Решение задачи коммивояжера с помощью метода ветвей и границ. Метод случайного поиска. Условия существования Гамильтонова контура

Решение будем вести с использованием калькулятора . Возьмем в качестве произвольного маршрута:
X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1)
Тогда F(X 0) = 90 + 40 + 60 + 50 + 20 = 260
Для определения нижней границы множества воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент.
d i = min(j) d ij

i j	1	2	3	4	5	d i
1	M	90	80	40	100	40
2	60	M	40	50	70	40
3	50	30	M	60	20	20
4	10	70	20	M	50	10
5	20	40	50	20	M	20

Затем вычитаем d i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

i j	1	2	3	4	5
1	M	50	40	0	60
2	20	M	0	10	30
3	30	10	M	40	0
4	0	60	10	M	40
5	0	20	30	0	M

Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:
d j = min(i) d ij

i j	1	2	3	4	5
1	M	50	40	0	60
2	20	M	0	10	30
3	30	10	M	40	0
4	0	60	10	M	40
5	0	20	30	0	M
d j	0	10	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу, где величины d i и d j называются константами приведения .

i j	1	2	3	4	5
1	M	40	40	0	60
2	20	M	0	10	30
3	30	0	M	40	0
4	0	50	10	M	40
5	0	10	30	0	M

Сумма констант приведения определяет нижнюю границу H:
H = ∑d i + ∑d j
H = 40+40+20+10+20+0+10+0+0+0 = 140
Элементы матрицы d ij соответствуют расстоянию от пункта i до пункта j.
Поскольку в матрице n городов, то D является матрицей nxn с неотрицательными элементами d ij >=0
Каждый допустимый маршрут представляет собой цикл, по которому коммивояжер посещает город только один раз и возвращается в исходный город.
Длина маршрута определяется выражением:
F(M k) = ∑d ij
Причем каждая строка и столбец входят в маршрут только один раз с элементом d ij .
Шаг №1 .
Определяем ребро ветвления

i j	1	2	3	4	5	d i
1	M	40	40	0(40)	60	40
2	20	M	0(20)	10	30	10
3	30	0(10)	M	40	0(30)	0
4	0(10)	50	10	M	40	10
5	0(0)	10	30	0(0)	M	0
d j	0	10	10	0	30	0

d(1,4) = 40 + 0 = 40; d(2,3) = 10 + 10 = 20; d(3,2) = 0 + 10 = 10; d(3,5) = 0 + 30 = 30; d(4,1) = 10 + 0 = 10; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (40 + 0) = 40 для ребра (1,4), следовательно, множество разбивается на два подмножества (1,4) и (1*,4*).

H(1*,4*) = 140 + 40 = 180
Исключение ребра (1,4) проводим путем замены элемента d 14 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (1*,4*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	4	5	d i
1	M	40	40	M	60	40
2	20	M	0	10	30	0
3	30	0	M	40	0	0
4	0	50	10	M	40	0
5	0	10	30	0	M	0
d j	0	0	0	0	0	40

Включение ребра (1,4) проводится путем исключения всех элементов 1-ой строки и 4-го столбца, в которой элемент d 41 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.

∑d i + ∑d j = 10

i j	1	2	3	5	d i
2	20	M	0	30	0
3	30	0	M	0	0
4	M	50	10	40	10
5	0	10	30	M	0
d j	0	0	0	0	10

Нижняя граница подмножества (1,4) равна:
H(1,4) = 140 + 10 = 150 ≤ 180
Поскольку нижняя граница этого подмножества (1,4) меньше, чем подмножества (1*,4*), то ребро (1,4) включаем в маршрут с новой границей H = 150
Шаг №2 .
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	5	d i
2	20	M	0(20)	30	20
3	30	0(10)	M	0(30)	0
4	M	40	0(30)	30	30
5	0(30)	10	30	M	10
d j	20	10	0	30	0

d(2,3) = 20 + 0 = 20; d(3,2) = 0 + 10 = 10; d(3,5) = 0 + 30 = 30; d(4,3) = 30 + 0 = 30; d(5,1) = 10 + 20 = 30;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 30) = 30 для ребра (3,5), следовательно, множество разбивается на два подмножества (3,5) и (3*,5*).
Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:
H(3*,5*) = 150 + 30 = 180
Исключение ребра (3,5) проводим путем замены элемента d 35 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (3*,5*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	5	d i
2	20	M	0	30	0
3	30	0	M	M	0
4	M	40	0	30	0
5	0	10	30	M	0
d j	0	0	0	30	30

Включение ребра (3,5) проводится путем исключения всех элементов 3-ой строки и 5-го столбца, в которой элемент d 53 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d i + ∑d j = 10
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	2	3	d i
2	20	M	0	0
4	M	40	0	0
5	0	10	M	0
d j	0	10	0	10

Нижняя граница подмножества (3,5) равна:
H(3,5) = 150 + 10 = 160 ≤ 180
Поскольку нижняя граница этого подмножества (3,5) меньше, чем подмножества (3*,5*), то ребро (3,5) включаем в маршрут с новой границей H = 160
Шаг №3 .
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	d i
2	20	M	0(20)	20
4	M	30	0(30)	30
5	0(20)	0(30)	M	0
d j	20	30	0	0

d(2,3) = 20 + 0 = 20; d(4,3) = 30 + 0 = 30; d(5,1) = 0 + 20 = 20; d(5,2) = 0 + 30 = 30;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 30) = 30 для ребра (5,2), следовательно, множество разбивается на два подмножества (5,2) и (5*,2*).
Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:
H(5*,2*) = 160 + 30 = 190
Исключение ребра (5,2) проводим путем замены элемента d 52 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (5*,2*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	d i
2	20	M	0	0
4	M	30	0	0
5	0	M	M	0
d j	0	30	0	30

