффициент для расчета скорости резания;
Скорость резания;
Глубина резания;
Здесь - показатели степени в формулах для расчета режимов резания.
Анализ целевой функции времени позволяет вскрыть резервы дополнительного повышения производительности и определить оптимальные режимы резания, обеспечивающие минимальные затраты на выполнение операции.
Целевая функция стоимости на примере обработки вала имеет вид:
Здесь - расходы на материал;
Расходы в единицу времени соответственно на эксплуатацию оборудования, приспособления, по зарплате с учетом накладных расходов;
Время на замену инструмента и соответствующую размерную настройку;
Стоимость инструмента за период его эксплуатации.
Первый член выражения определяет постоянные затраты на материал, расходы, связанные с подготовительно – заключительным временем и временем обслуживания. Второй член выражения определяет затраты на режущий инструмент и простои при его замене. Третий член выражения определяет расходы, связанные непосредственно с выполнением процесса резания.
Объемное планирование работы технологических станочных систем
Эта и все последующие лекции посвящены вопросам математического моделирования и оптимизации технологических станочных систем.
Объемное планирование работы механического участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования
Постановка задачи . Имеется m – станков (m – групп станков), на которых могут быть изготовлены n – типов деталей. Трудоемкость обработки j - ой детали на i – м станке составляет , час. Известны фонды времени работы каждого станка (группы станков) – B i . Исходные данные для решения задачи представлены в таблице 14.1.
Таблица 14.1. Исходные данные для решения задачи, представленные в общем виде
Требуется определить количество деталей каждого наименования , при обработке которых достигается максимальная загрузка оборудования участка.
Математическая модель для решения задачи запишется:
Ограничения :
Задача решается методом линейного программирования. При этом следует иметь в виду следующее. Количество ограничений вида (14.1) - (14.3) в математической модели должно строго равняться количеству станков (групп станков) участка. При решении задачи с помощью компьютера количество станков (групп станков), а также типов деталей практически не ограничено и определяется только возможностями компьютера и соответствующей программы. При решении задачи вручную с применением графо-аналитического метода количество типов станков (групп станков) также не ограничено, но их увеличение естественным образом приведет к увеличению времени расчетов. Количество же типов деталей не должно превышать двух, т.к. в противном случае невозможно будет на плоскости выполнить необходимые графические построения.
Пример. Исходные данные для примера приведены в таблице 14.2.
Таблица 14.2. Исходные данные для решения задачи
Обозначим через количество деталей типа D 1 , через количество деталей типа D 2 .
Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:
Ограничения (по фонду времени работы оборудования):
Требуется найти значения и , удовлетворяющие заданным ограничениям (14.6) – (14.10) и обеспечивающие максимум целевой функции (14.11). Параметры и являются управляемыми параметрами в математической модели.
Решим задачу графо – аналитическим методом (см. лекцию 6). Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 14.1.
Рис.14.1. Графическая иллюстрация решения задачи
Вычисления для построения ограничений (14.6) – (14.8):
| x 1 | ||
| x 2 |
| x 1 | ||
| x 2 |
Проведя прямую линию, параллельную данной, находим точку касания ее границы ОДР – это точка А. Для нахождения ее координат (точки пересечения ограничений 14.7 и 14.8) решаем следующую систему уравнений:
Т.е. окончательно
Максимальное значение целевой функции (максимальная загрузка оборудования участка) при оптимальных значениях искомых параметров составит:
Задача о минимальной загрузке оборудования
Эта и последующие задачи в данной лекции приводятся на уровне постановки задачи и формирования математической модели для ее решения. Все они решаются методами линейного программирования.
Имеется m станков, на которых могут быть изготовлены n типов деталей. Производительность i - го станка при изготовлении детали j - го типа составляет C ij . Величины плановых заданий A j на изготовление j - ой детали и ресурс времени B i работы i - го станка приведены в таблице 14.3.
