Ποια είναι η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; II. Εύρεση του βέλτιστου σχεδίου και της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Ομαλές συναρτήσεις και συστήματα εξισώσεων

Διάμεσος είναι ένα τμήμα που σχεδιάζεται από την κορυφή ενός τριγώνου προς το μέσο της απέναντι πλευράς, δηλαδή το χωρίζει στο μισό στο σημείο τομής. Το σημείο στο οποίο η διάμεσος τέμνει την πλευρά απέναντι από την κορυφή από την οποία αναδύεται ονομάζεται βάση. Κάθε διάμεσος του τριγώνου διέρχεται από ένα σημείο, που ονομάζεται σημείο τομής. Ο τύπος για το μήκος του μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους.

Τύποι για την έκφραση του μήκους της διάμεσης

• Συχνά σε προβλήματα γεωμετρίας, οι μαθητές πρέπει να αντιμετωπίσουν ένα τμήμα όπως η διάμεσος ενός τριγώνου. Ο τύπος για το μήκος του εκφράζεται σε πλευρές:

όπου a, b και c είναι οι πλευρές. Επιπλέον, c είναι η πλευρά στην οποία πέφτει η διάμεσος. Έτσι φαίνεται ο απλούστερος τύπος. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου απαιτούνται μερικές φορές για βοηθητικούς υπολογισμούς. Υπάρχουν και άλλοι τύποι.

• Αν κατά τον υπολογισμό είναι γνωστές δύο πλευρές του τριγώνου και ορισμένη γωνίαα που βρίσκεται ανάμεσά τους, τότε το μήκος της μέσης του τριγώνου που χαμηλώνει στην τρίτη πλευρά θα εκφραστεί ως εξής.

Βασικές ιδιότητες

• Όλες οι διάμεσοι έχουν ένα κοινό σημείο τομής Ο και διαιρούνται με αυτό σε αναλογία δύο προς ένα, αν μετρηθούν από την κορυφή. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου.
• Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο άλλα των οποίων τα εμβαδά είναι ίσα. Τέτοια τρίγωνα ονομάζονται ίσου εμβαδού.
• Εάν σχεδιάσετε όλες τις διάμεσες, το τρίγωνο θα χωριστεί σε 6 ίσα σχήματα, τα οποία θα είναι επίσης τρίγωνα.
• Αν και οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε καθεμία από τις διάμεσες θα είναι επίσης ένα υψόμετρο και μια διχοτόμος, δηλαδή κάθετη στην πλευρά προς την οποία είναι σχεδιασμένο και διχοτομεί τη γωνία από την οποία αναδύεται.
• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που λαμβάνεται από την κορυφή που είναι απέναντι από την πλευρά που δεν είναι ίση με καμία άλλη θα είναι επίσης το υψόμετρο και η διχοτόμος. Οι διάμεσοι που αφαιρούνται από άλλες κορυφές είναι ίσες. Αυτή είναι επίσης απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τα ισοσκελή.
• Εάν ένα τρίγωνο είναι η βάση μιας κανονικής πυραμίδας, τότε το ύψος που πέφτει σε αυτή τη βάση προβάλλεται στο σημείο τομής όλων των διαμέσου.

• Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά είναι ίση με το ήμισυ του μήκους του.
• Έστω O το σημείο τομής των διαμέσου του τριγώνου. Ο παρακάτω τύπος θα ισχύει για οποιοδήποτε σημείο Μ.

• Η διάμεσος ενός τριγώνου έχει άλλη ιδιότητα. Ο τύπος για το τετράγωνο του μήκους του μέσω των τετραγώνων των πλευρών παρουσιάζεται παρακάτω.

Ιδιότητες των πλευρών στις οποίες σύρεται η διάμεσος

• Εάν συνδέσουμε οποιαδήποτε δύο σημεία τομής των διαμέσου με τις πλευρές στις οποίες πέφτουν, τότε το τμήμα που προκύπτει θα είναι μέση γραμμήτρίγωνο και αποτελούν το μισό της πλευράς του τριγώνου με το οποίο δεν έχει κοινά σημεία.
• Στον ίδιο κύκλο βρίσκονται οι βάσεις των υψομέτρων και των μέσων σε ένα τρίγωνο, καθώς και τα μέσα των τμημάτων που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το σημείο τομής των υψομέτρων.