Включение ребра (5,2) проводится путем исключения всех элементов 5-ой строки и 2-го столбца, в которой элемент d 25 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (2 x 2), которая подлежит операции приведения.
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d i + ∑d j = 20
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	3	d i
2	20	0	0
4	M	0	0
d j	20	0	20

Нижняя граница подмножества (5,2) равна:
H(5,2) = 160 + 20 = 180 ≤ 190
Поскольку нижняя граница этого подмножества (5,2) меньше, чем подмножества (5*,2*), то ребро (5,2) включаем в маршрут с новой границей H = 180
В соответствии с этой матрицей включаем в гамильтонов маршрут ребра (2,1) и (4,3).
В результате по дереву ветвлений гамильтонов цикл образуют ребра:
(1,4), (4,3), (3,5), (5,2), (2,1),
Длина маршрута равна F(Mk) = 180

Здравствуй, Хабр! Реализовывая различные алгоритмы для нахождения гамильтонова цикла с наименьшей стоимостью, я наткнулся на публикацию , предлагающую свой вариант. Попробовав в деле, я получил неправильный ответ:

Дальнейшие поиски в Интернете не принесли ожидаемого результата: либо сложное для не-математиков теоретическое описание, либо понятное, но с ошибками.

Под катом вас будет ждать исправленный алгоритм и онлайн-калькулятор.

Сам метод, опубликованный Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. применим ко многим NP-полным задачам, и представляет собой очень теоритеризованный материал, который без хороших знаний английского языка и математики сразу не применишь к нашей задаче коммивояжера.

Кратко о методе - это полный перебор всех возможных вариантов с отсеиванием явно неоптимальных решений.

Исправленный алгоритм, для нахождения действительно минимального маршрута

Алгоритм состоит из двух этапов:

Первый этап

Приведение матрицы затрат и вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.

1. Вычисляем наименьший элемент в каждой строке (константа приведения для строки)
2. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждой строки ее константу приведения
3. Вычисляем наименьший элемент в каждом столбце (константа приведения для столбца)
4. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждого столбца его константу приведения.
Как результат имеем матрицу затрат, в которой в каждой строчке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент.
5. Вычисляем границу на данном этапе как сумму констант приведения для столбцов и строк (данная граница будет являться стоимостью, меньше которой невозможно построить искомый маршрут)

Второй (основной) этап

1.Вычисление штрафа за неиспользование для каждого нулевого элемента приведенной матрицы затрат.
Штраф за неиспользование элемента с индексом (h,k) в матрице, означает, что это ребро не включается в наш маршрут, а значит минимальная стоимость «неиспользования» этого ребра равна сумме минимальных элементов в строке h и столбце k.

А) Ищем все нулевые элементы в приведенной матрице
б) Для каждого из них считаем его штраф за неиспользование.
в) Выбираем элемент, которому соответствует максимальный штраф (любой, если их несколько)

2. Теперь наше множество S разбиваем на множества - содержащие ребро с максимальным штрафом(S w) и не содержащие это ребро(S w/o).
3. Вычисление оценок затрат для маршрутов, входящих в каждое из этих множеств.
а) Для множества S w/o все просто: раз мы не берем соответствующее ребро c максимальным штрафом(h,k), то для него оценка затрат равна оценки затрат множества S + штраф за неиспользование ребра (h,k)
б) При вычислении затрат для множества S w примем во внимание, что раз ребро (h,k) входит в маршрут, то значит ребро (k,h) в маршрут входить не может, поэтому в матрице затрат пишем c(k,h)=infinity, а так как из пункта h мы «уже ушли», а в пункт k мы «уже пришли», то ни одно ребро, выходящее из h, и ни одно ребро, приходящее в k, уже использоваться не могут, поэтому вычеркиваем из матрицы затрат строку h и столбец k. После этого приводим матрицу, и тогда оценка затрат для S w равна сумме оценки затрат для S и r(h,k), где r(h,k) - сумма констант приведения для измененной матрицы затрат.
4. Из всех неразбитых множеств выбирается то, которое имеет наименьшую оценку.

Так продолжаем, пока в матрице затрат не останется одна не вычеркнутая строка и один не вычеркнутый столбец.

Небольшая оптимизация - подключаем эвристику

Да, правда, почему бы нам не ввести эвристику? Ведь в алгоритме ветвей и границ мы фактически строим дерево, в узлах которого решаем брать ребро (h,k) или нет, и вешаем двух детей - Sw(h,k) и Sw/o(h,k). Но лучший вариант для следующей итерации выбираем только по оценке. Так давайте выбирать лучший не только по оценке, но и по глубине в дереве, т.к. чем глубже выбранный элемент, тем ближе он к концу подсчета. Тем самым мы сможем наконец дождаться ответа.

