Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским . Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рис. 1.6.1); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния . В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рис. 1.6.2). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, так как при этом нарушается потенциальный характер электрического поля (см. § 1.4 ).

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля, создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей и полей каждой из пластин:

Вне пластин вектора и направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S , где q – заряд, а S – площадь каждой пластины. Разность потенциалов Δφ между пластинами в однородном электрическом поле равна Ed , где d – расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:

Сферический и цилиндрический конденсатор .

Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы.Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R 1 и R 2 . Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусов R 1 и R 2 и длины L . Емкости этих конденсаторов, заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, выражаются формулами:

Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.

Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 1.6.3) напряжения на конденсаторах одинаковы: U 1 = U 2 = U , а заряды равны q 1 = С 1 U и q 2 = C 2 U . Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C , заряженный зарядом q = q 1 + q 2 при напряжении между обкладками равном U . Отсюда следует

При последовательном соединении (рис. 1.6.4) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q 1 = q 2 = q , а напряжения на них равны и Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U 1 + U 2 . Следовательно,

При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.

Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.

Примеры решения задач. ЗАДАЧА 1. Пространство между обкладками плоского конденсато­ра заполнено без зазора двумя слоями диэлектриков

ЗАДАЧА 1. Пространство между обкладками плоского конденсато­ра заполнено без зазора двумя слоями диэлектриков, параллельными пластинам. Первый слой – фарфор толщиной d 1 = 2 мм, второй – эбонит толщиной
d 2 = 1,5 мм. Определить емкость C такого конденсатора, если площадь пластин S = 100 см 2 .

АНАЛИЗ. Для решения задачи представим конденсатор с диэлектриками как два последовательно соединенных конденсатора. Напряжение на конденсаторе равно U = U 1 +U 2 , где U 1 и U 2 – напряженияна слоях диэлектрика. Чтобы найти емкость конденсатора С , необходимо знать U 1 и U 2 . Для этого следует воспользоваться связью напряженности и потенциала и условиями на границе раздела двух диэлектриков, а также учесть, что нормальная составляющая вектора смещения при переходе через границу не меняется.

РЕШЕНИЕ. Емкость конденсатора равна C = q /U = q /(U 1 +U 2), (2.3.1)

где q – заряд пластины (рис. 2.3.1).

Поле внутри конденсатора однородно, поэтому связь напряжен­ности и потенциала дает

U 1 = E 1 d 1 , U 2 = E 2 d 2 ; поэтому .

Вектор напряженности связан с вектором электрического смещения соотношением или .

Поскольку

Где – поверхностная плотность заряда, получаем

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ: С = 98,3 пФ.

ЗАДАЧА 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости (C 1 = C 2) соединены в батарею последовательно и подключены к источ­нику тока с электродвижущей силой . Как изменится разность потенциалов U 1 на пластинах первого конденсатора, если прост­ранство между пластинами второго конденсатора, не отключая источ­ника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 7 (рис. 2.3.2)?

AНАЛИЗ. До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одина­кова

После заполнения источник тока не отключался, поэтому общая раз­ность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. Учитывая, что емкость второго конденсатора увеличилась в e раз, можно найти новую разность потенциалов на первом конденсаторе .

РЕШЕНИЕ. После заполнения диэлектриком разности потенциалов на конденсаторах стали равны

, (2.3.2.)

где q – заряд обкладки конденсатора,q ¹q 0 , электроемкость первого конденсатора не изменилась, C 1 ¢ = C 1 = C.

Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то , где

тогда (2.3.3)

Подставив (2.3.3) в (2.3.2), получим

Искомое отношение равно

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 3. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой прило­жена разность потенциалов 2300 В. Вычислить напряженность электри­ческого поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.

АНАЛИЗ. Кабель можно уподобить цилиндрическому конденсатору. Электрическое поле создается только центральной жилой. Напряженность этого поля следует определять как напряженность поля бесконечной заряженной нити.

РЕШЕНИЕ. Напряженность поля кабеля равна

.(2.3.4)

Кабель заряжен равномерно, поэтому t= q / .