Таблица 14.3 Исходные данные для решения задачи
Требуется, учитывая ресурсы времени работы каждого станка распределить задания между станками таким образом, чтобы общее время работы всех станков было минимальным.
Пусть t ij - время изготовления j - ой детали i - м станком. Составим ограничения по ресурсу времени для каждого станка:
Решение поставленной задачи состоит в минимизации линейной целевой функции (суммарного времени)
 | (14.14) |
при ограничениях (14.12), (14.13) и условии, что все переменные .
Задача об оптимальном распределении деталей по станкам
Пусть некоторая машина состоит из различных видов деталей, которые мы пронумеруем числами . Имеется типов различных станков, причем количество станков - го типа равно . Детали могут быть изготовлены на станках разного типа. Производительность станка - го типа при изготовлении - ой детали составляет . После изготовления детали поступают на сборку. Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы в единицу времени получать максимальное количество машин.
Пусть - количество станков - го типа, на которых можно изготовить - ю деталь. Очевидно, что количество станков - го типа, изготавливающих детали видов, не должно превышать заданное число :
Общее количество комплектов деталей, необходимых для сборки машины, равно общему количеству какой-либо одной детали, имеющей, например, номер 1. Поэтому решение задачи заключается в максимизации линейной функции
 | (14.17) |
при ограничениях (14.15), (14,16) с дополнительным условием, что все переменные .
Найденные оптимальные значения этой задачи не обязательно целые числа. Например, означает, что на двух станках первого типа в течение единицы времени будут изготовлять деталь с номером 1, тогда как третий станок того же типа будет работать лишь половину указанного времени.
Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья
Из видов сырья производится различных типов продукции. Стоимость реализации изготовленной продукции - го типа составляет . Запас сырья - го вида на планируемый период равен . Потребность в сырье - го типа составляет . Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 14.4.
Таблица 14.4 Исходные данные для решения задачи
Требуется для каждого типа продукта определить такой объем производства , чтобы обеспечить максимальную стоимость реализации изготовленной продукции при условии, что не будут превышены запасы имеющегося сырья.
Ограничения по запасам сырья имеют вид:
 | (14.18) |
Задача заключается в том, чтобы определить оптимальные значения параметров (переменных) , обращающих в максимум стоимость продукции, т.е. целевую функцию
при ограничениях (14.18) и дополнительных условиях .
Основы теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные математические модели). Напомним, что:
Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.
Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.
Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условиях неопределенности .
Рассмотрим сначала некоторые понятия, которые характеризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «благоприятной», «доброкачественной».
Понятие случайного процесса
Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс , если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.
Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.
2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.
Марковский случайный процесс
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским , если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Пусть в настоящий момент t 0 система находится в определенном состоянии S 0 . Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t 0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t > t 0 ? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S 1 или останется в состоянии S 0 и т.д.
Пример . Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t 0 количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x 0 , y 0 . Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t 0 , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t 0 самолеты.
На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).
В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретным состоянием , если его возможные состояния S 1 , S 2 , … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем , если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.
Пример . Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:
S 0 - оба станка исправны;
S 1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;
S 2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;
S 3 - оба станка ремонтируются.
Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в
Рис.15.1. Граф состояний системы
состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.15.1.
Примечание. Переход из состояния S 0 в S 3 на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.
Потоки событий
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t – рис. 15.2.
Рис.15.2. Изображение потока событий на оси времени
Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.
Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.
Поток событий называется потоком без последствий , если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. рис.15.2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным , если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью
Действие системы, ее поведение характеризуются не только установлением факта достижения цели, но и степенью ее достижения, определяемой с помощью целевой функции.
Целевая функция – есть обобщенный показатель системы, который характеризует степень достижения системой ее цели. Составление целевой функции одна из важнейших задач при проектировании системы. Однако нет общей теории построения целевых функций, есть только некоторые рекомендации.
Целевая функция составляется по указаниям ТЗ о критерии оптимизации путем анализа внешних параметров системы и ограничений на них.