Теперь, собственно, об ошибках в той публикации

Ошибка была одна единственная - следует выбирать для разбиения множество с минимальной границей из всех возможных путей, а не из двух полученных в результате последнего разбиения детей.

Доказательство

Вернемся к картинке в начале поста:

А вот решение с исправленным алгоритмом:

Ответ: путь:3=>4=>2=>1=>5=>3 длина: 41
Как видите, включая ребро 5:2 в решение будет ошибкой. Что и требовалось доказать

График сравнения метода ветвей и границ и потраченного времени для случайной таблицы от 5х5 до 10х10:


График максимального и минимального потраченного времени для матриц от 5х5 до 66х66.


Попробовать с подробным решением можно

Совершенно очевидно, что задача может быть решена перебором всех вариантов объезда и выбором оптимального. Беда в том, что количество возможных маршрутов очень быстро возрастает с ростом n (оно равно n ! - количеству способов упорядочения пунктов). К примеру, для 100 пунктов количество вариантов будет представляться 158-значным числом - не выдержит ни один калькулятор! Мощная ЭВМ, способная перебирать миллион вариантов в секунду, будет биться с задачей на протяжении примерно 3 ⋅ 10 144 лет. Увеличение производительности ЭВМ в 1000 раз даст хоть и меньшее в 1000 раз, но по-прежнему чудовищное время перебора вариантов. Не спасает ситуацию даже то, что для каждого варианта маршрута имеется 2 ⁢ n равноценных, отличающихся выбором начального пункта (n вариантов) и направлением обхода (2 варианта). Перебор с учётом этого наблюдения сокращается незначительно - до n ! 2 ⁢ n = n − 1 ! 2 вариантов.

Может быть, алгоритм, основанный на полном переборе вариантов, не является самым эффективным (в смысле быстродействия) для решения задачи коммивояжёра? Увы, доказано, что не существует алгоритма решения, имеющего степенную сложность (то есть требующего порядка n a операций для некоторого a) - любой алгоритм будет хуже. Всё это делает задачу коммивояжёра безнадёжной для ЭВМ с последовательным выполнением операций, если n хоть сколько-нибудь велико.

В таком случае следует отказаться от попыток отыскать точное решение задачи коммивояжёра и сосредоточиться на поиске приближённого - пускай не оптимального, но хотя бы близкого к нему. В виду большой практической важности задачи полезными будут и приближённые решения.

Заметим, что интеллект человека, не вооружённый вычислительной техникой, способен отыскивать такие приближённые решения задач, требующих огромного перебора вариантов в поисках оптимального. Вспомним хотя бы шахматы. Человек может весьма успешно соперничать в этой игре с вычислительной машиной либо вовсе не прибегая к перебору, либо сводя его к минимуму. Человек руководствуется при этом интуицией и набором эвристик (находок) - правил, которые обычно помогают в решении задач, хотя эффективность таких правил и не имеет достаточного обоснования. В качестве подобной универсальной эвристики можно упомянуть категорический императив Канта : «поступай с другими так, как тебе хотелось бы, чтобы поступали с тобой». Другой, более приземлённый пример даёт золотое правило валютного спекулянта: «когда все продают доллары, ты покупай, а когда все покупают - продавай».

Многие природные процессы решают задачи выбора оптимального варианта из огромного (даже, возможно, бесконечного) множества вариантов. Например, тяжёлая гибкая однородная цепочка, подвешенная за концы на двух гвоздиках, из всевозможных доступных форм принимает именно ту, которая соответствует минимуму потенциальной энергии силы тяжести (которая пропорциональна высоте центра тяжести цепочки). Причём цепочке для поиска нужной формы (она называется катеноидой , или цепной линией ) требуется времени гораздо меньше, чем человеку, составляющему и решающему дифференциальное уравнение Эйлера - Лагранжа для нахождения этой самой катеноиды. Мыльная плёнка, натянутая на проволочный контур, принимает форму, соответствующую минимуму внутренней энергии плёнки (состоящей, в основном, из потенциальной энергии сил поверхностного натяжения, пропорциональной площади плёнки). Световой луч в прозрачной (возможно, неоднородной) среде, преломляясь, отыскивает кратчайший путь (требующий наименьшего времени прохождения любого своего участка) с учётом скорости света в каждой точке среды, через которую он проходит. Вещество, кристаллизуясь из расплава, постепенно принимает ту кристаллическую форму, которая минимизирует опять же внутреннюю энергию, складывающуюся из энергий попарного взаимодействия молекул. В последнем примере молекулы вещества, совершающие хаотическое тепловое движение, которое замедляется по мере остывания, постепенно «нащупывают» нужную, минимальную в энергетическом смысле конфигурацию среди огромного количества вариантов расположения молекул. Биологическая эволюция совершенствует виды, снижая вероятность выживания (и, соответственно, передачи потомству генетической информации) менее приспособленных особей.

Все эти соображения ведут нас к эвристике: «хочешь приближённо решить задачу - смоделируй (например, с помощью ЭВМ) природный процесс, решающий подобную задачу». Вот несколько конкретных приложений этой эвристики: «нужен эллипс - посвети фонариком на пол, слегка наклонив его (фонарик или пол)». Или «налей в цилиндрический или конический стакан воды и чуть наклони». Или «возьми батон колбасы и разрежь наискосок». «Нужна синусоида - заверни колбасу в бумагу и разрежь вместе с бумагой, а затем разверни бумажный лист». Или «присоедини колебательный контур к осциллографу» - колебательный контур мгновенно решает дифференциальное уравнение колебаний, а решения этого уравнения - синусы и косинусы. «Хочешь вычислить определённый интеграл - вырежи криволинейную трапецию из бумаги, взвесь её и подели на массу единичного бумажного квадратика».

