Найти оригинал по известному изображению онлайн. Отыскание оригинала по изображению

Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление – эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.

Идея применения операционного метода заключается в следующем. Пусть требуется найти функцию из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции (ее называют оригиналом) переходят к другой функции (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования . В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию соответствует умножение на , интегрированию –деление на р и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно к более простому уравнению относительно , называемому операторным; например, от дифференциального уравнения –к алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения переходят к оригиналу – искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами; нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.

Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений – их логарифмы.

1.1. Оригинал и изображение

Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .

Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям.

1. – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;

2. при ;

3. с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется , число называется показателем роста функции . (Для ограниченных функций можно принять ).

Рассмотрим эти условия несколько подробнее. Условия 1 и 3 выполняются для большинства функций, отвечающих физическим процессам, в которых t понимается как время. Условие 2 оправдано тем, что при изучении процесса безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, можно принять за момент .

В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение , которое она имеет для , подразумевая, что для . Например, запись должна пониматься так: .

Аналогично, если дано выражение , где , то оно имеет место лишь для , тогда как для функция .

Заметим, что если функция не удовлетворяет хотя бы одному из указанных трех условий, то она не является оригиналом. Так, для функции нарушено условие 1 (в точке она терпит разрыв второго рода), для функции не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.

Заметим также, что необязательно считать оригинал действительной функцией. Функция может быть и комплексно-значной, т.е. иметь вид . При этом действительная и мнимая части и должны быть оригиналами, т.е. удовлетворять условиям 1, 2, 3.

Определение. Изображением функции – оригинала –называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом

. (1.1)

Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .

Таким образом, функции действительного переменного поставлена в соответствие функция комплексного переменного .

Соотношение (1.1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1.1) называют преобразованием Лапласа , или прямым преобразованием Лапласа.

Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:

.

Отыскание оригинала по изображению называют обращением преобразования Лапласа , или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом .

Условились обозначать оригиналы малыми буквами а их изображения – соответствующими заглавными буквами или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: .

1.2. Примеры вычисления изображений

Приведем примеры вычисления изображения по Лапласу, исходя из его определения.

1.2.1. Функция Хевисайда и ее изображение.

Найдем изображение функции Хевисайда по формуле (1.1), полагая в ней :

Последнее заключение можно сделать только, в том случае, когда . Покажем, что это выполняется. По формуле Эйлера имеем:

Тогда

и т.п. . Следовательно, оригинал. По формуле (1.1) найдем

Это имеет место, если только . Последнее же выполняется, как было показано в предыдущем примере, когда , иначе . Таким образом,

. (1.3)

Допустим у Вас есть какое-то изображение (рисунок, картинка, фотография), и Вы хотите найти такое же (дубликат) или похожее в интернет. Это можно сделать при помощи специальных инструментов поисковиков Google и Яндекс, сервиса TinEye, а также потрясающего браузерного расширения PhotoTracker Lite, который объединяет все эти способы. Рассмотрим каждый из них.

Поиск по фото в Гугл

Указываем ссылку на изображение в интернете

Загружаем файл с компьютера

В итоге получаем полный список похожих картинок по изображению, которое было выбрано в качестве образца:

Есть еще один хороший способ, работающий в браузере Chrome. Находясь на страничке с интересующей Вас картинкой, подведите к ней курсор мыши, кликните правой клавишей и в открывшейся подсказке выберите пункт «Найти картинку (Google)»:

Вы сразу переместитесь на страницу с результатами поиска!

Поиск по картинкам в Яндекс У Яндекса всё не менее просто чем у Гугла:) Переходите по ссылке https://yandex.by/images/ и нажимайте значок фотоаппарата в верхнем правом углу:

Укажите адрес картинки в сети интернет либо загрузите её с компьютера (можно простым перетаскиванием в специальную области в верхней части окна браузера):

Результат поиска выглядит таким образом:

Вы мгновенно получаете доступ к следующей информации:

• Какие в сети есть размеры изображения, которое Вы загрузили в качестве образца для поиска
• Список сайтов, на которых оно встречается
• Похожие картинки (модифицированы на основе исходной либо по которым алгоритм принял решение об их смысловом сходстве)

Многие наверняка уже слышали об онлайн сервисе TinEye, который русскоязычные пользователи часто называют Тинай. Он разработан экспертами в сфере машинного обучения и распознавания объектов. Как следствие всего этого, тинай отлично подходит не только для поиска похожих картинок и фотографий, но их составляющих.