Συμπερασματικά, είναι λογικό να πούμε ότι ένα από τα πιο σημαντικά τμήματα είναι η διάμεσος του τριγώνου. Ο τύπος του μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών του.

) προκειμένου να λυθεί κάποιο πρόβλημα βελτιστοποίησης. Ο όρος χρησιμοποιείται σε μαθηματικός προγραμματισμός, επιχειρησιακή έρευνα , γραμμικός προγραμματισμός , στατιστική θεωρία αποφάσεωνκαι άλλους τομείς των μαθηματικών, κυρίως εφαρμοσμένης φύσης, αν και ο στόχος της βελτιστοποίησης μπορεί να είναι η ίδια η λύση μαθηματικό πρόβλημα. εκτός αντικειμενική λειτουργίαΣε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης, οι περιορισμοί μπορούν να καθοριστούν για μεταβλητές με τη μορφή ενός συστήματος ισοτήτων ή ανισοτήτων. ΣΕ γενική περίπτωσητα ορίσματα της συνάρτησης στόχου μπορούν να καθοριστούν σε αυθαίρετα σύνολα.

Παραδείγματα

Ομαλές συναρτήσεις και συστήματα εξισώσεων

$\backslash left\backslash (\; \backslash begin(matrix)\; F\_1(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; F\_2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash ldots\; \backslash \backslash \; F\_N(x\_1,\; x\_2,\; \backslash \; ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης

$S\; =\; \backslash sum\_(j=1)^N\; F\_j^2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; \backslash qquad\; (1)$

Εάν οι λειτουργίες είναι ομαλές, τότε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί να λυθεί μέθοδοι κλίσης.

Για οποιαδήποτε ομαλή αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να εξισωθεί με $0$μερικών παραγώγων σε σχέση με όλες τις μεταβλητές. Το βέλτιστο της αντικειμενικής συνάρτησης θα είναι μία από τις λύσεις σε ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων. Σε περίπτωση λειτουργίας $(1)$αυτό θα είναι ένα σύστημα εξισώσεων μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων(MNC). Κάθε απόφαση αρχικό σύστημαείναι μια λύση στο σύστημα των ελαχίστων τετραγώνων. Εάν το αρχικό σύστημα είναι ασυνεπές, τότε το σύστημα των ελαχίστων τετραγώνων, το οποίο έχει πάντα μια λύση, μας επιτρέπει να λάβουμε μια κατά προσέγγιση λύση του αρχικού συστήματος. Ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα των ελαχίστων τετραγώνων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, γεγονός που μερικές φορές διευκολύνει τη λύση των κοινών αρχικών συστημάτων.

Γραμμικός προγραμματισμός

Ένα άλλο γνωστό παράδειγμα αντικειμενικής συνάρτησης είναι η γραμμική συνάρτηση, η οποία προκύπτει στα προβλήματα γραμμικός προγραμματισμός. Σε αντίθεση με την τετραγωνική αντικειμενική συνάρτηση, βελτιστοποίηση γραμμική συνάρτησηείναι δυνατή μόνο εάν υπάρχουν περιορισμοί με τη μορφή συστήματος γραμμικών ισοτήτων ή ανισοτήτων.

Συνδυαστική βελτιστοποίηση

Χαρακτηριστικό παράδειγμα συνδυαστικόςη αντικειμενική συνάρτηση είναι η αντικειμενική συνάρτηση προβλήματα ταξιδιωτών πωλητών. Αυτή η συνάρτηση είναι ίση με το μήκος Χαμιλτονιανός κύκλοςεπί γραφική παράσταση. Ορίζεται σε ένα σύνολο μεταθέσεων $n-1$κορυφές του γραφήματος και καθορίζεται από τον πίνακα μηκών ακμών του γραφήματος. Ακριβής λύσηΤέτοιες εργασίες καταλήγουν συχνά σε αναζήτηση επιλογών.

