В фрактальной графике. Фрактальная компьютерная графика

Фрактальная графика

Понятие фрактала и история появления фрактальной графики. Понятие размерности и ее расчет. Геометрические фракталы. Алгебраические фракталы. Системы итерируемых функций. Стохастические фракталы. Фракталы и хаос.

Понятие фрактала и история появления фрактальной графики

Вы, наверное, часто видели довольно хитроумные картины, на которых непонятно что изображено, но все равно необычность их форм завораживает и приковывает внимание. Как правило, это хитроумные формы не поддающиеся, казалось бы, какому–либо математическому описанию. Вы, к примеру, видели узоры на стекле после мороза или, к примеру, хитроумные кляксы, оставленные на листе чернильной ручкой, так вот что–то подобное вполне можно записать в виде некоторого алгоритма, а, следовательно, доступно объясниться с компьютером. Подобные множества называют фрактальными . Фракталы не похожи на привычные нам фигуры, известные из геометрии, и строятся они по определенным алгоритмам, а эти алгоритмы с помощью компьютера можно изобразить на экране. Вообще, если все слегка упростить, то фракталы – это некое преобразование многократно примененное к исходной фигуре.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора ). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (см. рис). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано . Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек, а кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных (Броуновское движение, цены на акции).

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал . Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Как только Мандельброт открыл понятие фрактала , оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф...

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» ставший классическим – «Какова длина берега Британии?». Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую–то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра – мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

Основное свойство фракталов – самоподобие . Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов выйдет структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах.

Берем отрезок и среднюю его треть переламываем под углом 60 градусов. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной – и так до бесконечности. В результате мы получим простейший фрактал – триадную кривую , которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох .

Если на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника или даже целые их заросли. А можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть её очень симпатичным лесом. В 3D Studio Max, например, для генерации деревьев используется фрактальный алгоритм. И это не исключение – большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют фракталы. Горы, лес и облака на картинке – фракталы.

Файлы фрактальных изображений имеют расширение fif. Обычно файлы в формате fif получаются несколько меньше файлов в формате jpg, но бывает и наоборот. Самое интересное начинается, если рассматривать картинки со все большим увеличением. Файлы в формате jpg почти сразу демонстрируют свою дискретную природу – появляется пресловутая лесенка. А вот fif файлы, как и положено фракталам, с ростом увеличения показывают все новую степень детализации структуры, сохраняя эстетику изображения.

Понятие размерности и ее расчет

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги, узнаем площадь квартиры и т.д. Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа – положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий – окружность, квадрат, парабола и т.д.

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный – значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений – углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов – увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).

Для 3–х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.

Рассчитаем размерность для кривой Пеано. Исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 – двумерный объект.

Когда размерность фигуры получаемой из каких–то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов – мы имеем дело с фракталом.

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» – аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую–либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований – получим геометрический фрактал.

Рассмотренная ранее кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рис. ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Рис. Снежинка Коха

Рис. Лист

Рис. Треугольник Серпинского

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является – снежинка Коха . Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L–Systems . Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов – алгебраические . Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z – комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится – на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

с течением времени стремится к бесконечности.

стремится к 0

принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике – множеству Мандельброта .

Рис. Множество Мандельброта

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число – это число, состоящее из двух частей – действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а bi – мнимая часть. i – называют мнимой единицей, потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим –1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.

Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C. Для построения множества Мандельброта воспользуемся алгоритмом на Бейсике.

For a=–2 to 2 " для всех действительных а от –2 до 2

For b=–2 to 2 " для всех мнимых b от –2 до 2

"Принадлежит множеству Мандельброта

"Повторяем 255 раз (для режима 256 цветов)

For iteration=1 to 255

"Проверили – не принадлежит

If abs(Zn)>2 then Lake=False: Exit For

"Нарисовали черную точку,принадлежащую "озеру" Мандельброта.

If Lake=True Then PutPixel(a,b,BLACK)

" Нарисовали точку не принадлежащую множеству или лежащую на границе.

Else PutPixel(a, b, iteration)

А теперь опишу программку словами. Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от –2+2i до 2+2i выполняем некоторое достаточно большое количество раз Zn=Z0*Z0+C, каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение больше 2, что рисуем точку с цветом равным номеру итерации на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета. Все множество Мандельброта в полной красе у нас перед глазами.

Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю – это и есть множество Мандельброта . За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо – хаотично.

Меняя функцию, условия выхода из цикла можно получать другие фракталы. Например, взяв вместо выражения С=a+bi выражение Z0=a+bi, а С присваивать произвольные значения мы получим множество Жюлиа , тоже красивый фрактал.

Для множества Мандельброта тоже проявляется самоподобие.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма» .

Рис. Плазма

Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если, например, сказать, что цвет точки это высота над уровнем моря, то получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру.

Системы итерируемых функций (IFS – Iterated Function Systems)

Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия. Он пытался кодировать изображения с помощью фракталов. Запатентовав несколько идей по кодированию изображений с помощью фракталов, он основал фирму «Iterated Systems», которая через некоторое время выпустила первый продукт «Images Incorporated», в котором можно было изображения переводить из растровой формы во фрактальную FIF.

Это позволяло добиться высоких степеней сжатия. При низких степенях сжатия качество рисунков уступало качеству формата JPEG, но при высоких картинки получались более качественными. В любом случае этот формат не прижился, но работы по его усовершенствованию ведутся до сих пор. Ведь этот формат не зависит от разрешения изображения. Так как изображение закодировано с помощью формул, то его можно увеличить до любых размеров и при этом будут появляться новые детали, а не просто увеличится размер пикселей.

Если в L–systems (алгебраических фракталах) речь шла о замене прямой линии неким полигоном, то в IFS мы в ходе каждой итерации заменяем некий полигон (квадрат, треугольник, круг) на набор полигонов, каждый их которых подвергнут аффинным преобразованиям. При аффинных преобразованиях исходное изображение меняет масштаб, параллельно переносится вдоль каждой из осей и вращается на некоторый угол.

Фракталы и хаос

Понятие фрактал неразрывно связано с понятием хаос. Хаос – это отсутствие предсказуемости. Хаос возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по–разному. Пример хаотичной динамической системы – погода (метеорологи шутят: «Взмах крыла бабочки в Техасе приводит к урагану во Флориде»).

Хорошо проиллюстрировать хаотичное поведение можно с помощью так называемого logistic equation x=c*x(1–x). Пришло это выражение из биологии, т.к. это грубая модель популяции животных. Так вот при исследовании поведения этой функции выяснилась интересная ее особенность. Если с – фактор роста популяции находится в пределах от 1 до 3, то через некоторое количество итераций популяция стабилизируется.

