คำอธิบายเมเปิ้ล ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์เมเปิ้ล โครงสร้างภายในของวัตถุเมเปิ้ล

ไปที่หน้า<Методические разработки>

ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์

Maple เป็นแพ็คเกจคณิตศาสตร์เฉพาะทางที่นักคณิตศาสตร์มืออาชีพทั่วโลกใช้ แพ็คเกจดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ในบรรดาระบบที่คล้ายกันมากมาย (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD) Maple เป็นผู้นำที่ได้รับการยอมรับในด้านการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ (นั่นคือในการแปลงนิพจน์โดยใช้ตัวแปร พหุนาม ฟังก์ชัน ฯลฯ ). นอกจากนี้ Maple ยังมีโมดูลที่อำนวยความสะดวกในการทำงานในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตขั้นสูง พีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์ การวิเคราะห์เชิงผสม ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ และอื่นๆ อีกมากมาย

หากต้องการรับความช่วยเหลือเกี่ยวกับคำสั่งใดคำสั่งหนึ่ง ให้ป้อน ?command ในหน้าต่าง Maple (แทนที่คำสั่งด้วยชื่อของคำสั่ง)

เมเปิ้ลเป็นเครื่องคิดเลขสุดยอด

ในแผ่นงาน Maple คุณสามารถป้อนคำสั่งได้ที่พร้อมท์ ">" คำสั่งจะต้องลงท้ายด้วยสัญลักษณ์ " ; " และผลลัพธ์จะแสดงบนหน้าจอทันที หากคุณแทนที่ ";" ด้วย /// คำสั่งจะถูกดำเนินการ แต่ผลลัพธ์จะไม่ถูกพิมพ์ ตัวอย่างเช่น:

> 57/179+91/1543;

ดังที่เราเห็น Maple ให้คำตอบอย่างชัดเจนในรูปแบบของการแสดงออกที่มีเหตุผล หากคุณต้องการแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยม (ด้วยความแม่นยำระดับหนึ่ง) ให้ใช้ฟังก์ชัน evalf พารามิเตอร์แรกที่ต้องการคือนิพจน์ที่จะคำนวณ พารามิเตอร์ตัวที่สอง (ไม่บังคับ) คือจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่มีนัยสำคัญ (โปรดทราบว่านิพจน์จะถูกปัดเศษเพื่อแสดงจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่สอดคล้องกัน):

> ประเมินผล(%);

> ประเมิน(%%,30);

0.377411774928764613663435880911

สัญลักษณ์ % หมายถึงนิพจน์สุดท้ายที่คำนวณโดย Maple, %% - อันสุดท้าย, %%% - อันสุดท้าย (แต่การกำหนด %%%% ไม่มีอีกต่อไป)

ตัวเลขและค่าคงที่

หากนิพจน์มีตัวเลขทศนิยม (เช่น 3.14 หรือ 5.6e-17) การคำนวณทั้งหมดจะดำเนินการโดยประมาณ มิฉะนั้น การคำนวณจะดำเนินการทุกประการ เมเปิ้ลมีค่าคงที่ดังต่อไปนี้: Pi Number of pi
ฉันหน่วยจินตภาพ ฉัน
exp(1) ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ จ
อินฟินิตี้ อินฟินิตี้
ความจริงเชิงตรรกะที่แท้จริง
เท็จ ตรรกะ เท็จ

การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับค่าคงที่จะดำเนินการอย่างถูกต้อง (เว้นแต่ว่าค่าจะถูกแปลงเป็นค่าจริง) เช่น

> บาป(Pi/3);

> บาป (3.1415926);

0.5358979324 10 -7

ผู้ประกอบการ

ตัวดำเนินการต่อไปนี้มีอยู่ใน Maple:

เลขคณิต: + , - , * , / , ^ (ยกกำลัง), ! (แฟกทอเรียล)

ตรรกะ:< , > , >= , <= , = (равно), <>(ไม่เท่ากัน)

โอเปอเรเตอร์ที่ได้รับมอบหมาย: :=

ตัวแปร

ตัวแปรคือตัวระบุใดๆ (ประกอบด้วยตัวอักษรละตินและตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วยตัวเลข) ตัวแปรสามารถกำหนดค่าใดๆ ได้โดยใช้ตัวดำเนินการกำหนด:= ตัวแปรที่ไม่ได้กำหนดค่าใดๆ จะถือเป็นตัวแปรอิสระ และชื่อของตัวแปรนั้นจะถูกจัดเก็บไว้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น:

