Ортогональные операторы в евклидовом пространстве. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию

Рассмотрим -мерное евклидово пространство . Пусть дан произвольный линейный оператор в .

Определение 10. Линейный оператор называется транспонированным оператором для оператора , если для любых векторов и из :

. (106)

Существование и единственность транспонированного оператора устанавливаются совершенно аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора в унитарном пространстве.

Транспонированный оператор обладает следующими свойствами:

2. ,

3. ( – вещественное число),

Введем ряд определений.

Определение 11. Линейный оператор называется нормальным, если

Определение 12. Линейный оператор называется симметрическим, если

Определение 13. Симметрический оператор называется неотрицательным, если для любого вектора из

Определение 14. Симметрический оператор называется положительно определенным, если для любого вектора из

Определение 15. Линейный оператор называется кососимметрическим, если

Произвольный линейный оператор всегда представим, и притом однозначно, в виде

где – симметрический, а – кососимметрический оператор.

Действительно, из (107) следует

Из (107) и (108) вытекает

. (109)

Обратно, формулы (109) всегда определяют симметрический оператор и кососимметрический , для которых имеет место равенство (107).

И носят название симметрической и кососимметрической компонент оператора .

Определение 16. Оператор называется ортогональным, если он сохраняет метрику пространства, т. е. если для любых векторов из

. (110)

Равенство (110) в силу (106) можно переписать так: . Отсюда следует:

Обратно, из (111) вытекает (110) (при произвольных векторах ). Из (111) следует: , т. е.

Мы будем ортогональный оператор называть оператором первого рода, если , и второго рода, если .

Симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы суть частные виды нормального оператора.

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис в данном евклидовом пространстве. Пусть линейному оператору в этом базисе соответствует матрица (здесь все – вещественные числа). Читатель без труда покажет, что транспонированному оператору отвечает в этом же базисе транспонированная матрица , где . Отсюда вытекает, что в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица , симметрическому оператору отвечает симметрическая матрица , кососимметрическому оператору – кососимметрическая матрица и, наконец, ортогональному оператору – ортогональная матрица .

Аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора, здесь устанавливается следующее предложение:

Если некоторое подпространство в инвариантно относительно линейного оператора , то ортогональное дополнение к в инвариантно относительно оператора .

Для исследования линейных операторов в евклидовом пространстве мы расширим евклидово пространство до некоторого унитарного пространства . Это расширение проведем следующим образом:

1. Векторы из будем называть вещественными векторами.

2. Введем в рассмотрение «комплексные» векторы , где и – вещественные векторы, т. е. .

3. Естественным образом определяются операции сложения комплексных векторов и умножения на комплексное число. Тогда совокупность всех комплексных векторов образует -мерное векторное пространство над полем комплексных чисел, содержащее в себе как часть .

4. В вводится эрмитова метрика так, чтобы в она совпадала с имеющейся там евклидовой метрикой. Читатель легко проверит, что искомая эрмитова метрика задается следующим образом:

Если и , то

Полагая при этом и , будем иметь:

Если выбрать вещественный базис, т. е. базис в , то будет представлять собой совокупность всех векторов с комплексными, а – с вещественными координатами в этом базисе.

Всякий линейный оператор в однозначно расширяется до линейного оператора в :

.

Среди всех линейных операторов в операторы, получившиеся в результате такого расширения из операторов в , характеризуются тем, что переводят в . Такие операторы будем называть вещественными.

В вещественном базисе вещественные операторы определяются вещественными матрицами, т. е. матрицами с вещественными элементами.

Вещественный оператор переводит комплексно сопряженные векторы и снова в комплексно сопряженные

У вещественного оператора вековое уравнение имеет вещественные коэффициенты, поэтому умеете с корнем -й кратности оно имеет и корень -й кратности . Из следует: , т. е. сопряженным характеристическим числам соответствуют сопряженные собственные векторы.

Двумерное подпространство имеет вещественный базис: . Плоскость в с этим базисом будем называть инвариантной плоскостью оператора , отвечающей паре характеристических чисел . Пусть .

Тогда, как легко видеть,

Рассмотрим вещественный оператор простой структуры с характеристическими числами:

где – вещественные числа, причем .

Тогда соответствующие этим характеристическим числам собственные векторы можно выбирать так, чтобы

.

образуют базис в евклидовом пространстве . При этом

(114)

В базисе (113) оператору соответствует вещественная квазидиагональная матрица

. (115)

Таким образом, для каждого оператора простой структуры в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором оператору соответствует матрица вида (115). Отсюда следует, что всякая вещественная матрица простой структуры вещественно-подобна канонической матрице вида (115):

Транспонированный оператор для в после расширения становится сопряженным оператором для в . Следовательно, нормальный, симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы в после расширения становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на эрмитовым, унитарным вещественным операторами в .

Нетрудно показать, что для нормального оператора в евклидовом пространстве можно выбрать канонический базис – ортонормированный базис (113), для которого имеют место равенства (114). Поэтому вещественная нормальная матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна матрице вида (115):

(117)

У симметрического оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор становится эрмитовым. Для симметрического оператора в формулах (114) следует положить . Тогда получим:

Симметрический оператор в евклидовом пространстве всегда имеет ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами. Поэтому вещественная симметрическая матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна диагональной матрице

У кососимметрического оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа чисто мнимы (после расширения этот оператор равен произведению на эрмитов оператор). Для кососимметрического оператора в формулах (114) следует положить:

после чего эти формулы принимают вид

(120)

Поскольку является нормальным оператором, базис (113) можно считать ортонормированным. Таким образом, всякая вещественная кососимметрическая матрица вещественно- и ортогонально-подобна канонической кососимметрической матрице:

. (124)): из равенств параллельно вектору . Нами доказана теорема Эйлер – Даламбера:

Произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой винтовое перемещение вокруг некоторой неподвижной оси.

Пусть линейный оператор А действует в евклидовом пространстве E n и преобразует это пространство само в себя.

Введем определение : оператор А * назовем сопряженным оператору А , если для любых двух векторов x,y из Е n выполняется равенство скалярный произведений вида:

(Ax,y ) = (x,A * y )

Еще определение : линейный оператор называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному оператору, т. е. справедливо равенство:

(Ax,y ) = (x,Ay )

или, в частности (Ax,x ) = (x,Ax ).

Самосопряженный оператор обладает некоторыми свойствами. Упомянем некоторые из них:

Собственные числа самосопряженного оператора - вещественны (без доказательства);

Собственные векторы самосопряженного оператора ортогональны. Действительно, если x 1 и x 2 – собственные векторы, а  1 и  2 – их собственные числа, то: Ax 1 =  1 x ; Ax 2 =  2 x ; (Ax 1 ,x 2 ) = (x 1 ,Ax 2 ), или  1 (x 1 ,x 2 ) =  2 (x 1 ,x 2 ). Поскольку  1 и  2 различны, то отсюда (x 1 ,x 2 ) = 0, что и требовалось доказать.

В евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора А . Т. е. матрицу самосопряженного оператора всегда можно привести к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов самосопряженного оператора.

Еще одно определение : назовем самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве симметричным оператором. Рассмотрим матрицу симметричного оператора. Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.:

(Ax,y ) = (x,Ay )

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

координаты x и y в некотором ортонормированном базисе

Тогда: (x,y ) = X T Y = Y T X и имеем (Ax,y ) = (AX) T Y = X T A T Y

(x,Ay ) = X T (AY) = X T AY,

т.е. X T A T Y = X T AY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно только при А Т = А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов

Оператор проектирования. Пусть требуется найти матрицу линейного оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную ось е 1 в базисе е 1 , е 2 , е 3 . Матрица линейного оператора – это матрица, в столбцах которой должны стоять образы базисных векторов е 1 = (1,0,0), е 2 = (0,1,0), е 3 = (0,0,1). Эти образы, очевидно, есть: Ае 1 = (1,0,0)

Ае 2 = (0,0,0)

Ае 3 = (0,0,0)

Следовательно, в базисе е 1 , е 2 , е 3 матрица искомого линейного оператора будет иметь вид:

Найдем ядро этого оператора. Согласно определению ядро – это множество векторов х , для которых АХ = 0. Или

Т. е. ядро оператора составляет множество векторов, лежащих в плоскости е 1 , е 2 . Размерность ядра равна n – rangA = 2.

Множество образов этого оператора – это, очевидно, множество векторов, коллинеарных е 1 . Размерность пространства образов равна рангу линейного оператора и равна 1 , что меньше размерности пространства прообразов. Т. е. оператор А – вырожденный. Матрица А тоже вырождена.

Еще пример : найти матрицу линейного оператора, осуществляющего в пространстве V 3 (базис i , j , k ) линейное преобразование – симметрию относительно начала координат.

Имеем: Ai = -i

Т. е. искомая матрица

Рассмотрим линейное преобразование – симметрию относительно плоскости y = x .

Aj = i (1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Матрица оператора будет:

Еще пример – уже знакомая матрица, связывающая координаты вектора при повороте осей координат. Назовем оператор, осуществляющий поворот осей координат, - оператор поворота. Допустим, осуществляется поворот на угол :

Ai ’ = cosi + sinj

Aj ’ = -sini + cosj

Матрица оператора поворота:

Ai ‘ Aj ‘

Вспомним формулы преобразования координат точки при смене базиса – замена координат на плоскости при смене базиса:

Эти формулы можно рассматривать двояко. Ранее мы рассматривали эти формулы так, что точка стоит на месте, поворачивается координатная система. Но можно рассматривать и так, что координатная система остается прежней, а перемещается точка из положения М * в положение М. Координаты точки М и М* определены в той же координатной системе.

Все сказанное позволяет подойти к следующей задаче, которую приходится решать программистам, занимающимся графикой на ЭВМ. Пусть необходимо на экране ЭВМ осуществить поворот некоторой плоской фигуры (например треугольника) относительно точки О’ с координатами (a,b) на некоторый угол . Поворот координат описывается формулами:

Параллельный перенос обеспечивает соотношения:

Для того, чтобы решить такую задачу, обычно применяют искусственный прием: вводят так зазываемые “однородные” координаты точки на плоскости XOY: (x, y, 1). Тогда матрица, осуществляющая параллельный перенос, может быть записана:

Действительно:

А матрица поворота:

Рассматриваемая задача может быть решена в три шага:

1 й шаг: параллельный перенос на вектор А(-а, -b) для совмещения центра поворота с началом координат:

2 й шаг: поворот на угол :

3 й шаг: параллельный перенос на вектор А(а, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение:

Искомое линейное преобразование в матричном виде будет выглядеть:

(**)

В этом параграфе мы покажем, каким образом определения и результаты предыдущих параграфов переносятся на случай вещественных евклидовых пространств.

1. Общие замечания.

Рассмотрим произвольное -мерное вещественное евклидово пространство V и оператор А, действующий в V.

Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства.

Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых элементов любых вещественных чисел а и Р выполняется равенство

В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора.

Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора.

Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный. Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора.

В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вещественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны.

В доказанной выше теореме 5.16 было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах § 6 настоящей главы о квадратичных формах. Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства.

Предварительно введем понятие оператора А, сопряженного к оператору А. Именно, оператор А называется сопряженным к А, если для любых х и у из V выполняется равенство

Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5.12 о существовании и единственности сопряженного оператора.

Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой

По этому поводу в п. 2 § 4 гл. 5 сделано соответствующее замечание.

Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном не обязательно евклидовом линейном пространстве Пусть В - функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре векторов вещественное число

Определение 2. Функция называется билинейной формой, заданной на если для любых векторов из и любого вещественного числа X выполняются соотношения

Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы в виде

где А - некоторый линейный оператор. Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы § 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы . В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве. Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы где - данная линейная форма в вещественном пространстве.

В § 6 настоящей главы были введены эрмитовы формы. Эрмитова форма - это полуторалинейная форма в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением (черта над В означает, что берется комплексно сопряженное значение для В).

В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характеризуется соотношением

Билинейная форма заданная на линейном пространстве называется кососимметричной, если для любых векторов из выполняется соотношение Очевидно, что для каждой билинейной формы функции

являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку то мы получаем следующее утверждение:

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы.

Нетрудно видеть, что такое представление является единственным.

Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах).

Теорема 5.33. Для того чтобы билинейная форма заданная на всевозможных векторах х и у вещественного евклидова пространства V, была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурирующий в представлении (5.113), был самосопряженным.

Доказательство. Если А - самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим

Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т. е. билинейная форма симметричная.

Если же форма симметричная, то справедливы соотношения

Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема доказана.

Введем понятие матрицы линейного оператора А, Пусть - какой-либо базис в -мерном вещественном линейном пространстве . Положим

Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если то . Для компонент вектора справедливо представление

Матрица называется матрицей линейного оператора А в базисе

Аналогично тому, как это было сделано в § 2 настоящей главы, можно доказать, что величина не зависит от выбора базиса и, тем самым, корректно вводится определитель оператора А.

Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, называется характеристическим многочленом оператора А.

Докажем теперь теорему о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве.

Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве вещественны.

Доказательство. Пусть - корень характеристического уравнения

самосопряженного оператора А.

Фиксируем в V какой-либо базис и обозначим через - элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что - вещественные числа).

Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно

Так как определитель системы (5.116) равен (напомним, что определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение

Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.116), учитывая при этом, что и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы вещественных чисел удовлетворяют следующей системе уравнений:

Рассмотрим в данном базисе векторы х и у с координатами соответственно. Тогда соотношения (5.117) можно переписать в виде

Умножим первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе - на х. Очевидно, получим равенства

Так как оператор А самосопряженный, то Поэтому путем вычитания соотношений (5.118) получим равенство

Но (если то следовательно, решение было бы нулевым, тогда как по построению это решение ненулевое). Поэтому а так, как - мнимая часть корня характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, -вещественное число. Теорема доказана.

Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение.

Теорема 5.35. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном вещественном евклидовом пространстве V, существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство. Пусть - вещественное собственное значение оператора А, а - единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению

Обозначим через -мерное подпространство пространства V, ортогональное к Очевидно, - инвариантное подпространство пространства V (т. е. если то ). Действительно, пусть тогда Поскольку оператор А самосопряженный - собственное значение А, получим

§ 5. Линейные самосопряженные операторы
в евклидовом пространстве .

1. Понятие сопряженного оператора. Мы будем рассматривать линейные операторы в конечномерном евклидовом пространстве V. Определение 1. Оператор А* из L(V, V) называется сопряженным к линейному оператору А, если для любых х и у из V выполняется соотношение

(Ах, у) = (х, А*у). (5.51)

Легко убедиться в том, что оператор А*, сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором. Это вытекает из очевидного соотношения

справедливого для любых элементов х, у 1 , у 2 и любых комплексных чисел α и β.

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.12. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный.

Доказательство. Очевидно, скалярное произведение (Ах, у) представляет собой полуторалинейную форму (см. гл. 4, § 3, п. 1 и определение полуторалинейной формы). По теореме 5.11 существует единственный линейный оператор А* такой, что эта форма может быть представлена в виде (х, А*у). Таким образом, (Ах, у) = х, А*у.
Следовательно, оператор А* - сопряженный к оператору А. Единственность оператора А* следует из единственности представления полуторалинейного оператора в виде E.44). Теорема доказана.

В дальнейшем символ А* будет обозначать оператор, сопряженный к оператору А.
Отметим следующие свойства сопряженных операторов:

Доказательства свойств 1°-4° элементарны, и мы предоставляем их читателю. Приведем доказательство свойства 5°. Согласно определению произведения операторов справедливо соотношение (АВ)х = А(Вх). С помощью этого равенства и определения сопряженного оператора получаем следующую цепочку соотношений:

((АВ)х, у) = (А(Вх), у) = (Вх, А*у) = = (х, В*(А*у)) = (х, (В*А*)у).

Таким образом, ((АВ)х, у) = (х, (В*А*)у). Иными словами, оператор В*А* является сопряженным к оператору АВ. Справедливость свойства 5° установлена.

Замечание. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3° формулируется так: (λА)* = λА*).

2. Самосопряженные операторы. Основные свойства.
Определение 2. Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство

А* =А.

Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично.
Простейшим примером самосопряженного оператора является тождественный оператор I (см. свойство 1° сопряженных операторов в предыдущем пункте).
С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов. Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.13 . Пусть А - линейный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве V. Тогда справедливо представление А = А R + iА I , где А R и А I - самосопряженные операторы, называемые соответственно действительной и мнимой частью оператора А.

Доказательство. Согласно свойствам 2°, 3° и 4° сопряженных операторов (см. предыдущий пункт этого параграфа) операторы A R = (А + А*)/2 и А I = (А - А*)/2i - самосопряженные.

Очевидно, А = А R + iА I Теорема доказана.

В следующей теореме выясняются условия самосопряженности произведения самосопряженных операторов. Мы будем говорить, что операторы А и В коммутируют, если АВ = ВА.

