วิธีเกาส์-จอร์แดน ตัวอย่างการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน การแปลง Jordan-Gauss และวิธีการ simplex ใน Excel

ในวิธีการแบบกราฟิกในการแก้ปัญหา LP จริงๆ แล้วเราเลือกจากชุดของจุดยอดที่เป็นของขอบเขตของชุดการแก้ปัญหาของระบบอสมการ จุดยอดที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถึงค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว วิธีนี้ใช้งานง่ายและช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาได้อย่างรวดเร็ว

หากปัญหามีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป และในปัญหาทางเศรษฐกิจที่แท้จริง นี่คือสถานการณ์ที่แน่นอน เป็นการยากที่จะเห็นภาพพื้นที่การแก้ปัญหาของระบบข้อจำกัด ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยใช้ วิธีเริม หรือโดยวิธีการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง แนวคิดของวิธีการนั้นง่ายและมีดังต่อไปนี้

ตามกฎข้อหนึ่ง จะพบแผนอ้างอิงเริ่มต้น (จุดยอดบางส่วนของพื้นที่จำกัด) จะตรวจสอบว่าแผนเหมาะสมที่สุดหรือไม่ ถ้าใช่แสดงว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว ถ้าไม่เช่นนั้น เราก็จะไปยังแผนที่ได้รับการปรับปรุงอื่น - ไปสู่จุดสูงสุดอื่น ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บนระนาบนี้ (ที่จุดยอดนี้) ดีกว่าฟังก์ชันก่อนหน้าอย่างเห็นได้ชัด อัลกอริธึมการเปลี่ยนแปลงดำเนินการโดยใช้ขั้นตอนการคำนวณบางอย่างซึ่งเขียนได้อย่างสะดวกในรูปแบบของตารางที่เรียกว่า ตารางเริม - เนื่องจากจุดยอดมีจำนวนจำกัด ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด เราจึงได้คำตอบที่ดีที่สุด

ลองพิจารณาวิธีซิมเพล็กซ์โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะของปัญหาในการจัดทำแผน

โปรดทราบอีกครั้งว่าวิธีซิมเพล็กซ์ใช้ได้กับการแก้ปัญหา Canonical LP ที่ลดลงเป็นรูปแบบพิเศษ กล่าวคือ มีพื้นฐาน ด้านขวามือที่เป็นบวก และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่แสดงออกมาในรูปของตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐาน หากงานไม่ลดลงเป็นรูปแบบพิเศษก็จำเป็นต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติมซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

ให้เราพิจารณาถึงปัญหาของแผนการผลิตโดยที่เคยสร้างแบบจำลองขึ้นมาแล้วนำมาเป็นรูปแบบพิเศษ

งาน.

สำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ กและ ในคลังสินค้าสามารถปล่อยวัตถุดิบได้ไม่เกิน 80 หน่วย นอกจากนี้สำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ กมีการบริโภคสองหน่วยและผลิตภัณฑ์ ใน- วัตถุดิบหนึ่งหน่วย มีความจำเป็นต้องวางแผนการผลิตเพื่อให้มั่นใจว่าได้รับผลกำไรสูงสุดหากผลิตภัณฑ์ กโดยต้องผลิตไม่เกิน 50 ชิ้น และผลิตภัณฑ์ ใน- ไม่เกิน 40 ชิ้น อีกทั้งกำไรจากการขายผลิตภัณฑ์ตัวเดียว ก- 5 รูเบิล และจาก ใน- 3 ถู

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แทนกัน เอ็กซ์ 1 ปริมาณของผลิตภัณฑ์ A ในแผนสำหรับ เอ็กซ์ 2 - จำนวนผลิตภัณฑ์ ใน- จากนั้นระบบข้อจำกัดจะมีลักษณะดังนี้:

เรามานำปัญหามาสู่รูปแบบมาตรฐานโดยแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม:

(3.10)

F = -5x 1 - 3x 2 → นาที

ปัญหานี้จะมีรูปแบบพิเศษ (โดยพื้นฐานแล้ว ด้านขวามือไม่เป็นลบ) สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์

ฉันเวที.การบันทึกปัญหาในตารางซิมเพล็กซ์ มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างระบบข้อจำกัดของปัญหา (3.10) และตารางซิมเพล็กซ์ ในตารางจะมีแถวมากเท่ากับความเท่าเทียมกันในระบบข้อจำกัด และมีคอลัมน์มากเท่ากับที่มีตัวแปรอิสระ ตัวแปรพื้นฐานจะเต็มคอลัมน์แรก ตัวแปรอิสระจะเต็มแถวบนสุดของตาราง บรรทัดล่างสุดเรียกว่าเส้นดัชนี โดยจะเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไว้ ที่มุมขวาล่าง 0 จะถูกเขียนในตอนแรกหากไม่มีสมาชิกว่างในฟังก์ชัน ถ้ามีก็ให้เขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม ณ จุดนี้ (ที่มุมขวาล่าง) จะมีค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ซึ่งควรเพิ่มค่าสัมบูรณ์เมื่อย้ายจากตารางหนึ่งไปอีกตารางหนึ่ง ดังนั้น ตาราง 3.4 จึงสอดคล้องกับระบบข้อจำกัดของเรา และเราสามารถไปยังขั้นตอนที่ 2 ของการแก้ปัญหาได้

ตารางที่ 3.4

ขั้นพื้นฐาน			ฟรี

ครั้งที่สองเวที- การตรวจสอบแผนอ้างอิงเพื่อความเหมาะสมที่สุด

ตาราง 3.4 นี้สอดคล้องกับแผนอ้างอิงต่อไปนี้:

(เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , เอ็กซ์ 3 , เอ็กซ์ 4 , เอ็กซ์ 5) = (0, 0, 50, 40, 80).

ตัวแปรอิสระ เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 เท่ากับ 0; เอ็กซ์ 1 = 0, เอ็กซ์ 2 = 0 และตัวแปรพื้นฐาน เอ็กซ์ 3 , เอ็กซ์ 4 , เอ็กซ์ 5 รับค่า เอ็กซ์ 3 = 50, เอ็กซ์ 4 = 40, เอ็กซ์ 5 = 80 - จากคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ ค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์:

-เอฟ = - 5เอ็กซ์ 1 - 3เอ็กซ์ 2 = -5 0 - 3 0 = 0

หน้าที่ของเราคือการตรวจสอบว่าแผนอ้างอิงที่กำหนดนั้นเหมาะสมที่สุดหรือไม่ ในการทำเช่นนี้คุณต้องดูที่เส้นดัชนี - เส้นฟังก์ชันเป้าหมาย เอฟ.