Описанные выше наблюдения позволяют считать природные процессы вычислительными машинами (такие машины называют аналоговыми ), вполне пригодными для решения многих важных задач. Аналоговые вычислительные машины можно использовать непосредственно, а можно принципы их работы положить в основу весьма эффективных алгоритмов для традиционных, цифровых ЭВМ. Единственное, что может пострадать при таком моделировании - точность решения задачи.

Переборные задачи, нацеленные на поиск оптимального варианта, называют задачами комбинаторной оптимизации

Дадим формальную постановку задачи оптимизации. Дано конечное (обычно очень большое) множество X и числовая функция U ⁡ x на этом множестве. Эту функцию называют целевой . Требуется найти такой x * ∈ X , что U ⁡ x * будет наименьшим, то есть U ⁡ x * ⩽ U ⁡ x для всех x ∈ X . Вариант постановки задачи, когда требуется найти точки максимума целевой функции, легко сводится к поиску точек минимума функции − U .

Задача коммивояжёра может быть поставлена как задача оптимизации. В качестве множества X достаточно взять S n (множество перестановок n -элементного множества), а в качестве целевой функции U ⁡ x - длину замкнутой ломаной, проходящей через n заданных точек в порядке, заданной перестановкой x ∈ X .

Для решения задачи поиска точки минимума функции придумано множество методов. Например, для дифференцируемых функций U , определённых на числовом множестве X , как известно, точки минимума (если они есть) следует искать среди критических точек U , то есть таких x , что U ′ x = 0 . Однако о дифференцируемости функции, определённой на конечном множестве, к тому же не обязательно числовом, говорить не приходится, поэтому метод, основанный на критических точках, не годится. Полный перебор всех x мы тоже отвергаем по причинам, которые обсуждались выше.

Для множеств X , для которых определено отношение близости , годятся и другие методы. Среди них - метод градиентного спуска

Отношение близости - это способ определить для двух элементов множества, являются ли они близкими (в каком-нибудь смысле). Для числовых множеств, для множеств точек на плоскости или в пространстве близкими можно считать два числа (две точки), расстояние между которыми не превосходит некоторого маленького числа ε . Для множества S n близкими удобно считать две перестановки, отличающиеся на одну транспозицию , то есть получающиеся друг из друга «рокировкой» двух элементов множества. Например, перестановки 2 4 1 3 и 2 3 1 4 являются близкими в этом смысле, так как отличаются перестановкой элементов с номерами 2 и 4 . Можно определить и более строгое отношение близости, при котором близкие перестановки отличаются на соседнюю транспозицию , когда рокировка затрагивает элементы множества с соседними номерами. Тогда указанные выше перестановки близкими уже не будут, но близкими окажутся 2 4 1 3 и 2 4 3 1 .

Суть метода градиентного спуска отражена в его названии и заключается в следующем. Строится последовательность x 0 x 1 x 2 x 3 … ⊂ X , в которой начальный элемент x 0 выбирается произвольно (возможно, случайным образом), а каждый последующий является одним из соседей предыдущего, причём именно тем из соседей, для которого значение функции U будет наименьшим. Построение последовательности завершается тогда, когда последовательность значений целевой функции U ⁡ x 0 U ⁡ x 1 U ⁡ x 2 U ⁡ x 3 … перестанет быть монотонно убывающей.

Последний элемент построенной последовательности называют точкой локального минимума . Это такая точка, в которых значение U строго меньше, чем во всех соседних с ней. В слове «локальный» заключён главный недостаток описанного метода. Локальных минимумов у функции U может быть много, и каждому из них отвечает, как правило, своё локально минимальное значение целевой функции. Нас же интересует абсолютный минимум функции и тот элемент множества X , в котором он достигается. Если бы было легко найти все точки локального минимума, перебором среди них мы нашли бы точку абсолютного минимума. Но метод градиентного спуска не даёт рецепта поиска всех точек локального минимума, он позволяет найти лишь какую-нибудь .

Имеется вероятностная версия метода градиентного спуска. На каждом шаге для элемента множества X выбирается случайный сосед. Если значение целевой функции в случайной соседней точке уменьшилось, она добавляется в последовательность и мы переходим к следующему шагу. Если же нет, то снова выбирается случайный сосед. Алгоритм останавливается, если достаточно долго не пополняется последовательность (не происходит переход к следующему шагу): вероятно, алгоритм в этом случае привёл в точку локального минимума.

Один из приближённых методов решения таких задач оптимизации - метод имитации отжига . Отжиг - уже упоминавшийся процесс постепенного остывания вещества, при котором молекулы на фоне всё замедляющегося теплового движения собираются в наиболее энергетически выгодные конфигурации. Термин «отжиг» пришёл из металлургии. Дело в том, что металл в более энергетически выгодном состоянии одновременно твёрже и прочней: требуется большее внешнее воздействие, большая механическая работа над куском металла, чтобы нарушить выгодную конфигурацию молекул, «приподнять» эту конфигурацию над самым дном энергетической ямы.