При с=3 наша функция раздваивается – через определенное число итераций приходим к ситуации, когда высокая популяция в один год сменяется низкой в следующий и значение выражения как бы скачет между двумя значениями.

При с=3.45 она раздваивается снова и у нас уже имеется четырехлетний цикл.

И в точке 3.57 начинается хаос. Значения выражения не имеют какой либо периодичности или структуры. На рисунке изображена зависимость поведения функции от величины с.

Фрактальная графика , как и векторная, основана на математических вычислениях . Однако её базовым элементом является сама математическая формула , то есть никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям либосистемам уравнений . Таким способом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие природные ландшафты и трехмерные объекты.

Определение . Фрактал - это объект, отдельные элементарные части которого повторяют (наследуют) свойства своих «родительских » структур.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия (от лат. fractus - состоящий из фрагментов ) впервые были предложены в 1975 г. математиком Б.Мандельбротом для обозначения нерегулярных , но самоподобных структур . Рождение фрактальной геометрии связывают с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы», в которой были объединены в единую систему научные разработки учёных, работавших в этой области (Пуанкаре, Жюлиа, Кантор и др.). С точки зрения компьютерной графики фрактальная геометрия незаменима при задании линий и поверхностей достаточно сложной формы, а также при генерации объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является их самоподобие . В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всём фрактале в целом. Существует большое разнообразие фракталов. Потенциально наиболее полезным их видом являются фракталы на основе системы итеративных функций (Iterated Function System – IFS ). Метод IFS , изобретённый Майклом Барнсли и его коллегами из Технологического института шт. Джорджия (США), применительно к построению фрактальных изображений базируется на самоподобии их отдельных элементов и заключается в моделировании всего рисунка несколькими меньшими его фрагментами . Специальные уравнения позволяют переносить, поворачивать и изменять масштаб отдельных участков изображения, служащих компоновочными блоками для остальной части картины в целом.

Самыми известными природными фрактальными объектами являются деревья , от каждой ветки которых ответвляются меньшие, похожие на нее, от тех - еще меньшие и так далее. Появление новых элементов меньшего масштаба происходит по достаточно простому алгоритму. Очевидно, что описать такой объект можно всего лишь несколькими математическими уравнениями. Фрактальными свойствами обладают также и многие другие природные объекты: снежинка при увеличении тоже оказывается фракталом, по фрактальным алгоритмам растут кристаллы, растения и т.д.

Посмотрим, как строится простейший фрактал - фрактальный треугольник, его еще называют «снежинка Коха » (рис. 8.2.). Используя простейший алгоритм, треугольники можно достраивать аналогичным образом до бесконечности, что приведёт к получению объекта любого уровня сложности. При этом в отличие от векторной графики, ничего кроме самих уравнений в памяти ком-пьютера хранить не нужно. Вся информация, необходимая для воспроизведения этого фрактала, будет занимать всего лишь несколько десятков байт. Возникает вопрос - а можно ли сжимать данные, подобрав для этого подходящий фрактальный алгоритм? Принципиально - можно, и в этом направлении в настоящее время ведутся активные исследования. Некоторые уже разработанные фрактальные алгоритмы позволяют сжимать определенные типы файлов в 30 раз и более.

8.6.Трехмерная (3D) графика.

Трехмерная графика нашла широкое применение в таких областях, как научные расчеты, инженерное проектирование, компьютерное моделирование физических объектов и т.п. В качестве примера рассмотрим наиболее сложный вариант трехмерного моделирования - создание подвижного изображения реального физического тела . В упрощенном виде для пространственного моделирования объекта требуется:

§ Спроектировать и создать виртуальный каркас («скелет ») объекта, наиболее полно соответствующий его реальной форме;

§ Спроектировать и создать виртуальные материалы (текстуры ), по физическим свойствам визуализации похожие на реальные;

§ Наложить виртуальные материалы на различные части поверхности объекта (спроецировать текстуры на объект );

§ Настроить физические параметры пространства , в котором будет находиться объект, т.е. задать освещение, гравитацию, свойства атмосферы и т.д.;

§ Задать траекторию движения объекта;

§ Наложить поверхностные эффекты на итоговый анимационный сюжет.

Для создания реалистичной каркасной модели объекта используют геометрические примитивы (прямоуголь­ник, куб, шар, конус и прочие) и гладкие , так назы­ваемые сплайновые поверхности . В последнем случае вид поверхности определя­ется расположенной в пространстве сеткой опор­ных точек , каждой из которых присваивается коэф­фициент , задающий степень её влиянии на часть поверхности , расположенной вблизи опорной точки . От взаимного распо­ложения точек и величины коэффициентов зависит форма и гладкость поверх­ности в целом. Деформация объекта в общем случае обеспечивается перемещением отдельных контрольных точек каркаса , связанных с близлежащими опорными точками и влияющих на них в соответствии с удаленностью друг от друга. Специальный инструментарий позволяет обрабатывать примитивы, составляющие объект, как единое целое с учетом их взаимодействия на основе заданной физической модели.

После формирования «скелета » объекта необходимо покрыть его поверхность требуемыми материалами (текстурами). При этом осуществляется так называемая визуализация поверхности , т.е. расчет коэффициента её прозрачности, угла преломления лучей света на границе материала и окружающего пространства и т.д. Закраска поверхностей объекта осуществляется, как правило, метода­ми Гуро или Фонга,) представляющими собой специальные алгоритмы расчета и формирования цветовых оттенков отдельных частей этих поверхностей.

Из всех параметров пространства, в котором будет существовать создаваемый объект, с точки зрения визуализации самым важным является определение источников света . В трехмерной графике принято использовать виртуальные эквиваленты реальных физичес­ких световых источников, таких как, например, Солнце (удаленный неточечный источник ), электри­ческая лампочка (точечный источник ), естественная освещенность вне видимости Солнца и Луны (растворен­ный свет ), прожектор (направленный источник ).

После завершения конструирования и визуализации объекта приступают к его «оживлению », то есть заданию параметров движения. Компьютерная анимация базируется на ключевых кадрах изображения . В первом кадре объект выставляется в исходное положение. Через определенный промежуток (например, в пятом кадре) задается новая ориентация объекта и так далее до конечного положения. Промежуточные кадры вычисляются программно по специальному алгоритму. При этом происхо­дит не просто линейная аппроксимация, а плавное изменение положения опорных точек объекта в соответствии с заданными условиями, определяемыми законами взаимодействия объектов между собой, разрешенными плоскостями движения, предельными углами поворотов, величинами ускорений и скоростей и т.д. Такой подход называют методом инверсной кинематики движения . Он хорошо работает при моделировании различных механических устройств. В случае с имитацией живых объектов используют так называемые скелетные модели , когда создается некий каркас, подвижный в точках, характерных для моделируемого объекта. Движения этих точек просчитываются предыдущим методом, затем на каркас накладывается оболочка из смоделированных поверхностей и осуществляется их визуализация путем наложения текстур с учетом условий освещенности.

