Эквивалентные матрицы. Равенство матриц, эквивалентные матрицы Эквивалентные преобразования матриц

Часто встречаются понятия равенства и эквивалентности матриц.

Определение 1

Матрица $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $ называется равной матрице $B=\left(b_{ij} \right)_{k\times l} $, если их размерности совпадают $(m=k,n=l)$ и соответствующие элементы сравниваемых матриц равны между собой.

Для матриц 2-го порядка, записанных в общем виде, равенство матриц можно записать следующим образом:

Пример 1

Даны матрицы:

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)$;

2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$;

3) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)$.

Определить, равны ли матрицы.

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют одинаковый порядок, равный 2$\times $2. Соответствующие элементы сравниваемых матриц равны, следовательно, матрицы равны.

2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют разный порядок, равный 2$\times $2 и 2$\times $1 соответственно.

3) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют одинаковый порядок, равный 2$\times $2. Однако не все соответствующие элементы сравниваемых матриц равны, следовательно, матрицы не являются равными.

Определение 2

Элементарное преобразование матрицы -- это такое преобразование, в результате которого сохраняется эквивалентность матриц. Другими словами, элементарное преобразование не изменяет множества решений системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которую представляет данная матрица.

К элементарным преобразованиям строк матриц относятся:

• умножение строки матрицы на число $k$, не равное нулю (определитель матрицы при этом увеличивается в $k$ раз);
• перестановка местами двух любых строк матрицы;
• прибавление к элементам одной строки матрицы элементов другой ее строки.

То же самое применимо и к столбцам матрицы и называется элементарными преобразованиями столбцов.

Определение 3

Если от матрицы А с помощью элементарного преобразования перешли к матрице В, то исходная и полученная матрицы называются эквивалентными. Для обозначения эквивалентности матриц используют знак «$ \sim$», например, $A\sim B$.

Пример 2

Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$.

Выполнить по очереди элементарные преобразования строк матрицы.

Поменяем местами первую строку и вторую строку матрицы А:

Умножим первую строку матрицы В на число 2:

Сложим первую строку со второй строкой матрицы:

Определение 4

Ступенчатая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет следующим условиям:

• при наличии в матрице нулевой строки все строки, находящиеся ниже ее, тоже являются нулевыми;
• первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки должен быть расположен строго правее ведущего элемента в строке, которая находится выше данной.

Пример 3

Матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {7} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {7} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ являются ступенчатыми матрицами.

Замечание

Привести матрицу к ступенчатому виду можно с помощью эквивалентных преобразований.

Пример 4

Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$. Выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим ее со второй строкой:

Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим ее с третьей строкой:

Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим ее с третьей строкой:

$K=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида.

Эквивалентные матрицы

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

2. Пример: Определить ранг матрицы.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере - это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и det A = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где aij - коэффициенты, а bi - постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера - Капели (условие совместности системы).

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде.

Переход к новому базису.

Пусть (1) и (2) – два базиса одного и того же m-мерного линейного пространства X.

Так как (1) – базис, то по нему можно разложить векторы второго базиса:

Из коэффициентов при составим матрицу:

(4) – матрица преобразования координат при переходе от базиса (1) к базису (2).

Пусть вектор, тогда (5) и (6).

Соотношение (7) означает, что

Матрица Р – невырожденная, так как в противном случае имело бы место линейная зависимость между ее столбцами, а тогда и между векторами.

Верно и обратное: любая невырожденная матрица является матрицей преобразования координат, определяемого формулами (8). Т.к. Р – невырожденная матрица, то для нее существует обратная. Умножая обе части (8) на, получим: (9).

Пусть в линейном пространстве X выбрано 3 базиса: (10), (11), (12).

Откуда, т.е. (13).

Т.о. при последовательном преобразовании координат матрица результирующего преобразования равна произведению матриц составляющих преобразований.

Пусть линейный оператор и пусть в X выбрана пара базисов: (I) и (II), и в Y – (III) и (IV).

Оператору А в паре базисов I – III соответствует равенство: (14). Этому же оператору в паре базисов II – IV соответствует равенство: (15). Т.о. для данного оператора А имеем две матрицы и. Мы хотим установить зависимость между ними.