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Αντικειμενική συνάρτηση"

Σημειώσεις

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

• Burak Ya., Ogirko I. V. Βέλτιστη θέρμανση κυλινδρικού κελύφους με χαρακτηριστικά υλικού που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία // Mat. μεθόδων και φυσικομηχανικών χωράφια. - 1977. - Τεύχος. 5. - Σ.26-30

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει την αντικειμενική συνάρτηση

Ο φτωχός άντρας μου υπομένει την εργασία και την πείνα στις εβραϊκές ταβέρνες. αλλά τα νέα που έχω με ενθουσιάζουν ακόμα περισσότερο.
Πιθανότατα ακούσατε για το ηρωικό κατόρθωμα του Ραέφσκι, ο οποίος αγκάλιασε τους δύο γιους του και είπε: "Θα πεθάνω μαζί τους, αλλά δεν θα αμφιταλαντευτούμε!" Ξοδεύουμε τον χρόνο μας όσο καλύτερα μπορούμε. αλλά στον πόλεμο, όπως στον πόλεμο. Η πριγκίπισσα Αλίνα και η Σόφη κάθονται μαζί μου όλη μέρα και εμείς, ατυχείς χήρες εν ζωή συζύγων, κάνουμε υπέροχες συζητήσεις. μόνο εσύ φίλε μου λείπεις... κ.λπ.
Κυρίως η πριγκίπισσα Μαρία δεν καταλάβαινε την πλήρη σημασία αυτού του πολέμου, επειδή ο γέρος πρίγκιπας δεν μίλησε ποτέ γι 'αυτό, δεν το αναγνώρισε και γέλασε με τον Desalles στο δείπνο όταν μίλησε για αυτόν τον πόλεμο. Ο τόνος του πρίγκιπα ήταν τόσο ήρεμος και γεμάτος αυτοπεποίθηση που η πριγκίπισσα Μαρία, χωρίς λόγο, τον πίστεψε.
Όλο τον μήνα Ιούλιο, ο γέρος πρίγκιπας ήταν εξαιρετικά δραστήριος και μάλιστα κινούμενος. Έβαλε και ενέχυρο νέος κήποςΚαι νέο κτίριο, κτίριο για αυλές. Ένα πράγμα που ενόχλησε την πριγκίπισσα Μαρία ήταν ότι κοιμόταν ελάχιστα και, έχοντας αλλάξει τη συνήθεια του να κοιμάται στο γραφείο, άλλαζε τον τόπο των διανυκτερεύσεών του κάθε μέρα. Είτε διέταξε να στήσουν το κρεβάτι του στην κατασκήνωση στη γκαλερί, μετά παρέμεινε στον καναπέ ή στην καρέκλα του Βολταίρου στο σαλόνι και κοιμόταν χωρίς να γδυθεί, ενώ δεν του διάβαζε ο Μπουριέν, αλλά το αγόρι Πετρούσα. μετά πέρασε τη νύχτα στην τραπεζαρία.
Την 1η Αυγούστου ελήφθη μια δεύτερη επιστολή από τον πρίγκιπα Αντρέι. Στην πρώτη επιστολή, που έλαβε λίγο μετά την αναχώρησή του, ο πρίγκιπας Αντρέι ζήτησε ταπεινά συγχώρεση από τον πατέρα του για όσα είχε επιτρέψει στον εαυτό του να του πει και του ζήτησε να του επιστρέψει την εύνοιά του. Ο γέρος πρίγκιπας απάντησε σε αυτό το γράμμα με ένα στοργικό γράμμα και μετά από αυτό το γράμμα αποξένωσε τη Γαλλίδα από τον εαυτό του. Η δεύτερη επιστολή του πρίγκιπα Αντρέι, που γράφτηκε από κοντά στο Βιτέμπσκ, αφού το κατέλαβαν οι Γάλλοι, περιελάμβανε σύντομη περιγραφήολόκληρη την εκστρατεία με το σχέδιο που περιγράφεται στην επιστολή, και με προβληματισμούς για την περαιτέρω πορεία της εκστρατείας. Σε αυτή την επιστολή, ο πρίγκιπας Αντρέι παρουσίασε στον πατέρα του την ταλαιπωρία της θέσης του κοντά στο θέατρο του πολέμου, στην ίδια τη γραμμή κίνησης των στρατευμάτων, και τον συμβούλεψε να πάει στη Μόσχα.
Στο δείπνο εκείνη την ημέρα, σε απάντηση στα λόγια του Desalles, ο οποίος είπε ότι, όπως ακούστηκε, οι Γάλλοι είχαν ήδη μπει στο Vitebsk, ο γέρος πρίγκιπας θυμήθηκε την επιστολή του πρίγκιπα Αντρέι.
«Το έλαβα από τον πρίγκιπα Αντρέι σήμερα», είπε στην πριγκίπισσα Μαρία, «δεν το διάβασες;»
«Όχι, mon pere, [πατέρα]», απάντησε έντρομη η πριγκίπισσα. Δεν μπορούσε να διαβάσει ένα γράμμα που δεν είχε καν ακούσει ποτέ.
«Γράφει για αυτόν τον πόλεμο», είπε ο πρίγκιπας με αυτό το γνώριμο, περιφρονητικό χαμόγελο με το οποίο μιλούσε πάντα για τον πραγματικό πόλεμο.
«Πρέπει να είναι πολύ ενδιαφέρον», είπε ο Desalles. - Ο πρίγκιπας μπορεί να ξέρει...
- Ω, πολύ ενδιαφέρον! - είπε ο Mlle Bourienne.
«Πήγαινε να μου το φέρεις», γύρισε ο γέρος πρίγκιπας στον Μλε Μπουριέν. - Ξέρεις, επάνω μικρό τραπέζικάτω από ένα χαρτόνι.
Ο M lle Bourienne πήδηξε όρθιος χαρούμενος.
«Ω, όχι», φώναξε συνοφρυωμένος. - Έλα, Μιχαήλ Ιβάνοβιτς.
Ο Μιχαήλ Ιβάνοβιτς σηκώθηκε και μπήκε στο γραφείο. Μόλις όμως έφυγε, ο γέρος πρίγκιπας, κοιτάζοντας γύρω του ατάραχος, πέταξε κάτω τη χαρτοπετσέτα του και πήγε μόνος του.
- Δεν ξέρουν πώς να κάνουν τίποτα, θα μπερδέψουν τα πάντα.
Ενώ περπατούσε, η πριγκίπισσα Marya, ο Desalles, ο m lle Bourienne και ακόμη και η Nikolushka κοιτάζονταν σιωπηλά. Ο γέρος πρίγκιπας επέστρεψε με ένα βιαστικό βήμα, συνοδευόμενος από τον Μιχαήλ Ιβάνοβιτς, με ένα γράμμα και ένα σχέδιο, το οποίο, μην αφήνοντας κανέναν να διαβάσει κατά τη διάρκεια του δείπνου, το έβαλε δίπλα του.

Για να βρείτε το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση μεγιστοποίησης, η μορφή της οποίας είναι μεγιστοποίηση(<функция>, <система ограничений>, <опции>);

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι βολικό να καθορίσετε τη συνθήκη για μη αρνητικότητα των μεταβλητών χρησιμοποιώντας την επιλογή NONNEGATIVE.

> βέλτιστη:=maximize(f,syst_ogr,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

Χρησιμοποιήστε την εντολή subs, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε τιμές μεταβλητών Χ 1 και Χ 2 ανά λειτουργία φά.

> fmax:=subs(x1=83/17,x2=19/17,f);

Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση evalf για να αναπαραστήσετε την απόκριση σε μια φόρμα πραγματικός αριθμόςμε 4 σημαντικά στοιχεία.

> fmax:=evalf(fmax,4);

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τη λύση του προβλήματος LP χωρίς εξήγηση στο παράρτημα.

Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης σε ένα εξειδικευμένο πακέτο SimplexWin. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/

Αυτό το πρόγραμμα έχει σχεδιαστεί για να λύσει γραμμικά προβλήματαπρογραμματισμός με τη μέθοδο simplex.

Εργο. Βρείτε τιμές μεταβλητών Χ 1 Και Χ 2, στο οποίο

υπό περιορισμούς

Εντολή εργασίας:

Εκκινήστε το πρόγραμμα SimplexWin και ορίστε το απαιτούμενο μέγεθος του πίνακα περιορισμών επιλέγοντας την εντολή μενού Settings – Matrix size (Εικ. 13).

Ρύζι. 13. Προσδιορισμός του μεγέθους του πίνακα.

Εισαγάγετε τα δεδομένα (Εικ. 14). Εάν το πρόβλημα δεν εισαχθεί σε κανονική μορφή, τότε πρόσθετες μεταβλητές και τεχνητές βάσεις(καθώς και οι αντίστοιχοι συντελεστές αντικειμενικής συνάρτησης) προστίθενται αυτόματα.

Εικ.14. Εισαγωγή δεδομένων.

II. Εύρεση του βέλτιστου σχεδίου και της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης.

Ρύζι. 15. Φόρμα αποτελεσμάτων.

Στη φόρμα Αποτελέσματα, κάντε κλικ στο κουμπί Αποτέλεσμα, το οποίο σας επιτρέπει να επιλύσετε το πρόβλημα αυτόματη λειτουργίακαι εμφανίστε τα πιο πρόσφατα πίνακας simplexκαι το αποτέλεσμα (Εικ. 16).

Ρύζι. 16. Η λύση του προβλήματος.

Λύση προβλήματα βελτιστοποίησης VΠροέχω

Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του παρακάτω προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

Εργο. Βρείτε τιμές μεταβλητών Χ 1 Και Χ 2, στο οποίο

υπό περιορισμούς

Εντολή εργασίας:

I. Καταχώρηση αρχικών στοιχείων.

Δημιουργήστε μια φόρμα οθόνης για την εισαγωγή των συνθηκών του προβλήματος (μεταβλητές, αντικειμενική συνάρτηση, περιορισμοί) και εισαγάγετε τα αρχικά δεδομένα σε αυτήν (συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης, συντελεστές μεταβλητών σε περιορισμούς, δεξιά πλευρά των περιορισμών) (Εικ. 17 ).

Ρύζι. 17. Μορφή οθόνης της εργασίας (δρομέας στο κελί D6).

Σχόλιο: Σε μορφή οθόνης στο Σχ. 17 Σε κάθε μεταβλητή και σε κάθε συντελεστή του προβλήματος εκχωρείται ένα συγκεκριμένο κελί στο Excel. Έτσι, για παράδειγμα, οι μεταβλητές εργασιών αντιστοιχούν στα κελιά B3 ( ), C3 ( ), οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης αντιστοιχούν στα κελιά B6 (
), C6 (
), οι δεξιές πλευρές των περιορισμών αντιστοιχούν στα κελιά F10 (
), F11 (
), F12 (
)και τα λοιπά.

Εισαγάγετε εξαρτήσεις από μαθηματικό μοντέλοσε μορφή οθόνης, δηλ. Εισαγάγετε τον τύπο για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης και τον τύπο για τον υπολογισμό των τιμών των αριστερών πλευρών των περιορισμών.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης καθορίζεται από την έκφραση
. Χρησιμοποιώντας τους χαρακτηρισμούς των αντίστοιχων κελιών στο Excel, ο τύπος για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα προϊόντωνκαθένα από τα κελιά που έχουν εκχωρηθεί για τις τιμές των μεταβλητών εργασιών (B3, C3) στα αντίστοιχα κελιά που έχουν εκχωρηθεί για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης (B6, C6).

Για να ορίσετε τον τύπο εξάρτησης για τη συνάρτηση στόχου, κάντε τα εξής: :

– τοποθετήστε τον κέρσορα στο κελί D6;

– παράθυρο κλήσης Function Wizard - Βήμα 1 από 2πατώντας το κουμπί επί τυπικό πάνελεργαλεία;

- στο παράθυρο Λειτουργίαεπιλέξτε λειτουργία SUMPRODUCT;

- στο παράθυρο που εμφανίζεται SUMPRODUCTΣτη γραμμή Πίνακας 1εισάγετε έκφραση B$3:C$3, και στη γραμμή Πίνακας 2- έκφραση Β6: C6;

- πάτα το κουμπί Εντάξει.

Ρύζι. 18. Εισαγωγή τύπου για τον υπολογισμό του CF στο παράθυρο Function Wizard.

Αφού εισαγάγετε τα κελιά σε σειρές Πίνακας 1Και Πίνακας 2στο παράθυρο SUMPRODUCTθα εμφανιστει αριθμητικές τιμέςεισαγόμενοι πίνακες (Εικ. 18) και η τρέχουσα τιμή που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον εισαγόμενο τύπο, δηλαδή 0 (καθώς τη στιγμή που εισάγεται ο τύπος, οι τιμές των μεταβλητών εργασιών είναι μηδέν) θα εμφανιστεί στη φόρμα οθόνης ( Εικ. 19).

Σχόλιο: Το σύμβολο $ πριν από τον αριθμό σειράς σημαίνει ότι όταν αντιγράφετε αυτόν τον τύπο σε άλλα σημεία του φύλλου Excel, ο αριθμός σειράς 3 δεν θα αλλάξει. Σύμβολο : σημαίνει ότι ο τύπος χρησιμοποιεί όλα τα κελιά μεταξύ των κελιών αριστερά και δεξιά του παχέος εντέρου.

Οι αριστερές πλευρές των περιορισμών του προβλήματος είναι άθροισμα προϊόντωνκαθένα από τα κελιά που έχουν εκχωρηθεί για τις τιμές των μεταβλητών προβλήματος (B3, C3) στο αντίστοιχο κελί που έχει εκχωρηθεί για τους συντελεστές ενός συγκεκριμένου περιορισμού (B10, C10 – 1ος περιορισμός, B11, C11 – 2ος περιορισμός, B12, C12 – 3ος περιορισμός).

Οι τύποι που καθορίζουν τις αριστερές πλευρές των περιορισμών του προβλήματος διαφέρουν μεταξύ τους και από τον τύπο στο κελί προορισμού D6μόνο ο αριθμός γραμμής στον δεύτερο πίνακα. Αυτός ο αριθμός καθορίζεται από τη γραμμή στην οποία είναι γραμμένος ο περιορισμός στη φόρμα οθόνης. Επομένως, για να καθορίσετε εξαρτήσεις για τα αριστερά μέρη του περιορισμού, αρκεί να αντιγράψετε τον τύπο από το κελί-στόχο στα κελιά των αριστερών τμημάτων των περιορισμών.

Για να υπολογίσετε τις τιμές των αριστερών πλευρών των περιορισμών, κάντε τα εξής:

– τοποθετήστε τον κέρσορα στο κελί D6και αντιγράψτε τα περιεχόμενα του κελιού στο πρόχειρο (χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα Ctrl+C).

– τοποθετήστε τον κέρσορα με τη σειρά του στα πεδία της αριστερής πλευράς καθενός από τους περιορισμούς, δηλαδή ρε10 ,ρε11 , ρε12 και επικολλήστε τα περιεχόμενα του buffer σε αυτά τα πεδία (χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα Ctrl+V) (σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των κελιών στον δεύτερο πίνακα του τύπου θα αλλάξει στον αριθμό της σειράς από την οποία έγινε η επικόλληση το buffer).

Αφού μπείτε στην οθόνη στα πεδία ρε10 ,ρε11 , ρε12 Θα εμφανιστεί το 0 (μηδενική τιμή) (Εικ. 19).

Ρύζι. 19. Μορφή οθόνης της εργασίας μετά το νερό

όλες τις απαραίτητες φόρμουλες.

Ελέγξτε ότι οι τύποι έχουν εισαχθεί σωστά.

Για αυτό:

- κάντε το ένα προς ένα διπλό χτύπημααριστερό κουμπί του ποντικιού σε κελιά με τύπους, ενώ τα κελιά που χρησιμοποιούνται στον τύπο θα επισημαίνονται στην οθόνη με ένα πλαίσιο (Εικ. 20 και Εικ. 21).