Целевая функция должна существенно зависеть от внешних параметров или части их. В противном случае оптимизация по данной целевой функции не имеет смысла. Целевая функция представляет вектор в m -мерном пространстве внешних параметров системы
Обычно целевая функция задается в скалярном виде.
Используются следующие четыре формы целевой функции.
1. Наиболее часто используется целевая функция одного внешнего параметра
В этом случае целевая функция просто равна одному из внешних параметров или его обратной величине
Все остальные (m – 1) внешних параметров переводятся в систему ограничений.
Физический смысл целевой функции приведенных видов заключается в том, что чем больше (или меньше) параметр y i , тем лучше при прочих равных условиях данная система, причем равенство прочих условий понимается в смысле ограничений на остальные внешние параметры. Типичные задачи с приведенной формой целевой функции: оптимизация системы по надежности (y = P (t )), помехоустойчивости, стоимости и другим внешним параметрам. Такая целевая функция имеет ясный физический (технический или экономический) смысл, объективно характеризует систему и поэтому часто используется. То есть в этом случае целевой функцией является внешний параметр системы. Он и называется целевой функцией системы. Это могут быть: точность, быстродействие, время, стоимость, надежность, масса, габариты, какой-то технологический показатель и т.п.
2. Вторая форма целевой функции – это сумма параметров одной размерности или сумма функций от этих параметров
Такая форма характерна при оптимизации по экономическим критериям, по критериям сложности и т.п.
Например, при минимизации годовых приведенных затрат на систему целевая функция представляет собой сумму двух внешних параметров: годовых эксплуатационных расходов и капитальных затрат, отнесенных к сроку окупаемости системы. В этом случае каждый из этих внешних параметров системы является сложной функцией ее внутренних (подлежащих нахождению) параметров.
Целевые функции задач оптимизации по критерию сложности также имеют вторую форму, т.к. они представляются в виде суммы сложностей отдельных подсистем или блоков системы.
3. Третья форма целевой функции – ранжированная форма – представляет собой упорядоченную совокупность целевых функций первой формы с приоритетами
Первая целевая функция наиболее важная, последняя целевая функция наименее важная.
В частном случае целевая функция этого вида записывается так:
Пример ранжирования – это (например) такая последовательность целевых функций: точность, надежность, стоимость. Смысл целевой функции третьей формы состоит в следующем. Самым главным – первым по рангу – признается некоторый i -й параметр системы – y i (например, точность). Если у некоторой системы этот i -ый параметр больше, чем у всех других систем, то независимо от значений других параметров (если только они удовлетворяют ограничениям) данная система считается лучшей. Затем по второму параметру и т.д.
Процедура оптимизации в этом случае, как правило, является многошаговой. Такая оптимизация часто неосознанно применяется в технических системах. Сначала выбирают систему лучшую по точности, при одинаковой точности нескольких систем – более надежную, а затем – более дешевую. На каждом шаге при оптимизации используется только один критерий, что не противоречит концепции системного подхода (оптимизация по одному единственному критерию, см. далее).
4. Четвертая – наиболее общая – форма целевой функции представляет собой произвольную зависимость от всех или части (но не меньше двух) разнородных внешних параметров
При этом разнородные параметры преобразуются в безразмерные (или одноразмерные) и целевая функция формируется как некоторая композиция (например, среднее арифметическое) полученных безразмерных показателей.
Единую целевую функцию четвертой формы можно получить из целевых функций третьей формы путем умножения их на весовые коэффициенты и последующего суммирования :
где F S (y i ) – одна из k целевых функций третьей формы;
ω S – ее весовой коэффициент.
Однако, как указывается там же, определение весовых коэффициентов отдельных целевых функций является очень сложным.
Экстремальное значение полученной суммы будет считаться оптимальным.
Таким образом, можно указать, что в большинстве случаев (1-я и 3-я формы) показатели качества системы оцениваются численными значениями компонентов векторной целевой функции, которые носят названия функционалов :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Так как системы работают в условиях случайных воздействий, то значения функционалов часто оказываются случайными величинами. Это неудобно при использовании функционалов в виде показателей качества. Поэтому в таких случаях обычно пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Например: среднее количество изделий, выпускаемых за смену; средняя стоимость продукции и т.д.