Пусть Р – матрица преобразования координат при переходе от I к III.

Пусть Q – матрица преобразования координат при переходе от II к IV.

Тогда (16), (17). Подставим выражения для и из (16) и (17) в (14), получим:

Сравнивая данное равенство с (15), получим:

Соотношение (19) связывает матрицу одного и того же оператора в разных базисах. В случае, когда пространства X и Y совпадают, роль III базиса играет I, а IV – II-ой, тогда соотношение (19) принимает вид: .

Библиография:

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №16 (II семестр)

Тема: Необходимое и достаточное условие эквивалентности матриц.

Две матрицы, А и В, одинаковых размеров, называются эквивалентными , если существуют две невырожденные матрицы R и S, такие, что (1).

Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в линейных пространствах X и Y эквивалентны.

Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.

Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.

Доказательство:

1. Пусть А и В – две матрицы, для которых имеет смысл. Ранг произведения (матрицы С) не выше ранга каждого из сомножителей.

Мы видим, что k-ый столбец матрицы С является линейной комбинацией векторов столбцов матрицы А и это выполняется для всех столбцов матрицы С, т.е. для всех. Т.о. , т.е. – подпространство линейного пространства.

Так как и так как размерность подпространства меньше или равна размерности пространства, то ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы А.

В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда получим систему равенств, аналогичную системе (3):

Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке, натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы В.

2. Ранг произведения матрицы А слева и справа на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.(). Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы А.

Доказательство: Согласно доказанному в случае (1) . Так как матрица Q – невырожденная, то для нее существует: и в соответствии с доказанным в предыдущем утверждении.

3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В эквивалентны, если существуют такие R и S, что. Так как при умножении А слева на R и справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.

4. Пусть матрицы А и В одинакового ранга. Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим, .

Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы (базис X) и (базис Y). Как известно, любая матрица вида определяет некоторый линейный оператор, действующий из X в Y.

Так как r – ранг матрицы А, то среди векторов в точности r линейно независимых. Не ограничивая общности, можно считать, что – первые r векторов – линейно независимы. Тогда все остальные через них линейно выражаются, и можно записать:

Определим в пространстве X новый базис, следующим образом: . (7)

Новый базис в пространстве Y следующим образом:

Векторы, по условию, линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса Y: (8). Итак (7) и (8) – два новых базиса X и Y. Найдем матрицу оператора А в этих базисах:

Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была произвольной прямоугольной матрицей вида, ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида ранга r эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две матрицы А и В вида и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №17 (II семестр)

Тема: Собственные значения и собственные векторы. Собственные подпространства. Примеры.

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть. Будем говорить, что матрица л_эквивалентна (п_эквивалентна или эквивалентна) матрице и обозначать (или), если матрица может быть получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л_эквивалентные и п_эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым.

Пусть. Говорят, что ненулевая строка этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент, что все элементы столбца, отличные от, равны нулю, . Отмеченный единичный элемент строки будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка матрицы имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец вида

Например, в следующей матрице

строка имеет приведенный вид, так как. Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки претендует также элемент. В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.

Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица

имеет приведённый вид.

Предложение 1.3 Для любой матрицы существует л_эквивалентная ей матрица приведённого вида.

Действительно, если матрица имеет вид (1.1) и, то после проведения в ней элементарных преобразований

получаем матрицу

у которой строка имеет приведённый вид.

Во-вторых, если строка, в матрице была приведённой, то после проведения элементарных преобразований (1.20) строка матрицы будет приведённой. Действительно, так как, приведённая, найдётся такой столбец, что

но тогда и, следовательно, после проведения преобразований (1.20) столбец не меняется, т.е. . Поэтому строка, имеет приведённый вид.

Теперь ясно, что поочерёдно преобразуя указанным выше способом каждую ненулевую строку матрицы, после конечного числа шагов мы получим матрицу приведённого вида. Так как для получения матрицы использовались только строчные элементарные преобразования, то она л_эквивалентна матрице. >

Пример 7. Построить матрицу приведённого вида, л_эквивалентную матрице