สถานการณ์ต่างๆเป็นไปได้

1. ในดัชนี เอฟ- ไม่มีองค์ประกอบเชิงลบในสตริง ซึ่งหมายความว่าแผนมีความเหมาะสมและสามารถเขียนวิธีแก้ไขปัญหาได้ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถึงค่าที่เหมาะสมที่สุดแล้ว ซึ่งเท่ากับตัวเลขที่มุมขวาล่าง โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เรามาต่อกันที่ด่าน IV กันดีกว่า

2. แถวดัชนีมีองค์ประกอบเชิงลบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ ซึ่งคอลัมน์ไม่มีองค์ประกอบเชิงบวก จากนั้นเราก็สรุปได้ว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เอฟ→∞ ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด

3. แถวดัชนีมีองค์ประกอบเชิงลบซึ่งมีองค์ประกอบเชิงบวกอย่างน้อยหนึ่งรายการในคอลัมน์ จากนั้นเราไปยังขั้นตอนต่อไป III เราคำนวณตารางใหม่ ปรับปรุงแผนอ้างอิง

สามเวที- การปรับปรุงแผนอ้างอิง

จากองค์ประกอบลบของดัชนี เอฟ-rows เลือกอันที่มีโมดูลัสที่ใหญ่ที่สุด เรียกการแก้ไขคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องและทำเครื่องหมายด้วย ""

ในการเลือกแถวการแก้ปัญหา จำเป็นต้องคำนวณอัตราส่วนขององค์ประกอบของคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ เท่านั้นถึง เชิงบวกองค์ประกอบของคอลัมน์ความละเอียด เลือกอันที่น้อยที่สุดจากความสัมพันธ์ที่ได้รับ องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องซึ่งถึงจุดต่ำสุดเรียกว่าการแก้ไข เราจะเน้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ในตัวอย่างของเรา องค์ประกอบที่ 2 ได้รับอนุญาต เส้นที่สอดคล้องกับองค์ประกอบนี้เรียกว่าการแก้ไข (ตารางที่ 3.5)

ตารางที่ 3.5

เมื่อเลือกองค์ประกอบที่อนุญาตแล้ว เราจะคำนวณตารางใหม่ตามกฎ:

1. ในตารางใหม่ที่มีขนาดเหมือนเดิม ตัวแปรของแถวและคอลัมน์การแก้ไขจะถูกสลับ ซึ่งสอดคล้องกับการเปลี่ยนไปใช้พื้นฐานใหม่ ในตัวอย่างของเรา: เอ็กซ์ 1 จะรวมอยู่ในฐานแทน เอ็กซ์ 5 ซึ่งออกจากพื้นฐานและตอนนี้ว่างแล้ว (ตาราง 3.6)

ตารางที่ 3.6

ขั้นพื้นฐาน			ฟรี

2. แทนที่องค์ประกอบการแก้ปัญหา 2 ให้เขียนหมายเลขผกผัน

3. เราแบ่งองค์ประกอบของเส้นความละเอียดตามองค์ประกอบความละเอียด

4. เราแบ่งองค์ประกอบของคอลัมน์ความละเอียดตามองค์ประกอบความละเอียดแล้วเขียนด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

5. เพื่อเติมองค์ประกอบที่เหลือของตาราง 3.6 ให้คำนวณใหม่โดยใช้กฎสี่เหลี่ยม สมมติว่าเราต้องการนับองค์ประกอบที่ตำแหน่ง 50

เราเชื่อมโยงองค์ประกอบนี้กับองค์ประกอบที่กำลังแก้ไขทางจิตใจ ค้นหาผลิตภัณฑ์ ลบผลคูณขององค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมอีกด้านของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ เราแบ่งความแตกต่างตามองค์ประกอบการแก้ไข

ดังนั้น, . เราเขียน 10 ตรงที่มี 50. ในทำนองเดียวกัน :

, , , .

ตารางที่ 3.7

เรามีตารางใหม่ 3.7 ตัวแปรพื้นฐานตอนนี้เป็นตัวแปร (x 3,x 4,x 1) ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เท่ากับ -200 นั่นคือ ลดลง หากต้องการตรวจสอบโซลูชันพื้นฐานนี้เพื่อความเหมาะสมที่สุด เราต้องไปที่ขั้นตอนที่ 2 อีกครั้ง กระบวนการนี้มีขอบเขตชัดเจน เกณฑ์การหยุดคือจุดที่ 1 และ 2 ของระยะที่ 2

มาแก้ไขปัญหาให้เสร็จสิ้น ในการดำเนินการนี้ ให้ตรวจสอบเส้นดัชนีและเมื่อเห็นองค์ประกอบเชิงลบในนั้น ให้เรียกการแก้ไขคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง และตามขั้นตอนที่ 3 ให้คำนวณตารางใหม่ เมื่อรวบรวมความสัมพันธ์และเลือกค่าต่ำสุด = 40 แล้วเราได้กำหนดองค์ประกอบการแก้ไข 1 ตอนนี้เราดำเนินการคำนวณใหม่ตามกฎข้อ 2-5

ตารางที่ 3.8

ขั้นพื้นฐาน			ฟรี
	x 3 = 30, เอ็กซ์ 2 = 40, เอ็กซ์ 1 = 20 ตัวแปรอิสระคือ 0 เอ็กซ์ 5 = 0, เอ็กซ์ 4 = 0 ฟังก์ชันวัตถุประสงค์รับค่าขององค์ประกอบสุดท้ายของคอลัมน์เงื่อนไขอิสระที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม: - เอฟ = -220 เอฟ = 220 ในตัวอย่างของเรา ฟังก์ชันถูกตรวจสอบที่ค่าต่ำสุดและในตอนแรก เอฟสูงสุด ดังนั้นเครื่องหมายจึงเปลี่ยนสองครั้ง ดังนั้น, เอ็กซ์* = (20, 40, 30, 0, 0), เอฟ* = 220 ตอบคำถาม: จำเป็นต้องรวมผลิตภัณฑ์ประเภท 20 รายการไว้ในแผนการผลิต ก, 40 ผลิตภัณฑ์ประเภท B ในขณะที่กำไรจะสูงสุดและจะเท่ากับ 220 รูเบิล ในตอนท้ายของส่วนนี้เราจะนำเสนอผังงานของอัลกอริธึมวิธี simplex ซึ่งทำซ้ำขั้นตอนต่างๆ อย่างแน่นอน แต่บางทีสำหรับผู้อ่านบางคนจะสะดวกกว่าในการใช้งานเนื่องจากลูกศรระบุทิศทางของการกระทำที่ชัดเจน ลิงก์ด้านบนกล่องในผังงานจะระบุระยะหรือจุดย่อยของกลุ่มการแปลงที่เกี่ยวข้อง กฎสำหรับการค้นหาแผนอ้างอิงเบื้องต้นจะถูกกำหนดไว้ในย่อหน้าที่ 3.7 คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง 1. ตาราง Simplex ถูกสร้างมาอย่างไร? 2. การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานสะท้อนให้เห็นในตารางอย่างไร? 3. กำหนดเกณฑ์การหยุดสำหรับวิธีซิมเพล็กซ์ 4. จะจัดระเบียบการคำนวณตารางใหม่ได้อย่างไร? 5. บรรทัดใดที่สะดวกในการเริ่มคำนวณตารางใหม่?