Метод имитации отжига является модификацией вероятностного метода градиентного спуска. Отличие заключается в поведении алгоритма, когда U ⁡ x ⩽ U ⁡ x ~ , где x - очередной элемент последовательности, а x ~ - его сосед, выбранный наугад. Вероятностный метод градиентного спуска отвергал такого соседа безусловно, а метод имитации отжига допускает добавление такого «плохого» соседа в последовательность, правда, с некоторой вероятностью p , зависящей от того, насколько плохой сосед ухудшил целевую функцию. Возьмём разность ∆ ⁡ U = U ⁡ x ~ − U ⁡ x (она неотрицательна, если сосед «плохой») и положим p = e − ∆ ⁡ U Θ . Здесь e - некоторое число, большее единицы (какое именно, не принципиально, но обычно берут e ≈ 2,718281828459045… - основание натуральных логарифмов), а Θ - некоторое положительное число, называемое температурой

На рисунке 45.1. «Вероятность мутации для метода имитации отжига» показаны зависимости вероятности мутации от величины ∆ ⁡ U при различных значениях температуры Θ . Высоким температурам соответствуют графики, чей цвет ближе к красному, низким - к синему. Как и положено, значение вероятности заключено в отрезке 0 1 . При отрицательных ∆ ⁡ U вероятность равна 1 , что соответствует случаю «хорошей» мутации.

Продолжение следует…

Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 . Описание метода ветвей и границ

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.

При применении метода ветвей и границ к каждой конкретной задаче в первую очередь должны быть определены две важнейшие его процедуры: 1) ветвления множества возможных решений; 2) вычисления нижних и верхних оценок целевой функции.

1 . 1 Правила ветвления

В зависимости от особенностей задачи для организации ветвления обычно используется один из двух способов:

1. ветвление множества допустимых решений исходной задачи D;

2. ветвление множества D" получаемого из D путем снятия условия целочисленноти на переменные.

Первый способ ветвления обычно применяется для задач целочисленного программирования и заключается в выделении подобластей возможных решений путем фиксации значений отдельных компонент целочисленных оптимизационных переменных (рис. 1). На рис. 1-а дана геометрическая интерпретация области допустимых решений задачи целочисленного программирования, определяемой двумя линейными ограничениями и условиями неотрицательности переменных, и образующихся при ветвлении подобластей, а на рис. 1-б показана соответствующая схема ветвления.

Второй способ ветвления - более универсальный, чем первый. Для осуществления ветвления некоторой области D i " этим способом на D i " решается оптимизационная задача с целевой функцией исходной задачи и действительными переменными.

Ветвление осуществляется, если в оптимальном решении значение хотя бы одной целочисленной по исходной постановке задача переменной не является целочисленным. Среди этих переменных выбирается одна, например j - я. Обозначим ее значение в найденном оптимальном решении x 0 [j]. Говорят, что ветвление осуществляется по переменной x[j]. Область D i " разделяется на две подобласти D i1 " и D i2 " следующим образом:

где ] - целая часть значения x 0 [j]

На рис. 2 условно дана геометрическая интерпретация такого ветвления.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Геометрическая интерпретация ветвления

Видно, что при этом из области D i " удаляется часть между плоскостями вновь введенных ограничений. Так как переменная x[j] по условиям области допустимых решений исходной задачи - целочисленная, то из подобласти допустимых решений исходной задачи. D i (D i D i ") при таком изъятии не исключается ни одного решения.

1 . 2 Формирование нижних и верхних оценок целевой функции

Прежде чем начать обсуждение данного вопроса, необходимо сказать, что общепринятым является применение метода ветвей и границ для задачи, в которой направление оптимизации приведено к виду минимизации. Для компактности дальнейших обозначений и выкладок запишем задачу дискретного программирования, для которой будем применять метод ветвей и границ, в следующей обобщенной форме:

где х - вектор оптимизационных переменных, среди которых часть действительных, а часть целочисленных; f(x) - в общем случае нелинейная целевая функция; D - область допустимых решений задачи дискретного программирования общего вида.

Нижние оценки целевой дикции в зависимости от выбранного способа ветвления могут определяться либо для подобластей D i D либо для подобластей D i " D" (D i " и D" получены из соответствующих множеств D i и D путем снятия условий целочисленности на дискретные переменные).

Нижней оценкой целевой функции f(x) на множестве D i (или D i ") будем называть величину:

Вычисление нижних оценок в каждом конкретном случае может осуществляться с учетом особенностей решаемой задачи. При этом чтобы оценки наиболее эффективно, выполняли свою функцию, они должны быть как можно большими, т.е. быть как можно ближе к действительным значениям min f(x). Это необходимо в первую очередь для того, чтобы нижние оценки как можно точнее отражали действительное соотношение min f(x) на образовавшихся при ветвлении подмножествах и позволяли более точно определять направление дальнейшего поиска оптимального решения исходной задачи.

На рис. 3 показан такой идеальный случай, когда нижние оценки (соединены ломаной штрихпунктирной линией) правильно отражают соотношения между действительными минимальными значениями f(x) (соединены штриховой линией) для четырех подмножеств допустимых решений D 1 , D 2 , D 3 , D 4 .

Один из универсальных способов вычисления нижних оценок заключается в решении следующей задачи:

Определенная таким образом о i является нижней оценкой f(x) на D i (или D i "), так как D i D i ".

Если при решении задачи (4) установлено, что, то для общности будем полагать, что.

Необходимо отметить одно важное свойство нижних оценок, заключающееся в том, что их значения для образовавшихся при ветвлении подмножеств не могут быть меньше нижней оценки целевой функции на множестве, подвергавшемся ветвлению.

Совместно с нижней оценкой в методе ветвей и границ используются верхние оценки f(x). Как правило, вычисляют лишь одно значение верхней оценки, которую определяют как значение целевой функции для лучшего найденного допустимого решения исходной задачи. Такую верхнюю оценку иногда называют рекордом. Если же можно для решаемой задачи достаточно просто и точно получить верхние оценки f(x) для отдельных множеств, образующихся при ветвлении, то их необходимо использовать в методе для уменьшения вычислительной сложности процесса решения. При использовании единой верхней оценки ее первоначальное значение обычно полагают равным бесконечности (), если, конечно, из априорных соображений не известно ни одного допустимого решения исходной задачи. При нахождении первого допустимого решения:

Затем при определении более лучшего допустимого решения верхнюю оценку корректируют:

Таким образом, значение верхней оценки может лишь уменьшаться в процессе решения задачи.

1 .3 Алгоритм метода ветвей и границ

Основные правила алгоритма могут быть сформулированы следующим образом:

1. Ветвлению в первую очередь подвергается подмножество с номером, которому соответствует наименьшее значение нижней оценки целевой функции (I - это множество номеров всех подмножеств, (или), находящихся на концах ветвей и ветвление которых еще не прекращено). Если реализуется изложенный выше способ ветвления множеств, то может возникнуть неоднозначность относительно выбора компоненты, по которой необходимо осуществлять очередной шаг ветвления. К сожалению, вопрос о «наилучшем» способе такого выбора с общих позиций пока не решен, и поэтому в конкретных задачах используются некоторые эвристические правила.

2. Если для некоторого i-го подмножества выполняется условие, то ветвление его необходимо прекратить, так как потенциальные возможности нахождения хорошего решения в этом подмножестве (их характеризует) оказываются хуже, чем значение целевой функции для реального, найденного к данному моменту времени, допустимого решения исходной задачи (оно характеризует).

3. Ветвление подмножества прекращается, если найденное в задаче (4) оптимальное решение. Обосновывается это тем, что, и, следовательно, лучшего допустимого решения, чем в этом подмножестве не существует. В этом случае рассматривается возможность корректировки.

4. Если, где, то выполняются условия оптимальности для найденного к этому моменту лучшего допустимого решения. Обоснование такое же, как и пункта 2 настоящих правил.

5. После нахождения хотя бы одного допустимого решения исходной задачи может быть рассмотрена возможность остановки работы алгоритма с оценкой близости лучшего из полученных допустимых решений к оптимальному (по значению целевой функции):

1 .4 Решение задачи методом ветвей и границ

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных.

Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи.

Если среди компонент плана имеются дробные числа, то необходимо осуществить переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи.

Метод ветвей и границ основан на предположении, что наш оптимальный нецелочисленный план дает значение функции, большее, чем всякий последующий план перехода.

Пусть переменная в плане - дробное число. Тогда в оптимальном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу.

Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования

Возможны четыре случая при решении этой пары задач:

Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции дают решение исходной задачи.

Одна из задач неразрешима, а другая имеет нецелочисленный оптимальный план. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу и строим две задачи, аналогичные предыдущим.

Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции от планов и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и дает искомое решение.

Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. И строим две задачи.

Таким образом, при решении задачи получаем схему:

Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.

Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.

Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.

Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.

Найдем решение задачи

Решение. Находим решение без учет целочисленности задачи симплексным методом.

Рассмотрим следующую пару задач:

Первая задача имеет оптимальный план

вторая - неразрешима.

Проверяем на целочисленность план первой задачи. Это условие не выполняется, поэтому строим следующие задачи:

Задача 1.1

Задача 1.2

Задача 1.2 неразрешима, а задача №1.1 имеет оптимальный план, на котором значение целевой функции.

В результате получили, что исходная задача целочисленного программирования имеет оптимальный план и.

2. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ

Рассмотрим теперь класс прикладных задач оптимизации. Метод ветвей и границ используется в очень многих из них. Предлагается рассмотреть одну из самых популярных задач - задача коммивояжера. Вот ее формулировка. Имеется несколько городов, соединенных некоторым образом дорогами с известной длиной; требуется установить, имеется ли путь, двигаясь по которому можно побывать в каждом городе только один раз и при этом вернуться в город, откуда путь был начат («обход коммивояжера»), и, если таковой путь имеется, установить кратчайший из таких путей.

2.1 Постановка задачи

Формализуем условие в терминах теории графов. Города будут вершинами графа, а дороги между городами - ориентированными (направленными) ребрами графа, на каждом из которых задана весовая функция: вес ребра - это длина соответствующей дороги. Путь, который требуется найти, это - ориентированный остовный простой цикл минимального веса в орграфе (напомним: цикл называется остовным, если он проходит по всем вершинам графа; цикл называется простым, если он проходит по каждой своей вершине только один раз; цикл называется ориентированным, если начало каждого последующего ребра совпадает с концом предыдущего; вес цикла - это сумма весов его ребер; наконец, орграф называется полным, если в нем имеются все возможные ребра); такие циклы называются также гамильтоновыми.