Проиндексированная база изображений TinEye составляет более 10 миллиардов позиций, и является крупнейших во всем Интернет. «Здесь найдется всё» — это фраза как нельзя лучше характеризует сервис.

Есть еще один способ поиска в один клик. По умолчанию в настройках приложения активирован пункт «Показывать иконку быстрого поиска». Когда Вы наводите на какое-то фото или картинку, всплывает круглая зеленая иконка, нажатие на которую запускает поиск похожих изображений – в новых вкладках автоматически откроются результаты поиска по Гугл, Яндекс, Тинай и Бинг.

Расширение создано нашим соотечественником, который по роду увлечений тесно связан с фотографией. Первоначально он создал этот инструмент, чтобы быстро находить свои фото на чужих сайтах.

Когда это может понадобиться

• Вы являетесь фотографом, выкладываете свои фото в интернет и хотите посмотреть на каких сайтах они используются и где возможно нарушаются Ваши авторские права.
• Вы являетесь блогером или копирайтером, пишите статьи и хотите подобрать к своему материалу «незаезженное» изображение.
• А вдруг кто-то использует Ваше фото из профиля Вконтакте или Фейсбук в качестве аватарки на форуме или фальшивой учетной записи в какой-либо социальной сети? А ведь такое более чем возможно!
• Вы нашли фотографию знакомого актера и хотите вспомнить как его зовут.

На самом деле, случаев, когда может пригодиться поиск по фотографии, огромное множество. Можно еще привести и такой пример…

Как найти оригинал заданного изображения

Например, у Вас есть какая-то фотография, возможно кадрированная, либо отфотошопленная, а Вы хотите найти её оригинал, или вариант в лучшем качестве. Как это сделать? Проводите поиск в Яндекс и Гугл, как описано выше, либо средствами PhotoTracker Lite и получаете список всех найденных изображений. Далее руководствуетесь следующим:

Оригинальное изображение, как правило имеет больший размер и лучшее качество по сравнению с измененной копией, полученной в результате кадрирования. Конечно можно в фотошопе выставить картинке любой размер, но при его увеличении относительно оригинала, всегда будут наблюдаться артефакты. Их можно легко заметить даже при беглом визуальном осмотре.

Оригинальные фотографии часто имеют водяные знаки, обозначающие авторство снимка (фамилия, адрес сайта, название компании и пр.). Конечно водяной знак может добавить кто угодно на абсолютно на любое изображение, но в этом случае можно поискать образец фото на сайте или по фамилии автора, наверняка он где-то выкладывает своё портфолио онлайн.

И наконец, совсем простой признак. Если Ваш образец фото черно-белый (сепия и пр.), а Вы нашли такую же, но полноцветную фотографию, то у Вас явно не оригинал. гораздо более сложнее, чем перевести цветную фотографию в черно-белую:)

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Задача 1. Найти оригинал для изображения

при помощи разложения на простейшие дроби.

Решение. Разложим
на сумму простейших дробей

.

Найдем неопределенные коэффициенты A , B , C , D . Так как

то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

,
,
,
.

Таким образом,

Свертка оригиналов. Пусть
и
- функции-ориентиры и
,
. По определению, сверткой оригиналов
называется интеграл
(3.1)

По теореме сложения изображений свертки оригиналов
соответствует произведение изображений

Задача 2. Найти свертку функций
и
.

Решение. Имеем

Задача 3. Восстановить оригинал по изображению
при помощи свертки.

Решение. Представим
как произведение двух функций и используя теорему умножения, запишем

. (см. задачу 2)

4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.

Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.

Схема решения дифференциального уравнения.

Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.

Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.

Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.

Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.

Задача 1. Решить дифференциальное уравнение

, если
,

Решение. Пусть
- искомое решение.

.

Запишем операторное уравнение

Находим A , B , C .
,
,
.

Задача 2. Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям
,
,
,

Решение. Пусть
,
. Тогда

;
;
;
.

Преобразованная система имеет вид

Определяем
,
по правилу Крамера

;

Вычислим
получим

Вычислим
получим

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях с использованием интеграла Дюамеля.

Интеграл Дюамеля.