- อัลกอริธึมวิธี Simplex

ตัวอย่างที่ 5.1แก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์:

สารละลาย:

ฉัน การวนซ้ำ:

x3, x4, x5, x6 x1,x2- เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระกัน:

ให้เราลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

จากปัญหาที่ได้รับ เราจะสร้างตารางซิมเพล็กซ์เริ่มต้น:

ตารางที่ 5.3

ตารางเริมดั้งเดิม

				ความสัมพันธ์แบบประเมินผล

ตามคำจำกัดความของวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน ตัวแปรอิสระจะเท่ากับศูนย์ และค่าของตัวแปรพื้นฐานจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของตัวเลขอิสระ เช่น:

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบจำกัด PAP

ในการวนซ้ำนี้ (ในตาราง 5.3) ไม่ได้ระบุสัญญาณของความไม่สอดคล้องกันของระบบจำกัด (เครื่องหมาย 1) (เช่น ไม่มีเส้นตรงที่มีจำนวนอิสระเป็นลบ (ยกเว้นเส้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์) ซึ่งจะไม่มี มีองค์ประกอบเชิงลบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ (เช่น . สัมประสิทธิ์เชิงลบสำหรับตัวแปรอิสระ))

ในการวนซ้ำนี้ (ในตารางที่ 5.3) ไม่ได้ระบุเครื่องหมายของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ไม่มีขอบเขต (เครื่องหมาย 2) (เช่น ไม่มีคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบลบในแถวของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ยกเว้นคอลัมน์ของจำนวนอิสระ) ) โดยจะไม่มีองค์ประกอบเชิงบวกอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ)

เนื่องจากโซลูชันพื้นฐานที่พบไม่มีส่วนประกอบที่เป็นลบ จึงยอมรับได้

ขั้นที่ 6: การตรวจสอบความเหมาะสมที่สุด

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบไม่เหมาะสมเนื่องจากตามเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมที่สุด (เครื่องหมาย 4) ไม่ควรมีองค์ประกอบเชิงลบในบรรทัดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (จำนวนอิสระของบรรทัดนี้จะไม่นำมาพิจารณาเมื่อพิจารณาเกณฑ์นี้) ดังนั้นตามอัลกอริธึมวิธี simplex เราจึงไปยังขั้นตอนที่ 8

เนื่องจากสามารถใช้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบได้ เราจะค้นหาคอลัมน์การแก้ไขตามรูปแบบต่อไปนี้: เรากำหนดคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเชิงลบในแถวของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ยกเว้นคอลัมน์ของตัวเลขอิสระ) ตามตารางที่ 5.3 มีสองคอลัมน์ดังกล่าว: คอลัมน์ “ x1" และคอลัมน์ " x2- จากคอลัมน์ดังกล่าว จะมีการเลือกคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในแถวของฟังก์ชันเป้าหมาย เธอจะเป็นผู้อนุญาต คอลัมน์ " x2" มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด (–3) เมื่อเทียบกับคอลัมน์ " x1

ในการกำหนดเส้นการแก้ปัญหา เราจะพบว่าอัตราส่วนโดยประมาณเชิงบวกของจำนวนอิสระต่อองค์ประกอบของคอลัมน์การแก้ไขนั้น เส้นที่สอดคล้องกับอัตราส่วนการประเมินเชิงบวกที่น้อยที่สุดนั้นได้รับการยอมรับว่าได้รับการแก้ไขแล้ว

ตารางที่ 5.4

ตารางเริมดั้งเดิม

ในตารางที่ 5.4 ความสัมพันธ์เชิงประเมินเชิงบวกที่เล็กที่สุดสอดคล้องกับเส้น “ x5"จึงจะอนุญาตได้

องค์ประกอบที่ตั้งอยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์การเปิดใช้งานและแถวการเปิดใช้งานได้รับการยอมรับว่าเป็นการเปิดใช้งาน ในตัวอย่างของเรา นี่คือองค์ประกอบที่อยู่ที่จุดตัดของเส้น “ x5" และคอลัมน์ " x2».

องค์ประกอบการแก้ปัญหาจะแสดงหนึ่งพื้นฐานและตัวแปรอิสระหนึ่งตัวที่ต้องสลับในตารางซิมเพล็กซ์เพื่อย้ายไปยังโซลูชันพื้นฐานที่ "ปรับปรุง" ใหม่ ในกรณีนี้สิ่งเหล่านี้คือตัวแปร x5และ x2ในตารางซิมเพล็กซ์ใหม่ (ตาราง 5.5) เราสลับมัน

9.1. การเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบการแก้ไข

องค์ประกอบความละเอียดของตาราง 5.4 จะถูกแปลงดังนี้:

เราป้อนผลลัพธ์ผลลัพธ์ลงในเซลล์ที่คล้ายกันในตาราง 5.5

9.2. การแปลงสตริงความละเอียด

เราแบ่งองค์ประกอบของแถวการหาค่าของตาราง 5.4 ด้วยองค์ประกอบการหาค่าของตารางซิมเพล็กซ์นี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะพอดีกับเซลล์ที่คล้ายกันของตารางซิมเพล็กซ์ใหม่ (ตาราง 5.5) การเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบสตริงความละเอียดแสดงไว้ในตารางที่ 5.5

9.3. การแปลงคอลัมน์ความละเอียด

เราแบ่งองค์ประกอบของคอลัมน์ความละเอียดของตาราง 5.4 ด้วยองค์ประกอบความละเอียดของตารางซิมเพล็กซ์นี้ และผลลัพธ์ที่ได้จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ผลลัพธ์ที่ได้จะพอดีกับเซลล์ที่คล้ายกันของตารางซิมเพล็กซ์ใหม่ (ตารางที่ 5.5) การเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบของคอลัมน์ความละเอียดแสดงไว้ในตารางที่ 5.5

9.4. การแปลงองค์ประกอบที่เหลือของตารางซิมเพล็กซ์

การเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบที่เหลือของตารางซิมเพล็กซ์ (เช่น องค์ประกอบที่ไม่อยู่ในแถวการหาค่าและคอลัมน์การหาค่า) จะดำเนินการตามกฎ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า"

ตัวอย่างเช่น ลองเปลี่ยนองค์ประกอบที่อยู่ที่จุดตัดของเส้น " x3" และคอลัมน์ "" เรามาแสดงแบบมีเงื่อนไขกันเถอะ " x3- ในตาราง 5.4 เราวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในใจ ซึ่งมีจุดยอดหนึ่งอยู่ในเซลล์ที่มีค่าที่เรากำลังเปลี่ยน (เช่นในเซลล์ “ x3") และอีกจุดหนึ่ง (จุดยอดแนวทแยง) อยู่ในเซลล์ที่มีองค์ประกอบแยกส่วน จุดยอดอีกสองจุด (ของเส้นทแยงมุมที่สอง) จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน แล้วค่าที่แปลงไปของเซลล์" x3" จะเท่ากับค่าก่อนหน้าของเซลล์นี้ลบเศษส่วนในตัวส่วนซึ่งเป็นองค์ประกอบการแยกส่วน (จากตาราง 5.4) และในตัวเศษเป็นผลคูณของจุดยอดที่ไม่ได้ใช้อีกสองจุดนั่นคือ:

« x3»: .

