Кодирование информации методом шеннона. Префиксный код Шеннона-Фано
Рассмотрим алгоритм вычисления кодов Шеннона-Фано (для наглядности возьмём в качестве примера последовательность "aa bbb cccc ddddd"). Для вычисления кодов, необходимо создать таблицу уникальных символов сообщения c(i) и их вероятностей p(c(i)) , и отсортировать её в порядке невозрастания вероятности символов.
| c(i) | p(c(i)) |
| d | 5 / 17 |
| c | 4 / 17 |
| space | 3 / 17 |
| b | 3 / 17 |
| a | 2 / 17 |
Далее, таблица символов делится на две группы таким образом, чтобы каждая из групп имела приблизительно одинаковую частоту по сумме символов. Первой группе устанавливается начало кода в "0", второй в "1". Для вычисления следующих бит кодов символов, данная процедура повторяется рекурсивно для каждой группы, в которой больше одного символа. Таким образом для нашего случая получаем следующие коды символов:
Длина кода s(i) в полученной таблице равна int(-lg p(c(i))) , если сиволы удалость разделить на группы с одинаковой частотой, в противном случае, длина кода равна int(-lg p(c(i))) + 1 .
длиной в 39 бит. Учитывая, что оргинал имел длину равную 136 бит, получаем коэффициент сжатия ~28% - не так уж и плохо.
Глядя на полученную последовательность, возникает вопрос: "А как же теперь это расжать?". Мы не можем, как в случае кодирования, заменять каждые 8 бит входного потока, кодом переменной длины. При расжатии нам необходимо всё сделать наоборот - заменить код переменной длины символом длиной 8 бит. В данном случае, лучше всего будет использовать бинарное дерево, листьями которого будут являтся символы (аналог дерева Хаффмана).
Кодирование Шеннона-Фано является достаточно старым методом сжатия, и на сегодняшний день оно не представляет особого практического интереса (разве что как упражнение по курсу структур данных). В большинстве случаев, длина сжатой последовательности, по данному методу, равна длине сжатой последовательности с использованием кодирования Хаффмана. Но на некоторых последовательностях всё же формируются не оптимальные коды Шеннона-Фано, поэтому сжатие методом Хаффмана принято считать более эффективным. Для примера, рассмотрим последовательность с таким содержанием символов: "a" - 14, "b" - 7, "c" - 5, "d" - 5, "e" - 4. Метод Хаффмана сжимает её до 77 бит, а вот Шеннона-Фано до 79 бит.
|
Как же мы делили на группы? Достаточно просто:
Из-за такой неопределённости у некоторых людей возникают даже такие мысли: "... программа иногда назначает некоторым символам..." и так далее - рассуждения о длине кодов. Если вы не пишете AI, то такое понятие, как "программа иногда" что-то делает, звучит смешно. Правильно реализованный алгоритм - работает строго опеределённо.
Для определенности будем рассматривать кодирование в двоичном алфавите (m = 2). Буквы (или любые сообщения, подлежащие кодированию) исходного алфавита записывают в порядке убывающей вероятности. Упорядоченное таким образом множество букв разбивают на две части так, чтобы суммарные вероятности этих подмножеств были примерно равны. Всем знакам (буквам) верхней половины в качестве первого символа присваивают кодовый элемент 1, а всем нижним - 0. Затем каждое подмножество снова разбивается на два подмножества с соблюдением того же условия равенства вероятностей и с тем же условием присваивания кодовых элементов в качестве второго символа. Такое разбиение продолжается до тех пор, пока в подмножестве не окажется только по одной букве кодируемого алфавита. При каждом разбиении буквам верхнего подмножества присваивается кодовый элемент 1, а буквам нижнего подмножества - 0.
Пример. Провести эффективное кодирование ансамбля из восьми знаков:
|
(знак) x i |
Вероят-ность p i |
Кодовые последовательности |
Длина l i |
р i l i |
-р i log р i |
|||
|
Номер разбиения |
||||||||
2,7 и 
.
Как видно, l ср = H , следовательно, полученный код является оптимальным.
Заметим, что при равномерном (не учитывающем статистических характеристик) кодировании с использованием m =2 знаков количество элементов в кодовой последовательности будет l log m n = log 2 8 = 3, т.е. для представления каждого знака использованного алфавита потребуется три двоичных символа.