Наиболее совершенный метод анимации заключается в фиксации реальных движений физического объекта. Для этого на объекте закрепляют в контрольных точках источники света и снимают заданное движение на видео- или кинопленку. Затем координаты этих точек по кадрам переводят в компьютер и присваивают соответствующим опорным точкам каркасной модели . В результате движе­ния смоделированного объекта оказываются практически неотличимыми от движений живого прототипа.

Процесс расчета реалистичных изображений в компьютерной графике называют рендерингом (визуализацией ). Применение сложных математических моделей позволяет имитировать такие физи­ческие эффекты, как взрывы, дождь, огонь, дым, туман и т.д. Однако их применение в полном объеме требует достаточно больших вычислитель­ных ресурсов и поэтому в персональных компьютерах обычно реализуется лишь в упро­щенных вариантах. По завершении рендеринга компьютерную трехмерную анимацию используют либо как самостоятельный продукт, либо в качестве отдельных частей или кадров других продуктов.

Особую область трехмерного моделирования в режиме реального времени состав­ляют тренажеры технических средств - автомобилей, судов, летательных и кос­мических аппаратов. В них очень точно должны быть смоделированы технические параметры реальных объектов и свойства окружающей физической среды. В более простых вариантах, например при обучении вождению наземных транспортных средств, тре­нажеры могут быть реализованы и на персональных компьютерах.

Среди программных средств создания и обработки трехмерной графики для персональных компьютеров можно выделить три пакета:

§ 3D Studio Max (фирмаKinetix). Пакет считается полупрофессиональным, однако его ресурсов вполне хватает для разработки качественных трехмерных изображений объектов неживой природы. Его отличительными особенностями являются поддержка большинства существующих аппаратных ускорителей 3D -графики, мощные световые эффекты и большое число программных дополнений от сторонних фирм. Сравнительная нетребовательность к аппаратным ресурсам позволяет использовать 3D Studio Max даже на ПК среднего уровня. Вместе с тем по средствам моделирования и анимации он все же уступает более разви­тым современным программным средствам.

§ Softimage 3D (фирмаMicrosoft). Программа изначально создавалась для специализированных графических станций и лишь сравнительно недавно была конвертирована под операционную систему Windows NT. Её отличают богатые возможности моделирования, наличие большого числа регулируемых физических и кинематографических параметров, качественный и достаточно быстрый модуль для рендеринга и множество программных дополнений, значительно расширяющих функции пакета. Однако на платформе IBM PC Softimage 3D выглядит несколько тяжеловато и требует достаточно мощных аппаратных ресурсов.

§ Maya (фирмыAlias, Wavefront, TDI). Один из наиболее передовых пакетов в классе средств создания и обработки трехмерной графики для персональных компьютеров с точки зрения интерфейса и функциональных возможностей. Существует в вариантах для различных операционных систем, в том числе и Windows NT. Весь инструментарий Maya сведен в четыре группы: анимация (Animation ), моделирование (Modeling ), физическое моделирование (Dynamic ) и визуализация (Rendering ). Пакет имеет модульное построение и включает в себя программные блоки, обеспечивающие имитацию физических твердых тел, захват движения, обработку звука, обработку вирту­альных моделей методами, характерными для реальной работы скульпторов и художников, а также сопряжение реальных натурных съемок с компьютерной анимацией и т.д.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Издательство СПбГПУ
УДК 681.3 (075) Рекомендовано к изданию Научно-методическим советом Псковского государственного политехнического института Рецензенты: - Ил

Основы информатики
1. Информация и информационные процессы Основные понятия: информация, информационные процессы, информационное общество, и

Информационные технологии
7. Технологии обработки текстовой информации Основные понятия: текстовый редактор и процессор, Формат текстового файла, Т

Типовая структура пользовательского интерфейса текстового процессора приведена на рис. 7.1 и она включает следующие элементы: § Строка главного меню содержит имена групп к

Текстовый файл. Основные элементы текстового документа
Утверждение. Текстовые файлы - наиболее простая и наглядная форма представления алфавитно-цифровой информации, позволяющая вводить, хранить, редактировать, читать на экране и печат

Этапы формирования текстового электронного документа
Любой текстовый документ в процессе своего формирования проходит следующие этапы (рис.7.2):) 1. Создание документа. 2. Вво

Редактирование текста
Операция редактированиятекста состоит в замене или корректировке неправильно введенных текстовых фрагментов, изменении некоторых атрибутов этих фрагментов и прочее. При выполнении

Выделение, удаление, копированиеи перемещение текста
Все эти перечисленные операции выполняются над отдельными символами, словами, фрагментами текста, абзацами целиком, страницами, несколькими страницами и даже документом в целом. Однако, необходимо

Поиск и замена фрагментов текста
Зачастую при форматировании текста возникает необходимость оперативного поиска и замены по всему набранному тексту документа неправильно набранных слов или словосочетаний, отдельных служебных симво

Стили и шаблоны
Наиболее мощным средством автоматизации форматирования в текстовых редакторах является механизм под названием «стиль». Известно два основных подхода к оформлению текстовог

Средства автоматизации ввода текста
При вводе текста эффективными средствами автоматизации являютсяавтозамена, автотекст, автопроверка орфографии и грамматики. Функция автозамена позволяет с

Автоматическое форматирование текстового документа
Под автоформатированиемпонимается автоматическое оформление текстового документа либо сразу при вводе текста, либо по окончании в случае активизации соответствующей команды. Систем

Создание таблиц
Определение. Таблица- это совокупность ячеек, расположенных в строках и столбцах, которые можно заполнять произвольным текстом или графикой.Ячейкойназывается прямо

Создание графических объектов с помощью встроенных средств
В современных текстовых процессорах можно создавать рисованные объекты, не закрывая документа, в который они должны быть, вставлены. Рисование происходит прямо в документе с использованием внутренн

Вставка объектов из других приложений
Как уже упоминалось, главным принципиальным достоинством современных текстовых процессоров является возможность создания сложных составных документов. Под сложным составным докумен

Основы издательского делопроизводства
Подготовка сложных составных документов к их изданию в виде брошюр, технических отчетов, сборников документов, журналов, книг и иной печатной продукции до недавнего времени достаточно сложным, труд

Теоретические основы представления графических данных
Представление компьютерных данных в графическом виде впервые было реализовано еще в середине 50-х годов 20-го века в задачах научных и военных исследований. С тех пор графический способ отображения

Форматы графических данных
В компьютерной графике используется несколько десятков различных форматов файлов для хранения изображений, но лишь часть из них стала стандартом и применяется в подавляющем большин

Растровая графика
Растровые изображения формируются в процессе преобразования графической инфор­мации из аналоговой формы в цифровую, например, при сканировании существующих на бумаге или фотоплен­к

Векторная графика
Векторные изображения формируются из объектов (точка, линия, окружность, треугольник, прямоугольник и пр.), которые хра­нятся в памяти компьютера в виде графических примити

Цвет и способы его описания
8.7.1. Понятие цвета и его характеристики.) Цвет чрезвычайно важен в компьютерной графике как средство усиления зритель

Способы описания цвета
Цвета в природе образуются различным образом. С одной стороны, световые источники (Солнце, лампочки, экраны компьютеров и телевизоров) излучают свет различных длин волн, воспринима

Цветовая палитра
Электронная цветовая палитра в компьютерной графике по предназначению подобна палитре художника, но включает в себя гораздо большее число цветов. Это своеобразная таблица данных, в

Системы управления цветом
При создании и обработке элементов компьютерной графики необходимо стремиться к тому, чтобы изображение выглядело практически одинаково на всех стадиях этого процесса, на любом устройстве отображен

Цветовая модель RGB
Цветовая модель RGB (Рис. 8.3.) является аддитивной, т.е. в ней любой цвет представляет собой сочетание в

Цветовая модель CMYK
Несветящиеся объекты поглощают часть спектра белого света, отражая цвета, определяющие окраску этих объектов. Цвета, которые образуются из белого света путем вычитания из него определенных участков

Цветовая модель CIE Lab
Модели RGB и CMYK являются аппаратно-зависимыми (в RGB значения базовых цветов определяются, как правило, качеством монит

Видеосистема персонального компьютера
Основным техническим средством для оперативного формирования и отображения как текстовой, так и графической информации в компьютере является видеосистема. Видеосистема ком

Графические редакторы и их возможности
Для созда­ния, просмотра и редактирования графических изображений на компьютере используют­ся специальные программы - графические редакторы, подразделяемые, как правило, на две кат

Растровые графические редакторы
Среди растровых графических редакторов есть простые, на­пример приложение Windows Paint, и мощные профессио­нальные графические системы, такие как пакет Ad

Векторные графические редакторы
К простейшим векторным графическим редакторам относятся, например, графические программные приложения в составе текстового процессора Microsoft Word и редактора эл

Редакторы электронных таблиц и табличные процессоры
9.1.1.Назначение, Основные функции, Классификация, Ценность любой информации в значительной мере определяется качеством её организации, и, более того, существенная

Форматы табличных файлов
Электронные таблицы, также как и другие электронные документы (текстовые, графические, комплексные), хранятся на внешних носителях в виде файлов. Как правило, при сохранении файлов электронных табл

Типовая структура пользовательского интерфейса
При работе с электронной таблицей на экране монитора выводятся рабочее поле таблицы и панель управления (рис.9.1). Панель управления обычно включа

Этапы формирования электронной таблицы
Любой табличный документ в процессе своего формирования проходит следующие этапы:) 1. Создание таблицы или ее загрузка. 2.

Ввод данных в ячейки
Ввод данных в ячейки таблицы производится стандартным технологическим приемом - путемнабора данных (чисел, текста, формул) с помощью клавиатуры. Ввод может осущест

Редактирование электронной таблицы
Редактирование электронной таблицы состоит в замене или корректировке неправильно введенных данных, изменении некоторых их атрибутов, изменении содержимого отдельных ячеек, их удал

Форматирование таблицы
Легкость восприятия информации в электронных таблицах резко улучшается при применении различных приемов форматирования, т.е. при оформлении таблицы в определенномпрофессиональном стиле

Сортировка, поиск и замена данных
Электронные таблицы позволяют осуществлять сортировку данных. Данные в электронных таблицах можно сортировать по возрастанию или по убыванию. Стро

Относительная и абсолютная адресация ячеек
При копировании или перемещении формулы в другое место таблицы необходимо организовать управление формированием адресов исходных данных. Очевидно, что в зависимости от внутренней логики выражений в

Средства автоматизации ввода данных
При вводе данных обычно используются следующие приемы автоматизации: · Повторный ввод (копирование)уже существующих данных путем использования буфера обме

Автоматическое форматирование электронных таблиц
Для обеспечения быстрого форматирования как содержимого ячеек, так и внешнего вида таблицы используются средства автоматического форматирования. К этим средствам можно отнести: · С

Автоматизация циклических вычислений и создания формул
Как уже отмечалось, современные табличные процессоры представляют собой мощные программные системы, ориентированные в первую очередь на эффективную математическую обработку разнообразной числовой и

Деловая графика в табличных процессорах
Деловая графика состоит в визуализации больших массивов числовых данных, т.е. в пред­ставлении их в наглядной графической форме, в виде диаграмм. Определение. Диаг

Агрегирование данных
Агрегирование данных состоит в формировании промежуточных итогов, а также создании сводных и консолидированных таблиц.

Использование электронных таблиц для решения задач
Качественная и глубокая проработка математических и алгоритмических возможностей современных табличных процессоров превратила их мощный математический инструмент подготовки и проведения прикладных

Статистическая обработка данных и решение задач прогнозирования
Статистическая обработка данных - это самый распространенный прием анализа числовой информации, с помощью которого вычисляются разнообразные статистические оценки рядов данных, которые в общем случ

Решение задач моделирования объектов, процессов, явлений
Кроме рассмотренных в пп. 9.8.1 и 9.8.2 задач, табличные процессоры позволяют решить и много других задач моделирования финансово-экономи-ческих, управленч

Базы данных
С самого начала развития вычислительной техники образовались два основных направления ее использования: § Первое - это применение вычислительной техники для выполнения численных ра

Требования, предъявляемые к БД и информации, хранящейся в ней
Для того, чтобы компьютерная БД приносила людям пользу, она должна отвечать следующему ряду требований: § Адекватность

Типы баз данных
За время использования компьютерных БД было предложено несколько типовых структур (по-другому называемых видами или типами БД), н

Основные объекты в базах данных
К основным объектам баз данныхотносятсятаблицы (отношения, relations), метаданные (metadata), индексы (indexes) и представления (view) )

Виды запросов и способы их организации
Определение. Любые манипуляции с данными в базах данных, такие как выбор, вставка, удаление, обновление данных, изменение или выбор метаданных, называются запросами к базе данных (query)

Понятие мультимедиа. Гипертекст и гипермедиа. Объекты мультимедиа
Термин мультимедиа (от англ. multimedia) можно перевести как «много сред» или «много носителей», т.е.: Определение.