> ก:=2: ข:=3: > (ก+ข)^2;

คุณสมบัติมาตรฐาน

เครื่องหมายของ x (ส่งคืน 1, -1 หรือ 0) - เครื่องหมาย(x)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)

ตรีโกณมิติผกผัน: arcsin(x) , arccos(x) , arctan(x) , arccot(x)

เลขชี้กำลัง: exp(x)

ลอการิทึมธรรมชาติ ทศนิยม และฐาน: ln(x) , log10(x) , log[a](x)

การแปลงนิพจน์ทางคณิตศาสตร์

นิพจน์อาจรวมถึงค่าคงที่ ตัวแปรอิสระ และฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ นิพจน์ตัวอย่าง:

> A:=sin(sqrt(Pi)+ประสบการณ์(2));

A:=บาป(ไพ 1/2 +e 2)

บ่อยครั้ง นิพจน์เป็นพหุนามของตัวแปรหรือนิพจน์เชิงตรรกยะตั้งแต่หนึ่งรายการขึ้นไป Maple มีฟังก์ชันต่างๆ สำหรับการแปลงนิพจน์ดังกล่าว

ฟังก์ชัน factor(eq) จะแยกตัวประกอบนิพจน์ eq

> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > ตัวประกอบ(P);

ฟังก์ชันขยาย (eq) จะขยายวงเล็บในนิพจน์ หากคุณระบุพารามิเตอร์เพิ่มเติมอย่างน้อยหนึ่งพารามิเตอร์ในรูปแบบ expend(eq,a,b,c) นิพจน์ a , b , c จะไม่ถูกขยาย สิ่งนี้มีประโยชน์ถ้าคุณต้องการคูณแต่ละพจน์ด้วยนิพจน์

> ขยาย((x+1)*(x+2));

> ขยาย(บาป(x+y));

บาป(x)cos(y)+cos(x)บาป(y)

> ขยาย((x+1)*(y+z),x+1);

หากต้องการลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้วลดขนาดลง ให้ใช้ฟังก์ชันปกติ (eq)

> ปกติ(1/x+1/y);

> (ก^4-b^4)/((ก^2+ข^2)*ก*ข);

(ก 4 -b 4)/((ก 2 +b 2)ab)

ฟังก์ชัน simplify(eq) ทำให้นิพจน์ eq ง่ายขึ้น ในฐานะพารามิเตอร์ตัวที่สอง (เป็นทางเลือก) คุณสามารถระบุนิพจน์ที่จะแปลง: ตรีโกณมิติ - ตรีโกณมิติ, กำลัง - กำลัง, อนุมูล - อนุมูล, exp - เลขชี้กำลัง, ln - ลอการิทึม

> ลดความซับซ้อน(บาป(x)^2+cos(x)^2);

การแก้สมการ

สมการสามัญ

ในการแก้สมการ ให้ใช้ฟังก์ชันการแก้สมการ (eq,x) โดยที่ eq คือสมการที่จะแก้ x คือชื่อของตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับสมการที่ได้รับการแก้ไข ตัวอย่าง:

> แก้ (x^2+x-1=0,x);

1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2

> แก้ (a*x+b=0,x);

> แก้ (a*x+b=0,b);

หากสมการมีหลายคำตอบ ก็สามารถกำหนดคำตอบของสมการให้กับตัวแปรบางตัวได้ เช่น p ต่อไป คุณสามารถใช้คำตอบที่ k ของสมการในรูปแบบ p[k] :

> p:=แก้(x^2+x-1=0,x): p;

> ลดความซับซ้อน(p*p);

ระบบสมการ

ระบบสมการแก้ได้โดยใช้ฟังก์ชันเดียวกัน solve((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)) เฉพาะตอนนี้ในพารามิเตอร์ฟังก์ชันเท่านั้นที่ควรระบุสมการในเครื่องหมายปีกกาแรกที่คั่นด้วย เครื่องหมายจุลภาคและในวงเล็บปีกกาที่สอง ตัวแปรที่ระบบจำเป็นต้องแก้ไขจะแสดงรายการอยู่ในวงเล็บ คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค หากคุณต้องการใช้ผลเฉลยที่ได้รับกับสมการเพื่อการคำนวณเพิ่มเติม คุณต้องกำหนดผลลัพธ์ที่ส่งคืนโดยฟังก์ชันแก้โจทย์ให้กับตัวแปรบางตัว เช่น p จากนั้นดำเนินการคำสั่ง มอบหมาย(p) ตัวอย่าง:

> p:=solve((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > มอบหมาย(p);

>x;

การแก้สมการเชิงตัวเลข ลองแก้สมการ: x 6 -2x+1=0 การใช้ฟังก์ชันแก้โจทย์จะให้หนึ่งรูต -1 และอีกชุดของนิพจน์เช่น RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1ดัชนี

= 1) ประเด็นก็คือสมการตามอำเภอใจของดีกรีที่สูงกว่า 4 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะอาจไม่มีรากที่แสดงออกมาในรูปของอนุมูลมากกว่าจำนวนตรรกยะได้ การแก้สมการที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่า ตัวเลขพีชคณิต สมการนี้แก้ไม่ได้ในรูปรากเช่นกัน และเมเปิ้ลพบว่าเรามีรากเดียวที่แสดงเป็นรากได้ (1) และรายงานว่ารากที่เหลือเป็นตัวเลขพีชคณิต: รากของพหุนาม z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- 1=0 (เป็นพหุนามที่ระบุในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน RootOf) เมเปิ้ลสามารถทำงานกับตัวเลขพีชคณิตได้ แต่คุณยังสามารถหาคำตอบเชิงตัวเลขโดยประมาณได้โดยใช้ฟังก์ชัน fsolve:

5086603916, 1.000000000

> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);

บางครั้ง Maple เมื่อแก้สมการเหนือธรรมชาติ จะไม่แสดงนิพจน์ที่ซับซ้อนในรูปแบบของอนุมูล แต่ปล่อยไว้ในรูปแบบ RootOf หากต้องการบังคับให้ Maple ส่งออกคำตอบทั้งหมดในรูปแบบของราก (แน่นอนว่า หากสามารถแทนค่าได้ในรูปแบบนี้) คุณต้องกำหนดค่าจริงให้กับตัวแปรระบบ _EnvExplicit (_EnvExplicit:=true)

การแก้สมการตรีโกณมิติ

คำสั่งแก้ซึ่งใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติจะค้นหาเฉพาะคำตอบหลักเท่านั้น กล่าวคือ คำสั่งนี้สร้างเพียงคำตอบเดียวจากชุดคำตอบตามคาบ:

เพื่อให้ Maple ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด คุณต้องตั้งค่าตัวแปรระบบ _EnvAllSolutions ให้เป็นจริงก่อน จากนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบอื่น ซึ่งตัวแปร Z1~ และ Z2~ จะปรากฏขึ้น ตัวแปรเหล่านี้แสดงถึงค่าคงที่ใดๆ ที่เป็นจำนวนเต็ม ในรูปแบบที่คุ้นเคยมากกว่า สามารถเขียนคำตอบได้เป็น π/4+πn, πk

แบบฝึกหัด

1. เลขหลักใดในรูปแบบทศนิยมของตัวเลข π อยู่ในตำแหน่งที่ร้อยหลังจุดทศนิยม?
2. เลขทศนิยม 179 มีกี่หลัก! -
3. คำนวณค่าของ (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2
4. คำนวณบาป 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sin 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8)
5. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ (1 + sin(2 x) + คอส(2 x))/(1 + บาป(2 x) - คอส(2 x)).
6. แยกตัวประกอบพหุนาม x 3 -4x 2 +5x-2.
7. หาคำตอบเชิงตัวเลขของสมการคอส x=x.
8. แก้สมการที่ 3 x-(18x+1) 1/2 +1=0
9. แก้สมการ ||2 x-3|-1|=x.
10. แก้สมการ (หาคำตอบทั้งหมด) บาป x-คอส x=1/บาป x.
11. แก้ระบบสมการ:

    10(xย) 1/2 +3x-3ย=58 x-ย=6

04. 01 การแปลงสมการ ทีม นะและ Rhs

* การป้อนและการจัดการสมการ: Theนะ และRhs คำสั่ง*

โปรดจำไว้ว่าสมการสามารถตั้งชื่อได้เช่นเดียวกับนิพจน์ ในบรรทัดคำสั่งถัดไป เราจะป้อนสมการและตั้งชื่อให้ " สมการ1 " :

> อีคิว 1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;

เราสามารถแสดงด้านซ้ายและด้านขวาของสมการแยกกันได้โดยใช้คำสั่ง นะและ Rhs :

> lhs(eq1);

> rhs(eq1);

ลองใช้คำสั่งกัน นะและ Rhsเพื่อนำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน โดยรวบรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้าย และเหลือเพียง 0 ทางด้านขวา:

> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;