Теорема 5.14. Для того чтобы произведение АВ самосопряженных операторов А и В было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.
Доказательство . Так как А и В - самосопряженные операторы, то, согласно свойству 5° сопряженных операторов (см. п. 1 этого параграфа), справедливы соотношения
(АВ)* = В*А* = ВА (5.52)

Следовательно, если АВ = ВА , то (АВ)* = АВ , т.е. оператор АВ - самосопряженный. Если же АВ -самосопряженный оператор, то АВ = (АВ)* , и тогда, на основании (5.52), АВ = ВА. Теорема доказана.
В дальнейших теоремах устанавливается ряд важных свойств самосопряженных операторов.
Теорема 5.15. Если оператор А самосопряженный, то для любого х ϵ V скалярное произведение (Ах, х) - вещественное число.
Доказательство. Справедливость утверждения теоремы вытекает из следующего свойства скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве и определения самосопряженного оператора (Напомним, что если комплексное число равно своему сопряженному, то
это число - вещественное.)

Теорема 5.16. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.
Доказательство. Пусть λ - собственное значение самосопряженного оператора А. По определению собственного значения оператора А (см. определение 2 § 3 этой главы) существует ненулевой вектор х
такой, что Ах = λх. Из этого соотношения следует, что вещественное (в силу теоремы 5.15) скалярное произведение (Ах, х) может быть представлено в виде 2)

( 2) Напомним, что символ ||х|| обозначает норму элемента х.)

Так как ||х|| и (Ах, х) вещественны, то, очевидно, и λ - вещественное число. Теорема доказана.

В следующей теореме выясняется свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора.
Теорема 5.17. Если А - самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ 1 и λ 2 - различные собственные значения (λ 1 ≠ λ 2) самосопряженного оператора A, a x 1 и х 2 - соответственно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Ax 1 = λ 1 x 1 , Ах 2 = λ 2 х 2 . Поэтому скалярные произведения (Ax 1 , х 2) и (x 1 , Aх 2) соответственно равны следующим выражениям 3):

3) Так как собственные значения самосопряженного оператора вещественны, то

Так как оператор А самосопряженный, то скалярные произведения (Ax 1 , х 2) и (x 1 , Aх 2) равны, и поэтому из последних соотношений путем вычитания получаем равенство

Поскольку λ 1 ≠ λ 2 то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения (x 1* х 2), т.е. ортогональность собственных векторов x 1 и х 2 Теорема доказана.

3. Норма линейного оператора. Пусть А - линейный оператор, отображающий евклидово пространство V в это же пространство. Введем понятие нормы оператора А.
Определение 3 . Нормой || A|| линейного оператора А называется число, определяемое соотношением 1)

1) Напомним, что Отсюда следует, что представляет собой непрерывную функцию х, которая на замкнутом множестве ||х|| = 1 достигает конечного наибольшего значения.

Из определения нормы линейного оператора вытекает следующее очевидное неравенство:

(для доказательства достаточно воспользоваться соотношением Ах =

Из соотношения E.54) следует, что если ||А|| = О, то оператор А является нулевым.

Норму самосопряженного оператора А можно определить и другим способом. Именно, справедливо утверждение:

Если А - самосопряженный оператор, то введенная выше норма ||А|| оператора А равна

Доказательство. Для любого х из V справедливо неравенство Коши-Буняковского (см. п. 2 §3 гл.4)

Из него и из неравенства (5.54) получаем следующее неравенство:

Поэтому число

удовлетворяет соотношению

Отметим, что из равенства

и определения числа μ (см. 5.56)) вытекает следующее неравенство:

Обратимся теперь к следующему очевидному тождеству:

(в этом тождестве символ Re (Ax, у) обозначает действительную часть комплексного числа (Ах, у), само тождество легко вытекает из свойств скалярного произведения, см. п. 1 §3 гл.4). Беря левую и правую
части этого тождества по модулю, используя свойство модуля суммы и неравенство E.58), получим следующие соотношения 1) :

1 ) Мы использовали при этом определение нормы элемента в комплексном евклидовом пространстве.

Отсюда при ||х|| = ||у|| = 1 получаем неравенство

Полагая в этом неравенстве (очевидно, ||у|| = 1) и учитывая, что число (Ах, Ах) = ||Ах|| 2 является вещественным (поэтому получим

Отсюда, согласно неравенству (5.53), найдем

Для завершения доказательства остается сравнить полученное неравенство с неравенством (5.57) и воспользоваться определением числа µ (см. 5.56)).

