Méthodes d'optimisation des indicateurs. Guide d'optimisation du taux de conversion Métriques de qualité pour les méthodes d'optimisation

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Le sens et l'essence de l'analyse économique

L'économie étudie les systèmes économiques aux niveaux micro et macro. Les premiers sont créés par des agents économiques individuels, tels que les ménages ou les entreprises. La macroéconomie étudie les systèmes d'États, d'unions internationales et de communautés mondiales. Les structures économiques elles-mêmes sont les formations les plus complexes avec un grand nombre de connexions, de facteurs d'influence et d'éléments. L'objectif de la théorie économique est de trouver l'équilibre du système face à une demande croissante et à des ressources limitées pour accroître l'offre. Afin d'atteindre les buts et objectifs fixés, la science utilise un ensemble d'outils appelés méthodes qui vous permettent de pénétrer dans l'essence du sujet étudié.

Le travail analytique dans le cadre de la recherche économique est une approche globale qui comprend la recherche, la mesure et la généralisation finale de l'impact factoriel sur la performance du système par des calculs et l'utilisation d'autres formes de recherche. L'analyse est basée sur les étapes suivantes :

• Observation, formation d'un tableau d'indicateurs absolus et relatifs.
• Analyse des facteurs d'impact, leur regroupement, détail.
• Accumulation de données et de calculs, débriefing, formation de solutions pratiques.

Remarque 1

L'essence de l'analyse, en tant qu'ensemble de méthodes de recherche, est une comparaison constante, la recherche de relations de cause à effet et la détermination d'un impact quantitatif.

L'approche analytique dans les conditions modernes implique une approche intégrée et systématique. Les méthodes d'analyse économique sont divisées en méthodes formalisées et non formalisées. Les premiers permettent de considérer les indicateurs dans une relation mathématique stricte. La seconde implique l'utilisation de modes de pensée logiques et créatifs. Il est d'usage de distinguer les méthodes classiques, traditionnelles, mathématiques et statistiques, ainsi que les méthodes de prise de décision et de calculs financiers.

Méthodes d'optimisation des indicateurs dans l'économie

En économie, les approches traditionnelles ou mathématiques sont souvent utilisées dans les travaux analytiques. La méthode d'aide à la décision ou d'optimisation des performances fait partie des outils mathématiques. Il est largement utilisé pour prendre des décisions de gestion dans le domaine de la régulation économique des objets. L'optimisation des indicateurs est nécessaire pour améliorer l'efficacité et la qualité de l'étude :

• modèles macro;
• prévoir le comportement économique;
• en tenant compte des facteurs socio-économiques ;
• la prise en compte de l'impact de la chaîne de production ;
• tarification ;
• mise en œuvre des innovations.

L'optimisation des performances comprend également une liste de méthodes, qui incluent la formation d'un arbre de décision, la programmation, l'analyse de sensibilité, la théorie des files d'attente, la théorie des jeux et la recherche opérationnelle. L'utilisation des méthodes d'aide à la décision permet d'approfondir l'étude des indicateurs quantitatifs, de créer un champ d'information plus large et de rendre les calculs plus précis.

Pour analyser la situation afin de prendre une décision de gestion, un arbre de décision est utilisé. Il présente schématiquement les étapes de mise en œuvre de l'action envisagée afin de trouver les faiblesses et d'évaluer les risques. Le spécialiste qui développe le schéma doit tenir compte des coûts de mise en œuvre de l'idée et des revenus potentiels. L'arbre lui-même vous permet d'évaluer la rationalité de la décision et son risque à différentes étapes. Cette méthode vous permet de considérer l'impact de l'action sur le fonctionnement de l'ensemble du système économique dans son ensemble et de minimiser les conséquences négatives ou les erreurs.

Dans le domaine de la planification, la programmation optimale est largement utilisée. Il vous permet d'optimiser le fonctionnement du système économique et de mettre en œuvre des décisions de gestion adéquates. L'essence de la programmation est de développer des dépendances fonctionnelles des paramètres à l'étude. Il peut être linéaire et non linéaire, ce dernier est utilisé pour évaluer les indicateurs de qualité.