В
некоторых случаях показатели качества
представляют собой вероятности некоторых
случайных событий. При этом в качестве
целевой функции выбирается вероятность
выполнения системой поставленной цели
(задачи)
Например, вероятность обнаружения цели радиолокатором и т.п.
) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Термин используется в математическом программировании, исследовании операций , линейном программировании , теории статистических решений и других областях математики в первую очередь прикладного характера, хотя целью оптимизации может быть и решение собственно математической задачи . Помимо целевой функции в задаче оптимизации для переменных могут быть заданы ограничения в виде системы равенств или неравенств. В общем случае аргументы целевой функции могут задаваться на произвольных множествах.
Примеры
Гладкие функции и системы уравнений
может быть сформулирована как задача минимизации целевой функции
Если функции гладкие, то задачу минимизации можно решать градиентными методами .
Для всякой гладкой целевой функции можно приравнять к частные производные по всем переменным. Оптимум целевой функции будет одним из решений такой системы уравнений. В случае функции это будет система уравнений метода наименьших квадратов (МНК). Всякое решение исходной системы является решением системы МНК. Если исходная система несовместна, то всегда имеющая решение система МНК позволяет получить приближённое решение исходной системы. Число уравнений системы МНК совпадает с числом неизвестных, что иногда облегчает и решение совместных исходных систем.
Линейное программирование
Другим известным примером целевой функции является линейная функция, которая возникает в задачах линейного программирования. В отличие от квадратичной целевой функции оптимизация линейной функции возможна только при наличии ограничений в виде системы линейных равенств или неравенств.
Комбинаторная оптимизация
Типичным примером комбинаторной целевой функции является целевая функция задачи коммивояжёра . Эта функция равна длине гамильтонова цикла на графе . Она задана на множестве перестановок вершины графа и определяется матрицей длин рёбер графа. Точное решение подобных задач часто сводится к перебору вариантов.
Напишите отзыв о статье "Целевая функция"
Примечания
См. также
Литература
- Бурак Я. И., Огирко И. В. Оптимальный нагрев цилиндрической оболочки с зависящими от температуры характеристиками материала // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 1977. - Вып. 5. - С.26-30
Отрывок, характеризующий Целевая функция
Бедный муж мой переносит труды и голод в жидовских корчмах; но новости, которые я имею, еще более воодушевляют меня.Вы слышали, верно, о героическом подвиге Раевского, обнявшего двух сыновей и сказавшего: «Погибну с ними, но не поколеблемся!И действительно, хотя неприятель был вдвое сильнее нас, мы не колебнулись. Мы проводим время, как можем; но на войне, как на войне. Княжна Алина и Sophie сидят со мною целые дни, и мы, несчастные вдовы живых мужей, за корпией делаем прекрасные разговоры; только вас, мой друг, недостает… и т. д.
Преимущественно не понимала княжна Марья всего значения этой войны потому, что старый князь никогда не говорил про нее, не признавал ее и смеялся за обедом над Десалем, говорившим об этой войне. Тон князя был так спокоен и уверен, что княжна Марья, не рассуждая, верила ему.
Весь июль месяц старый князь был чрезвычайно деятелен и даже оживлен. Он заложил еще новый сад и новый корпус, строение для дворовых. Одно, что беспокоило княжну Марью, было то, что он мало спал и, изменив свою привычку спать в кабинете, каждый день менял место своих ночлегов. То он приказывал разбить свою походную кровать в галерее, то он оставался на диване или в вольтеровском кресле в гостиной и дремал не раздеваясь, между тем как не m lle Bourienne, a мальчик Петруша читал ему; то он ночевал в столовой.