Схемы хранения и воспроизведения мультимедиа-файлов
Для реализации мультимедиа компьютер должен быть оснащен следующими компонентами: § Аппаратными средствами, реализующими доступ к мультимедиа-данным, их создание и воспроизведение - иными

Средства создания мультимедиа документов (обзор)
В настоящее мультимедиа-технологии нашли широкое применение при создании разнообразных документов делового и развлекательного характера, презентационного назначения, когда возникает необходимость п

Компьютерные сети
Телекоммуникации в широком смысле этого понятия - это общение между субъектами, которыми могут быть люди, приборы, компьютеры, любые технические системы, находящимися на таком

Топология сети
Определение. Структура связей абонентов (узлов) вычислительной сети или, иными словами, метод их соединения в распределенную вычислительную среду, образующий некоторую физическую г

Архитектура сети
Определение. Системное описание вычислительной сети, определяющее функциональное назначение сетевых узлов при взаимодействии их друг с другом с целью обмена данными и организации у

Средства реализации сетей
В структуре сети любого масштаба легко выделить основные компоненты, без которых она не может быть реализована. Это, прежде всего: · Аппаратные средства, которые включают:

Основные пользовательские функции Internet
Развивая глобальные распределенные вычислительные среды (РВС) человечество создает на планете Земля новую универсальную интеллектуальную информационную среду. Одним из самых ярких

Структура Internet
Определение. Internet- это объединенная сеть, использующая технологию статистического мультиплексирования и устройства маршрутизации пакетов типа

Адресация в Internet
С точки зрения пользователя Internet - это совокупность крупных сетевых узлов (хостов или информационных серверов), объединенных между собой

Базовые информационные службы Интернет
Изначально сеть Internet была задумана и построена с целью автоматизациипроцессов обработки данных. Термин «обработка данных» озн

Off-line-сервисы Internet
§ Служба электронной почты e-mail, предоставляющая пользователю возможность обмена сообщения с другими абонентами по электронными коммуникациям. Можно пересылать текстовые сообщени

On-line-сервисs Internet
§ Служба удаленного файлового обмена FTP (File Transfer Protocol), предоставляющая FTP-клиенту механизм интерактивного доступа к файлохран

Internet-провайдеры
Интернет-провайдерами (от англ. to provide - предоставлять) называются сетевые компании, предоставляющие доступ к услугам глобальной сети Интернет

Web-браузеры
Как уже упоминалось ранее для просмотра WWW-ресурсовглобальной сетиИнтернет необходимо на клиентских станциях, подключенных к сети, установить клиентские программн

Основы технологии WWW
12.6.1.Архитектура распределенной Web-системы. Фундаментом Web-систем являются четыре компоненты:)

Пособие для поступающих в вуз
Под общей редакцией доцента, к.т.н. В.С. Белова Технический редактор В.С. Белов Компьютерная верстка: авторский коллектив

В лесах фрактальной графики

Дмитрий Шахов, фрилансер, г.Москва

Фракталы привлекают внимание, завораживают, гипнотизируют. Однако многие считают, что такие изображения — просто узоры, которые хороши лишь на экране монитора или в качестве прикладных вспомогательных средств для оформления различной полиграфической продукции. При этом мало кто догадывается, что простота эта только кажущаяся. На самом деле фрактальная графика довольно сложна и является результатом слияния математики и искусства. Сегодня фракталы — один из самых перспективных, быстро развивающихся видов компьютерной графики.

Прежде чем перейти к рассмотрению фрактальной графики, рассмотрим, в чем суть компьютерной, или «машинной», графики, а также общепринятую классификацию компьютерной графики (Computer Graphics, CG). Это понятие появилось относительно недавно, в 60-х годах прошлого столетия, когда были изобретены электронные вычислительные устройства. Термин «компьютерная графика» трактуется в различных источниках по-разному. Некоторые определяют его как область информатики, занимающуюся вопросами получения различных изображений (рисунков, чертежей, мультипликации) на компьютере. Компьютерная графика охватывает все виды и формы представления изображений, доступные для человеческого восприятия на экране монитора или в виде копии на внешнем носителе (бумаге, ткани, кинопленке и т.п.). В других источниках компьютерная графика называется специальной областью информатики, изучающей методы и средства создания и обработки изображений с помощью программно-аппаратных вычислительных комплексов.

В широком смысле слова компьютерная графика — это всё, для чего используется визуальная, образная среда отображения на мониторе. Если сузить понятие до практического использования, то под компьютерной графикой можно подразумевать процесс создания, обработки и вывода разного рода изображений с помощью компьютера.

В зависимости от способа формирования изображений компьютерная графика делится на растровую, векторную и фрактальную (рис. 1).

Основным и наименьшим элементом растрового изображения является точка. Когда изображение находится в программной среде на экране, она называется пикселом. Каждый пиксел растрового изображения имеет две характеристики: размещение и цвет. Чем больше количество пикселов и меньше их размеры, тем лучше выглядит изображение. Большие объемы данных — это основная проблема при использовании растровых изображений. Второй недостаток растровых изображений связан с невозможностью их увеличения для рассмотрения деталей. Поскольку изображение состоит из точек, увеличение изображения приводит к тому, что эти точки становятся крупнее и напоминают мозаику, а следовательно, дополнительных деталей в этом случае рассмотреть не удается. Более того, увеличение точек растра визуально искажает изображение и делает его зернистым. Этот эффект называется пикселизацией.

Рис. 1. Типы компьютерной графики: а — растровая; б — векторная; в — фрактальная

В векторной графике основным элементом изображения является линия (не важно, прямая или кривая). Разумеется, в растровой графике тоже существуют линии, но там они рассматриваются как комбинации точек. Для каждой точки линии в растровой графике отводится одна или несколько ячеек памяти (чем больше цветов могут иметь точки, тем больше ячеек им выделяется). Соответственно, чем длиннее растровая линия, тем больше памяти она занимает. В векторной графике объем памяти, занимаемый линией, не зависит от размеров линии, поскольку линия представляется в виде формулы, а точнее, в виде нескольких параметров. Что бы мы ни делали с этой линией, меняются только ее параметры, хранящиеся в ячейках памяти. Количество же ячеек для любой линии остается неизменным.