La programmation linéaire permet d'évaluer le potentiel de la solution, le rendement de la production et d'autres paramètres économiques, en tenant compte des contraintes. À ces fins, un modèle économique est construit, qui est ensuite décrit par des formules mathématiques. Sur leur base, le résultat est calculé et les données obtenues sont analysées.

Analyse de sensibilité, méthode de Monte Carlo

L'influence de l'ensemble de paramètres sur le résultat final est déterminée par une analyse de sensibilité. Il est utilisé pour calculer les bénéfices potentiels, le succès des activités d'investissement, suivre les fluctuations des prix et évaluer l'équilibre de l'offre et de la demande. Ce type d'analyse permet de voir l'évolution de l'indicateur final en fonction de l'évolution de chacun des facteurs d'influence. Pour mener à bien cette analyse, les étapes suivantes doivent être suivies :

1. Établir la relation des facteurs avec le résultat final en appliquant des équations mathématiques.
2. Détermination des indicateurs probables des valeurs finales en fonction du changement de facteurs.
3. Suivi de l'impact des changements sur le résultat final.

Plus la sensibilité de l'indicateur final par rapport aux facteurs et paramètres est faible, moins le phénomène étudié est considéré comme risqué. En règle générale, l'analyse de sensibilité est utilisée avec des méthodes de scénario dans la construction d'un modèle de Monte Carlo.

Cette méthode est appliquée à un grand jeu de données, dans lequel les fluctuations sont déterminées grâce à des tables de nombres aléatoires. Le modèle vous permet de travailler avec des systèmes qui ont de nombreuses interconnexions. La méthode considère des scénarios aléatoires qui sont traités à l'aide de calculs mathématiques. En conséquence, vous pouvez obtenir un grand nombre de caractéristiques décrivant l'objet ou le phénomène étudié.

Remarque 2

Il existe également une version de simulation de la méthode de Monte Carlo. Il est utilisé dans des cas complexes où il est presque impossible de prédire le résultat final. L'application de la méthode vous permet de suivre la distribution de vos propres attentes et la probabilité d'écarts dans les calculs. En conséquence, un coefficient de variation est obtenu, ce qui vous permet d'évaluer le risque d'un projet ou d'un investissement.

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Optimisation des indicateurs qualité

Exercer№1

A partir de trois types de matières premières, deux types de produits sont fabriqués. Le bénéfice de la vente d'une unité de production du premier type est b 1 mille roubles, et le second - b 2 mille roubles. Le stock de matières premières de chaque type est respectivement de 1, 2, 3 unités. Le besoin en matières premières pour la fabrication de produits du premier type est de R 11 unités de matières premières du premier type, R 12 unités de matières premières du deuxième type, R 13 unités de matières premières du troisième type, et pour la fabrication de produits du deuxième type - R 21 unités de matières premières du premier type, R 22 unités de matières premières du deuxième type, R 23 unités de matières premières du troisième type. Pour chaque type de produit, déterminez un tel volume de production X 1 et X 2 qui procure le profit maximal de la vente des produits manufacturés, à condition que les stocks de matières premières disponibles ne soient pas dépassés. Résolvez le problème en utilisant la méthode du simplexe en convertissant les tables du simplexe.

Donnée initiale:

en 1 = 120 unités.

en 2 = 110 unités.

en 3 = 100 unités

b 1 \u003d 6 mille roubles.

b 2 \u003d 8 mille roubles.

Solution:

Faisons un modèle mathématique du problème. La sortie souhaitée du 1er type sera désignée par X 1, la sortie du 2ème type - X 2. Parce que il existe des restrictions sur le fonds de matières premières de chaque type alloué à l'entreprise ; les variables X 1 et X 2 doivent satisfaire au système d'inégalités suivant :

La valeur totale des produits fabriqués par l'entreprise :

F=6x 1 +8x 2

Selon leur contenu économique, les variables X 1 et X 2 ne peuvent prendre que des valeurs non négatives :

On passe de restrictions - inégalités à restrictions - égalités. Nous introduisons trois variables supplémentaires, qui signifient en termes économiques la quantité de matières premières d'un type ou d'un autre qui n'est pas utilisée dans le cadre d'un plan de production donné :

Faisons un simplexe - un tableau pour la première itération (tableau 1).