При кодировании по методике Шеннона - Фано некоторая избыточность в последовательностях символов, как правило, остается (l ср > H ).
Эту избыточность можно устранить, если перейти к кодированию достаточно большими блоками .
Пример. Рассмотрим процедуру эффективного кодирования сообщений, образованных с помощью алфавита, состоящего всего из двух знаков x 1 и x 2 с вероятностями появления соответственно
p (х 1) = 0,9; p (x 2) = 0,1.
Так
как вероятности не равны, то
последовательность из таких букв будет
обладать избыточностью. Однако, при
побуквенном кодировании мы никакого
эффекта не получим. Действительно, на
передачу каждой буквы требуется символ
либо 1, либо 0, в то время как энтропия
равна 
,
т.е. оказывается 
.
При кодировании блоков, содержащих по две буквы, получим коды:
|
Вероятности |
комбинации |
|||
|
номер разбиения |
||||
Так
как знаки статистически не связаны,
вероятности блоков определяют как
произведение вероятностей составляющих
знаков. Среднее число символов на блок
а на букву
1,29/2 = 0,645, т.е. приблизилось к Н
= 0,47, и таким образом удалось повысить
эффективность кодирования.
Кодирование блоков, содержащих по три знака, дает еще больший эффект:
|
Вероятность |
кодовые комбинации |
|||||
|
номер разбиения |
||||||
Среднее число символов на блок равно 1,59, а на знак - 0,53, что всего на 12% больше энтропии.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9
Эффективное кодирование
Цель: Изучение методик эффективного кодирования.
1. Построить код Шеннона-Фано по выбранным вариантам и результаты свести в таблицы.
2. Построить код Хаффмана по выбранным вариантам и результаты свести в таблицы. Для каждого построенного кода построить кодовое дерево.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
– краткие теоретические сведения о коде Шеннона-Фано и коде Хаффмана;
– построить коды Шеннона-Фано и Хаффмана при различных вариантах входных данных (для каждого кода выбрать произвольно три группы по 12 символов в каждой, присвоить каждому символу вероятность (сумма равна единице) и построить указанные коды).
– выводы.
Основные понятия и определения
Код Шеннона-Фано
Код строят следующим образом: знаки алфавита сообщений вписываются в таблицу в порядке убывания вероятностей. Затем их разделяют на две группы так, чтобы суммы вероятностей в каждой из групп были по возможности одинаковы. Всем знакам верхней половины в качестве первого символа приписывают «0», а всем нижним – «1». Каждую из полученных групп, в свою очередь разбивают на две подгруппы с одинаковыми суммарными вероятностями и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока в каждой подгруппе останется по одному знаку.
Пример 1. Проведем эффективное кодирование ансамбля из восьми знаков, характеристики которого представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
| Знаки | Вероятность | Кодовые комбинации | Ступень разбиения |
| Z 1 | 0.22 | ||
| Z 2 | 0.2 | ||
| Z 3 | 0.16 | ||
| Z 4 | 0.16 | ||
| Z 5 | 0.1 | ||
| Z 6 | 0.1 | ||
| Z 7 | 0.04 | ||
| Z 8 | 0.02 |
Рис. 3.1. Дерево группового разделения вероятностей Шеннона-Фано
Ясно, что при обычном (не учитывающем статистических характеристик) кодировании для представления каждого знака требуется три двоичных символа. Используя методику Шеннона-Фано, получаем совокупность кодовых комбинаций, приведенных в табл. 3.1.
Так как вероятности знаков представляют собой целочисленные отрицательные степени двойки, то избыточность при кодировании устраняется полностью. Среднее число символов на знак в этом случае точно равно энтропии. Убедимся в этом, вычислив энтропию
,
и среднее число символов на знак
,
где – число символов в кодовой комбинации, соответствующей знаку .
В общем случае для алфавита из восьми знаков среднее число символов на знак будет меньше трех, но больше энтропии алфавита .
Пример 2. Определим среднюю длину кодовой комбинации при эффективном кодировании знаков ансамбля. Приведенного в табл. 3.2.
Энтропия ансамбля равна 2,76. В результате сопоставления отдельным знакам ансамбля кодовых комбинаций по методике Шеннона-Фано (табл. 3.2) получаем среднее число символов на знак, равное 2,84.
Таблица 3.2
Характеристики ансамбля из восьми знаков
| Знаки | Вероятность | Кодовые комбинации | Ступень разбиения |
| Z 1 | 0,22 | ||
| Z 2 | 0,20 | ||
| Z 3 | 0,16 | ||
| Z 4 | 0,16 | ||
| Z 5 | 0,10 | ||
| Z 6 | 0,10 | ||
| Z 7 | 0,04 | ||
| Z 8 | 0,02 |
Следовательно, некоторая избыточность в последовательностях символов осталась. Из теоремы Шеннона следует, что эту избыточность также можно устранить, если перейти к кодированию достаточно большими блоками.
При ответе на данный вопрос необходимо привести пример построения префиксного кода Шеннона-Фано для заданного начального алфавита и известных частот использования символов этого алфавита с помощью таблицы и графа.
В 1948-1949 гг. Клод Шеннон (Claude Elwood Shannon ) и Роберт Фано (Robert Mario Fano ) независимо друг от друга предложили префиксный код, названный в последствие в их честь. Алгоритм Шеннона - Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его первичного алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов - более длинными двоичными последовательностями.
Рассмотрим этот префиксный код на примере. Пусть имеется первичный алфавит, состоящий из шести символов: {A; B; C; D; E; F}, также известны вероятности появления этих символов в сообщении соответственно {0,15; 0,2; 0,1; 0,3; 0,2; 0,05}. Расположим эти символы в таблице в порядке убывания их вероятностей.
Кодирование осуществляется следующим образом. Все знаки делятся на две группы с сохранением порядка следования (по убыванию вероятностей появления), так чтобы суммы вероятностей в каждой группе были приблизительно равны. В нашем примере в первую группу попадают символы D и B, все остальные буквы попадают во вторую группу. Поставим ноль в первый знак кодов для всех символов из первой группы, а первый знак кодов символов второй группы установим равным единице.
Продолжим деление каждой группы. В первой группе два элемента, и деление на подгруппы здесь однозначно: в первой подгруппе будет символ D, а во второй - символ B. Во второй группе теоретически возможны три способа деления на подгруппы: {E} и {A, C, F}, {E, A} и {C, F}, {E, A, C} и {F}. Но в первом случае абсолютная разность суммарных вероятностей будет |0,2 - (0,15 + 0,1 + 0,05)| = 0,1. Во втором и третьем варианте деления аналогичные величины будут 0,2 и 0,4 соответственно. Согласно алгоритму необходимо выбрать тот способ деления, при котором суммы вероятностей в каждой подгруппе были примерно одинаковыми, а, следовательно, вычисленная разность минимальна. Соответственно наилучшим способом деления будет следующий вариант: {E} в первой подгруппе и {A, C, F} во второй. Далее по имеющемуся алгоритму распределим нули и единицы в соответствующие знаки кода каждой подгруппы.
Осуществляем деление на подгруппы по той же схеме до тех пор, пока не получим группы, состоящие из одного элемента. Процедура деления изображена в таблице (символ Х означает, что данный знак кода отсутствует):
| Первичный алфавит | Вероятности появления | Знаки кода символа | Код символа | Длина кода | |||
| I | II | III | IV | ||||
| D | 0,3 | Х | Х | ||||
| B | 0,2 | Х | Х | ||||
| E | 0,2 | Х | Х | ||||
| A | 0,15 | Х | |||||
| C | 0,1 | ||||||
| F | 0,05 |
Данный код может быть построен и с помощью графа. Распределим символы алфавита в порядке убывания вероятностей - это будут концевые вершины (листья) будущего двоичного дерева (нижние индексы соответствуют вероятностям появления символов):
| D 0,3 | B 0,2 | E 0,2 | A 0,15 | C 0,1 | F 0,05 |
Согласно алгоритму построения кода Шеннона-Фано разобьем эти символы на две группы с приблизительно равными суммарными вероятностями появления и соединим первые символы каждой группы с корнем дерева:
| D 0,3 | B 0,2 | E 0,2 | A 0,15 | C 0,1 | F 0,05 | ||
Продолжаем построение графа по приведенному алгоритму, соединяя первые символы получающихся подгрупп с узлами ветвления более высоких уровней. Таким образом, на следующих этапах построения получим:
 D 0,3
| B 0,2 | E 0,2 | A 0,15 | C 0,1 | F 0,05 | ||
  D 0,3
| B 0,2 | E 0,2 | A 0,15 | C 0,1 | F 0,05 | ||
Окончательно имеем следующий граф:
  D 0,3
| B 0,2 | E 0,2 | A 0,15 | C 0,1 | F 0,05 |
Теперь для каждого узла ветвления обозначим каждую левую исходящую дугу цифрой 0, а каждую правую исходящую дугу цифрой 1:
| B 0,2 | E 0,2 | A 0,15 |
| F 0,05 | ||||||||||
|
| ||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
Для получения кода символа достаточно пройти по дугам полученного дерева от корня к соответствующей вершине и записать номера дуг, по которым осуществляется движение. Например, для символа A, двигаясь от корня дерева, проходим дуги с номерами 1, 1 и 0, следовательно код символа A - 110. Аналогично могут быть получены коды других символов.
Полученный код удовлетворяет условию Фано, следовательно он является префиксным. Средняя длина этого кода равна (см. формулу на стр.13):
К(Шеннона-Фано, А, Binary) = 0,3*2+0,2*2+0.2*2+0,15*3 +0,1*4+0.05*4 = 2,45 символа.
Теперь по известной нам формуле найдем избыточность кода Шеннона –Фано:
Q(Шеннона-Фано, A, Binary) = 2,45/2,41 – 1 = 0,01659751.
То есть избыточность кода Шеннона-Фано для нашего шестибуквенного алфавита составляет всего около 1,7 %. Для русского алфавита этот избыточность кодирования кодом Шеннона-Фано составила бы примерно 1,47%.
Префиксный код Хаффмана.
При ответе на данный вопрос необходимо привести пример построения префиксного кода Хаффмана для заданного начального алфавита и известных частот использования символов этого алфавита с помощью таблицы и графа.
В 1952 году Давид Хаффман показал, что предложенный им метод кодирования является оптимальным префиксным кодом для дискретных источников без памяти (у такого источника все сообщения независимы).
Алгоритм кодирования методом Хаффмана состоит из двух этапов. На первом этапе исходный алфавит на каждом шаге сокращается на один символ и на следующем шаге рассматривается новый, сокращенный первичный алфавит. Число таких шагов будет на две единицы меньше первоначального числа символов. На втором этапе происходит пошаговое формирование кода символов, при этом заполнение кода осуществляется с символов последнего сокращенного первичного алфавита.
Рассмотрим алгоритм построения кода Хаффмана на примере. Пусть имеется первичный алфавит, состоящий из шести символов: {A; B; C; D; E; F}, также известны вероятности появления этих символов в сообщении соответственно {0,15; 0,2; 0,1; 0,3; 0,2; 0,05}. Расположим эти символы в таблице в порядке убывания их вероятностей.
На первом шаге алгоритма два символа исходного алфавита с наименьшими вероятностями объединяются в один новый символ. Вероятность нового символа есть сумма вероятностей тех символов, которые его образовали. Таким образом, получаем новый алфавит, который содержит на один символ меньше чем предыдущий. На следующем шаге алгоритма описанная процедура применяется к новому алфавиту. И так до тех пор, пока в очередном алфавите не остается только двух символов.
| A 0 | Код А 0 | A 1 | Код А 1 | А 2 | Код А 2 | А 3 | Код А 3 | А 4 | Код А 4 |
| a 0 1 =D P = 0,3 | a 1 1 P = 0,3 | a 2 1 P = 0,3 | a 3 1 P = 0,4 | a 4 1 P = 0,6 | |||||
| a 0 2 =B P = 0,2 | a 1 2 P = 0,2 | a 2 2 P = 0,3 | a 3 2 P = 0,3 | a 4 2 P = 0,4 | |||||
| a 0 3 =E P = 0,2 | a 1 3 P = 0,2 | a 2 3 P = 0,2 | a 3 3 P = 0,3 | ||||||
| a 0 4 =A P = 0,15 | a 1 4 P = 0,15 | a 2 4 P = 0,2 | |||||||
| a 0 5 =C P = 0,1 | a 1 5 P = 0,15 | ||||||||
| a 0 6 =F P = 0,05 |
Теперь начинается второй этап алгоритма кодирования по Хаффману. Для формирования кода мы нумеруем символы всех промежуточных алфавитов, начиная с последнего. В нашем примере – с А 4 .
В А 4 всего два символа. Они получают соответственно номера 0 и 1. В алфавите А 3 уже три символа. Причем, один из символов алфавита А 4 , назовем этот символ «предок», был получен объединением двух символов алфавита А 3 , назовем первый из этих символов «дочкой», а второй «сыном». Коды этих двух символов формируются следующим образом. К номеру «предка» приписываются справа 0, чтобы получить номер «дочки», и 1 – чтобы получить номер «сына». Следующая итерация алгоритма по той же схеме формирует коды символов алфавита А 2 . В нем два первых символа будут иметь те же коды, что были у них в А 1 , а два последних символа изменят свой код, удлинив его на 1 символ («0» и «1» соответственно). Процесс останавливается при достижении первичного алфавита A 0 – коды для знаков первичного алфавита получены.
| A 0 | Код А 0 | A 1 | Код А 1 | А 2 | Код А 2 | А 3 | Код А 3 | А 4 | Код А 4 |
| a 0 1 =D P = 0,3 | a 1 1 P = 0,3 | a 2 1 P = 0,3 | a 3 1 P = 0,4 | a 4 1 P = 0,6 | |||||
| a 0 2 =B P = 0,2 | a 1 2 P = 0,2 | a 2 2 P = 0,3 | 01 | a 3 2 P = 0,3 | a 4 2 P = 0,4 | ||||
| a 0 3 =E P = 0,2 | a 1 3 P = 0,2 | a 2 3 P = 0,2 | a 3 3 P = 0,3 | ||||||
| a 0 4 =A P = 0,15 | a 1 4 P = 0,15 | a 2 4 P = 0,2 | |||||||
| a 0 5 =C P = 0,1 | a 1 5 P = 0,15 | ||||||||
| a 0 6 =F P = 0,05 |
Данный алгоритм построения можно осуществить и с помощью графа. Расположим символы первичного алфавита в порядке убывания вероятностей их появления. Эти символы будут листьями будущего кодового дерева. Будем считать, что уровень этих концевых узлов равен N.
В получившемся промежуточном алфавите вновь выбираем два символа с наименьшей частотой использования. Это символ А с вероятностью 0,15 и новый символ, получившийся в результате объединения символов C и F на предыдущем этапе и имеющий ту же вероятность использования. Соединяем эти символы дугами, исходящими из одного узла N-2 уровня:
Посчитаем среднюю длину кодового слова для кода Хаффмана и нашего первичного алфавита А.
К(Хаффман, А, Binary) = = 0,3*2 + 0,2*2 + 0.2*2 + 0,15*3 + 0,1*4 + 0.05*4 = 2,45 символа
Среднее количество информации на один символ первичного алфавита равно:
I A = - (0,3* log 2 0,3 + 0,2* log 2 0,2 + 0,2* log 2 0,2 + 0,15* log 2 0,15 + + 0,1* log 2 0,1 + 0,05* log 2 0,05) = 2,41 бит.
Относительная избыточность кода Хаффмана в нашем случае:
Q(Хаффмана, A, Binary) = 2,45/2,41 – 1 = 0,01659751.
Таким образом, для нашего примера код Шеннона-Фано и код Хаффмана обладают одинаковой избыточностью. Однако, в тех случаях когда вероятности символов первичного алфавита сильно разнятся, ситуация меняется. Код Хаффмана обладает существенно меньшей избыточностью. Например, для русского языка избыточность кодирования кодом Хаффмана оказывается равной примерно 0,0090.
Алгоритм построения сжимающего кода Шеннона – Фано заключается в следующем.
1. Все символов дискретного источника располагаются в порядке убывания вероятностей их появления (табл. 4.2).
Таблица 4.2. Построение кода Шеннона-Фано
2. Образованный столбец символов делится на две группы таким образом, чтобы суммарные вероятности каждой группы мало отличались друг от друга.
3. Верхняя группа кодируется символом «1», а нижняя – «0».
4. Каждая группа делится на две подгруппы с близкими суммарными вероятностями; верхняя подгруппа кодируется символом «1», а нижняя – «0».
5. Процесс деления и кодирования продолжается до тех пор, пока в каждой подгруппе не окажется по одному символу сообщения источника.
6. Записывается код для каждого символа источника; считывание кода осуществляется слева направо.
При использовании простейшего равномерного кода для кодирования шести элементов алфавита источника потребуется по три двоичных символа на каждую букву сообщения. Если же используется код Шеннона – Фано, то среднее число символов на одну букву