ค่าของเซลล์อื่นจะถูกแปลงในทำนองเดียวกัน:

« x3 x1»: ;

« x4»: ;

« x4 x1»: ;

« x6»: ;

« x6 x1»: ;

«»: ;

« x1»: .

จากผลของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ทำให้ได้ตารางซิมเพล็กซ์ใหม่ (ตารางที่ 5.5)

ครั้งที่สอง การวนซ้ำ:

ด่าน 1: วาดตารางซิมเพล็กซ์

ตารางที่ 5.5

โต๊ะซิมเพล็กซ์ครั้งที่สอง การวนซ้ำ

				โดยประมาณ ความสัมพันธ์

ขั้นที่ 2: การกำหนดวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน

จากผลของการแปลงด้านเดียว ทำให้ได้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานใหม่ (ตาราง 5.5):

อย่างที่คุณเห็น เมื่อใช้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานนี้ ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ = 15 ซึ่งมากกว่าวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานก่อนหน้านี้

ไม่ได้ระบุความไม่สอดคล้องกันของระบบข้อจำกัดตามคุณลักษณะ 1 ในตาราง 5.5

ขั้นที่ 4: ตรวจสอบขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ไม่มีการเปิดเผยความไม่มีขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ตามเกณฑ์ 2 ในตาราง 5.5

ขั้นตอนที่ 5: การตรวจสอบการยอมรับของโซลูชันพื้นฐานที่พบ

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบตามเกณฑ์ 4 นั้นไม่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากเส้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของตารางซิมเพล็กซ์ (ตารางที่ 5.5) มีองค์ประกอบเชิงลบ: –2 (จำนวนอิสระของบรรทัดนี้จะไม่นำมาพิจารณาเมื่อพิจารณาสิ่งนี้ ลักษณะ) ดังนั้นเราจึงก้าวไปสู่ขั้นที่ 8

ขั้นตอนที่ 8: การกำหนดองค์ประกอบการแก้ไข

8.1. คำจำกัดความของคอลัมน์ความละเอียด

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบเป็นที่ยอมรับได้ เราจะกำหนดคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเชิงลบในแถวของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ยกเว้นคอลัมน์ของตัวเลขอิสระ) ตามตารางที่ 5.5 มีเพียงคอลัมน์เดียวเท่านั้น: “ x1- ดังนั้นเราจึงยอมรับตามที่ได้รับอนุญาต

8.2. คำจำกัดความของสตริงที่เปิดใช้งาน

ตามค่าที่ได้รับของความสัมพันธ์เชิงประเมินเชิงบวกในตาราง 5.6 ค่าต่ำสุดคือความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกับเส้น “ x3- ดังนั้นเราจึงยอมรับตามที่ได้รับอนุญาต

ตารางที่ 5.6

โต๊ะซิมเพล็กซ์ครั้งที่สอง การวนซ้ำ

				โดยประมาณ ความสัมพันธ์
				3/1=3 – นาที

ขั้นที่ 9: การเปลี่ยนแปลงของตารางซิมเพล็กซ์

การแปลงตารางซิมเพล็กซ์ (ตาราง 5.6) จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในการวนซ้ำครั้งก่อน ผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบของตารางซิมเพล็กซ์แสดงไว้ในตารางที่ 5.7

สาม การวนซ้ำ

จากผลลัพธ์ของการแปลงแบบซิมเพล็กซ์ของการวนซ้ำครั้งก่อน เราจะสร้างตารางซิมเพล็กซ์ใหม่:

ตารางที่ 5.7

โต๊ะซิมเพล็กซ์สาม การวนซ้ำ

				โดยประมาณ ความสัมพันธ์

ขั้นที่ 2: การกำหนดวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน

จากผลของการแปลงด้านเดียว ทำให้ได้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานใหม่ (ตาราง 5.7):

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบข้อ จำกัด

ไม่ได้ระบุความไม่สอดคล้องกันของระบบข้อจำกัดตามคุณลักษณะ 1 ในตาราง 5.7

ขั้นที่ 4: ตรวจสอบขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ไม่มีการเปิดเผยความไม่มีขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ตามเกณฑ์ 2 ในตาราง 5.7

ขั้นตอนที่ 5: การตรวจสอบการยอมรับของโซลูชันพื้นฐานที่พบ

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบตามเกณฑ์ 3 เป็นที่ยอมรับเนื่องจากไม่มีส่วนประกอบเชิงลบ

ขั้นตอนที่ 6: การตรวจสอบความเหมาะสมของโซลูชันพื้นฐานที่พบ

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบตามเกณฑ์ 4 นั้นไม่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากเส้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของตารางซิมเพล็กซ์ (ตารางที่ 5.7) มีองค์ประกอบเชิงลบ: –3 (จำนวนอิสระของบรรทัดนี้จะไม่นำมาพิจารณาเมื่อพิจารณาสิ่งนี้ ลักษณะ) ดังนั้นเราจึงก้าวไปสู่ขั้นที่ 8

ขั้นตอนที่ 8: การกำหนดองค์ประกอบการแก้ไข

8.1. คำจำกัดความของคอลัมน์ความละเอียด

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบเป็นที่ยอมรับได้ เราจะกำหนดคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเชิงลบในแถวของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ยกเว้นคอลัมน์ของตัวเลขอิสระ) ตามตารางที่ 5.7 มีเพียงคอลัมน์เดียวเท่านั้น: “ x5- ดังนั้นเราจึงยอมรับตามที่ได้รับอนุญาต

8.2. คำจำกัดความของสตริงที่เปิดใช้งาน

ตามค่าที่ได้รับของความสัมพันธ์เชิงประเมินเชิงบวกในตาราง 5.8 ค่าต่ำสุดคือความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกับเส้น “ x4- ดังนั้นเราจึงยอมรับตามที่ได้รับอนุญาต

ตารางที่ 5.8

โต๊ะซิมเพล็กซ์สาม การวนซ้ำ

				โดยประมาณ ความสัมพันธ์
				5/5=1 – นาที

ขั้นที่ 9: การเปลี่ยนแปลงของตารางซิมเพล็กซ์

การแปลงตารางซิมเพล็กซ์ (ตาราง 5.8) จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการวนซ้ำครั้งก่อน ผลลัพธ์ของการแปลงองค์ประกอบของตารางซิมเพล็กซ์แสดงไว้ในตารางที่ 5.9

IV การวนซ้ำ

ขั้นตอนที่ 1: การสร้างตารางซิมเพล็กซ์ใหม่

จากผลลัพธ์ของการแปลงแบบซิมเพล็กซ์ของการวนซ้ำครั้งก่อน เราจะสร้างตารางซิมเพล็กซ์ใหม่:

ตารางที่ 5.9

โต๊ะซิมเพล็กซ์IV การวนซ้ำ

				โดยประมาณ ความสัมพันธ์
			–(–3/5)=3/5
			–(1/5)=–1/5
			–(9/5)=–9/5
			–(–3/5)=3/5

ขั้นที่ 2: การกำหนดวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน

จากผลของการแปลงด้านเดียว จะได้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานใหม่ ตามตารางที่ 5.9 จะได้คำตอบดังนี้:

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบข้อ จำกัด

ไม่ได้ระบุความไม่สอดคล้องกันของระบบข้อจำกัดตามคุณลักษณะ 1 ในตาราง 5.9

ขั้นที่ 4: ตรวจสอบขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ไม่มีการเปิดเผยความไม่มีขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ตามเกณฑ์ 2 ในตาราง 5.9

ขั้นตอนที่ 5: การตรวจสอบการยอมรับของโซลูชันพื้นฐานที่พบ

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบตามเกณฑ์ 3 เป็นที่ยอมรับเนื่องจากไม่มีส่วนประกอบเชิงลบ

ขั้นตอนที่ 6: การตรวจสอบความเหมาะสมของโซลูชันพื้นฐานที่พบ

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่พบตามคุณลักษณะ 4 นั้นเหมาะสมที่สุด เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบเชิงลบในบรรทัดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของตารางซิมเพล็กซ์ (ตารางที่ 5.9) (จำนวนว่างของบรรทัดนี้จะไม่นำมาพิจารณาเมื่อพิจารณาคุณลักษณะนี้) .

ขั้นตอนที่ 7: การตรวจสอบทางเลือกของโซลูชัน

วิธีแก้ปัญหาที่พบนั้นไม่เหมือนใคร เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ในบรรทัดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ตาราง 5.9) (จำนวนว่างของบรรทัดนี้จะไม่นำมาพิจารณาเมื่อพิจารณาคุณลักษณะนี้)

คำตอบ: ค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาที่กำลังพิจารณา =24 ซึ่งบรรลุได้ที่

ตัวอย่างที่ 5.2แก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นข้างต้น โดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถูกย่อให้เล็กสุด:

สารละลาย:

ฉัน การวนซ้ำ:

ขั้นที่ 1: การก่อตัวของตารางซิมเพล็กซ์เริ่มต้น

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเดิมมีให้ในรูปแบบมาตรฐาน ขอให้เรานำมันมาสู่รูปแบบมาตรฐานโดยการเพิ่มตัวแปรที่ไม่เป็นลบเพิ่มเติมเข้าไปในข้อจำกัดของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละข้อ เช่น

ในระบบสมการผลลัพธ์ เราถือว่าตัวแปรที่อนุญาต (พื้นฐาน) x3, x4, x5, x6จากนั้นตัวแปรอิสระจะเป็น x1,x2- ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของ ZLP โดยใช้วิธี simplex และนำเสนอโดยสัมพันธ์กับปัญหาการขยายใหญ่สุด

1. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะถูกรวบรวมตามเงื่อนไขของปัญหา

2. โมเดลที่เสร็จสมบูรณ์จะถูกแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน ในกรณีนี้ สามารถระบุพื้นฐานพร้อมแผนอ้างอิงเบื้องต้นได้

3. โมเดล Canonical ของปัญหาถูกเขียนในรูปแบบของตารางซิมเพล็กซ์ เพื่อให้เงื่อนไขอิสระทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ หากเลือกแผนอ้างอิงเริ่มต้น ให้ดำเนินการขั้นตอนที่ 5

ตาราง Simplex: ระบบของสมการจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกป้อนในรูปแบบของนิพจน์ที่ได้รับการแก้ไขโดยสัมพันธ์กับพื้นฐานเริ่มต้น แถวที่เขียนค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ F เรียกว่าแถว F หรือแถวฟังก์ชันวัตถุประสงค์

4. ค้นหาแผนอ้างอิงเบื้องต้นโดยดำเนินการแปลงซิมเพล็กซ์ด้วยองค์ประกอบการหาค่าเชิงบวกที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ซิมเพล็กซ์ขั้นต่ำ และไม่คำนึงถึงสัญญาณขององค์ประกอบ F-แถว หากในระหว่างการแปลงพบแถว 0 องค์ประกอบทั้งหมดเป็นศูนย์ ยกเว้นเทอมอิสระ ระบบสมการจำกัดสำหรับปัญหาจะไม่สอดคล้องกัน หากเราพบแถว 0 ซึ่งนอกจากเทอมอิสระแล้ว ไม่มีองค์ประกอบเชิงบวกอื่นๆ แล้ว ระบบสมการจำกัดก็ไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นลบ

ระบบรีดิวซ์ (2.55), (2.56) ให้เป็นค่าพื้นฐานใหม่จะเรียกว่าการแปลงแบบซิมเพล็กซ์ หากการแปลงซิมเพล็กซ์ถือเป็นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตอย่างเป็นทางการ เราจะสังเกตได้ว่าจากการดำเนินการนี้ บทบาทจะถูกกระจายใหม่ระหว่างตัวแปรสองตัวที่รวมอยู่ในระบบหนึ่งของฟังก์ชันเชิงเส้น: ตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนจากขึ้นอยู่กับไปสู่อิสระ และอีกตัวแปรหนึ่ง ตรงกันข้ามจากอิสระไปสู่การพึ่งพา การดำเนินการนี้เป็นที่รู้จักในพีชคณิตว่าเป็นขั้นตอนการกำจัดของจอร์แดน

5. แผนการสนับสนุนเบื้องต้นที่พบได้รับการตรวจสอบเพื่อความเหมาะสมที่สุด:

ก) หากไม่มีองค์ประกอบเชิงลบในแถว F (ไม่นับระยะเวลาอิสระ) แสดงว่าแผนนั้นเหมาะสมที่สุด หากไม่มีศูนย์ แสดงว่ามีแผนที่เหมาะสมเพียงแผนเดียวเท่านั้น หากมีอย่างน้อยหนึ่งศูนย์แสดงว่ามีแผนที่เหมาะสมที่สุดจำนวนไม่สิ้นสุด

b) หากมีองค์ประกอบลบอย่างน้อยหนึ่งรายการในแถว F ซึ่งสอดคล้องกับคอลัมน์ขององค์ประกอบที่ไม่เป็นบวก<

c) หากมีองค์ประกอบเชิงลบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในแถว F และมีองค์ประกอบเชิงบวกอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในคอลัมน์ คุณสามารถย้ายไปยังแผนอ้างอิงใหม่ที่ใกล้กับองค์ประกอบที่เหมาะสมที่สุดมากขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คอลัมน์ที่ระบุต้องถูกกำหนดให้เป็นคอลัมน์การแก้ปัญหา โดยใช้อัตราส่วนซิมเพล็กซ์ขั้นต่ำ ค้นหาแถวการหาค่า และดำเนินการแปลงซิมเพล็กซ์ แผนอ้างอิงผลลัพธ์จะได้รับการตรวจสอบอีกครั้งเพื่อความเหมาะสมที่สุด กระบวนการที่อธิบายไว้จะถูกทำซ้ำจนกว่าจะได้แผนการที่เหมาะสมที่สุดหรือจนกว่าจะสร้างปัญหาที่แก้ไขไม่ได้

คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรที่รวมอยู่ในพื้นฐานเรียกว่าการแก้ไข ดังนั้น โดยการเลือกตัวแปรที่นำมาใช้ในพื้นฐาน (หรือการเลือกคอลัมน์การแก้ไข) โดยยึดตามองค์ประกอบลบของแถว F เราจึงมั่นใจได้ว่าฟังก์ชัน F จะเพิ่มขึ้น

การกำหนดตัวแปรที่จะแยกออกจากพื้นฐานจะยากขึ้นเล็กน้อย ในการทำเช่นนี้พวกเขาเขียนอัตราส่วนของเงื่อนไขอิสระกับองค์ประกอบเชิงบวกของคอลัมน์การแก้ไข (ความสัมพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าซิมเพล็กซ์) และค้นหาค่าที่เล็กที่สุดในหมู่พวกเขาซึ่งกำหนดแถว (การแก้ไข) ที่มีตัวแปรที่ถูกแยกออก การเลือกตัวแปรที่ไม่รวมอยู่ในพื้นฐาน (หรือการเลือกเส้นแบ่ง) ตามการรับประกันความสัมพันธ์เชิงซิมเพล็กซ์ขั้นต่ำ ตามที่ได้กำหนดไว้แล้ว ความเป็นบวกของส่วนประกอบพื้นฐานในแผนอ้างอิงใหม่

ในจุดที่ 3 ของอัลกอริทึม จะถือว่าองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์เงื่อนไขอิสระไม่เป็นค่าลบ ข้อกำหนดนี้ไม่จำเป็น แต่ถ้าเป็นไปตามนั้น การแปลงซิมเพล็กซ์ที่ตามมาทั้งหมดจะดำเนินการเฉพาะกับองค์ประกอบการแยกค่าเชิงบวกเท่านั้น ซึ่งสะดวกสำหรับการคำนวณ หากมีตัวเลขติดลบในคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ องค์ประกอบการแก้ปัญหาจะถูกเลือกดังนี้:

1) ดูแถวที่สอดคล้องกับคำศัพท์อิสระเชิงลบบางคำ เช่น t-row และเลือกองค์ประกอบเชิงลบบางส่วนในนั้น และคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องจะถูกนำมาแก้ไข (เราถือว่าข้อ จำกัด ของปัญหาสอดคล้องกัน)

2) สร้างความสัมพันธ์ขององค์ประกอบของคอลัมน์เงื่อนไขอิสระกับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์การแก้ไขที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน (ความสัมพันธ์แบบซิมเพล็กซ์)

3) เลือกความสัมพันธ์แบบซิมเพล็กซ์ที่เล็กที่สุด นี่จะกำหนดสตริงการเปิดใช้งาน ปล่อยให้มันเป็น เช่น p-string;

4) ที่จุดตัดของคอลัมน์และแถวการแก้ไข จะพบองค์ประกอบการแก้ไข หากองค์ประกอบของแถว y กำลังหาค่าได้ หลังจากการแปลงแบบซิมเพล็กซ์แล้ว เทอมอิสระของแถวนี้จะกลายเป็นบวก มิฉะนั้น ขั้นตอนถัดไปจะกลับไปที่ t-string หากปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วหลังจากผ่านไปหลายขั้นตอนจะไม่มีองค์ประกอบเชิงลบเหลืออยู่ในคอลัมน์คำศัพท์อิสระ

การค้นหาแผนอ้างอิงเบื้องต้น มุมมองมาตรฐานของ ZLP

แนวคิดของการปรับปรุงการแก้ปัญหาตามลำดับเป็นพื้นฐานของวิธีการสากลสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น - วิธีซิมเพล็กซ์หรือวิธีการปรับปรุงแผนตามลำดับ

ความหมายทางเรขาคณิตของวิธีซิมเพล็กซ์ประกอบด้วยการเปลี่ยนตามลำดับจากจุดยอดหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมจำกัด (เรียกว่าจุดเริ่มต้น) ไปยังจุดที่อยู่ติดกัน ซึ่งฟังก์ชันเชิงเส้นจะใช้ค่าที่ดีที่สุด (อย่างน้อยก็ไม่ใช่ค่าที่แย่ที่สุด) สัมพันธ์กับ เป้าหมายของปัญหา จนกว่าจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด - จุดยอดที่บรรลุค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันเป้าหมาย (หากปัญหามีจุดสุดยอดสุดท้าย)

วิธีซิมเพล็กซ์ถูกเสนอครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน J. Danzig ในปี 1949 แต่ย้อนกลับไปในปี 1939 แนวคิดของวิธีนี้ได้รับการพัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย L.V. คันโตโรวิช

วิธีซิมเพล็กซ์ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นได้นั้นเป็นสากล ปัจจุบันใช้สำหรับการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ตัวอย่างง่ายๆ ที่ใช้วิธีการ Simplex สามารถแก้ไขได้ด้วยตนเอง

หากต้องการใช้วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ - การปรับปรุงโซลูชันอย่างต่อเนื่อง - จำเป็นต้องเชี่ยวชาญองค์ประกอบหลักสามประการ:

วิธีการกำหนดแนวทางแก้ไขปัญหาเบื้องต้นที่เป็นไปได้เบื้องต้น

กฎแห่งการเปลี่ยนผ่านไปสู่วิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด (แม่นยำยิ่งขึ้นไม่แย่ลง)

เกณฑ์ในการตรวจสอบความเหมาะสมของโซลูชันที่พบ

หากต้องการใช้วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นจะต้องถูกลดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เช่น ต้องนำเสนอระบบข้อจำกัดในรูปสมการ

เอกสารอธิบายในรายละเอียดที่เพียงพอ: การค้นหาแผนอ้างอิงเบื้องต้น (วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้เบื้องต้น) รวมถึงการใช้วิธีการพื้นฐานเทียม การค้นหาแผนอ้างอิงที่เหมาะสมที่สุด การแก้ปัญหาโดยใช้ตารางซิมเพล็กซ์

58. ทฤษฎีบทหลักของวิธีซิมเพล็กซ์

???????????????????????????????????????????????????????????????????????

59. ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุดใน ZLP ความเสื่อมใน ZLP

ความเสื่อมในปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

เมื่อพิจารณาวิธีซิมเพล็กซ์ เราสันนิษฐานว่าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นนั้นไม่ได้เสื่อมลง กล่าวคือ แผนสนับสนุนแต่ละแผนประกอบด้วยองค์ประกอบเชิงบวก m รายการ โดยที่ m คือจำนวนข้อจำกัดในปัญหา ในแผนการสนับสนุนที่เสื่อมลง จำนวนของส่วนประกอบเชิงบวกจะน้อยกว่าจำนวนข้อจำกัด: ตัวแปรพื้นฐานบางตัวที่สอดคล้องกับแผนการสนับสนุนที่กำหนดจะใช้ค่าเป็นศูนย์ การใช้การตีความทางเรขาคณิตสำหรับกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อ n - m = 2 (จำนวนตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐานคือ 2) เป็นเรื่องง่ายที่จะแยกแยะปัญหาที่เสื่อมลงจากปัญหาที่ไม่เสื่อมลง ในปัญหาที่เสื่อมลง ที่จุดยอดหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีเงื่อนไข มีเส้นตรงมากกว่าสองเส้นตัดกัน ซึ่งอธิบายโดยสมการในรูปแบบ xi = 0 ซึ่งหมายความว่าด้านหนึ่งหรือหลายเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมที่มีเงื่อนไขหดตัวเข้ากับจุดหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน สำหรับ n - m = 3 ในปัญหาความเสื่อม มีระนาบมากกว่า 3 ระนาบตัดกันที่จุดยอด xi = 0 ภายใต้สมมติฐานที่ว่าปัญหาไม่เกิดขึ้น

มีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ใช้กำหนดดัชนีของเวกเตอร์ของเงื่อนไขที่ได้มาจากพื้นฐาน (ตัวแปรที่ได้มาจากพื้นฐาน) ใน

ปัญหาความเสื่อมสามารถทำได้ในหลายดัชนีพร้อมกัน (สำหรับหลายแถว) ในกรณีนี้ ในแผนอ้างอิงที่พบ ตัวแปรพื้นฐานหลายตัวจะเป็นศูนย์ หากปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นปรากฏว่าแย่ลง เมื่อเลือกเวกเตอร์ของเงื่อนไขที่ได้รับจากพื้นฐานได้ไม่ดี การเคลื่อนไหวที่ไม่มีที่สิ้นสุดไปตามฐานของแผนอ้างอิงเดียวกันอาจเกิดขึ้นได้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าปรากฏการณ์วนซ้ำ แม้ว่าการวนซ้ำจะค่อนข้างหายากในปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเชิงปฏิบัติ แต่ก็ไม่รวมถึงความเป็นไปได้ วิธีหนึ่งในการจัดการกับความเสื่อมคือการเปลี่ยนแปลงปัญหาโดยการเปลี่ยนเวกเตอร์ทางด้านขวามือของระบบข้อจำกัดเกี่ยวกับปริมาณ "เล็กน้อย" ในลักษณะที่ทำให้ปัญหาไม่เสื่อมลง และในขณะเดียวกัน เวลาเพื่อให้การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อแผนการแก้ไขปัญหาที่เหมาะสมที่สุด อัลกอริธึมที่ใช้กันโดยทั่วไปประกอบด้วยกฎง่ายๆ บางประการที่ลดโอกาสที่ลูปจะเกิดขึ้นหรือถูกเอาชนะ ปล่อยให้ตัวแปร xj จำเป็นต้องสร้างเป็นพื้นฐาน ลองพิจารณาดู

ชุดของดัชนี E0 ประกอบด้วยดัชนี i ที่ได้รับ เราแสดงชุดของดัชนี i ที่เงื่อนไขนี้เป็นไปตาม E0 ถ้า E0 ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว ดังนั้นเวกเตอร์ของเงื่อนไข Ai จะถูกแยกออกจากพื้นฐาน (ตัวแปร xi ถูกทำให้ไม่ใช่พื้นฐาน) หาก E0 ประกอบด้วยองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบ เซต E1 จะถูกสร้างขึ้นซึ่งประกอบด้วย ซึ่ง . ถ้า E1 ประกอบด้วยหนึ่งดัชนี k ดังนั้นตัวแปร xk จะได้มาจากฐาน มิฉะนั้นจะเกิดเซต E2 เป็นต้น ในทางปฏิบัติ ควรใช้กฎหากตรวจพบการปั่นจักรยานแล้ว

ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุดใน ZLP ????????????????????????????

60. วิธีการพื้นฐานประดิษฐ์ M-งาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างวิธีแก้ปัญหาของปัญหาเดิมกับปัญหา M

วิธีการพื้นฐานประดิษฐ์

วิธีพื้นฐานเทียมใช้เพื่อค้นหาวิธีแก้ไขพื้นฐานที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เมื่อเงื่อนไขมีข้อจำกัดประเภทความเท่าเทียมกัน พิจารณาปัญหา:

สูงสุด(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0)

สิ่งที่เรียกว่า "ตัวแปรเทียม" Rj ถูกนำมาใช้ในข้อจำกัดและฟังก์ชันเป้าหมายดังต่อไปนี้:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

เมื่อแนะนำตัวแปรเทียมในวิธีพื้นฐานเทียมเข้าไปในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ตัวแปรเหล่านั้นจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์ M ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ซึ่งมีความหมายเป็นบทลงโทษสำหรับการแนะนำตัวแปรเทียม ในกรณีของการย่อให้เล็กสุด ตัวแปรเทียมจะถูกเพิ่มเข้าไปในฟังก์ชันเป้าหมายด้วยสัมประสิทธิ์ M อนุญาตให้นำตัวแปรเทียมมาใช้ได้ หากตัวแปรเหล่านั้นหายไปอย่างต่อเนื่องในกระบวนการแก้ปัญหา

ตารางซิมเพล็กซ์ซึ่งรวบรวมระหว่างกระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีพื้นฐานเทียมเรียกว่าแบบขยาย มันแตกต่างจากบรรทัดปกติตรงที่ประกอบด้วยสองบรรทัดสำหรับฟังก์ชันเป้าหมาย: บรรทัดหนึ่งสำหรับองค์ประกอบ F = ∑cixi และอีกบรรทัดสำหรับองค์ประกอบ M ∑Rj ลองพิจารณาขั้นตอนในการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน F(x) = -x1 + 2x2 - x3 ภายใต้ข้อจำกัด:

x1≥0, x2≥0, x3≥0

ลองใช้วิธีพื้นฐานประดิษฐ์ เรามาแนะนำตัวแปรเทียมในข้อจำกัดของปัญหากันดีกว่า

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2 ;

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2)

ลองแสดงผลรวม R1 + R2 จากระบบข้อจำกัด: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3 แล้ว F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3)

เมื่อรวบรวมตารางซิมเพล็กซ์แรก (ตารางที่ 1) เราจะถือว่าตัวแปรดั้งเดิม x1, x2, x3 ไม่ใช่ตัวแปรพื้นฐาน และตัวแปรเทียมที่แนะนำนั้นเป็นตัวแปรพื้นฐาน ในปัญหาการขยายใหญ่สุด เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐานในแถว F และ M จะกลับกัน เครื่องหมายของค่าคงที่ในเส้น M ไม่มีการเปลี่ยนแปลง การเพิ่มประสิทธิภาพจะดำเนินการก่อนตามแนว M-line การเลือกคอลัมน์และแถวนำหน้า การแปลงซิมเพล็กซ์ทั้งหมดเมื่อใช้วิธีการพื้นฐานเทียมจะดำเนินการเช่นเดียวกับวิธีซิมเพล็กซ์ปกติ

