Найти определитель матрицы n го порядка. Нахождение определителей N-го порядка
ортогональный унитарный матрица полилинейный
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.
Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при
При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому
Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка
Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).
Для определителя третьего порядка имеем
При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:
Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка
Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.
Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).
Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).
Вычисление определителей порядка N>3.
Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.
Пример 2.1. Вычислить определители
Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;
Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)
Пусть дана квадратная матрица порядка.
Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на
Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по i-й строке);
(разложение по j-му столбцу).
Замечания 2.1.
1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.
2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.
Пример 2.2. Найти определитель матрицы
Решение. Разложим определитель по 3-й строке:
Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:
Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):
Определитель матрицы треугольного вида
Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы
Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):
где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Замечания 2.2
1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
2. Определитель единичной матрицы равен 1.
3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Основные свойства определителей (детерминантов)
1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.
2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.
3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):
4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:
5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:
6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:
7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:
8. Определитель линеен по любому столбцу:
9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:
10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:
Замечания 2.3
1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):
Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя
у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.
2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.
3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что
4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:
а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;
б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.
Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.
Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.
Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:
Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:
.
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.
Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка
.
Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).
.
Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
.
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
.
.
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Понятие обратной матрицы
Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .
Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .
Определение 3
.
Матрица
называетсяприсоединенной,
ее элементами являются алгебраические
дополнения
транспонированной матрицы
.
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
,
где
.
Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.
Пример
1.
Дана
матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
и найти обратную матрицу
.
Решение:
.
Следовательно матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Получаем
.
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
Определение . Определителем квадратной матрицы второго порядка называют число, равное a 11 a 22 -a 12 a 21 и обозначают символом , то есть
Определитель матрицы называется также детерминантом . Обозначения определителя матрицы A : |A |, Δ, det A , det(a ij) .
Теперь рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка
При вычислении определителя третьего порядка полезно знать правило треугольника: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а красным (справа) - со знаком минус.
Теперь дадим определение.
Определение . Определителем квадратной матрицы третьего порядка называют число
Определение . Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, к которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a ik обозначим M ik .
Определение . Минор элемента a 21 определителя третьего порядка матрицы является определитель второго порядка
Определение a ik определителя называется его минор, взятый со знаком (-1) i+k .
Алгебраическое дополнение элемента a ik обозначим A ik . По определению
Правило для определения знака алгебраического дополнения (на примере определителя третьего порядка):
Пример . Алгебраическим дополнением элемента a 21 является
Теорема разложения . Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Свойства определителей
- Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
- При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.
- Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
- Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.
- Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) равен нулю.
- Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.
- Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.
Замечание . Если в определителе все элементы некоторого столбца (строки) равны суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух соответствующих определителей.
Например,
Определители n -го порядка
Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка
Понятие определителя этой матрицы или определителя n -го порядка вводится индуктивно, считая, что уже введено понятие определителя порядка n-1 , соответствующего квадратной матрице (n-1) -го порядка.
Определение минора элемента матрицы и его алгебраического дополнения верны для определителей любого порядка.
Определение
. Определителем порядка n
, соответствующим матрице A
n
-го порядка, называют число, равное 
(M 1k
- минор элемента a 1k
) и обозначаемое одним из символов
Итак, по определению
Эта формула выражает правило составления определителя порядка n по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по алгебраическим дополнениям этих элементов, являющимся определителем порядка n-1 , взятыми с надлежащими знаками.
Для определителя любого порядка верны все свойства и теоремы, полученные и доказанные для определителя третьего порядка.
Сформулируем основную теорему:
Теорема [Теорема замещения] . Каков бы ни был номер строки i (i=1,2,…,n ), для определителя n -го порядка справедлива формула
называемая разложением этого определителя по i -й строке.
Поскольку верно свойство 1 определителей, то определитель также можем разложить и по столбцу:
Примеры
Вычислим следующий определитель:
Вычтем вторую строку из первой и третьей. После прибавим к третей первую и из третей вынесем общий множитель:
Теперь ко второй строке прибавим третью, умноженную на 7, и к четвертой прибавим третью, умноженную на 2. После вынесем общий множитель из четвертой строки:
Разложим определитель по второму столбцу (знаки указывают значение (-1) i+j при миноре). Заметим, что в столбце только один ненулевой элемент, следовательно, в разложении останется только один определитель третьего порядка. Окончательно пулучаем ответ использую формулу для определителя третьего порядка.
Приведем еще несколько примеров для определителей различных порядков.