04. 02 ค้นหารากที่แน่นอน ทีม แก้ปัญหา

* การค้นหาแนวทางแก้ไขที่แน่นอน: Theแก้ปัญหา สั่งการ*

ให้เราพิจารณาสมการตรรกยะก่อน เป็นที่ทราบกันดีว่ามีอัลกอริธึมในการกำหนดรากที่แน่นอนของรากที่มีเหตุมีผลจนถึงลำดับที่ 4 รวมอยู่ด้วย ถึงทีมเมเปิล แก้ปัญหาและอัลกอริธึมเหล่านี้มีพื้นฐานมาจาก

ลองใช้คำสั่ง แก้ปัญหาเพื่อหารากที่แน่นอนของสมการกำลังสาม :

> แก้ (3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);

โปรดทราบว่าในคำสั่งเราระบุว่าควรแก้สมการตัวแปรใด แม้ว่าในกรณีเฉพาะของเรา สิ่งนี้จะไม่จำเป็น:

> แก้ (3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);

Maple พบรากที่ถูกต้องทั้ง 3 ต้นแล้วจึงพิมพ์ ( ในลักษณะที่ไม่เป็นระเบียบ ).

บางครั้งการเลือกรูทเฉพาะก็สำคัญมากเพื่อใช้ในการแปลงเพิ่มเติม ในการดำเนินการนี้คุณควรกำหนดชื่อให้กับผลลัพธ์ของคำสั่งล่วงหน้า แก้ปัญหา- ลองโทรหาเขาสิ เอ็กซ์- จากนั้นจึงออกแบบ เอ็กซ์จะสอดคล้องกับรูทแรกจากรายการ (เราเน้น: ไม่จำเป็นต้องเป็นรากที่เล็กกว่า!), เอ็กซ์- รากที่สอง ฯลฯ - วงเล็บเหลี่ยม!):

> X:=แก้(x^2-5*x+3=0,x);

อย่างไรก็ตาม ดูผลลัพธ์ของคำสั่งที่คล้ายกัน:

> x=%;

ให้เราเน้นอีกครั้ง: การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าแนะนำให้ตั้งชื่อให้กับสมการ ตามเนื้อผ้าใน Maple ชื่อดังกล่าวจะขึ้นต้นด้วยตัวอักษร :

> สมการ

อีคิว 1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0; := (อย่าสับสนกับผู้ดำเนินการที่ได้รับมอบหมาย " = " !)

"มีเครื่องหมายเท่ากับ" แก้ปัญหาตอนนี้เรามาแก้สมการโดยใช้คำสั่ง เอ็กซ์ :

> - มาตั้งชื่อเซตของรูทกันดีกว่า

X:=แก้(eq1,x);

> เพื่อให้แน่ใจว่าเรามาตรวจสอบว่ามีรากแปลกปลอมอยู่ในรากที่พบหรือไม่ ลองตรวจสอบโดยการทดแทนโดยตรง

> เพื่อให้แน่ใจว่าเรามาตรวจสอบว่ามีรากแปลกปลอมอยู่ในรากที่พบหรือไม่ ลองตรวจสอบโดยการทดแทนโดยตรง

> เพื่อให้แน่ใจว่าเรามาตรวจสอบว่ามีรากแปลกปลอมอยู่ในรากที่พบหรือไม่ ลองตรวจสอบโดยการทดแทนโดยตรง

ส่วนย่อย(x=X,eq1); :

> แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาที่ "แน่นอน" มักจะค่อนข้างยุ่งยาก ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับสมการ

> - มาตั้งชื่อเซตของรูทกันดีกว่า

อีคิว 1:=x^3-34*x^2+4=0; ตอนนี้คุณเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึงแล้วหรือยัง? โปรดทราบว่าหน่วยจินตภาพ ในต้นเมเปิลจะมีการระบุด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ฉัน

> - แน่นอนในกรณีเช่นนี้การค้นหาค่าโดยประมาณของรากไม่ใช่เรื่องบาป การมีวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนอยู่ในมือ คุณจะสามารถทราบวิธีดำเนินการได้ด้วยตัวเอง:

ประเมิน(X); แก้ปัญหาในสถานการณ์เช่นนี้เป็นทางเลือกที่ดีให้กับทีม เป็นแก้ปัญหา

คุณสมบัติที่จะกล่าวถึงในย่อหน้าถัดไป แก้ปัญหาทีม เป็น .