Рис. 2. Пример фрактальности в природе — капуста Романеску

Изображение в векторном формате легко редактируется: его можно без потерь масштабировать, поворачивать, деформировать. Имитация трехмерности в векторной графике тоже проще, чем в растровой. Дело в том, что каждое преобразование фактически выполняется так: старое изображение (или фрагмент) стирается, а вместо него строится новое. Математическое описание векторного рисунка остается прежним — изменяются только значения некоторых переменных, например коэффициентов.

Фрактальная графика относительно молода по сравнению с растровой и векторной графикой. Основой фрактальной графики является фрактальная геометрия, позволяющая математически описывать различные виды неоднородностей, встречающихся в природе. Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика» появились в конце 1970-х. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги «The Fractal Geometry of Nature» Бенуа Мандельброта. Определение фрактала, данное Мандельбротом: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Самоподобие — одно из основных свойств фракталов. Таким образом, фрактальная графика — это вид компьютерной графики, в которой в той или иной мере используются самоподобные структуры (проще говоря, фракталы). Далее мы поговорим о том, что же такое самоподобие и где в природе встречаются фракталы.

Что подразумевается под самоподобием? Капуста Романеску из Италии — самый характерный пример фрактального объекта в природе. Капустные почки у нее нарастают в виде некой спирали (рис. 2), которая называется логарифмической, а число капустных почек совпадает с числом Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Свое название они получили в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Каждая часть элементов капусты Романеску имеет ту же форму, что и весь кочан. Это свойство повторяется с регулярностью в различных масштабах. По сути эта капуста является природным фракталом. То есть как бы мы ни увеличивали фрактал, после каждого шага мы увидим ту же форму, что характерна для данного фрактала в целом. Таким образом, с фракталами тесно связаны еще два понятия — итерация и рекурсия. Рекурсия — процесс повторения элементов самоподобным образом. Итерация — упрощенно говоря — повторное применение какой-либо математической операции.

На самом деле фрактальные свойства имеет очень большое количество природных объектов — просто мало кто об этом задумывается. Вы можете любоваться облаками на небе, набегающими волнами прибоя, ходить по лесу — и даже не подозревать, что в основе этой красоты лежит математика! Да-да! Исследования фрактальных свойств природных объектов начал проводить еще Бенуа Мандельброт. Оказывается, несмотря на всю сложность природных объектов, многие из них в принципе описываются довольно простыми математическими формулами. Хотя в чистом виде фракталы в природе не существуют. То, что мы наблюдаем, — это так называемые стохастические фракталы. То есть такие фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. «Чистый» фрактал можно приближать до бесконечности, поскольку он обладает бесконечной рекурсией, а вот о стохастических фракталах этого сказать нельзя.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из следующих свойств:

• имеет нетривиальную структуру во всех масштабах — этим фрактал отличается от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, поэтому на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину;
• является самоподобной или приближенно самоподобной;
• имеет дробную метрическую размерность или метрическую размерность, превосходящую топологическую.

Кроме того, для построения фрактала необходимо учитывать начальное состояние и описывающую его формулу — так называемое исходное множество, которое пропускается через некий механизм, вызывающий его отображение и добавляющий отображенное множество к исходному. Этот процесс и называется итерацией. Таким образом, после нескольких подобных относительно простых операций получается весьма сложное изображение. В процессе получения фрактала важны два момента: исходное множество и механизм преобразования. В зависимости от алгоритма построения фракталы делятся на линейные и нелинейные.

Алгоритмы построения линейных фракталов определяются линейными функциями. В них самоподобие присутствует в простейшем варианте: любая часть повторяет целое.

Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого.

Один из простейших примеров линейного фрактала — кривая Коха (1904 год, немецкий математик Хельга фон Кох).

Существует простая рекурсивная процедура (получение самоподобных частей фрактала) формирования фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рис. 3 приведено несколько шагов этой процедуры для кривой Коха.

Одним из первых нелинейные фракталы описал французский математик Гастон Жюлиа еще в 1918 году. Но в его работе отсутствовали изображения исследованных им множеств и термин «фрактал».

В наше время компьютеры позволили получить изображения множеств Жюлиа (рис. 4а ), которые вместе с множествами Мандельброта(рис. 4б ) являются ныне самыми известными квадратичными фрактальными структурами.

Оба типа фракталов возникают в результате реализации на комплексной плоскости самого простого нелинейного алгоритма.

Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых родителей геометрических свойств объектов-наследников. Построение фрактального рисунка осуществляется по какому-либо алгоритму или путем автоматической генерации изображений при помощи вычислений по конкретным формулам. Изменения значений в алгоритмах или коэффициентов в формулах приводит к модификации этих изображений. Главным преимуществом фрактальной графики является то, что в файле фрактального изображения сохраняются только алгоритмы и формулы.

Фрактал — объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур. Поскольку более детальное описание элементов меньшего масштаба происходит по простому алгоритму, описать такой объект можно всего несколькими математическими уравнениями.

Фракталы позволяют описывать целые классы изображений, для детального описания которых требуется относительно мало памяти. В то же время фракталы слабо применимы к изображениям вне этих классов.

Программные средства для работы с фрактальной графикой предназначены для автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Именно поэтому фрактальная графика не признается ни компьютерными, ни обычными художниками из-за того, что якобы здесь за человека всё делает программа. На самом деле процесс работы с фрактальной графикой хоть и автоматизирован, но, тем не менее, полностью творческий: комбинируя формулы и меняя переменные, можно добиваться удивительных результатов и воплощать самые смелые художественные замыслы. Создание фрактальной художественной композиции заключается не в рисовании или оформлении, а в программировании.

Изменяя и комбинируя окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную» композицию. Фрактальная графика, так же как векторная и трехмерная, является вычисляемой. Ее главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому для выполнения всех вычислений в памяти компьютера ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно иное изображение. Эта идея нашла применение в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

В машинной графике фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Собственно, поэтому настоящей статье и дано такое название. Многие природные объекты имеют фрактальные свойства, поэтому их легко создавать на компьютере с помощью фрактальной графики. Например, при разработке компьютерной игры нет нужды каждый раз заново рисовать лес, горы, облака и т.д. Эти объекты обладают самоподобием, а следовательно, могут быть легко сгенерированы программными средствами на основе математических формул. Добавляя или изменяя некоторые параметры исходной формулы, можно добиться удивительного разнообразия получаемых природных объектов. Фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим ПК по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальные анимация и музыка.