Заряд можно определить, если известна емкость конденсатора C , q = CU 0, тогда t= CU 0 / . (2.3.5)

Известно, что емкость цилиндрического конденсатора определяется по формуле: (2.3.6)

Используя выражения (2.3.5) и (2.3.6) получаем . (2.3.7)

Подставим (2.3.7) в равенство (2.3.4):

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем

ЗАДАЧА 4. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины S = 500 см 2 , подключен к источнику тока, ЭДС которогоξ = 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от рас­стоянияd 1 = 1 см доd 2 = 3 см в двух случаях: а) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; б) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

АНАЛИЗ. В первом случае систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы , где W 2 – энергия поля конденсатора в конечном состоянии (с рас­стоянием между пластинамиd 2), W 1 – энергия поля конденсатора в начальном состоянии(d = d 1).

Во втором случае пластины остаются подключенными к источнику тока, и система двух пластин уже не является изолированной (заряд пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Разность по­тенциалов при раздвижении пластин остается неизменной U = ξ. В этом случае причем U = const ,а C меняется. Емкость плоского конденсатора C = e 0 S /d будет уменьшаться, следовательно, будет уменьшаться заряд на пластинах, q = CU , и напряженность поля конденсатора E = U/d .

В этом случае работу вычислим как интеграл , (2.3.8)

где E 1 – напряженность поля, создаваемого зарядом одной плас­тины.

РЕШЕНИЕ. В первом случае заряд q каждой из пластин, отключенных от источника, при их раздвижении не меняется, q = C 1 x .

Энергия электрического поля конденсатора равна

поэтому . (2.3.9)

Электроемкости равны соответственно (2.3.10)

Подставив (2.3.10) в (2.3.9), получаем

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем .

Рассмотрим второй случай.

Выразим напряженность E 1 поля и заряд q через рас­стояние х между пластинами (рис. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Подставив выражения (2.3.11) и (2.3.12) в формулу(2.3.8), получаем

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 5. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциа­ловU = 1 кВ. Расстояние между пластинамиd = 1 см, диэлектрик – стекло. Определить объемную плотность энергии конденсатора.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ.

Одним их важнейших параметров, при помощи которого характеризуют конденсатор, является его электроёмкость (C). Физическая величина C, равная:

называется емкостью конденсатора. Где q - величина заряда одной из обкладок конденсатора, а - разность потенциалов между его обкладками. Электроемкость конденсатора — это величина, которая зависит то размеров и устройства конденсатора.

Для конденсаторов с одинаковым устройством и при равных зарядах на его обкладках разность потенциалов воздушного конденсатора будет в раз меньше, чем разность потенциалов между обкладками конденсатора, пространство которого между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Значит емкость конденсатора с диэлектриком (C) в раз больше, чем электроемкость воздушного конденсатора ():

где - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Единицей емкости конденсатора считают емкость такого конденсатора, который единичным зарядом (1 Кл) заряжается до разности потенциалов, равной одному вольту (в СИ). Единицей емкости конденсатора (как и любой эклектической емкости) в международной системе единиц (СИ) является фарад (Ф).

Электроемкость плоского конденсатора

Поле между обкладками плоского конденсатора в большинстве случаев считают однородным. Однородность нарушается только около краев. При расчете емкости плоского конденсатора данными краевыми эффектами обычно пренебрегают. Это возможно, если расстояние между пластинами мало в сравнении с их линейными размерами. В таком случае емкость плоского конденсатора вычисляют как:

где - электрическая постоянная; S - площадь каждой (или наименьшей) пластины; d - расстояние между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, который содержит N слоев диэлектрика толщина каждого , соответствующая диэлектрическая проницаемость i-го слоя , равна:

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

Конструкция цилиндрического конденсатора включает две соосных (коаксиальных) цилиндрические проводящие поверхности, разного радиуса, пространство между которыми заполняет диэлектрик. Электрическая емкость такого конденсатора находят как:

где l - высота цилиндров; - радиус внешней обкладки; - радиус внутренней обкладки.

Емкости сферического конденсатора

Сферическим конденсатором называют конденсатор, обкладками которого являются две концентрические сферические проводящие поверхности, пространство между ними заполнено диэлектриком. Емкость такого конденсатора находят как:

где - радиусы обкладок конденсатора.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1