4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов. В этом пункте мы докажем ряд важных свойств линейных операторов, связанных с понятием нормы. Сначала мы установим необходимое и достаточное условие самосопряженности оператора. Докажем следующую теорему.
Теорема 5.18. Для того чтобы линейный оператор А был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы 2)

2 ) Символ Im (Ax, х) обозначает мнимую часть комплексного числа (Ах, х). Равенство Im (Ах, х) = 0 означает, что число (Ах, х) является вещественным.

Доказательство. По теореме 5.13 произвольный линейный оператор А может быть представлен в виде

самосопряженные операторы. Поэтому

причем, согласно теореме 5.15, для любого х числа и - вещественные. Следовательно, эти числа соответственно равны действительной и мнимой частям комплексного числа (Ах, х):

Допустим, что А - самосопряженный оператор. По теореме 5.15 в этом случае (Ах, х) - вещественное число,
и поэтому Im (Ax, х) = 0. Необходимость условия теоремы доказана.

Докажем достаточность условия теоремы.

Пусть Im(Ax, х) = (А I х, х) = 0. Отсюда следует, что ||А I || = 0, т. е. А I = 0. Поэтому А = А R , где А R -самосопряженный оператор.
Теорема доказана.
В следующих утверждениях выясняются некоторые свойства собственных значений самосопряженных операторов.

Лемма. Любое собственное значение X произвольного линейного самосопряженного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению (Ах, х), где х - некоторый вектор, удо-
влетворяющий условию ||х|| = 1:

Доказательство. Так как λ - собственное значение оператора А, то существует такой ненулевой вектор z, что

Полагая x = z/||z|| (очевидно, ||х|| = 1), перепишем 5.60) следующим образом: Ах = λ х, ||х|| = 1. Отсюда получаем соотношения т.е. 5.59) имеет место. Лемма доказана.
Cледствие. Пусть А - самосопряженный оператор и λ - любое собственное значение этого оператора. Пусть далее

Справедливы следующие неравенства:

Замечание 1. Так как скалярное произведение (Ах, х) представляет собой непрерывную функцию от х, то на замкнутом множестве ||х|| = 1 эта функция ограничена и достигает своих точных граней m и М.
Замечание 2 . Согласно теореме 5.16 собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Поэтому неравенства 5.62) имеют смысл.
Доказательство следствия. Так как любое собственное значение λ удовлетворяет соотношению (5.59), то, очевидно, каждое собственное значение заключено между точными гранями m и М скалярного произведения (Ах, х). Поэтому неравенства (5.62) справедливы.
Мы докажем, что числа т и М, определенные соотношениями (5.61) являются соответственно наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А. Предварительно убедимся в справедливости следующего утверждения.

Теорема 5.19. Пусть А - самосопряженный оператор и, кроме того, (Ах, х) ≥ О для любого х. Тогда норма ||А|| равна наибольшему собственному значению этого оператора 1)

1 ) Так как собственных значений конечное число и они вещественны, то из них можно указать наибольшее.

Доказательство. Мы уже отмечали (см. утверждение предыдущего пункта), что

Так как (Ах, х) ≥ О, то Согласно замечанию 1 этого пункта для некоторого

Обращаясь к определению нормы и используя только что написанные равенства, получим соотношения 2)

Таким образом, или, иначе, - собственное значение оператора А. То, что λ - наибольшее собственное значение, вытекает из только что установленного следствия из леммы этого пункта. Теорема доказана.

Докажем теперь, что числа m и М (см. 5.61)) являются наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А.

Теорема 5.20. Пусть А - самосопряженный оператор, а m и М - точные грани (Ах, х) на множестве ||х|| = 1. Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А.
Доказательство . Очевидно, достаточно доказать, что числа m и М - собственные значения оператора А. Тогда из неравенств 5.62) сразу же следует, что т и М являются соответственно наименьшим и наибольшим собственными значениями.
Докажем сначала, что М - собственное значение. Для этого рассмотрим самосопряженный оператор В = А - mI. Так как

то оператор В удовлетворяет условиям теоремы 5.19, и поэтому норма ||В|| этого оператора равна наибольшему собственному значению. С другой стороны,

Таким образом, (М - m) - наибольшее собственное значение оператора В. Следовательно, существует такой ненулевой вектор х 0 , что

Так как

Подставляя это выражение Вх 0 в левую часть равенства (5.63), получим после несложных преобразований соотношение Ах 0 = Мх 0 - Таким образом, М - собственное значение оператора А. Убедимся теперь, что число m также является собственным значением оператора А.
Рассмотрим самосопряженный оператор В = -А. Очевидно, что

Согласно только что проведенному доказательству число - m представляет собой собственное значение оператора В. Так как В = -А, то т будет являться собственным значением оператора А. Теорема доказана.