Определители, их свойства и вычисление
1.Определители второго и третьего порядков; их вычисление .
Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.
Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки
Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки
Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.
Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали .
Определители n-го порядка; миноры и алгебраические дополнения. Свойства и вычисление определителей n-го порядка.
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
, называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание:
Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» - . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» - рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» - рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).
Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).
Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
Методы вычисления определителей n
–
го порядка
1. Метод приведения к треугольному виду
Этот метод заключается в преобразовании определителя к
такому виду, где
все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны
нулю.
Пример 1. Вычислить определитель порядка n
d=
01
01
01
01
11110
xxx
xxx
xxx
xxx
.
Решение. Прибавим первую строку, умноженную на (–
x) ко всем
остальным:
d=
x
x
x
x
−
−
−
−
0001
0001
0001
0001
11110
.
К первому столбцу прибавим все последующие столбцы,
умноженные на (1/x). Получим
d=
.
0000
0000
0000
0000
1111)1(x
x
x
x
x
n
−
−
−
−
−
Мы получили треугольный вид, следовательно, определитель
равен произведению элементов главной диагонали
d=(–
1)
n
–
1
(n
–
1)x
n
–
2
.
Пример 2. Вычислить определитель
2221
2212
2122
1222
−
−
−
−
=d
.
Решение. Прибавим к первой строке все остальные, тогда в
первой строке все элементы будут равны 2(n
–
1)
–
1=2n
–
3 и,
следовательно, общий множитель можно вынести за знак
определителя:
.
2221
2212
2122
1111)32(−
−
−
−= nd
Теперь воспользуемся тем, что в первой строке все элементы равны
1. Умножая первую строку на (–
2) и прибавляя её ко всем остальным
строкам, мы получим.
0003
0030
0300
1111)32(−
−
−
−= nd
Побочная диагональ в определитель n-го порядка входит со
знаком
2)1()1(−
−
nn
(это легко проверить, если подсчитать число инверсий в
подста-
новке −− 1...21
...321
nnn
n). Тогда получим
()
()() ()
()
.32313321
1
1
2)1(1
2)1(−−=−−−=
−
−
+
−
−
nnd
n
nn
n
nn
Пример 3. Вычислить определитель.
000
00330
00022
1321
nn
nn
d
−
−
−
−
=
Решение. Прибавим к (n
–
1)-му столбцу n-ый, затем полученный (n
–
1)-ый столбец прибавим к (n
–
2)-му, и т. д. Тогда получим
определитель треугольного вида.
2)1(!
0000
00300
00020
123
2)1(1
2)1(2)1(+
=
−−
+
−
++
=
nn
n
n
nn
nnnnnn
d
2. Разложение определителя по строке (столбцу)
Пример 1. Вычислить определитель d разложением по третьей
строке, если
d=
2164
7295
4173
2152
−
−−
−−
−
.
Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение
определителя по i-ой строке: d=a
i1
A
i1
+a
i2
A
i2
+…+a
in
A
in
, где A
ij
, j=
n,1
–
алгебраические дополнения элементов определителя. В нашем
случае формула принимает вид d=a
31
A
31
+a
32
A
32
+a
33
A
33
+a
34
A
34
, т. е.
мы имеем следующее разложение:
d=5∙ (–
1)
3+1
∙
216
417
215
−
−
−
+(–
9)∙(–
1)
3+2
∙ 214
413
212
−−
+2∙(–
1)
3+3
∙
264
473
252
−
−
−
+
+ (-7)∙ (–
1)
3+4
∙
164
173
152
−
−−
−
.
Вычисляя полученные определители третьего порядка,
получим
d=5∙(–
6)+9∙12+2∙(–
54)
+
7∙(–
3)= –51.
Пример 2. Вычислить определитель
d=
78102
4552
5882
6593
−−−
.
Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (–
1) ко всем
остальным, получим
d=
3350
4552
913130
2041
−−−
.
Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (–
2),
получим
d=
3350
0530
913130
2091
−
−−−
.
Разложив этот определитель по первому столбцу,
содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой
индексов 1+1=2, т. е. чётной), получим
d=
335
053
91313
−
−−−
.
Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой
строке третью, умноженную на 3, получим
d=
335
053
042
−
−
.
Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь
один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. е. чётной).
Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу:
d=3
53
42
−
−
=3(10
–
12)=
–
6.
Пример 3. Вычислить определитель.
000
11000
00300
00220
00011
nn
nn
d
−
−−
−
−
=
Решение. Разложим определитель по 1-му столбцу, тогда
()
() ()
.
1100
0030
0022
0001
1
000
1100
0030
0022
1
12
nn
n
n
nn
d
n
−−
−
−
−−+
−−
−
−=
+
В этом равенстве первый и второй определители имеют
треугольный вид, поэтому первый определитель равен n!, а второй
определитель равен
(–
1)(–
2) . . . (1
–
n)=(–
1)
n–1
(n
–
1)!. Тогда получим:
() ()
()
.011!1!!
1212
=−+=−+=
+−++ nnn
nnnd
3. Теорема Лапласа
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k
строк (или k столбцов), 1≤k≤n
–
1. Тогда сумма произведений всех
миноров k
–
го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их
алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить
определитель, предварительно преобразовав его.
d=
43220
50300
20100
34523
12532
−
−
−−
−−
.
Выберем третью и четвёртую строки. В них находится
единственный минор отличный от нуля, поэтому
d=
53
21 −
∙(–
1)
3+4+4+5
∙
320
423
232
−
−−
.
Воспользовавшись формулами для вычисления определителей
второго и третьего порядков, получим d=12–12+16+27=43.
Пример 2. Вычислить определитель.
005000
050000
500000
000500
000010
000001
−
=
d
Решение. Данный определитель имеет вид, указанный в
следствии из теоремы Лапласа, поэтому мы можем этим следствием
воспользоваться. Тогда
()
.51
005
050
500
,5
500
010
001
3
2)4)(3(3
−
−−
−
−==−=−=
n
nn
n
BA
По следствию из теоремы Лапласа имеем:
()
.51
2
2
147
2
−
+−
−==
n
nn
BAd
4. Метод выделения линейных множителей
Определитель рассматривается как многочлен от одной или
нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают,
что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти
множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая
отдельные члены определителя с членами произведения линейных
множителей, находят частное от деления определителя на это
произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример. Вычислить определитель методом линейных
множителей
d=
2
2
9132
5132
32x-21
3211
x
−
.
Решение. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (–
1), а к третьей –
четвёртую, умноженную на (–
1):
d=
2
2
2
2
9132
4000
32x-21
0010
x
x
x
−
−
−
.
Воспользуемся тем, что в первой строке и в третьей строке
стоит лишь по одному неравному нулю элементу, и обнулим
элементы стоящие во втором и третьем столбцах:
d=
0102
4000
0201
0010
2
2
−
−
x
x
.
Прибавим ко второй строке четвёртую, тогда
d=
0102
4000
0303
0010
2
2
−
−
x
x
.
Из первой строки видно, что определитель делится на x
2
–
1, из
второй строки видно, что определитель делится на 3, а из третьей
строки видно, что он делится на x
2
–
4. Так как все эти множители
взаимно просты, то определитель делится на их произведение 3(x
2
–
1)(x
2
–
4). В данном произведении член x
4
имеет знак «+», а в
определителе он содержится со знаком «
–
», поэтому d= –
3(x
2
–
1)(x
2
–
4).
5. Метод представления определителя в виде суммы
определителей
Некоторые определители легко вычисляются путём
разложения их в сумму определителей того же порядка
относительно строк или столбцов.
Пример. Вычислить определитель
d=
add
acc
abb
aaa
42
32
22
12
+
+
+
+
.
Элементы первого столбца являются суммами двух слагаемых,
это даёт возможность данный определитель представить как сумму
двух определителей:
d=
ad
ac
ab
aa
42
32
22
12
+
add
acc
abb
aaa
4
3
2
1
.
В первом определителе первый и четвёртый столбцы
пропорциональны, следовательно, он равен нулю. Во втором
определителе первый и третий столбцы равны, следовательно, он
тоже равен нулю. Таким образом, d=0.
6. Метод изменения элементов определителя
Этот метод основан на следующем свойстве: если ко всем
элементам определителя D прибавить одно и то же число x, то
определитель увеличится на произведение числа x на сумму
алгебраических дополнений всех элементов определителя D.
D′=D+x
=
n
ji
ij
A
1,
.
Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к
вычислению определителя D и суммы его алгебраических
дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём
изменения всех элементов определителя на одно и то же число он
приводится к такому виду, в котором легко сосчитать
алгебраические дополнения всех элементов.
Пример. Вычислить определитель
D=
n
axxxx
xaxx
xxax
xxxa
3
2
1
.