ใช้ในการค้นหาคำตอบที่แน่นอนไม่ใช่แค่สมการตรรกยะเท่านั้น ด้านล่างนี้เป็นภาพประกอบบางส่วนเกี่ยวกับสิ่งนี้ แต่สำหรับสมการไร้เหตุผล เอ็กซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และแม้แต่ตรรกยะหลายประเภท การค้นหาคำตอบที่แน่นอนก็ไม่มีประโยชน์ ทีมงานจึงถูกเรียกตัวไปช่วย :

> มาแก้สมการกัน

แก้ (5*ประสบการณ์(x/4)=43,x); บางครั้ง (และ ในตรีโกณมิติ - เสมอ ) เมเปิ้ลค่าเริ่มต้น

> ไม่แสดงชุดรากทั้งหมด:

แก้(บาป(x)=1/2,x); แต่ไม่มีสถานการณ์ที่สิ้นหวัง! ใช้ผลลัพธ์นี้เป็นพื้นฐาน ใช้ความรู้เกี่ยวกับสมการตรีโกณมิติและเขียนคำตอบที่สมบูรณ์ ().

ยังไง?

แบบฝึกหัดที่ 4.1 แก้สมการ

ค้นหาว่าสมการนี้มีรากที่แตกต่างกันจำนวนเท่าใด เมเปิ้ลจะทำอย่างไรเมื่อมีรากเท่ากัน?คำแนะนำ

> : แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ

> แก้ (x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);

ปัจจัย(x^3-11*x^2+7*x+147);

04. 03 ราก x = 7 เป็นสองเท่า ดังนั้นสมการกำลังสามจึงมีรากที่แตกต่างกันเพียงสองราก การแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการช่วยยืนยันสิ่งนี้ เป็น

* การหารากโดยประมาณ ทีมการหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ: The สั่งการ*

แก้ปัญหา เป็นหากต้องการแก้สมการโดยประมาณ ให้ใช้คำสั่ง Maple เป็น- ในกรณีของสมการตรรกยะ พิมพ์รายการรากที่ถูกต้องทั้งหมด (ดูตัวอย่างที่ 01) สำหรับสมการอดิศัย คำสั่งนี้จะส่งออกตามค่าเริ่มต้นมีเพียงรากเดียวเท่านั้น

ด้วยความช่วยเหลือ เป็นมาหาค่าโดยประมาณของรากจริงทั้งสี่ของสมการตรรกยะพร้อมกัน :

> เช่น:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;

> fsolve(eq,x);

รากทั้งสี่นี้เป็นคำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วนของสมการตรรกยะดั้งเดิม ( แม้ว่าจะเป็นประมาณก็ตาม).

โดยใช้คำสั่ง เป็น, หา อย่างน้อยหนึ่งรายการรากที่แท้จริงของสมการ :

> eq:=x^3+1-ประสบการณ์(x)=0;

> fsolve(eq,x);

ต้นเมเปิลและส่งออกเพียงรากเดียวเท่านั้น ครั้งนี้เมเปิลไม่ได้ทาสี ตอนนี้เราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าไม่มีรากที่แท้จริงอื่นใด? ตัวอย่างต่อไปนี้จัดเตรียมชุดเครื่องมือดังกล่าว

รับ ทั้งหมด รากที่แท้จริงของสมการ และให้แน่ใจว่ามัน

ขั้นตอนที่หนึ่ง ( แนวคิดหลัก ) : ลองหาคำตอบเชิงกราฟิกของสมการกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันทางด้านซ้ายของสมการกันดีกว่า รากที่ต้องการจะเป็นจุดตัดของกราฟนี้กับแกน Ox

> พล็อต(x^3+1-ประสบการณ์(x),x=-3..5,y=-5..15);

เพราะ เราเลือกช่วงของการเปลี่ยนแปลงใน abscissa และพิกัดของจุดกราฟอย่างเชี่ยวชาญ ซึ่งเราสามารถตรวจจับได้อย่างง่ายดาย 4 จุดตัดของเส้นกับแกนวัว หนึ่งในนั้นสอดคล้องกับรูทที่พบในตัวอย่าง 02 ( อันไหนกันแน่?).

รากที่สองชัดเจน: x = 0 เราจะหาส่วนที่เหลือให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้อย่างไร

ขั้นตอนที่สอง ( ชี้แจง ) : ใช้คำสั่ง เป็น"มองเห็น" ได้มากขึ้น เมเปิ้ลให้ความสามารถในการระบุช่วงเวลาที่พบราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการหารากที่เป็นลบของสมการ เราระบุว่าควรทำการค้นหาใน "ภูมิภาค" [-1;-0.2] นี่คือหลักฐานที่ชัดเจนจากโซลูชันกราฟิก

> fsolve(eq,x=-1..-.2);

รากที่เหลืออยู่อย่างชัดเจนอยู่ในช่วง และ เรามาบอกทีมงานเรื่องนี้กันดีกว่า เป็น :

> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราปล่อย Maple ให้เป็น "พื้นที่ว่าง"? ตัวอย่างเช่น ส่วนของสมการของเรา เห็นได้ชัดว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก:

> fsolve(eq,x=2..4);

Maple จะแสดงชื่อของคำสั่ง สมการเอง ชื่อของอาร์กิวเมนต์ และเซ็กเมนต์ เหล่านั้น. ไม่มีอะไรใหม่ ชอบ: “มองหารากด้วยตัวเอง แต่ฉันไม่พบมัน”

ขั้นตอนที่สาม ( การวิเคราะห์เพิ่มเติม ) : ตอนนี้เราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าเราได้ค้นพบแล้ว รากทั้งหมดและไม่ใช่แค่ในพื้นที่ที่มองเห็นได้ของโซลูชันกราฟิกเท่านั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณควรขยายช่วงเวลาการค้นหา:

> พล็อต(x^3+1-ประสบการณ์(x),x=-3..50,y=-10..15);

ไม่มีจุดตัดใหม่ ท้ายที่สุด เราเข้าใจว่าพจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลที่ขอบเขตของช่วงมีส่วนสำคัญที่สุดต่อค่าของฟังก์ชันทางด้านซ้ายของสมการ ค่าฟังก์ชันในภูมิภาคนี้มีแนวโน้มที่จะ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถหารากเพิ่มเติมได้

เรามาลองที่อื่นกันดีกว่า: ทางด้านขวาและซ้ายของพื้นที่ของรากที่พบ

> fsolve(eq,x=5..50);

> fsolve(eq,x=-50..-1);

และไม่มีการรูทเพิ่มเติมแม้แต่อันเดียวที่นี่!

เมื่อตระหนักว่าทุกอย่างชัดเจนด้วยอิทธิพลของส่วนเลขชี้กำลังของสมการ เราจึงได้ข้อสรุปขั้นสุดท้าย คำตอบของสมการที่หมดสิ้นไป

ประกอบด้วยสี่ราก: -.8251554597, 0, 1.545007279, 4.567036837 เป็นลองใช้คำสั่ง .

สำหรับคำตอบโดยประมาณของสมการทิพย์

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ ก่อนอื่นเราจะพบโซลูชันกราฟิกคุณภาพสูง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณยังคงต้องเดาว่าจะกระจายพจน์ของมันทั้งสองด้านของสมการอย่างไร แต่ความสามารถด้านกราฟิกของ Maple นั้นยอดเยี่ยมมากจนคุณสามารถใส่เงื่อนไขทั้งหมดของสมการไว้ด้านเดียวได้เกือบตลอดเวลา พิจารณาสมการที่เทียบเท่ากับสิ่งนี้:

> - การตัดกันของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันทางด้านซ้ายของสมการที่มีแกน Ox จะเป็นรากที่ต้องการ

> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;

พล็อต(lhs(eq),x=-10..10); เป็น :

> กราฟแสดงพื้นที่การค้นหาราก: ช่วงเวลา ถึงเวลาของทีมแล้ว

fsolve(eq,x=1..2); เป็นพบรากแล้ว แต่เห็นได้ชัดว่าเขาไม่ใช่คนเดียว ขยายพื้นที่การค้นหาของคุณและใช้คำสั่งอีกครั้ง

เพื่อค้นหารากที่สอง

แบบฝึกหัดที่ 4.2 ค้นหารากจริงทั้งหมดของสมการ

เริ่มต้นด้วยโซลูชันแบบกราฟิก

> ลองพลอตทางด้านซ้ายของสมการ:

> เช่น:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;

พล็อต(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5); เป็นด้วยเหตุนี้ เราจึงพบรากของสมการจนถึงค่าประมาณแรก: -2; -1.5 ; 0 . ตอนนี้เรามาใช้คำสั่งกัน โดยไม่ระบุช่วงการค้นหา ():

> fsolve(eq,x);

มาประเมินความสามารถของ Maple กัน

เรายินดีเป็นอย่างยิ่งที่ทราบว่า Maple ให้ผลลัพธ์ทั้งสามราก (อย่าลืมว่าเรากำลังแก้สมการตรรกยะอยู่)