В следующей теореме выясняется важное свойство собственных векторов самосопряженного оператора.

Теорема 5.21. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном евклидовом пространстве V, существует n линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов.

Доказательство . Пусть λ 1 - максимальное собственное значение оператора

Обозначим через e 1 собственный вектор, отвечающий λ 1 и удовлетворяющий условию ||e 1 || = 1 (возможность его выбора следует из доказательства леммы этого пункта).
Обозначим через V 1 (n - 1)-мерное подпространство пространства V, ортогональное к е 1 Очевидно, V 1 - инвариантное подпространство оператора А (т. е. если х ϵ V 1 , то и Ах ϵ V 1 . Действительно, пусть х ϵ V 1 (т. е. (х,е 1 =0). Тогда 1 )

1 ) Мы использовали свойство самосопряженности оператора (Ах, e 1 ) = (х, Ае 1 ) и то обстоятельство, что e 1 - собственный вектор оператора:

Следовательно, Ах - элемент V 1 , и поэтому V 1 - инвариантное подпространство оператора А. Это дает нам право рассматривать оператор А в подпространстве V 1 . В этом подпространстве А будет представлять собой самосопряженный оператор. Следовательно, имеется максимальное собственное значение А 2 этого оператора, которое можно найти с помощью соотношения 1 )

1 ) Символ обозначает ортогональность векторов e 1 и e 2

Кроме того, можно указать такой вектор что

Обращаясь далее к (n - 2)-мерному подпространству V 2 , ортогональному векторам e 1 и е 2 , и повторяя проведенные выше рассуждения, мы построим собственный вектор е з, ||е з || = 1, ортогональный e 1 и е 2. Рассуждая и далее таким же образом, мы последовательно найдем n взаимно ортогональных собственных векторов е 1 , е 2 ,..., е n , удовлетворяющих условию
Замечание 1. Договоримся в дальнейшем нумеровать собственные значения самосопряженного оператора в порядке убывания с учетом повторяющихся, т. е. кратных собственных значений. При этом

и отвечающие им собственные векторы е 1 , е 2 ,..., е n можно считать взаимно ортогональными и удовлетворяющими условию

Таким образом,

Замечание 2 . Из рассуждений в доказательстве теоремы следует соотношение

Это соотношение можно также записать в виде

линейная оболочка векторов е 1 , е 2 ,..., е m . Справедливость замечания вытекает из того, что (х, х) = ||х|| 2 , и поэтому

причем норма элемента х/||х|| равна 1.

Пусть ∑ m - множество всех m-мерных подпространств пространства V. Справедливо следующее важное минимаксное свойство собственных значений.
Теорема 5.22. Пусть А - самосопряженный оператор и - его собственные значения, занумерованные в порядке, указанном в замечании 1. Тогда

Пусть S - евклидово пространство и - его комплексификация. Введем скалярное произведение в S по формуле:

Нужно проверить корректность этого определения. Аддитивность по первому аргументу при фиксированном втором очевидна. Для проверки линейности по первому аргументу достаточно убедиться в возможности вынесения комплексного множителя из первого аргумента. Соответствующее вычисление не представляет труда, но довольно громоздко. Именно:

Симметрия с инволюцией очевидна - при перестановке местами вещественная часть скалярного произведения не меняется, а мнимая меняет знак на обратный.

Наконец, если . Таким образом, комплексификация евклидова пространства S становится унитарным пространством.

Заметим еще, что скалярное произведение пары векторов и скалярное произведение пары комплексно сопряженных с ними векторов комплексно сопряженные. Это непосредственно следует из определения скалярного произведения в .

2. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию.

В евклидовом пространстве для оператора определяется сопряженный оператор той же формулой при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора При продолжении взаимно сопряженных операторов с S на они останутся сопряженными.

Действительно,

3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.

Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.

Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению при базис из собственных векторов для собственного значения можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.

Все эти подпространства инвариантны, ортогональны друг другу и вещественным собственным векторам, соответствующим вещественным собственным значениям.