Прибавим ко всем элементам число (–
x), тогда
D′=
xa
xa
xa
xa
n
−
−
−
−
0000
000
000
000
3
2
1
.
Алгебраические дополнения элементов определителя D, не
лежащих на главной диагонали, равны нулю. Остальные
алгебраические дополнения имеют положительный знак, поскольку
все суммы индексов чётные. В нашем случае формула принимает
вид:
D′=(a
1
–
x)…(a
n
–
x),
x
=
n
ji
ij
A
1,
=
–
x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
.
Тогда искомый определитель
D=D′–x
=
n
ji
ij
A
1,
=(a
1
–
x)…(a
n
–
x)+x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
=
=x(a
1
–
x)(a
2
–
x)…(a
n
–
x)
−
+…+
−
+
xaxax
n
111
1
.
7. Метод рекуррентных соотношений
Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают,
преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через
определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное
равенство называется рекуррентным соотношением. Этот метод
используется для вычисления определителей вида.)(000
00
0
00
21
−−
−+=
+
+
+
+
=
nnn
DDD
αββα
βα
βαα
ββαα
ββα
D
n
–
(α+β)D
n
–
1
+αβD
n
–
2
=0 или, в общем виде D
n
–
pD
n
–
1
+qD
n
–
2
=0, где
p=α+β, q=αβ.
Пусть рекуррентное соотношение имеет вид:
D
n
=pD
n
–
1
–
qD
n
–
2
, n>2, (5)
где p, q – постоянные не зависящие от n.
При q=0 D
n
вычисляется как член геометрической прогрессии:
D
n
=p
1
−
n
D
1
; здесь D
1 – определитель 1
–
го порядка данного вида, т. е.
элемент определителя D
n
, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть q>0 и α, β –
корни квадратного уравнения x
2
–
px+q=0. Тогда
р=α+β, q=αβ и равенство (5) можно переписать так:
D
n
–
αD
n
–
1
=β (D
n
–
1
–
αD
n
–
2)
(6)
или
D
n
–
βD
n
–
1
=α(D
n
–
1
–
βD
n
–
2).
(7)
Предположим сначала, что α≠β. По формуле (n
–
1)
–
го члена
геометрической прогрессии находим из равенств (6) и (7):
D
n
–
αD
n
–
1
=β
2
−
n
(D
2
–
αD
1) и D
n
–
βD
n
–
1
=α
2
−
n
(D
2
–
βD
1).
Откуда.)()(12
1
12
1
βα
αββα
−
−−−
=
−−
DDDD
D
nn
n
(8)
Пусть теперь α=β. Равенства (6) и (7) обращаются в одно и то же
D
n
–
αD
n
–
1
=α (D
n
–
1
–
αD
n
–
2),
откуда
D
n
–
αD
n
–
1
=Aα
2
−
n
, (9)
где A=D
2
–
αD
1
.
Заменяя здесь n на n
–
1, получим:
D
n
–
1
–
αD
n
–
2
=Aα
3
−
n
, откуда D
n
–
1
=αD
n
–
2
+Aα
3
−
n
.
Подставляя это выражение в равенство (9), найдём D
n
=α
2
D
n
–
2
+2Aα
2
−
n
. Повторяя тот же приём несколько раз, получим
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
,
где A=D
2
–
αD
1
.
Пример 1. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений.
d=
21...0000
12...0000
.....................
00...2100
00...1210
00...0121
00...0012
.
Решение. Разложим определитель по первой строке, тогда
D
n
=2(–
1)
1+1
D
n
–
1
+(–
1)
2+1
2...000
...............
0...210
0...120
0...011
.
Определитель в последнем равенстве разложим по первому столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=2, D
2
=3, тогда A=3
–
2=1. Следовательно,
D
n
=2+(n
–
1)=n+1.
Пример 2. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений:
d=
210...000
121...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Решение. Разлагая d по последней строке, получим
D
n
=2(–
1)
nn
+
D
n
–
1
+(–
1))1(−+
nn
110...000
021...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Определитель в последнем равенстве разложим по (n
–
1)
–
му столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле D
n
= α
n
–
1
D
1
+(n
–
1)Aα
n
–
2
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при
α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=3, D
2
=
–
2, тогда A=
–
5.
Следовательно, D
n
=3+(n
–
1)(–
5)=8
–
5n.
8. Определитель Вандермонда
Определителем Вандермонда называется определитель вида.
1111
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
−−−−
=
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей a
i
–
a
j
, где 1≤j