Первого августа было получено второе письмо от кня зя Андрея. В первом письме, полученном вскоре после его отъезда, князь Андрей просил с покорностью прощения у своего отца за то, что он позволил себе сказать ему, и просил его возвратить ему свою милость. На это письмо старый князь отвечал ласковым письмом и после этого письма отдалил от себя француженку. Второе письмо князя Андрея, писанное из под Витебска, после того как французы заняли его, состояло из краткого описания всей кампании с планом, нарисованным в письме, и из соображений о дальнейшем ходе кампании. В письме этом князь Андрей представлял отцу неудобства его положения вблизи от театра войны, на самой линии движения войск, и советовал ехать в Москву.
За обедом в этот день на слова Десаля, говорившего о том, что, как слышно, французы уже вступили в Витебск, старый князь вспомнил о письме князя Андрея.
– Получил от князя Андрея нынче, – сказал он княжне Марье, – не читала?
– Нет, mon pere, [батюшка] – испуганно отвечала княжна. Она не могла читать письма, про получение которого она даже и не слышала.
– Он пишет про войну про эту, – сказал князь с той сделавшейся ему привычной, презрительной улыбкой, с которой он говорил всегда про настоящую войну.
– Должно быть, очень интересно, – сказал Десаль. – Князь в состоянии знать…
– Ах, очень интересно! – сказала m llе Bourienne.
– Подите принесите мне, – обратился старый князь к m llе Bourienne. – Вы знаете, на маленьком столе под пресс папье.
M lle Bourienne радостно вскочила.
– Ах нет, – нахмурившись, крикнул он. – Поди ты, Михаил Иваныч.
Михаил Иваныч встал и пошел в кабинет. Но только что он вышел, старый князь, беспокойно оглядывавшийся, бросил салфетку и пошел сам.
– Ничего то не умеют, все перепутают.
Пока он ходил, княжна Марья, Десаль, m lle Bourienne и даже Николушка молча переглядывались. Старый князь вернулся поспешным шагом, сопутствуемый Михаилом Иванычем, с письмом и планом, которые он, не давая никому читать во время обеда, положил подле себя.
Являясь централизованным, выполняет следующие функции функцию регулирования цен между новой и серийной продукцией функцию целевого и постоянного обеспечения -процесса производства новой техники денежными средствами функцию перераспределения средств по освоению новой техники между предприятиями, в различной степени участвующими в освоении новой техники.
Что касается расходов государства, то они представляют целевые фонды денежных средств , ассигнованные и фактически использованные государством для реализации своих функций. К основным функциям целевых расходов относят
Перейдем теперь к описанию целевых функций. Целевая функция ПМ
Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет
ФУНКЦИЯ ЦЕЛЕВАЯ - это функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) и управляемые переменные в задаче оптимизации.
Первое выражение называется целевой функцией (равно произведению прибыли на единицу продукта с,- на выпуск этого продукта Xj). Остальные уравнения составляют линейные ограничения , которые означают, что расход сырья, полуфабрикатов, качество продукции , мощности, т. е. исходные ресурсы, не должны превышать заранее установленных величин / /. Коэффициенты а,7 - постоянные величины , показывающие расход ресурса на /-и продукт. Задача может быть решена при неотрицательности переменных и при числе неизвестных большем, чем число ограничений. Если последнее условие не удовлетворяется, то задача является несовместной.
В качестве целевой функции принимаем выработку автобензина А-76
Целевая функция имеет вид
Поскольку от объема производства зависят переменные затраты , то максимизации подлежит разность между ценой и переменными затратами . Условно-постоянные расходы (амортизационные отчисления , затраты па текущий ремонт , заработная плата с начислениям общецеховые и общезаводские расходы) в модель не включают и вычитают из целевой функции, полученной на ЭВМ. Если в качестве неизвестных принята длительность работы установки по каждому варианту, то рассчитывают переменные затраты на один день ее работы.
Условие (4,56) характеризует целевую функцию, те максимальную разность между оптовой ценой и себестоимостью товарных бензинов.