แบบฝึกหัดที่ 4.3 ค้นหารากทั้งหมดของสมการ

- ใช้โซลูชันแบบกราฟิก ตรวจสอบแต่ละรูทโดยการทดแทนโดยตรง

> นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน (สำหรับส่วนนี้):

eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;

> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;

ตอนนี้เรามาพลอตทางด้านซ้ายของสมการ:

ประกอบด้วยสี่ราก: -.8251554597, 0, 1.545007279, 4.567036837 เป็นเห็นได้ชัดว่ามีสองราก

> อันหนึ่งมีค่าประมาณ -2 และอีกอันดูเหมือนจะเป็น 2

> , การจำกัดช่วงการค้นหา:

x:=fsolve(eq,x=-5..0);

> x:=fsolve(eq,x=1..3);

> x:=fsolve(eq,x=1..3);

ตรวจสอบรากด้วยการทดแทนโดยตรง:

evalf(หมวดย่อย(x=x,eq));

โปรดทราบว่าในทั้งสองกรณีไม่มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เมื่อพิจารณาถึงข้อผิดพลาดในการปัดเศษแล้ว ความคลาดเคลื่อนที่สมเหตุสมผลก็ค่อนข้างยอมรับได้

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีรากอื่น และ ชี้แจงคำตอบของคุณ

แบบฝึกหัดที่ 4.4

ข) เขียนสมการที่มีรากคือจุดตัดของจุดตัดของกราฟ

ค) ใช้คำสั่ง เป็นเพื่อแก้สมการนี้

ง) ใช้ผลลัพธ์จากส่วน c) เพื่อประมาณพิกัดของจุดตัดของกราฟ

จ) คุณไม่เข้าใจหรือว่าเส้นตรงสามารถตัดกันที่จุดที่สามด้วยพิกัด (1;9) ได้? ใช้ เป็นและความสามารถด้านกราฟิกของ Maple เพื่อพิสูจน์เป็นอย่างอื่น

> y1:=10-x^2;

> y2:=4*บาป(2*x)+5;

ตอนนี้เรามาพลอตฟังก์ชัน:

> โครงเรื่อง(,x=-5..5);

พิกัดโดยประมาณของจุดตัด: (-1.8, 6.6) และ (2.75, 2) .

b) มาสร้างสมการกัน:

> อีคิว:= y1=y2;

ค) ทีม เป็นจะช่วยคุณค้นหารากที่เกี่ยวข้อง:

> x1:=fแก้ปัญหา(y1=y2,x=-4..0);

> x2:=fแก้ปัญหา(y1=y2,x=0..4);

ง) ใช้คำสั่ง หมวดย่อยเพื่อกำหนดพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดตัด:

> y:=subs(x=x1,y1);

> y:=subs(x=x2,y1);

จุดกราฟทั่วไป: (-1.800,6.763) และ (2.773,2.311)

e) ตรวจสอบบริเวณใกล้เคียงของจุด x = 1 แบบกราฟิก:

> โครงเรื่อง(,x=.5..1.5);

คุณสมบัติที่จะกล่าวถึงในย่อหน้าถัดไป เป็นคราวนี้มันจะช่วยให้เราพิสูจน์ได้ว่าไม่มีรากอยู่ใกล้จุด x = 1:

> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);

04. 04 การแก้สมการในรูปแบบทั่วไป

* การแก้สมการตามตัวอักษร*

ในหลายกรณี Maple พบวิธีแก้สมการในรูปแบบทั่วไป (เชิงสัญลักษณ์) เรากำลังพูดถึงสมการ (ไม่ใช่ระบบ!) ที่มีตัวแปรหลายตัว วิธีแก้คือแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรตัวอื่นๆ

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องแก้สมการ สัมพันธ์กับตัวแปร g นิสัยเราใช้คำสั่ง แก้ปัญหา- และเธอก็ดำเนินชีวิตตามความหวังของเรา:

> แก้ (4-v=2*T-k*g,g);

ดังนั้นจึงสามารถเขียนคำตอบได้ในรูปแบบปกติ:

> g=แก้(4-v=2*T-k*g,g);

โปรดทราบว่าในทั้งสองกรณีไม่มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เมื่อพิจารณาถึงข้อผิดพลาดในการปัดเศษแล้ว ความคลาดเคลื่อนที่สมเหตุสมผลก็ค่อนข้างยอมรับได้

แก้สมการสุดท้ายของตัวแปรอื่นๆ: ทีเคและ โวลต์

> T=แก้(4-v=2*T-k*g,T);

> k=แก้(4-v=2*T-k*g,k);

> v=แก้(4-v=2*Tk*g,v);

แบบฝึกหัดที่ 4.5

แบบฝึกหัดที่ 4.1 สัมพันธ์กับ y

> ตั้งชื่อลำดับรากว่า S ราก S และ S เกี่ยวข้องกันอย่างไร?