Tableau 1

Première itération.

Étape 1 (choix d'une colonne principale)

Parce que il y a des éléments positifs dans la ligne zéro, alors la solution de base admissible d'origine

X 1 \u003d 0, X 2 \u003d 0, X 3 \u003d 120, X 4 \u003d 110, X 5 \u003d 100

Pas optimal. Parmi les deux éléments positifs de la ligne zéro, nous sélectionnons le maximum et 02 = 8 et donc la deuxième colonne est la première.

Étape 2 (Choix de la ligne principale)

Il y a trois éléments positifs dans la première colonne et 12 = 9, et 22 = 10, et 32 ​​= 11.

Comparer les relations

choisissez le minimum. Donc la troisième ligne est le leader, et le leader est un 32 .

Étape 3 (transformer le système en une forme diagonale par rapport au nouvel ensemble de variables de base)

L'élément principal est un 32, donc la variable X 5 doit être retirée de la base, et à la place la variable X 2 doit être introduite.

Nous multiplions la troisième ligne séquentiellement par -8/11, -7/11, -10/11 et additionnons les lignes résultantes, respectivement, avec zéro, premier et deuxième. Tous les éléments de la colonne de tête (à l'exception de l'élément de tête) deviendront zéro et le tableau simplex de la deuxième itération prendra la forme :

Deuxième itération.

Dans la ligne zéro, il y a un seul élément positif a 01 = 2/11 et donc la colonne de tête est déterminée de manière unique.

En première ligne comparant les rapports de coefficients

choisissez le minimum. Ainsi, un élément dominant est un 11 = 7,13.

Variable X 3 retirer de la base et entrer la variable X 1 . Pour ce faire, nous multiplions la première ligne séquentiellement par (-2/87), (-19/87), (-8/87) et en ajoutant les lignes résultantes, respectivement, avec les lignes zéro, deuxième et troisième, nous arrivons à la table optimale :

Il n'y a pas d'éléments positifs dans ce tableau dans la ligne zéro, la solution de base actuelle est

est optimal et, par conséquent, la valeur maximale du profit :

Exercer№2

Le problème de la programmation non linéaire est posé. Trouvez le maximum et le minimum de la fonction objectif à l'aide d'une méthode d'analyse graphique. Composez la fonction de Lagrange et montrez que les conditions minimales (maximales) suffisantes sont satisfaites aux points extrêmes.

Donnée initiale:

Ainsi:

Solution:

Le domaine des solutions admissibles du problème est le quadrilatère ABCD (Fig. 1). En supposant la valeur de la fonction objectif égale à un certain nombre h, on obtient des droites de niveau, à savoir des cercles de centre E (2 ; 5) et de rayon. Avec une augmentation (diminution) du nombre h, les valeurs de la fonction F augmentent (diminuent) en conséquence.

Nous déterminons les valeurs minimales et maximales en traçant des cercles de rayons différents à partir du point E. Sur la fig. 1, on peut voir que la fonction prend la valeur maximale au point D, et le minimum - au point K.

Définissons les coordonnées du point maximum de la fonction objectif comme les coordonnées du point d'intersection des droites :

Déterminons les coordonnées du point minimum de la fonction objectif. Pour trouver les coordonnées de t.K, on ​​égalise les coefficients de pente de la droite et de la tangente au cercle en t.K.

De l'équation, nous trouvons que, et la pente est égale à. La pente de la tangente au cercle au point K peut être obtenue comme la valeur de la dérivée de la fonction X 2 par rapport à la variable X 1 en ce point.

De l'égalité des coefficients de pente, nous obtenons l'une des équations permettant de déterminer les coordonnées de t. K

En y attachant l'équation d'une droite, on obtient un système d'équations :

Ainsi, .

Exercer№3

profit lagrange programmation dynamique

Deux entreprises reçoivent des fonds d'un montant d unités. Lorsqu'il est attribué à la première entreprise pendant un an X parts de fonds qu'il procure un revenu k 1 X unités, et lorsqu'elles sont attribuées à la deuxième entreprise à parts de fonds, il procure un revenu k 1 à unités. Le solde des fonds à la fin de l'année pour la première entreprise est égal à nx, et pour la seconde my. Comment distribuer tous les fonds dans les 4 ans afin que le revenu total soit le plus important. Résoudre le problème par programmation dynamique.