Очевидно, в полном орграфе циклы указанного выше типа есть. Заметим, что вопрос о наличии в орграфе гамильтонова цикла достаточно рассмотреть как частный случай задачи о коммивояжере для полных орграфов. Действительно, если данный орграф не является полным, то его можно дополнить до полного недостающими ребрами и каждому из добавленных ребер приписать вес Ґ, считая, что Ґ - это «компьютерная бесконечность», т.е. максимальное из всех возможных в рассмотрениях чисел. Если во вновь построенном полном орграфе найти теперь легчайший гамильтонов цикл, то при наличии у него ребер с весом Ґ можно будет говорить, что в данном, исходном графе «цикла коммивояжера» нет. Если же в полном орграфе легчайший гамильтонов цикл окажется конечным по весу, то он и будет искомым циклом в исходном графе.

Отсюда следует, что задачу о коммивояжере достаточно решить для полных орграфов с весовой функцией. Сформулируем теперь это в окончательном виде:

пусть - полный ориентированный граф и - весовая функция; найти простой остовный ориентированный цикл («цикл коммивояжера») минимального веса.

Пусть конкретный состав множества вершин и - весовая матрица данного орграфа, т.е. , причем для любого.

Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции.

Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая числовая матрица. Привести строку этой матрицы означает выделить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) и вычесть его из всех элементов этой строки. Очевидно, в результате в этой строке на месте минимального элемента окажется ноль, а все остальные элементы будут неотрицательными. Аналогичный смысл имеют слова привести столбец матрицы.

Слова привести матрицу по строкам означают, что все строки матрицы приводятся. Аналогичный смысл имеют слова привести матрицу по столбцам.

Наконец, слова привести матрицу означают, что матрица сначала приводится по строкам, а потом приводится по столбцам.

Весом элемента матрицы называют сумму констант приведения матрицы, которая получается из данной матрицы заменой обсуждаемого элемента на Ґ. Следовательно, слова самый тяжелый нуль в матрице означают, что в матрице подсчитан вес каждого нуля, а затем фиксирован нуль с максимальным весом.

Приступим теперь к описанию метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере.

Первый шаг. Фиксируем множество всех обходов коммивояжера (т.е. всех простых ориентированных остовных циклов). Поскольку граф - полный, это множество заведомо не пусто. Сопоставим ему число, которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов ребер графа. Если множество всех обходов коммивояжера обозначить через G, то сумму констант приведения матрицы весов обозначим через j(G). Приведенную матрицу весов данного графа следует запомнить; обозначим ее через M 1 ; таким образом, итог первого шага:

множеству G всех обходов коммивояжера сопоставлено чис-ло j(G) и матрица M 1 .

Второй шаг. Выберем в матрице M 1 самый тяжелый нуль; пусть он стоит в клетке; фиксируем ребро графа и разделим множество G на две части: на часть, состоящую из обходов, которые проходят через ребро, и на часть, состоящую из обходов, которые не проходят через ребро.

Сопоставим множеству следующую матрицу M 1,1: в матрице M 1 заменим на Ґ число в клетке. Затем в полученной матрице вычеркнем строку номер i и столбец номер j, причем у оставшихся строк и столбцов сохраним их исходные номера. Наконец, приведем эту последнюю матрицу и запомним сумму констант приведения. Полученная приведенная матрица и будет матрицей M 1,1 ; только что запомненную сумму констант приведения прибавим к j(G) и результат, обозначаемый в дальнейшем через j(), сопоставим множеству.

Теперь множеству тоже сопоставим некую матрицу M 1,2 . Для этого в матрице M 1 заменим на Ґ число в клетке и полученную в результате матрицу приведем. Сумму констант приведения запомним, а полученную матрицу обозначим через M 1,2 . Прибавим запомненную сумму констант приведения к числу j(G) и полученное число, обозначаемое в дальнейшем через j(), сопоставим множеству.

Теперь выберем между множествами и то, на котором минимальна функция j (т.е. то из множеств, которому соответствует меньшее из чисел j() и j()).

Заметим теперь, что в проведенных рассуждениях использовался в качестве исходного только один фактический объект - приведенная матрица весов данного орграфа. По ней было выделено определенное ребро графа и были построены новые матрицы, к которым, конечно, можно все то же самое применить.

При каждом таком повторном применении будет фиксироваться очередное ребро графа. Условимся о следующем действии: перед тем, как в очередной матрице вычеркнуть строку и столбец, в ней надо заменить на Ґ числа во всех тех клетках, которые соответствуют ребрам, заведомо не принадлежащим тем гамильтоновым циклам, которые проходят через уже отобранные ранее ребра.

К выбранному множеству с сопоставленными ему матрицей и числом j повторим все то же самое и так далее, пока это возможно.

Доказывается, что в результате получится множество, состоящее из единственного обхода коммивояжера, вес которого равен очередному значению функции j; таким образом, оказываются выполненными все условия, обсуждавшиеся при описании метода ветвей и границ.

После этого осуществляется улучшение рекорда вплоть до получения окончательного ответа.