S:=แก้(x^2+y^2=25,y);

รากต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น ในเมเปิ้ล

มีหลายวิธีในการแสดงฟังก์ชัน := วิธีที่ 1: การกำหนดฟังก์ชันโดยใช้ตัวดำเนินการกำหนด (

> ): ชื่อถูกกำหนดให้กับนิพจน์บางอย่าง เช่น:

ฉ:=บาป(x)+cos(x); หากคุณตั้งค่าตัวแปรเฉพาะเอ็กซ์ แล้วเราจะได้ค่าของฟังก์ชันฉ หากคุณตั้งค่าตัวแปรเฉพาะสำหรับสิ่งนี้ แล้วเราจะได้ค่าของฟังก์ชัน- ตัวอย่างเช่น ถ้าเราดำเนินการตัวอย่างก่อนหน้าต่อไปและคำนวณค่า

> เมื่อใด เราควรเขียนว่า:

x:=พาย/4; หากคุณตั้งค่าตัวแปรเฉพาะหลังจากดำเนินการคำสั่งเหล่านี้แล้วตัวแปร

มีค่าที่กำหนด เพื่อไม่ให้กำหนดค่าเฉพาะให้กับตัวแปรเลย การใช้คำสั่งทดแทนจะสะดวกกว่าส่วนย่อย((x1=a1, x2=a2,…, ),f), โดยที่ตัวแปรถูกระบุด้วยเครื่องหมายปีกกาและความหมายใหม่ของพวกเขา AI(ฉัน=1,2,...) ซึ่งควรแทนที่ลงในฟังก์ชัน แล้วเราจะได้ค่าของฟังก์ชัน - ตัวอย่างเช่น:

> f:=x*ประสบการณ์(-t);

> ส่วนย่อย((x=2,t=1),f);

การคำนวณทั้งหมดอยู่ใน ในโดยค่าเริ่มต้นจะถูกสร้างขึ้นในเชิงสัญลักษณ์ นั่นคือ ผลลัพธ์จะประกอบด้วยค่าคงที่ที่ไม่ลงตัว เช่น และอื่นๆ อย่างชัดเจน หากต้องการรับค่าประมาณเป็นจำนวนจุดลอยตัว ให้ใช้คำสั่ง ประเมินผล(expr,t)ที่ไหน หมดอายุ- การแสดงออก, ที– ความแม่นยำแสดงเป็นตัวเลขหลังจุดทศนิยม ตัวอย่างเช่น ต่อจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ลองคำนวณค่าฟังก์ชันผลลัพธ์โดยประมาณ:

> ประเมินผล(%);

สัญลักษณ์ที่ใช้คือ ( % ) เพื่อเรียกคำสั่งก่อนหน้า

วิธีที่ 2: การกำหนดฟังก์ชันโดยใช้ตัวดำเนินการฟังก์ชันที่แมปกับชุดของตัวแปร (x1,x2,…)หนึ่งหรือหลายนิพจน์ (f1,f2,…)- ตัวอย่างเช่น การกำหนดฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวโดยใช้ตัวดำเนินการฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:

> f:=(x,y)->บาป(x+y);

ฟังก์ชันนี้เข้าถึงได้ด้วยวิธีที่คุ้นเคยที่สุดในคณิตศาสตร์เมื่อมีการระบุค่าเฉพาะของตัวแปรในวงเล็บแทนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ดำเนินการต่อจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ค่าของฟังก์ชันจะถูกคำนวณ:

วิธีที่ 3: การใช้คำสั่ง ยกเลิกการสมัคร(expr,x1,x2,…), ที่ไหน หมดอายุ- การแสดงออก, x1,x2,…– ชุดของตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรนั้น คุณสามารถแปลงนิพจน์ได้ หมดอายุเป็นตัวดำเนินการที่ใช้งานได้ ตัวอย่างเช่น:

> f:=ยกเลิกการใช้(x^2+y^2,x,y);

รากต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น ในเป็นไปได้ที่จะกำหนดฟังก์ชันที่ไม่ใช่พื้นฐานของแบบฟอร์ม

ผ่านคำสั่ง

> ทีละชิ้น(cond_1,f1, cond_2, f2, …)

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน

เขียนดังนี้