Donnée initiale:

Solution:

La période entière de 4 ans est divisée en 4 étapes, dont chacune est égale à un an. Numérotons les étapes à partir de la première année. Soient X k et Y k les fonds alloués respectivement aux entreprises A et B au k-ième stade. Ensuite, la somme X k + Y k = a k est le montant total des fonds utilisés à l'étape k - cette étape et restant de l'étape précédente k - 1. à la première étape, tous les fonds alloués sont utilisés et a 1 = 2200 unités. le revenu qui sera reçu à la k-ème étape, lorsque X k et Y k unités sont attribuées, sera de 2X k + 1Y k . laissez le revenu maximum reçu aux dernières étapes à partir de la k - cette étape est de f k (a k) unités. Écrivons l'équation fonctionnelle de Bellman exprimant le principe d'optimalité : quels que soient l'état initial et la solution initiale, la solution ultérieure doit être optimale par rapport à l'état obtenu grâce à l'état initial :

F k(UN k)= maximum[ 2x+y + F k +1 (UN k +1 )]

pour chaque étape, il faut choisir la valeur X k , et la valeur Oui k=un k-X k. Gardant cela à l'esprit, nous trouvons le revenu à la k-ème étape :

2x k + y k \u003d 2x k + une k - x k \u003d x k + une k n m

UN k\u003d 0,3x k -1 +0,5 y k -1 \u003d 0,3x k -1 +0,5 (a k -1 - x k -1) \u003d 0,3x k -1 + 0,5a k -1 -0,5 x k -1 \u003d 0,5a k -1 -0,2x k -1

L'équation fonctionnelle de Bellman ressemblera à :

F k(UN k)= maximum[UN k+x k+ F k +1 (UN k +1 )]

Considérez toutes les étapes, en commençant par la dernière.

F 4 (a 4) \u003d max [a 4 + x 4 + 0] \u003d 2a 4, (puisque le maximum de la fonction linéaire a 4 + x 4 est atteint à la fin du segment à x 4 \u003d a 4) y 4 \u003d x 4 -a 4 = 0.

un 4 \u003d 0,5a 3 -0,2x 3

F 3 (une 3) \u003d max [une 3 + x 3 +2 (0,5a 3 -0,2x 3)] \u003d max (une 3 + x 3 + une 3 -0,4x 3)] \u003d max \u003d 2 ,6a 3, (puisque le maximum de la fonction linéaire 2a 3 +0,6 x 3 est atteint à la fin du segment à x 3 \u003d a 3) y 3 \u003d x 3 -a 3 \u003d 0.

un 3 \u003d 0,5a 2 -0,2x 2

F 2 (a 2) \u003d max [a 2 + x 2 + 2,6 (0,5a 2 -0,2x 2)] \u003d max (a 2 + x 2 + 1,3a 2 -0,52x 2)] =

Max \u003d 2,78a 2, (puisque le maximum de la fonction linéaire 2,3a 2 +0,48 x 2 est atteint à la fin du segment à x 2 \u003d a 2) y 2 \u003d x 2 -a 2 \u003d 0 .

un 2 \u003d 0,5a 1 -0,2x 1

F 1 (un 1) \u003d max [un 1 + x 1 + 2,78 (0,5a 1 -0,2x 1)] \u003d max (un 1 + x 1 + 1,39a 1 -0,556x 1)] \u003d

Max \u003d 2,834a 1, (car le maximum de la fonction linéaire 2,39a 1 + 0,444 x 1 est atteint à la fin du segment à x 1 \u003d a 1). y 1 \u003d un 1 - x 1 \u003d 0.

Ainsi, le revenu maximum pendant 4 ans sera

F 1 (a 1) \u003d 2,834 * 2200 \u003d 6324,80 unités

Pour obtenir ce revenu, il est nécessaire d'investir tous les fonds dans l'entreprise A au cours des quatre années (a 1 = x 1, y 1 = 0 ; a 2 = x 2, y 2 = 0 ; a 3 = x 3, y 3 = 0 ; a 4 = x 4, y 4 = 0).

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