В заключение хотелось бы отметить следующее: фрактальная графика — одно из самых необычных и перспективных направлений в компьютерной графике. Результаты, которые можно получить с ее помощью, поражают воображение даже самых искушенных ценителей компьютерного искусства. Так, изображения, создаваемые с помощью программ-фракталогенераторов, порой содержат совершенно фантастические и необычные пейзажи (рис. 5), которые даже не снились художникам-сюрреалистам. И наоборот, с помощью фрактальной графики можно с удивительной точностью изобразить то, что мы видим в окружающем нас мире. Воистину мир фракталов удивителен! 

Продолжение следует.

Аннотация: Сравнение феномена фрактальной компьютерной графики с различными абстрактными живописными техниками и поиск их взаимосвязи в современном искусстве.

Ключевые слова: фрактальная графика, орнамент, арабеска, абстракция, живопись, компьютер, монотипия

Fractal graphic as digital objectless art.

Abstract: This article analyses the phenomena of digital computer graphics, based on mathematics calculations, and possibilities of using it in different modern art techniques.

Digital fractal patterns are irregular, self-similar structures, which are based on natural objects`s group of similar characteristics, such as: corals, starfishes, sea urchins, snowflakes, crowns of the trees. The principle of such image forming is natural, and it becomes much more interesting to watch it`s digital mathematic simulation.

In contrast to digital graphic and painting, fractal graphic does not base on classic art traditions. The most resembling to the fractal graphics are objectless ornamental traditions, which takes the principles of infinite spatial creation of similar groups. The article includes the comparison of general ornamental rules and features of fractal images.

Owing to the fact that modern computer software allows to create the digital fractal graphic without special mathematics skills, an artist can combine traditional and digital painting and abstract fractal graphic to reach that level of balance and fortuity of an image, that abstract artist tried to get, using traditional techniques.

The fractal graphic is examined as an digital analog of traditional painting technique of monotyping in complex art work. Author underlines the likeness of many digital and material ways of creating the images. The final visual language of the piece of art still remains to be more important, than technological details of it`s production.

Keywords: fractal graphic, ornament, arabesque, abstraction, painting, computer, monotyping

Пытаясь определить художественную ценность произведений, полностью созданных с помощью компьютера и существующих в виде подлинника только в нематериальной среде, или произведений, основа создания которых - цифровая графика, нужно уделить внимание возможностям программируемых алгоритмов. С их помощью можно получить сложные орнаментальные изображения, обладающие необычными художественными свойствами.

Речь идет о фрактальной графике, которая позволяет создавать изображения, строящиеся по уравнению или системе уравнений. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика», появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Рисунок морской звезды и фотография снежинки под микроскопом - объекты, обладающие фрактальными свойствами, и фрактальный рисунок, сгенерированный на компьютере.

С помощью специализированных программ вы можете даже без особых математических познаний вносить изменения в формулу построения фрактального изображения, меняя цвет, частоту, размер, форму фрактальных фигур, их композицию и направленность.

Вы управляете построением формулы с помощью привычного графического интерфейса; компьютер тут же просчитывает результаты ваших действий; вы вносите изменения в формулу и тут же видите обновленное изображение фрактала. Графику, полученную таким путем, можно сравнить с традиционными орнаментами или строением многих естественных объектов, обладающих фрактальными свойствами: кораллы, морские звезды и ежи, снежинки, кроны растений.

Сам принцип такого построения изображения естественен, и тем интереснее наблюдать его виртуальную математическую симуляцию.

Рассматривая художественную ценность фрактальной графики, нужно прежде всего заметить, что она не основывается на классических художественных традициях. Конечно, похожий способ построения орнамента использовался в разных национальных искусствах, преимущественно восточных, где беcпредметные мотивы были более развиты. Общий ритм изображения создавался за счет повторяющихся мотивов, родственных друг другу, общее построение рисунка циклично, используются типовые элементы.

Такой подход создает уравновешенную композицию с возможностью продолжать ее бесконечно.

Симметрия, метр, ритм, модуль - эти, имеющие выраженную математическую природу категории наиболее выражены в орнаменте, самой математически строгой области изобразительного искусства.

Приведу для примера некоторые законы орнаментальной композиции:

закон пропорциональности в орнаментальной композиции заключается в установлении соразмерности частей в отношении целого и друг к другу. Пропорциональные отношения площадей рисунка и фона, размеров орнаментальных мотивов и их составных частей, линейных характеристик орнаментальных форм и т.п. определяют выразительность композиции.

закон соподчинения - звучание выразительных средств орнаментальной композиции обеспечивается выделением из их числа главных и подчинения им второстепенных. Закон соподчинения в штучных композициях трансформируется в закон доминанты (господствующей идеи): когда в композиции отчетливо выделяется один или несколько орнаментальных мотивов по размерам, форме, фактуре и цвету.

закон орнаментального контрапункта - построение орнаментальных мотивов возможно из ряда замкнутых элементов путем соединения их в целостный орнаментальный образ.

Фрактальный узор, как правило, отвечает большинству этих пунктов. Особенно близок к строению фрактала вид орнамента «арабеска», построенный по геометрической сетке - принципу бесконечного пространственного развития повторяющихся групп орнаментальных мотивов.

Фрактальную графику, в отличие от растровой и векторной, можно назвать менее вещественной, более самобытной, и существующей изначально, как вид искусства, исключительно в цифровой среде. Конечно, теоретически можно воссоздать поведение математической формулы фрактала и на бумаге, но такое занятие настолько технически трудоемко, что становится бессмысленным.

Фрактальный узор, создаваемый без подготовки математической основы обладает важным свойством - он непредсказуем для создателя. Изначально вы не можете контролировать полностью все аспекты графического изображения, если вы, конечно, не профессиональный математик или перед вами не стоит задача создать конкретный узор по заранее разработанной формуле.

Пример фрактальной графики - демонстрация самоповторяющейся структуры фрактала. Обратите внимание на сбланасированные сочетания цветов.

Художнику интересен именно визуальный результат, получающийся с большой долей случайности, но обладающий выдающимися декоративными особенностями. Не используя ни традиционные, ни цифровые аналоги художественных инструментов, не опираясь изначально на принципы построения композиции, не выбирая гамму цветов, а лишь внося изменения в формулу, которая и является здесь основным конфигуратором, можно получить такое изображение, которое невозможно создать вручную или придумать нарочно. Фрактальный рисунок подчинен общей гармонии, так как повторяет и множит сам себя в различных прогрессиях, единство стиля здесь легко достижимо.

Сам факт того, что именно математический процесс в случайном порядке, практически без вмешательства человека способен генерировать изображения, обладающие художественными свойствами, был бы невозможен без участия компьютера. Компьютер способен помочь автоматизировать творческий процесс, если речь идет о сложной, многоэтапной работе.

Возможности фрактальной графики расцениваются художником как возможности отдельного инструмента, отдельного этапа в общем процессе работы.