Ρύζι. 20

τύπους για να στοχεύσετε το κελί D6.

Ρύζι. 20. Έλεγχος της σωστής εισαγωγής

τύπους στο κελί D10 για την αριστερή πλευρά των περιορισμών.

Καθορίστε τη συνάρτηση στόχου και εισαγάγετε περιορισμούς στο παράθυρο Εύρεση λύσης(Εικ. 21).

Για αυτό:

– τοποθετήστε τον κέρσορα στο κελί D6;

– παράθυρο κλήσης Εύρεση λύσηςεπιλέγοντας στη γραμμή εργαλείων Δεδομένα - Εύρεση λύσης;

– τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο Ορισμός κελιού στόχου;

– εισάγετε τη διεύθυνση του κελιού προορισμού 6 $ D $ή κάντε ένα κλικ με το αριστερό κουμπί του ποντικιού στο κελί προορισμού στη φόρμα οθόνης, το οποίο θα ισοδυναμεί με την εισαγωγή της διεύθυνσης από το πληκτρολόγιο.

– υποδείξτε την κατεύθυνση βελτιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης κάνοντας κλικ μία φορά με το αριστερό κουμπί του ποντικιού στο κουμπί επιλογής μέγιστη αξία;

- στο παράθυρο Αναζήτηση αποφάσεωνστο χωράφι Αλλαγή κελιώνεισάγετε κελιά με μεταβλητές τιμές $B$3:$C$3, επιλέγοντάς τα στη φόρμα οθόνης κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού.

Ρύζι. 21. Παράθυρο Αναζήτηση για λύση.

- πάτα το κουμπί Προσθήκη;

– σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας, επιλέξτε το απαιτούμενο σύμβολο στο πεδίο πινακίδας, για παράδειγμα, για 1 περιορισμό αυτό είναι το σύμβολο ;

- στο χωράφι Περιορισμόςπληκτρολογήστε τη διεύθυνση κελιού στη δεξιά πλευρά του εν λόγω περιορισμού, για παράδειγμα $10 F $;

– καθιερώστε ομοίως σχέσεις μεταξύ του δεξιού και του αριστερού τμήματος άλλων περιορισμών ( $D$11$1 F$1 , $D$12$1 F$2) ;

– επιβεβαιώστε την εισαγωγή όλων των καταστάσεων που αναφέρονται πατώντας το κουμπί Εντάξει(Εικ. 22 και Εικ. 23).

Ρύζι. 22. Προσθήκη συνθήκης.

Σχόλιο: Εάν, κατά την εισαγωγή μιας συνθήκης εργασίας, υπάρχει ανάγκη αλλαγής ή διαγραφής των περιορισμών που έχουν εισαχθεί, αυτό μπορεί να γίνει κάνοντας κλικ στα κουμπιά Αλλαγήή Διαγράφω.

Η αντικειμενική συνάρτηση είναι μια μαθηματική αναπαράσταση της εξάρτησης του κριτηρίου βελτιστότητας από τις επιθυμητές μεταβλητές.

2. Διαβάθμιση της συνάρτησης.

Ένα διάνυσμα του οποίου τα συστατικά είναι οι τιμές των μερικών παραγώγων, δηλαδή ένα διάνυσμα

ονομάζεται κλίση της συνάρτησης που υπολογίζεται στο σημείο.

3. Γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού.

Η τυπική μαθηματική διατύπωση του γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μοιάζει με αυτό: πρέπει να βρείτε την ακραία τιμή του δείκτη απόδοσης (αντικειμενική συνάρτηση)

(γραμμική συνάρτηση στοιχείων λύσης) υπό γραμμικές περιοριστικές συνθήκες που επιβάλλονται στα στοιχεία λύσης:

όπου δίνονται αριθμοί.

4. Τυπικό πρόβλημα LP.

ΣΕ τυποποιημένη μορφήένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης (ελάχιστου) μιας γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης. Το σύστημα περιορισμών του αποτελείται από τα ακόλουθα: γραμμικές ανισότητεςαρέσει "<= » или « >=" Ολα μεταβλητές εργασιώνμη αρνητικό.

Οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί σε τυποποιημένη μορφή. Η μετατροπή ενός ελάχιστου προβλήματος σε μέγιστο πρόβλημα, καθώς και η διασφάλιση ότι οι μεταβλητές δεν είναι αρνητικές, γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως πριν. Οποιαδήποτε ισότητα σε ένα σύστημα περιορισμών είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα αμοιβαία αντίθετων ανισοτήτων:

Υπάρχουν άλλοι τρόποι μετατροπής ενός συστήματος ισοτήτων σε σύστημα ανισοτήτων, δηλ. Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί σε τυπική μορφή.

Απάντηση στην επιλογή 2:

Τυπικό πρόβλημα LP. ή, σε συμβολισμό πίνακα, πού είναι ο πίνακας συντελεστών. Διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα συντελεστών γραμμικής μορφής, διάνυσμα περιορισμών.

5. Κανονικό πρόβλημα lp.

ΣΕ κανονική μορφήτο πρόβλημα είναι πρόβλημα για το μέγιστο (ελάχιστο) κάποιας γραμμικής συνάρτησης φά , το σύστημα περιορισμών του αποτελείται μόνο από ισότητες (εξισώσεις). Ταυτόχρονα, μεταβλητές εργασιών Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n είναι μη αρνητικές:

Οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να μετατραπεί σε κανονική μορφή.

Σύντομη καταχώρηση κανονικό πρόβλημα LP:

X = (x1, x2, ..., xn), C = (c1, c2, ..., cn).

Απάντηση στην επιλογή 2:

Κανονικό πρόβλημα LP. ή, σε σημειογραφία μήτρας,

6. Συμμετρικά και ασύμμετρα διπλά προβλήματα.

Πρόβλημα διπλού γραμμικού προγραμματισμού. Σκεφτείτε το πρόβλημα LP (1) ή, σε συμβολισμό πίνακα, (2) Το πρόβλημα είναι διπλό σε (1) ( διπλά προβλήματα it), ονομάζεται πρόβλημα LP σε μεταβλητές της μορφής (3) ή, σε σημειογραφία μήτρας, (4) όπου . Οι κανόνες για την κατασκευή του προβλήματος (3) σύμφωνα με τη μορφή του προβλήματος γραφής (1) είναι οι εξής: στο πρόβλημα (3)

Υπάρχουν τόσες μεταβλητές όσες και οι σειρές στον πίνακα του προβλήματος (1). Ο πίνακας περιορισμών στο (3) είναι ένας μεταφερόμενος πίνακας. Το διάνυσμα της δεξιάς πλευράς των περιορισμών στο (3) χρησιμεύει ως το διάνυσμα των συντελεστών της μεγιστοποιημένης γραμμικής μορφής στο (1) και τα πρόσημα των ανισοτήτων μεταβάλλονται σε ισότητα. Αντίθετα, η αντικειμενική συνάρτηση στο (3) είναι γραμμική μορφή, οι συντελεστές των οποίων καθορίζονται από το διάνυσμα της δεξιάς πλευράς των περιορισμών του προβλήματος (1), ενώ η μεγιστοποίηση αλλάζει σε ελαχιστοποίηση. Η συνθήκη της μη αρνητικότητας επιβάλλεται σε διπλές μεταβλητές. Το πρόβλημα (1), σε αντίθεση με το διπλό πρόβλημα (3), ονομάζεται άμεσο. Θεώρημα δυαδικότητας. Εάν τα διπλά προβλήματα (2), (4) είναι αποδεκτά, τότε και τα δύο έχουν λύση και την ίδια τιμή.

Συμμετρικά διπλά προβλήματα

Μια ποικιλία προβλημάτων διπλού γραμμικού προγραμματισμού είναι διπλά συμμετρικά προβλήματα, στο οποίο το σύστημα περιορισμών τόσο του αρχικού όσο και του διπλού προβλημάτων καθορίζεται από ανισότητες και η συνθήκη της μη αρνητικότητας επιβάλλεται στις διπλές μεταβλητές.