Комплексное пространство, натянутое на векторы и очевидно, совпадает с комплексным подпространством, натянутым на Вещественные векторы u и у, и, следовательно, является комплексификацией вещественного подпространства, натянутого на .

ибо в евклидовом пространстве S скалярное произведение симметрично.

Из этого равенства следует, что , т. е. векторы и и v ортогональны, а также . Вспомним теперь, что вектор нормированный, т. е., ввиду ортогональности и и . Поэтому , так что векторы и и v не нормированны, но становятся нормированными после умножения на

Итак, для нормального оператора, действующего в евклидовом пространстве S, существует ортонормальный базис, составленный из собственных векторов, принадлежащих вещественным собственным значениям, и умноженных на вещественных и мнимых частей собственных векторов, принадлежащих комплексным собственным значениям. Одномерные подпространства, натянутые на вещественные собственные векторы, и двумерные, натянутые на компоненты комплексных собственных векторов, инвариантны, так что матрица оператора в построенном базисе квазидиагональна и составлена из диагональных блоков первого и второго порядка. Блоки первого порядка - это вещественные собственные значения. Найдем блоки второго порядка. Пусть и - собственный вектор, принадлежащий собственному значению . Тогда

Ровно те же соотношения сохранятся после умножения векторов на Таким образом, блоки второго порядка имеют вид

Заметим еще, что эти блоки появляются из подпространства, натянутого на сопряженные собственные векторы, принадлежащие сопряженным собственным значениям так что наряду с блоком записанным при помощи собственного значения не нужно включать блок соответствующий собственному значению

4. Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор в евклидовом пространстве самосопряжен в том и только в том случае, если все его собственные значения вещественны. Действительно, самосопряженный оператор в евклидовом пространстве остается самосопряженным и в комплексификации. Поэтому существует ортонормальный базис в самом евклидовом пространстве, в котором его матрица диагональна. В терминах матриц это значит, что для любой вещественной симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что диагональна. Это обстоятельство было выяснено еще в гл. V в связи с ортогональным преобразованием квадратичной формы к каноническому виду. Тесная связь между теорией самосопряженных операторов в евклидовом пространстве с теорией квадратичных форм ясно видна из того, что скалярное произведение выражается через координаты вектора в ортонормальном базисе в виде квадратичной формы с матрицей, равной матрице оператора М в том же базисе, и при ортогональном преобразовании координат матрица оператора и матрица квадратичной формы преобразуются одинаково:

ибо для ортогональной матрицы

Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства.

Поэтому ограничимся их перечислением.

Самосопряженный оператор положительно определен в том и только в том случае, когда его собственные значения положительны.

Из самосопряженного положительно определенного оператора можно извлечь положительно определенный квадратный корень.

Любой невырожденный оператор можно представить в виде произведения положительно определенного самосопряженного оператора на ортогональный, как в одном, так? и в другом порядке.

Оператор ортогонального проектирования есть самосопряженный идемпотентный оператор и обратно, самосопряженный идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектирования.

5. Ортогональные операторы.

Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу в любом ортонормальном базисе. Так как ортогональный оператор нормален, существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора блочно-диагональна и состоит из вещественных чисел на диагонали и блоков вида ортогональности такой матрицы следует, что и в каждом блоке второго порядка (Это можно увидеть также из того, что ортогональный оператор становится унитарным при продолжении на комплексификацию, и, следовательно, все его собственные значения равны 1 по модулю.)

Можно положить . Оператор на плоскости с матрицей есть оператор вращения плоскости на угол .

Ортогональный оператор называется собственно ортогональным, если определитель его матрицы равен 1; если же определитель равен -1, то оператор называется несобственно ортогональным. Порядок базисных векторов можно выбрать так, чтобы по диагонали следовали сначала 1, потом -1 и за ними блоки второго порядка. В случае, если оператор собственно ортогонален, число диагональных элементов, равных -1, четно. Матрицу второго порядка рассматривать как блок второго порядка геометрически означающий поворот плоскости на .

Таким образом, действие собственно ортогонального оператора геометрически означает следующее. Пространство разбивается в ортогональную сумму подпространств, одно из которых натянуто на собственные векторы, принадлежащие собственному значению 1, - это подпространство неподвижных векторов, и нескольких двумерных подпространств, каждое из которых вращается на некоторый угол (вообще говоря, разные плоскости на разные углы).

В случае несобственно ортогонального оператора имеется еще один базисный вектор, переходящий в противоположный под действием оператора.