Приведу пример: вы решили написать живописную работу размером 2 на 2 метра, выбрали примерную тематику. Пусть это будет многофигурная композиция на фоне пейзажа. Здесь существуют два пути продолжения работы - предметный или абстрактный. Вы можете отталкиваться от рисунка конкретной композиции, фигур, двигать их и перемещать в поисках всеобщей гармонии. Неважно, как вы это делаете: углем на холсте или посредством цифрового графического редактора.

Первый этап вашей работы - это поиски визуальной гармонии в пределах выбранного формата. И более неоднозначный, сложный, но и более продуктивный способ - начать искать предметную композицию, отталкиваясь от беспредметного, абстрактного рисунка. В классической живописи используется имприматура, живописная свободная подложка, первый слой, на котором можно без ограничений намечать цветовые пятна, гармонично распределить по холсту тональные зоны, скомпоновать рисунок, то есть провести подготовительный этап, практически беспредметный, который сам подскажет, в каком направлении лучше двигаться дальше.

Одно из важных умений художника состоит в способности временно отключиться от привязки к конкретным образам и работать с более общими формами, элементами случайности, чувствовать материал, который сам часто подсказывает верные решения. Очень сложно намеренно создать гармоничное произведение, руководствуясь определенным набором правил, и работать всегда в рамках предметности.

Технологический процесс создания простой одноцветной монотипии.

Хорошим примером является техника монотипии в классической живописи. Произведение не обязательно должно быть сюжетным и предметным, чтобы передать настроение и атмосферу. Техника монотипии с некоторой долей случайности позволяет создавать абстрактные живописные произведения.

Художник наносит слой масляных красок на стекло, а потом отпечатывает в зеркальном отражении краски на бумагу. Бумага может иметь собственный цвет, что добавляет вариативности в конечный результат. Под давлением мазки принимают новые формы, смешиваются, проступает цвет бумаги, и художник получает зеркальное изображение рисунка на стекле, измененное и обобщенное благодаря случайным деформациям. Такая монотипия может быть завершена как абстрактное произведение с помощью лессировок, обобщения цвета, добавления новых цветов, или может стать подготовительным подмалевком для дальнейшей работы с вполне предметным сюжетом.

Юрий Вайс . «Абстракция». Бумага, акварель, карандаш, Photoshop. Абстрактная живописная композиция, созданная на основе монотипии.

И в этом случае абстрактные свойства фракталов позволяют получить неожиданный декоративный результат, сыграть роль подмалевка.

Допустим, вам нужно нарисовать фантастический пейзаж, сделать его убедительным, но в то же время необычным, подобрать сложную гамму цветов. Вы можете начать со случайного результата - создать многоцветный плотный фрактальный рисунок, узор, который уже создает некий графический ритм, и использовать его в качестве основы для дальнейшего рисунка в графическом редакторе; вы можете его исказить, поменять цвет, сделать более сдержанным, начать намечать поверх широкими мазками общие черты вашего пейзажа, но случайный узор в качестве подложки будет вас вести, направлять и подсказывать неожиданные решения. После вы можете распечатать получившийся цифровой рисунок, натянуть этот принт и пройтись по нему гуашью или закончить его карандашами, если того требует общая идея произведения.

Именно случайность, вариативность фрактальной графики становится ценным качеством для использования ее в художественных работах, особенно если речь идет о живописи. И тем удивительнее тот факт, что в этом участвует автоматизированный компьютерный процесс, способный с легкостью создать изображение такой степени сбалансированности и случайности, какую с трудом пытались найти и воспроизвести многие художники - абстракционисты.

Слева  - абстрактная живопись, Герхард Рихтер A.B. Courbet , холст, масло 1986 г. Cправа  - пример фрактальной цифровой графики.

Прием использования повторяющихся мотивов похож на прием калейдоскопа в абстрактной графике. Художник определяет для себя участок работы, который будет в дальнейшем скопирован и отзеркален, выбирает направление отражений и таким образом создает из повторяющихся копий новую, самобытную композицию. При этом, исходный участок сам по себе может быть не гармоничен с точки зрения композиции, не симметричен и хаотичен, но итоговый результат, составленный из множества таких фрагментов, создает весьма неожиданный, непредсказуемый рисунок. Фактор случайности в такой технике тоже присутствует и остается очень важным.

Изображение в калейдоскопе, состоящее из множества отдельных, хаотичных элементов, выстраивается в гармоничный рисунок - благодаря симметричному по вертикали и горизонтали рисунку, отраженным частицам общего «родителя». Хаотичность собирается в гармоничную композицию, основываясь на приеме отражения и повторения. Получается, что фрактальный узор является заведомо уравновешенным.

Юрий Вайс «Калейдоскопы», бумага, акварель, карандаш, Photoshop

Это еще раз подчеркивает сходство техник и художественных подходов в цифровой и материальной средах. При желании художник может найти удобный способ воспроизведения своей техники на компьютере, подобрать нужный набор программ, аналогичных традиционным приемам, и создавать произведения, не ограничивая себя какими–либо техническими рамками.

Компьютерные фракталы и калейдоскопы эффективны при создании абстрактных работ. Растровые редакторы позволяют замешивать цвета, имитировать поверхности, рисовать в различных техниках, а векторная графика способна строить идеальные кривые и геометрические композиции. Умение совмещать все эти возможности дает художнику огромную свободу самовыражения.

Не важно, предметный или абстрактный сюжет разрабатывает художник, делает он свою работу на бумаге, компьютере или совмещает их, - важен лишь визуальный язык итогового произведения: насколько он ясен и как четко передает заложенный художником смысл.

Фрактальная графика представляет собой яркий синтез математических, цифровых, машинных вычислений и орнаментальной, декоративной графики, ее автоматизированность и непредсказуемость открывает новые возможности для творчества. Ее можно назвать главным инструментом для создания беспредметного и абстрактного искусства в цифровой среде.

Список литературы:

1. Б.Р.Виппер. Введение в историческое изучение искусства. - М., 1970. С. 145–160
2. Федер Е. Фракталы // Пер. с англ.-Москва, Мир, 1991.
3. Фракталы в простых числах
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.// Бенуа Мандельброт - изд-во Институт компьютерных исследований. Москва - Ижевск, 2002. С. 17–18, С. 59
5. Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса // Бенуа Мандельброт. - Ижевск,: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.
6. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 18
7. Что такое фракталы

Почему фраталы так красивы?

Так сказочно, обворожительно, волнующе красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"-"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день. Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции. Х.О.Пайген и П.Х Рихтер.

При фрактальном подходе хаос...перестает быть синонимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Понятие фрактал и фрактальная графика.

Геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"