2.2 Условие задачи

Студенту Иванову поручили разнести некоторые важные документы из 12-ого корпуса. Но, как назло, у него на это очень мало времени, да и еще надо вернуться обратно. Нужно найти кротчайший путь. Расстояния между объектами даны в таблице

2.3 Математическая модель задачи

Для решения задачи присвоим каждому пункту маршрута определенный номер: 12-ый корпус - 1, Белый дом - 2, КРК «Премьер» - 3, Администрация - 4 и 5-ый корпус - 5. Соответственно общее количество пунктов. Далее введем альтернативных переменных, принимающих значение 0, если переход из i-того пункта в j-тый не входит в маршрут и 1 в противном случае. Условия прибытия в каждый пункт и выхода из каждого пункта только по одному разу выражаются равенствами (8) и (9).

Для обеспечения непрерывности маршрута вводятся дополнительно n переменных и дополнительных ограничений (10).

Суммарная протяженность маршрута F , которую необходимо минимизировать, запишется в следующем виде:

В нашем случае эти условия запишутся в следующем виде:

2.4 Решение задачи методом ветвей и границ

1) Анализ множества D.

Найдем оценку снизу Н . Для этого определяем матрицу минимальных расстояний по строкам (1 где расстояние минимально в строке).

Аналогично определяем матрицу минимальных расстояний по столбцам.

Выберем начальный план: . Тогда верхняя оценка:

Очевидно, что, где означает переход из первого пункта в j-тый. Рассмотрим эти подмножества по порядку.

2) Анализ подмножества D 12 .

3) Анализ подмножества D 13 .

4) Анализ подмножества D 14 .

5) Анализ подмножества D 15 .

6) Отсев неперспективных подмножеств.

Подмножества D 13 и D 15 неперспективные. Т.к. , но, то далее будем рассматривать подмножество D 14 .

7) Анализ подмножества D 142 .

8) Анализ подмножества D 143 .

9) Анализ подмножества D 145 .

10) Отсев неперспективных подмножеств

Подмножество D 143 неперспективное. Т.к. , но, то далее будем рассматривать подмножество D 145 .

11) Анализ подмножества D 1452 .

ветвь граница целевой алгоритм

12) Анализ подмножества D 1453 .

Оптимальное решение: .

Таким образом, маршрут студента: 12-ый корпус - Администрация - 5-ый корпус - Белый дом - КРК Премьер - 12-ый корпус.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Список использованной литературы

1. Абрамов Л.А., Капустин В.Ф. Математическое программирование. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.

2. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. - М.: Наука, 1987. -294 с.

3. Корбут А.А., Финкелгейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука. 1969. -240 с

4. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб и доп. - М.: Высшая школа, 1980. -300 с.

5. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985. -213 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Постановка и решение дискретных оптимизационных задач методом дискретного программирования и методом ветвей и границ на примере классической задачи коммивояжера. Этапы построения алгоритма ветвей и границ и его эффективность, построение дерева графов.

курсовая работа , добавлен 08.11.2009


Постановка задачи о коммивояжере. Нахождение оптимального решения с применением метода ветвей и границ. Основной принцип этого метода, порядок его применения. Использование метода верхних оценок в процедуре построения дерева возможных вариантов.

курсовая работа , добавлен 01.10.2009


Особенности метода ветвей и границ как одного из распространенных методов решения целочисленных задач. Декомпозиция задачи линейного программирования в алгоритме метода ветвей и границ. Графический, симплекс-метод решения задач линейного программирования.

курсовая работа , добавлен 05.03.2012


Моделирование передвижения муравьев. Метод ветвей и границ, ближайшего соседа. Ограничения, накладываемые на агента в стандартной постановке задачи коммивояжера. Использование графа видимости в алгоритме муравья. Структура данных алгоритма муравья.

дипломная работа , добавлен 07.02.2013


Методы ветвей и границ первого и второго порядка. Оптимальный и пассивный поиск. Недостатки метода Ньютона. Метод золотого сечения. Примеры унимодальных функций. Динамическое и линейное программирование. Метод Жордана-Гаусса. Решение задачи коммивояжера.

курсовая работа , добавлен 20.07.2012


Сущность теории графов и сетевого моделирования. Выбор оптимального пути и стоимости переезда коммивояжера с помощью метода ветвей и границ. Разработка программы выбора самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу.

курсовая работа , добавлен 08.08.2013


Оптимизация решения задачи с помощью алгоритма отжига. Анализ теории оптимизации как целевой функции. Метод градиентного спуска. Переменные и описание алгоритма отжига. Представление задачи коммивояжера через граф. Сведение задачи к переменным и решение.

курсовая работа , добавлен 21.05.2015


Постановка линейной целочисленной задачи. Метод отсекающих плоскостей. Дробный алгоритм решения полностью целочисленных задач. Эффективность отсечения Гомори. Сравнение вычислительных возможностей метода отсекающих плоскостей и метода ветвей и границ.

курсовая работа , добавлен 25.11.2011


Задача о ранце как задача комбинаторной оптимизации. Задача о загрузке, рюкзаке, ранце. Постановка и NP-полнота задачи. Классификация методов решения задачи о рюкзаке. Динамическое программирование. Метод ветвей и границ. Сравнительный анализ методов.

курсовая работа , добавлен 18.01.2011


Поиск верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений. Методы и проблемы решения задач нелинейного программирования. Написание и отладка программы. Создание программы для решения задачи "коммивояжёра" прямым алгоритмом.