Если
и
, то

(4.1)

(4.1 ’)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффицентами

то получим

или
, где
- многочленn-ой степени;

(4.2)

Если рассмотреть ещё одно дифференциальное уравнение, у которого правая часть равна единице,

то при тех же нулевых начальных условиях в изображениях получим уравнение

Отсюда
(4.3)

Подставим (4.3) в (4.2), получим

(4.4)

Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для и учитывая, что
, получаем

Итак, достаточно решить уравнение с правой частью равной единице, чтобы при помощи интеграла (4.5) получить решения при различных правых частях.

Задача 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, используя интеграл Дюамеля:

(4.7)

Пусть
, тогда

Получим уравнение для изображения

Возвращаясь к первоначальному уравнению для
, Запишем

Следует отметить, что преимущество операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в том, что благодаря этому методу мы заменяем решение дифференциального уравнения на решение алгебраического уравнения, что сильно упрощает вычисление.

Применение методов операционного исчисления в

задачах электротехники .

Методы операционного исчисления широко используются в решениях специальных задач электротехники.

Задача1.

Включение дополнительного источника ЭДС в цепь с ненулевыми начальными условиями.

Рассмотрим электрическую цепь с ненулевыми начальными условиями (рис. 5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.

Эта цепь характеризуется тем, что при отключении ЭДС Е в цепи происходит арядка конденсатора. После зарядки конденсатора ток в цепи становится равным нулю. Требуется найти ток i(t) после подключения к цепи дополнительной ЭДС е(t).

По второму закону Кирхгофа (алгебраическая сумма падения напряжения на сопротивлениях равна алгебраической сумме действующих в цепи ЭДС) для момента времени
имеем

, (5.1)

где
- напряжение на конденсаторе;

(0) – начальное напряжение на конденсаторе, обусловленное тем, что конденсатор уже был ранее заряжен.

Решение.

Применяя к интегро-дифяфференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, запишем

где
- начальный ток в цепи. Используя указанные соотношения, получаем алгебраическое уравнение в изобржениях

где неизвестной величиной является
. Остальные величины известныИз (5.2) получаем

(5.3)

Рассмотрим конкретный пример. Пусть Применяя преобразование Лапласа, получаем
следовательно,
С учётом этих условий из (5.3) получаем

Замечание. Из полученного решения (5.4) следует, что
, при
, т.е.
Это означает что за некоторое время конденсатор дополнительно зарядится и ток станет равным нулю.

Задача 2.

Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления rи конденсатора С, если в моментt=0 цепь подсоединяется к источнику ЭДС (рис 5.2) в виде треугольного импульса (рис 5.3).

рис 5.2 рис 5.3

В задаче задано

Решение.

Используя второй закон Кирхгофа, получим интегральное уравнение для рассматриваемого контура

(5.5)

Решение уравнения (5.5) выразим при помощи интеграла Дюамеля (4.1)

(5.6)

где
- решение вспомогательного уравнения

(5.7)

Применяя преобразование Лапласа, имеем

Уравнение (5.7) преобразуется к алгебраическому уравнению для нахождения J(p)

откуда
(5.8)

Подставляя найденное решение (5.8) вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл Дюамеля (5.6) получаем решение исходного уравнения (5.5)

Пример контрольной работы по операционному исчислению

и комплексным числам.

Вариант 1.

3. Найти все значения корней

5. Найти изображение оригинала, заданного графически

6. Решить систему

Вариант 2.

Найти изображение функции:

3. Найти все значения корней

6. Решить систему

Вариант 3.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

6. Решить систему

Вариант 4.

Найти изображение функции:

Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 5.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 6.

Найти изображение функции:

Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 7.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 8.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;

б)

Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 9.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 10.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

6. Решить систему

Вариант 11.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 12.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 13.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 14.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а) ;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 15.

1. Восстановить оригинал по изображению

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Найти изображение оригинала, заданного графически:

6. Решить систему

Вариант 16.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
; б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Введение.

Комплексные числа.

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.

Нахождение оригинала по изображению.

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.

Применение методов операционного исчисления в задачах электротехники.

Пример контрольной работы по операционному исчислению и комплексным числам.

Литература.

Литература.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981, 448с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: издательства физико-математической литературы, 2002. 576с.

Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.

Глатенок И.В., Заварзина И.Ф. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. М.: Московский энергетический институт, 1989. 48с.

Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /( изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg Отыскание оригинала по изображению 2) интеграл а-«сю сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F(p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции М Запишем F(p) в виде Отсюда / 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }