ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น กฎสำหรับการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

คุณสมบัติของของเหลว

คุณสมบัติของสถานะของเหลวของสสารโมเลกุลของสารในสถานะของเหลวตั้งอยู่ใกล้กันเช่นเดียวกับในสถานะของแข็ง ดังนั้นปริมาตรของของเหลวจึงขึ้นอยู่กับแรงดันเพียงเล็กน้อย ความคงตัวของปริมาตรที่ถูกครอบครองเป็นคุณสมบัติทั่วไปของของเหลวและของแข็ง และแยกความแตกต่างจากก๊าซ ซึ่งสามารถครอบครองปริมาตรใดๆ ก็ตามที่จัดให้ไว้

ความเป็นไปได้ของการเคลื่อนที่อย่างอิสระของโมเลกุลที่สัมพันธ์กันจะเป็นตัวกำหนดคุณสมบัติการไหลของของเหลว ร่างกายในสถานะของเหลวและในสถานะก๊าซไม่มีรูปร่างคงที่ รูปร่างของของเหลวจะถูกกำหนดโดยรูปร่างของภาชนะซึ่งมีของเหลวอยู่ การกระทำของแรงภายนอกและแรงตึงผิว อิสระในการเคลื่อนที่ของโมเลกุลในของเหลวมากขึ้นนำไปสู่ ความเร็วที่สูงขึ้นการแพร่กระจายในของเหลวเมื่อเทียบกับของแข็ง ทำให้ของแข็งละลายในของเหลวได้

แรงตึงผิว.การปรากฏตัวของแรงนั้นสัมพันธ์กับแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลและการเคลื่อนที่ของโมเลกุลในของเหลว แรงตึงผิว.

ภายในของเหลว แรงดึงดูดที่กระทำต่อโมเลกุลหนึ่งจากโมเลกุลข้างเคียงจะได้รับการชดเชยร่วมกัน โมเลกุลใดๆ ก็ตามที่อยู่ใกล้พื้นผิวของของเหลวจะถูกดึงดูดโดยโมเลกุลที่อยู่ภายในของเหลว ภายใต้อิทธิพลของแรงเหล่านี้ โมเลกุลจากพื้นผิวของของเหลวจะเคลื่อนเข้าสู่ของเหลว และจำนวนโมเลกุลบนพื้นผิวจะลดลงจนกระทั่งพื้นผิวอิสระของของเหลวถึงค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ทรงกลมมีพื้นที่ผิวต่ำสุดระหว่างวัตถุในปริมาตรที่กำหนด ดังนั้น ในกรณีที่ไม่มีแรงอื่นหรือกระทำการเล็กน้อย ของเหลวจะมีรูปร่างเป็นทรงกลมภายใต้อิทธิพลของแรงตึงผิว

คุณสมบัติของการหดตัวของพื้นผิวอิสระของของเหลวในปรากฏการณ์หลายอย่างดูราวกับว่าของเหลวนั้นถูกปกคลุมด้วยฟิล์มยืดหยุ่นบาง ๆ ที่ยืดออกซึ่งมีแนวโน้มที่จะหดตัว

แรงตึงผิวคือแรงที่กระทำตามพื้นผิวของของเหลวที่ตั้งฉากกับเส้นที่จำกัดพื้นผิวนี้และมีแนวโน้มที่จะลดแรงลงให้เหลือน้อยที่สุด

แขวนลวดรูปตัวยูไว้บนตะขอของไดนาโมมิเตอร์แบบสปริง ความยาวด้านข้าง เอบีเท่ากับ ล- การยืดเริ่มต้นของสปริงไดนาโมมิเตอร์ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงของเส้นลวดสามารถแยกออกจากการพิจารณาได้โดยการตั้งค่าการแบ่งสเกลเป็นศูนย์ตรงข้ามกับตัวบ่งชี้แรงกระทำ

หย่อนลวดลงไปในน้ำ จากนั้นค่อย ๆ ลดภาชนะที่มีน้ำลงไป (รูปที่ 92) ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้จะเกิดฟิล์มของเหลวขึ้นตามเส้นลวดและสปริงของไดนาโมมิเตอร์ถูกยืดออก เมื่อใช้การอ่านไดนาโมมิเตอร์ คุณสามารถกำหนดแรงตึงผิวได้ ควรคำนึงว่าฟิล์มของเหลวมีสองพื้นผิว (รูปที่ 93) และแรงยืดหยุ่นมีค่าโมดูลัสเท่ากับสองเท่าของแรงตึงผิว:

หากนำลวดที่มีด้าน เอบี,ยาวเป็นสองเท่า แรงตึงผิวจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า การทดลองกับลวดที่มีความยาวต่างกันแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของโมดูลัสของแรงตึงผิวที่กระทำต่อขอบเขตของชั้นผิวที่มีความยาว ลความยาวนี้มีค่าคงที่ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับความยาว ล- ปริมาณนี้เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิวและแสดงถึง อักษรกรีก"ซิกมา":

. (27.1)

ค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิวแสดงเป็น นิวตันต่อเมตร(นิวตัน/เมตร) แรงตึงผิวแตกต่างกันไปตามของเหลว

หากแรงดึงดูดของโมเลกุลของเหลวระหว่างกันน้อยกว่าแรงดึงดูดของโมเลกุลของเหลวต่อพื้นผิวของวัตถุที่เป็นของแข็ง ของเหลวนั้นก็จะเปียกพื้นผิวของวัตถุที่เป็นของแข็ง หากแรงอันตรกิริยาระหว่างโมเลกุลของเหลวและโมเลกุลของแข็งน้อยกว่าแรงอันตรกิริยาระหว่างโมเลกุลของเหลว ของเหลวนั้นจะไม่ทำให้พื้นผิวของของแข็งเปียก

ปรากฏการณ์ของเส้นเลือดฝอยลักษณะเฉพาะของปฏิกิริยาของของเหลวกับพื้นผิวของแข็งที่เปียกและไม่เปียกเป็นสาเหตุของปรากฏการณ์ของเส้นเลือดฝอย

เส้นเลือดฝอยเรียกว่าท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายในเล็ก นำหลอดแก้วที่มีเส้นเลือดฝอยแล้วจุ่มปลายด้านหนึ่งลงในน้ำ จากประสบการณ์พบว่าระดับน้ำภายในท่อคาปิลารีสูงกว่าระดับผิวน้ำเปิด

เมื่อพื้นผิวของวัตถุที่เป็นของแข็งเปียกโดยสมบูรณ์ด้วยของเหลว แรงตึงผิวสามารถพิจารณาได้โดยตรงไปตามพื้นผิวของวัตถุที่เป็นของแข็งในแนวตั้งฉากกับขอบเขตการสัมผัสระหว่างวัตถุที่เป็นของแข็งกับของเหลว ในกรณีนี้ การขึ้นของของเหลวตามพื้นผิวที่เปียกจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อคอลัมน์ของของเหลวในเส้นเลือดฝอยและลดลงจะมีขนาดเท่ากันกับแรงตึงผิวที่กระทำตามขอบเขตการสัมผัสของของเหลว กับพื้นผิวของเส้นเลือดฝอย (รูปที่ 94):

,

.

จากที่นี่เราพบว่าความสูงของคอลัมน์ของเหลวที่เพิ่มขึ้นในเส้นเลือดฝอยนั้นแปรผกผันกับรัศมีของเส้นเลือดฝอย:

(27.2)

สูตรของลาปลาส

ในบทนี้เราจะศึกษาปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นใกล้กับจุดเชื่อมต่อระหว่างตัวกลางที่ต่อเนื่องกันสองตัว (ในความเป็นจริงแล้ว ตัวกลางที่สัมผัสถูกแยกออกจากกันด้วยชั้นทรานซิชันที่แคบ ซึ่งเนื่องจากมีความหนาน้อยมาก จึงถือได้ว่าเป็นพื้นผิว ).

ถ้าส่วนต่อประสานระหว่างสื่อทั้งสองมีลักษณะโค้ง เมื่ออยู่ใกล้สื่อทั้งสอง แรงกดดันในสื่อทั้งสองจะแตกต่างกัน เพื่อตรวจสอบความแตกต่างของความดันนี้ (เรียกว่าความดันพื้นผิว) เราจะเขียนเงื่อนไขสำหรับสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ของวัตถุทั้งสองซึ่งกันและกัน โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของส่วนต่อประสาน

ปล่อยให้ส่วนต่อประสานมีการกระจัดเพียงเล็กน้อย ในแต่ละจุดของพื้นผิวที่ไม่มีการเคลื่อนที่ เราจะวาดเส้นปกติลงไป ส่วนปกติที่อยู่ระหว่างทางแยกกับพื้นผิวที่ไม่ได้ถูกแทนที่และถูกแทนที่จะแสดงด้วย จากนั้นปริมาตรของแต่ละองค์ประกอบของช่องว่างที่อยู่ระหว่างพื้นผิวคือที่ที่องค์ประกอบพื้นผิว ปล่อยให้เป็นแรงกดดันในสื่อที่หนึ่งและสอง และเราจะพิจารณาว่ามันเป็นเชิงบวกหากอินเทอร์เฟซเปลี่ยนไปทางสื่อที่สอง จากนั้นงานที่ต้องทำสำหรับการเปลี่ยนแปลงปริมาณที่อธิบายไว้จะเท่ากับ

จะได้งานการกระจัดของพื้นผิวที่สมบูรณ์โดยการเพิ่มงานเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่ของพื้นผิวนี้เอง งานส่วนนี้เป็นสัดส่วนตามที่ทราบกันดีกับการเปลี่ยนแปลงพื้นที่ผิว และเท่ากับ โดยที่ a คือแรงตึงผิว ดังนั้น, งานประจำเท่ากับ

สภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ถูกกำหนดโดยการหายไป

จากนั้นองค์ประกอบของความยาวบนพื้นผิวที่วาดในระนาบของส่วนหลักจะได้รับการเพิ่มขึ้นด้วยการกระจัดของพื้นผิวเล็กน้อยซึ่งเท่ากันตามลำดับซึ่งถือเป็นองค์ประกอบของส่วนโค้งของวงกลมที่มีรัศมี . ดังนั้นองค์ประกอบพื้นผิวจะเท่ากันหลังจากการกระจัด

คือจะเปลี่ยนตามจำนวน

จากนี้จะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงโดยรวมของพื้นที่อินเทอร์เฟซคือ

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงใน (61.1) และจัดให้เป็นศูนย์ เราจะได้สภาวะสมดุลในรูปแบบ

เงื่อนไขนี้จะต้องเป็นไปตามการแทนที่พื้นผิวเล็กน้อยโดยพลการ เช่น สำหรับการแทนที่โดยพลการ ดังนั้นจึงจำเป็นที่การแสดงออกภายใต้อินทิกรัลในวงเล็บจะหายไปเหมือนกันนั่นคือ

นี่คือสูตร (สูตรของแลปเพลส) ที่กำหนดความดันพื้นผิว เราเห็นว่าหากพวกเขาเป็นบวกแล้ว ซึ่งหมายความว่าวัตถุทั้งสองนั้นมีแรงกดดันมากกว่าในวัตถุที่มีพื้นผิวนูน หากนั่นคืออินเทอร์เฟซแบนแสดงว่าแรงกดดันในร่างกายทั้งสองอย่างที่ควรจะเป็นจะเท่ากัน

ให้เราใช้สูตร (61.3) เพื่อศึกษาสมดุลทางกลของวัตถุที่สัมผัสกัน สมมติว่าทั้งส่วนต่อประสานและตัววัตถุไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอกใดๆ จากนั้นความดันจะคงที่ตามแต่ละส่วนของร่างกาย เมื่อคำนึงถึงสูตร (61.3) เราจึงสามารถเขียนสภาวะสมดุลในรูปแบบได้

(61,4)

ดังนั้นผลรวมของรัศมีผกผันของความโค้งจะต้องคงที่ตลอดส่วนต่อประสานอิสระทั้งหมด หากพื้นผิวทั้งหมดเป็นอิสระ เงื่อนไข (60.4) หมายความว่าพื้นผิวจะต้องมีรูปร่างเป็นทรงกลม (เช่น พื้นผิวของหยดเล็กๆ อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงซึ่งสามารถละเลยได้) หากพื้นผิวได้รับการแก้ไขตามแนวเส้นใดเส้นหนึ่ง (เช่น ฟิล์มของเหลวบนกรอบทึบ) รูปร่างของมันจะซับซ้อนมากขึ้น

เมื่อนำไปใช้กับความสมดุลของฟิล์มบางของของเหลวที่ติดอยู่กับกรอบทึบ เงื่อนไข (61.4) จะต้องมีศูนย์ทางด้านขวา อันที่จริงผลรวมควรเท่ากันตลอดพื้นผิวว่างทั้งหมดของฟิล์มและในเวลาเดียวกันทั้งสองด้านก็ควรมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เนื่องจากหากด้านหนึ่งนูน อีกด้านก็จะเว้าโดยมีรัศมีความโค้งเท่ากัน ซึ่งตอนนี้ควรถูกพิจารณาว่าเป็นเชิงลบ เป็นไปตามสภาวะสมดุลของฟิล์มบางคือ

ตอนนี้ให้เราพิจารณาสภาวะสมดุลบนพื้นผิวของวัตถุที่อยู่ในสนามโน้มถ่วง สมมติว่าเพื่อความเรียบง่ายว่าตัวกลางที่สองนั้นเป็นเพียงบรรยากาศ ซึ่งความกดดันนั้นถือว่าคงที่ตามขนาดของร่างกาย ให้เราพิจารณาของไหลที่ไม่สามารถอัดตัวได้เหมือนกับร่างกายของมันเอง จากนั้นเราก็มี และความดันในของเหลวเท่ากับตาม (พิกัด z วัดในแนวตั้งขึ้นไป) ดังนั้นสภาวะสมดุลจึงเกิดขึ้น

(61,6)

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าในการกำหนดรูปร่างสมดุลของพื้นผิวของเหลวในบางกรณี โดยปกติแล้วจะสะดวกในการใช้สภาวะสมดุลที่ไม่อยู่ในรูปแบบ (61.6) แต่โดยการแก้ปัญหาการแปรผันของพลังงานอิสระขั้นต่ำโดยตรง . พลังงานอิสระภายในของของเหลวขึ้นอยู่กับปริมาตรเท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของพื้นผิว ประการแรก พลังงานอิสระที่พื้นผิวขึ้นอยู่กับรูปร่าง

และประการที่สอง พลังงานในสนามภายนอก (สนามแรงโน้มถ่วง) เท่ากับ

ดังนั้นสภาวะสมดุลจึงสามารถเขียนได้เป็น

การกำหนดขั้นต่ำจะต้องกระทำเมื่อใด เงื่อนไขเพิ่มเติม

(61,8)

แสดงถึงความคงที่ของปริมาตรรวมของของเหลว

ค่าคงที่จะเข้าสู่สภาวะสมดุล (61.6-7) ในรูปแบบของอัตราส่วนเท่านั้น อัตราส่วนนี้มีมิติของกำลังสองของความยาว ความยาว

เรียกว่าค่าคงที่ของเส้นเลือดฝอย รูปร่างของพื้นผิวของเหลวถูกกำหนดโดยปริมาณนี้เท่านั้น หากค่าคงที่ของเส้นเลือดฝอยมีขนาดใหญ่ (เมื่อเทียบกับขนาดของร่างกาย) สนามโน้มถ่วงก็สามารถละเลยได้เมื่อพิจารณารูปร่างของพื้นผิว

ในการกำหนดรูปร่างของพื้นผิวจากสภาพ (61.4) หรือ (61.6) จำเป็นต้องมีสูตรที่กำหนดรัศมีความโค้งตามรูปร่างของพื้นผิว สูตรเหล่านี้รู้จักจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แต่มี กรณีทั่วไปเพียงพอ ดูซับซ้อน- จะง่ายขึ้นมากเมื่อรูปร่างของพื้นผิวเบี่ยงเบนไปจากพื้นเพียงเล็กน้อยเท่านั้น เราจะได้สูตรประมาณที่สอดคล้องกันโดยตรงที่นี่โดยไม่ต้องใช้ สูตรทั่วไปเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ให้เป็นสมการของพื้นผิว เราถือว่าทุกแห่งมีขนาดเล็ก กล่าวคือ พื้นผิวเบี่ยงเบนไปจากระนาบเล็กน้อย ดังที่ทราบ พื้นที่ f ของพื้นผิวถูกกำหนดโดยอินทิกรัล

หรือประมาณเล็กๆ น้อยๆ

ลองนิยามความแปรผันกัน

เมื่อรวมเข้าด้วยกันตามส่วนต่างๆ เราพบว่า:

เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับ (61.2) เราได้รับ:

นี่คือสูตรที่ต้องการซึ่งกำหนดผลรวมของรัศมีผกผันของความโค้งของพื้นผิวโค้งอ่อน

เมื่อเฟสสามเฟสสัมผัสกันอยู่ในสมดุล ส่วนต่อประสานของทั้งสามเฟสจะถูกตั้งค่าในลักษณะที่ผลลัพธ์ของแรงตึงผิวทั้งสามที่กระทำบนแนวสัมผัสร่วมของตัวกลางทั้งสามมีค่าเท่ากับศูนย์ เงื่อนไขนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าส่วนต่อประสานจะต้องตัดกันที่มุม (ที่เรียกว่ามุมสัมผัส) ซึ่งกำหนดโดยค่าแรงตึงผิว

ท้ายที่สุด ให้เราพิจารณาประเด็นเงื่อนไขขอบเขตที่ต้องสังเกตที่ขอบเขตของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่สองตัวเมื่อคำนึงถึงแรงตึงผิว หากไม่คำนึงถึงแรงตึงผิวเราก็จะมี:

ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกันของแรงเสียดทานที่กระทำต่อพื้นผิวของของเหลวทั้งสอง เมื่อคำนึงถึงแรงตึงผิวจำเป็นต้องเขียนแรงเพิ่มเติมทางด้านขวาของเงื่อนไขนี้ซึ่งกำหนดตามขนาดโดยสูตรของ Laplace และกำหนดทิศทางปกติให้กับพื้นผิว:

หรือเขียนสมการนี้ในรูปแบบก็ได้

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไข (61.13) ยังไม่เป็นที่ทั่วไปที่สุด ความจริงก็คือค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิว a อาจไม่คงที่ตลอดพื้นผิว (เช่น อันเป็นผลมาจากความแปรปรวนของอุณหภูมิ) แล้วตามด้วย แรงปกติ(หายไปในกรณีพื้นผิวเรียบ) มีแรงเพิ่มเติมบางอย่างปรากฏขึ้น มุ่งตรงไปที่พื้นผิวในแนวสัมผัส คล้ายกับแรงกดที่ไม่สม่ำเสมอแรงปริมาตรจะปรากฏเท่ากับ (ต่อหน่วยปริมาตร) - ที่นี่เรามีแรงสัมผัสที่กระทำต่อหน่วยพื้นที่ของอินเทอร์เฟซ .

เราเขียนเกรเดียนต์ที่นี่โดยมีเครื่องหมายบวกอยู่ข้างหน้า และไม่มีเครื่องหมายลบตามที่ใช้อยู่ เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าแรงตึงผิวมีแนวโน้มที่จะลดพื้นที่ผิว ในขณะที่แรงกดมีแนวโน้มที่จะเพิ่มปริมาตรของ ร่างกาย. เพิ่มพลังนี้ให้กับ ด้านขวาความเท่าเทียมกัน (61.13) เราได้เงื่อนไขขอบเขต

(เวกเตอร์ปกติของหน่วยมุ่งตรงไปที่ของเหลวตัวแรก) โปรดทราบว่าเงื่อนไขนี้สามารถตอบสนองได้เฉพาะกับของเหลวที่มีความหนืดเท่านั้น แท้จริงแล้วสำหรับของเหลวในอุดมคตินั้น ด้านซ้ายมือความเท่าเทียมกัน (61.14) จะเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตามแนวเส้นปกติ และเวกเตอร์ด้านขวาจะเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางสัมผัสกับพื้นผิว แต่ความเท่าเทียมกันนั้นเป็นไปไม่ได้ (ยกเว้นกรณีเล็กๆ น้อยๆ ที่ปริมาณเหล่านี้แต่ละค่าเท่ากับศูนย์แยกกัน)

เมื่อสัมผัสกับตัวกลางอื่น จะอยู่ในสภาวะพิเศษเมื่อเปรียบเทียบกับมวลของเหลวที่เหลือ แรงที่กระทำต่อแต่ละโมเลกุลของชั้นผิวของของเหลวที่อยู่ติดกับไอจะมุ่งตรงไปยังปริมาตรของของเหลว ซึ่งก็คือ เข้าไปในของเหลว เป็นผลให้ต้องมีการทำงานเพื่อเคลื่อนย้ายโมเลกุลจากส่วนลึกของของเหลวขึ้นสู่พื้นผิว หากที่อุณหภูมิคงที่ พื้นที่ผิวเพิ่มขึ้นด้วยจำนวน dS เพียงเล็กน้อย งานที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้จะเท่ากับ งานเพื่อเพิ่มพื้นที่ผิวนั้นกระทำโดยต้านแรงตึงผิวซึ่งมีแนวโน้มที่จะลดพื้นผิวลง ดังนั้นการทำงานของแรงตึงผิวจึงบังคับให้ตัวเองเพิ่มพื้นที่ผิวของของเหลวจะเท่ากับ:

ที่นี่เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน σ ค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิว และถูกกำหนดโดยปริมาณงานที่ทำโดยแรงตึงผิวโดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงพื้นที่ผิวต่อหน่วย ใน SI ค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิวจะวัดเป็น J/m2

โมเลกุลของชั้นผิวของของเหลวมีพลังงานศักย์มากเกินไปเมื่อเทียบกับโมเลกุลที่อยู่ลึกซึ่งเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพื้นที่ผิวของของเหลว:

การเพิ่มขึ้นของพลังงานศักย์ของชั้นผิวนั้นสัมพันธ์กับการเพิ่มขึ้นของพื้นที่ผิวเท่านั้น: . แรงตึงผิวเป็นแรงอนุรักษ์ ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงถือเป็น: แรงตึงผิวมีแนวโน้มที่จะลดพลังงานศักย์ของพื้นผิวของเหลว โดยปกติแล้วพลังงานที่สามารถแปลงเป็นงานได้เรียกว่าพลังงานอิสระ U S . ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนมันลงไปได้ จากแนวคิดเรื่องพลังงานอิสระ เราสามารถเขียนสูตร (6.36) ได้ดังนี้ ใช้ความเท่าเทียมกันสุดท้ายที่เราสามารถกำหนดได้ ค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิว ยังไง ปริมาณทางกายภาพตัวเลขเท่ากับพลังงานอิสระต่อหน่วยพื้นที่ผิวของของเหลว

สามารถสังเกตผลของแรงตึงผิวได้โดยใช้การทดลองง่ายๆ กับฟิล์มบางๆ ของของเหลว (เช่น สารละลายสบู่) ที่ห่อหุ้มโครงลวดสี่เหลี่ยม โดยด้านหนึ่งสามารถผสมกันได้ (รูปที่ 6.11) สมมติว่าด้านที่เคลื่อนที่ได้ ความยาว l ถูกกระทำโดยแรงภายนอก F B โดยให้ด้านที่เคลื่อนที่ได้ของเฟรมเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอในระยะห่างที่น้อยมาก dh งานเบื้องต้นของแรงนี้จะเท่ากับ เนื่องจากแรงและการกระจัดมีทิศทางร่วมกัน เนื่องจากฟิล์มมีสองพื้นผิว และแรงตึงผิว F จะถูกส่งไปตามแต่ละพื้นผิว ผลรวมเวกเตอร์จะเท่ากับแรงภายนอก โมดูลัสของแรงภายนอกเท่ากับสองเท่าของโมดูลัสของแรงตึงผิวแรงใดแรงหนึ่ง: งานขั้นต่ำที่ทำโดยแรงภายนอกมีขนาดเท่ากับผลรวมของงานที่ทำโดยแรงตึงผิว: ปริมาณงานที่ทำโดยแรงตึงผิวจะถูกกำหนดดังนี้:

, ที่ไหน . จากที่นี่. นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์แรงตึงผิว สามารถกำหนดเป็นค่าเท่ากับแรงตึงผิวที่กระทำในแนวสัมผัสกับพื้นผิวของของเหลวต่อหน่วยความยาวของเส้นแบ่ง แรงตึงผิวมีแนวโน้มที่จะลดพื้นที่ผิวของของเหลว สิ่งนี้จะสังเกตเห็นได้ชัดเจนสำหรับของเหลวปริมาณเล็กน้อย เมื่ออยู่ในรูปของหยดลูกบอล ดังที่ทราบกันดีว่าเป็นพื้นผิวทรงกลมที่มีพื้นที่น้อยที่สุด ปริมาณที่กำหนด- ของเหลวที่นำเข้ามา ปริมาณมากภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงแผ่กระจายไปทั่วพื้นผิวที่มันตั้งอยู่ ดังที่ทราบกันดีว่าแรงโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับมวลของร่างกาย ดังนั้นค่าของมันจะลดลงเมื่อมวลลดลงและที่มวลที่แน่นอนจะเทียบเคียงได้หรือน้อยกว่าค่าของแรงตึงผิวด้วยซ้ำ ในกรณีนี้แรงโน้มถ่วงสามารถถูกละเลยได้ หากของเหลวอยู่ในสภาพไร้น้ำหนัก แม้ว่าจะมีปริมาตรมาก พื้นผิวก็มีแนวโน้มที่จะเป็นทรงกลม สิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากประสบการณ์ที่ราบสูงอันโด่งดัง หากคุณเลือกของเหลวสองชนิดที่มีความหนาแน่นเท่ากัน ผลของแรงโน้มถ่วงที่มีต่อของเหลวหนึ่งชนิด (ถ่ายในปริมาณที่น้อยกว่า) จะได้รับการชดเชยด้วยแรงอาร์คิมีดีน และจะกลายเป็นรูปร่างของลูกบอล ภายใต้สภาวะนี้ มันจะลอยอยู่ในของเหลวอื่น

ลองพิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับของเหลว 1 หยดที่กั้นด้านหนึ่งด้วยไอน้ำ 3 และอีกด้านหนึ่งด้วยของเหลว 2 (รูปที่ 6.12) ให้เราเลือกองค์ประกอบเล็กๆ ของส่วนต่อประสานระหว่างสารทั้งสาม dl จากนั้นแรงตึงผิวที่ส่วนต่อประสานระหว่างตัวกลางจะถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังโครงร่างของส่วนต่อประสานและมีค่าเท่ากับ:

เราละเลยผลของแรงโน้มถ่วง ของเหลวหยด 1 อยู่ในสภาวะสมดุลหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

(6.38)

การแทนที่ (6.37) ลงใน (6.38) ลดความเท่ากันทั้งสองข้าง (6.38) ด้วย dl โดยยกกำลังสองทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (6.38) แล้วบวกเข้าด้วยกัน เราได้:

โดยที่มุมระหว่างแทนเจนต์กับเส้นแบ่งของตัวกลางเรียกว่า มุมขอบ

วิเคราะห์สมการ (6.39) พบว่าเมื่อเราได้ และของเหลว 1 ทำให้พื้นผิวของของเหลว 2 เปียกจนหมด และกระจายไปทั่ว ชั้นบาง (ปรากฏการณ์เปียกที่สมบูรณ์ ).

ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันสามารถสังเกตได้เมื่อชั้นบางๆ ของของเหลว 1 กระจายไปทั่วพื้นผิว แข็ง 2. ในทางกลับกัน บางครั้งของเหลวจะไม่กระจายไปทั่วพื้นผิวของของแข็ง ถ้า , ที่ และของเหลว 1 ไม่ได้ทำให้ของแข็งเปียกจนหมด 2 ( ปรากฏการณ์ไม่เปียกโดยสมบูรณ์ - ในกรณีนี้ มีจุดสัมผัสเพียงจุดเดียวระหว่างของเหลว 1 และของแข็ง 2 การเปียกโดยสมบูรณ์หรือไม่ทำให้เปียกถือเป็นการจำกัดกรณี คุณสามารถดูได้จริงๆ เปียกบางส่วน เมื่อมุมสัมผัสเป็นแบบเฉียบพลัน () และ ไม่เปียกบางส่วน เมื่อมุมสัมผัสป้าน ( ).

ในรูปที่ 6.13 กกรณีของการเปียกบางส่วนจะแสดงขึ้นและในรูปที่ 6.13 ขมีตัวอย่างการไม่ทำให้เปียกบางส่วน กรณีที่พิจารณาแสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของแรงตึงผิวของของเหลวหรือของเหลวที่อยู่ติดกันบนพื้นผิวของวัตถุที่เป็นของแข็งทำให้เกิดความโค้งของพื้นผิวของของเหลว

ลองพิจารณาแรงที่กระทำต่อพื้นผิวโค้ง ความโค้งของพื้นผิวของเหลวส่งผลให้เกิดแรงที่กระทำต่อของเหลวที่อยู่ด้านล่างพื้นผิวนั้น หากพื้นผิวมีลักษณะเป็นทรงกลม แรงตึงผิวจะถูกนำไปใช้กับองค์ประกอบใดๆ ของเส้นรอบวง (ดูรูปที่ 6.14) ซึ่งมุ่งตรงไปยังพื้นผิวในแนวสัมผัสและมีแนวโน้มที่จะทำให้มันสั้นลง ผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้มุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของทรงกลม

ต่อหน่วยพื้นที่ผิว แรงลัพธ์นี้ทำให้เกิดแรงกดดันเพิ่มเติม ซึ่งเกิดขึ้นได้จากของไหลใต้พื้นผิวโค้ง เรียกว่าแรงกดดันเพิ่มเติมนี้ ความกดดันของลาปลาซ - โดยจะมุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของพื้นผิวเสมอ รูปที่ 6.15 แสดงตัวอย่างพื้นผิวทรงกลมเว้าและนูน และแสดงแรงกดลาปลาซ ตามลำดับ

ให้เรากำหนดค่าความดันลาปลาซสำหรับทรงกลม ทรงกระบอก และพื้นผิวใดๆ กัน

พื้นผิวทรงกลม หยดของเหลว เมื่อรัศมีของทรงกลมลดลง (รูปที่ 6.16) พลังงานพื้นผิวจะลดลง และงานจะเสร็จสิ้นโดยแรงที่กระทำต่อหยด ดังนั้น ปริมาตรของของเหลวใต้พื้นผิวทรงกลมจึงถูกบีบอัดอยู่เสมอ กล่าวคือ ปริมาตรของของเหลวจะประสบกับแรงดันลาปลาซ ซึ่งส่งตรงในแนวรัศมีไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้ง ภายใต้อิทธิพลของแรงกดดันนี้ หากลูกบอลลดปริมาตรลง ดีวีจากนั้นปริมาณงานบีบอัดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

พลังงานพื้นผิวที่ลดลงเกิดขึ้นตามจำนวนที่กำหนดโดยสูตร: (6.41)

พลังงานพื้นผิวที่ลดลงเกิดขึ้นเนื่องจากการทำงานของแรงอัด ดังนั้น dA=dU ส- การเท่ากันทางด้านขวามือของความเสมอภาค (6.40) และ (6.41) และยังคำนึงถึงสิ่งนั้น และ เราได้รับแรงกดดันลาปลาซ: (6.42)

ปริมาตรของของเหลวภายใต้พื้นผิวทรงกระบอกและใต้ทรงกลมนั้นจะถูกบีบอัดอยู่เสมอนั่นคือสัมผัสกับแรงดันลาปลาซที่พุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้งในแนวรัศมี ภายใต้อิทธิพลของความดันนี้ หากกระบอกสูบลดปริมาตรลง ดีวีจากนั้นขนาดของงานอัดจะถูกกำหนดโดยสูตร (6.40) เฉพาะขนาดของแรงดันลาปลาซและปริมาตรที่เพิ่มขึ้นเท่านั้นที่จะแตกต่างกัน พลังงานพื้นผิวที่ลดลงเกิดขึ้นจากปริมาณที่กำหนดโดยสูตร (6.41) พลังงานพื้นผิวที่ลดลงเกิดขึ้นเนื่องจากการทำงานของแรงอัด ดังนั้น dA=dU ส- การปรับด้านขวามือของความเท่าเทียมกัน (6.40) และ (6.41) และยังคำนึงถึงว่าสำหรับพื้นผิวทรงกระบอก และ เราได้รับแรงดันลาปลาซ:

การใช้สูตร (6.45) เราสามารถไปที่สูตร (6.42) และ (6.44) ได้ ดังนั้นสำหรับพื้นผิวทรงกลม สูตร (6.45) จะถูกแปลงเป็นสูตร (6.42) สำหรับพื้นผิวทรงกระบอก อาร์ 1 = อาร์, a จากนั้นสูตร (6.45) จะถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็นสูตร (6.44) ในการแยกแยะพื้นผิวนูนออกจากพื้นผิวเว้า เป็นเรื่องปกติที่จะถือว่าแรงดันลาปลาซเป็นบวกสำหรับพื้นผิวนูน และด้วยเหตุนี้ รัศมีความโค้งของพื้นผิวนูนก็จะเป็นบวกด้วย สำหรับพื้นผิวเว้า รัศมีความโค้งและความดันลาปลาซถือเป็นลบ