В качестве целевой функции при решении данной задачи может быть как максимум прибыли по предприятию (4.52), так и максимум объема производства товарной продукции в стоимостном выражении (4.53)
Приведенная модель расчета себестоимости является одновременно и моделью расчета прибыли предприятия. Однако основной эффект реализации расчета себестоимости на ЭВМ состоит в возможности использования результатов этого расчета для оптимизации производственной программы предприятия . В данном случае в качестве целевой функции может быть принят максимум прибыли от реализации продукции . Оптимизируя производственную программу , необходимо максимизировать функцию вида
Преимущества и недостатки структуры, ориентированной на покупателя, в общем те же, что и у продуктовой структуры , если учесть различия, связанные с разной целевой функцией.
Так как интегральную энергоемкость определяют с учетом энергозатрат прямых и опосредованных (через материальные, технические и трудовые ресурсы), то и в суммарной народнохозяйственной экономии учитывают снижение энергоемкости каждого из расходуемых и используемых ресурсов. Энергоемкость каждого целевого эффекта (продукта, услуги) рассчитывают как сумму энергоемкостей по стадиям его формирования. Например, энергоемкость трубы складывается из энергоемкости добычи руды, выплавки стали, проката листа и собственно изготовления трубы и измеряется в килограммах условного топлива на 1 руб. ее стоимости. Существующие формы учета и предложенная методика позволяют определить эти показатели для любого продукта, услуги и т.д. Таким образом, для экономии энергии необходимо снизить расход производственных ресурсов всех видов при достижении заданного целевого эффекта. Эти ресурсы и конечный целевой эффект измеряют в стоимостном выражении. Затраты на них зависят от масштаба применяемой технологии, уровня срвершенства технических средств , в которых реализуется главная целевая функция - целевой технологический процесс , числа масштабности и разветвленности вспомогательных функций, обеспечивающих выполнение главной функции, а также уровня применяемой техники и технологии.
Выражение (I) обычно наз. исходной системой уравнений и неравенств, а выражение (II) - функционалом задачи линейного программирования или целевой функцией. Целевая функция является критерием оптимальности . Первая группа неравенств системы (I) позволяет учесть в расчете ограничения в существующих на начало планируемого периода мощностях топливодобывающих предприятий. Вторая группа неравенств учиты-
К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование , теорию игр, теорию массового обслуживания , теорию расписании , теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования . М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления , планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы . В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция - линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование , в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами , в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации . Методы постановки и решения условных экстремальных задач , условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а-
Цель модели - максимизация суммарного дисконтированного чистого дохода (до на-огов) для совокупности месторождений и газопроводных систем при заданных ехнологических и экономических ограничениях. Модель позволяет использовать льтернативные критерии - минимизации взвешенной суммы отклонений от заданного начения целевой функции (целевое программирование) расчеты могут проводиться ля заданного уровня инвестиций, для заданного уровня добычи, для заданного начения ДЧД.
Успех такой деловой женщины зависит от того, насколько администрацией будутугаданы возможные поприща, способные дать удовлетворение трудом. Замечено, что женщины хорошо справляются с функциями, требующими общения с людьми, если же это еще и интеллектуальная деятельность -учительница, журналист, экскурсовод и т. п. - то высокая эффективность их труда и положительная ими самими оценка почти наверняка совпадут. В Японии женщинам редко удается получить инженерное, естественно-научное образование, особенно по современным, наиболее перспективным специальностям, тем не менее их включение в широко распростра-няющиеся подвижные целевые группы по решению нестандартных задач оказывается продуктивным. Изобретательность женского ума замечена давно и во всех странах. В Японии же, когда хотят привести яркое тому доказательство, вспоминают конкурс, объявленный известной фирмой "Адзи-но мото". Она предложила большой денежный приз за подсказку, как увеличить продажи, выпускаемой ею приправы, с виду похожей на соль и продаваемой в подобии солонок. Люди писали трактаты, привлекали всевозможные научные знания. Но победительницей стала домохозяйка, ответ которой уместился в одной строке "Сделать покрупнее дырки у солонки".
Проектные параметры. Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через
Х1,Х2,Х3,…Хп.
Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.
Целевая функция. Это - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (п+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами
М = М (х1,х2,…,хп).
Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.
Рисунок 1. Одномерная целевая функция.
Рисунок 2. Двумерная целевая функция.
Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-линейную функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.
Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется на рис.3.
Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.
Пространство проектирования. Так называется область, определяемая всеми п, проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.
Ограничения-равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид
С1 (X1, X2, Х3, . . ., Хп) = 0,
С2 (X1, X2, Х3, . . ., Х п) = 0,
..……………………………..
Сj(X1, X2, Х 3, . . ., Хп) = 0.
Ограничения-неравенства - это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно много, причем все они имеют вид
z1 ?r1(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z1
z2 ?r2(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z2
………………………………………
zk ?rk(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Zk
Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.
Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид
xнi ? xi ? xвi при i ? ,
где xнi , xвi - минимально и максимально допустимые значения i-го управляемого параметра; п - размерность пространства управляемых параметров. Например для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: xнi ? 0 (геометрические размеры, электрические сопротивления, массы и т.п.).
Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:
- 1) типа равенств
- ш (Х) = 0; (2.1)
- 2) типа неравенств
ц (Х) › 0, (2.2)
где ш (Х) и ц (Х) - вектор-функции.
Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:
ХД = {Х | ш(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,
xi ‹ xвi при i ? }.
Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.
Любая из точек Х принадлежащая ХД является допустимым решением задачи. Часто параметрический синтез ставится как задача определения любого из допустимых решений. Однако гораздо важнее решить задачу оптимизации - найти оптимальное решение среди допустимых.
Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.
Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.
Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Это позволяет выбрать наилучший вариант из равных оптимальных вариантов по целевой функции. В данном случае проектировщик может выбрать вариант интуитивно либо на основе сравнения полученных вариантов.
Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.
Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:
yi < TTi , i О ; yi > TTj , j О ;
yr = TTr ± ?yr; r О .
где yi, yj, yr - множество выходных параметров;
TTi, TTj, TTr - требуемые количественные значения соответствующих выходных параметров по техническому заданию;
Yr - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в техническом задании значения TTr.
Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.
Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр yi(Х), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта - мощность, для технологического автомата - производительность, для транспортного средства - грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.
Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.
Взвешенный аддитивный критерий применяют тогда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации нужно увеличивать y+i(X) (производительность, помехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т. п.), во вторую - выходные параметры, значения которых следует уменьшать y-i (X) (расход топлива, длительность переходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все у(Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая минимизации целевой функции свертка векторного критерия будет иметь вид
где aj>0 - весовой коэффициент, определяющий степень важности j-го выходного параметра (обычно aj выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).
Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция
определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.
Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид
Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.
Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) характеристики yТТ(Х,щ) с соответствующей выходной характеристикой y(Х,щ) проектируемого объекта, где щ - некоторая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся: проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.
Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:
где р -- количество узловых точек щj на оси переменной щ; aj - весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем меньшее отклонение y(Х, щj) - yTT(Х, щj) нужно получить в j-и точке.
Максиминные (минимаксные) критерии позволяют достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности.
Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,
где аj - весовой коэффициент; yjном - номинальное значение j-го выходного параметра; дj - величина, характеризующая разброс j -го выходного параметра.
Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду yi < TТj. Если yi > TТj , то -yj < -TТj . Следует принимать аj >1 (рекомендуемые значения 5 ? аj ? 20), если желательно достичь выполнения j-го технического требования с заданным допуском, т. е. yj = TТj ± ?yj; aj=l, если необходимо получить максимально возможную оценку zj.
Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то
где m - количество запасов работоспособности.
Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.
где ХД - допустимая для поиска область.
Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.
Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу
Нормирование управляемых и выходных параметров. Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска необходимо вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.
Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:
где оi - коэффициент, численно равный единице параметра ui .
Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).