ค่าสัมประสิทธิ์ลบสูงสุดในค่าสัมบูรณ์ (-4) จะกำหนดคอลัมน์นำหน้าและตัวแปร x3 ซึ่งจะเข้าสู่ฐาน อัตราส่วนซิมเพล็กซ์ขั้นต่ำ (2/3) สอดคล้องกับแถวที่สองของตาราง ดังนั้น ตัวแปร R2 จะต้องถูกแยกออกจากพื้นฐาน มีโครงร่างองค์ประกอบนำหน้าไว้

ในวิธีการพื้นฐานประดิษฐ์ ตัวแปรเทียมที่ถูกแยกออกจากพื้นฐานจะไม่ถูกส่งกลับไปยังตัวแปรนั้นอีกต่อไป ดังนั้นจึงละเว้นคอลัมน์ขององค์ประกอบของตัวแปรดังกล่าว โต๊ะ 2.ลดลง 1 คอลัมน์ ดำเนินการคำนวณตารางนี้ใหม่ เราจะไปที่ตาราง 3.ซึ่งเส้น M ที่ถูกรีเซ็ตแล้วก็สามารถลบออกได้ หลังจากกำจัดตัวแปรประดิษฐ์ทั้งหมดออกจากพื้นฐานแล้ว เราจะได้แนวทางแก้ไขพื้นฐานที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาดั้งเดิม ซึ่งในตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นเหมาะสมที่สุด:

x1=0; x2=7/9; เอฟสูงสุด=8/9.

เมื่อกำจัด M-string หากวิธีแก้ปัญหาไม่เหมาะสมที่สุด ขั้นตอนการปรับให้เหมาะสมจะดำเนินต่อไปและดำเนินการโดยใช้วิธี simplex ตามปกติ ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีข้อจำกัดทุกประเภท: ≤,=,≥

งาน

ค้นหามูลค่าการผลิตที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผลิตภัณฑ์ประเภท A, B และ C ต้นทุนวัตถุดิบต่อหน่วยการผลิต: A – 5, B – 2, C – 4 ปริมาณวัตถุดิบ – 2,000 หน่วย ต้นทุนอุปกรณ์ต่อหน่วยการผลิต: A – 4, B – 5, C – 4 ปริมาณอุปกรณ์ – 1,000 หน่วย กำไรจากการขายหน่วยการผลิต: A – 10, B – 8, C – 12 เกณฑ์คือกำไรสูงสุดขององค์กร การผลิตสินค้า A ต้องมีอย่างน้อย 100 หน่วย การผลิตผลิตภัณฑ์ B ต้องมีอย่างน้อย 50 หน่วย

การแก้ปัญหาซิมเพล็กซ์โดยใช้วิธี M

1) การกำหนดแผนการผลิตที่เหมาะสมที่สุด

ให้ x1, x2, x3 เป็นปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตประเภท A, B, C ตามลำดับ จากนั้นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาจะมีรูปแบบดังนี้

F = 10 x1 + 8 x2 + 12 x3 ->สูงสุด

เราแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0 เพื่อแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้กลายเป็นความเท่าเทียมกัน

ในการเลือกพื้นฐานเริ่มต้น เราแนะนำตัวแปรเทียม x8 ≥ 0, x9 ≥ 0 และตัวเลข M ที่มีขนาดใหญ่มาก (M –> ∞) เราแก้ปัญหาโดยใช้วิธี M

F = 10 x1 + 8 x2 + 12 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 + 0 x7– M x8– M x9 –>สูงสุด

ลองใช้ x4 = 2000 เป็นพื้นฐาน x5 = 1,000; x8 = 100; x9 = 50.

เราป้อนข้อมูลลงในตารางซิมเพล็กซ์

ตาราง Simplex หมายเลข 1

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์:

0 2000 + 0 1000 + (– ม) 100 + (– ม) 50 = – 150M

เราคำนวณค่าประมาณโดยใช้สูตร:

Δ1 = 0 5 + 0 4 + (– ม) 1 + (– ม) 0 – 10 = – ม – 10

Δ2 = 0 2 + 0 5 + (– ม) 0 + (– ม) 1 – 8 = – ม – 8

Δ3 = 0 4 + 0 4 + (– ม) 0 + (– ม) 0 – 12 = – 12

Δ4 = 0 1 + 0 0 + (– ม) 0 + (– ม) 0 – 0 = 0

Δ5 = 0 0 + 0 1 + (– ม) 0 + (– ม) 0 – 0 = 0

Δ6 = 0 0 + 0 0 + (– ม) (–1) + (– ม) 0 – 0 = ม

Δ7 = 0 0 + 0 0 + (– ม) 0 + (– ม) (–1) – 0 = ม

Δ2 = 0 0 + 12 0 + 10 0 + 8 1 – 8 = 0

Δ3 = 0 0 + 12 1 + 10 0 + 8 0 – 12 = 0

Δ4 = 0 1 + 12 0 + 10 0 + 8 0 – 0 = 0

Δ5 = 0 (–1) + 12 1/4 + 10 0 + 8 0 – 0 = 3

Δ6 = 0 1 + 12 1 + 10 (–1) + 8 0 – 0 = 2

Δ7 = 0 · (–3) + 12 · 5/4 + 10 · 0 + 8 · (–1) – 0 = 7

เนื่องจากไม่มีการให้คะแนนติดลบ แผนนี้จึงเหมาะสมที่สุด

วิธีแก้ไขปัญหา: x1 = 100; x2 = 50; x3 = 175/2 = 87.5; x4 = 1,050; x5 = 0; x6 = 0; x7 = 0; เอฟแม็กซ์ = 2450

คำตอบ: x1 = 100; x2 = 50; x3 = 175/2 = 87.5; x4 = 1,050; x5 = 0; x6 = 0; x7 = 0; Fmax = 2450 คือจำเป็นต้องผลิต x1 = 100 หน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภท A, x2 = 50 หน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภท B และ x3 = 87.5 หน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภท C กำไรสูงสุดในกรณีนี้จะเป็น Fmax = 2450 หน่วย

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างวิธีแก้ปัญหาของปัญหาเดิมกับปัญหา M

???????????????????????

หนึ่งในวิธีการแก้ไขปัญหาการปรับให้เหมาะสม ( มักจะเกี่ยวข้องกับการหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุด) การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเรียกว่า . วิธีเริมรวมอัลกอริธึมและวิธีการทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เรียกว่าหนึ่งในวิธีการเหล่านี้ที่เกี่ยวข้องกับการบันทึกข้อมูลต้นฉบับและคำนวณใหม่ในตารางพิเศษ วิธีซิมเพล็กซ์แบบตาราง.

ลองพิจารณาอัลกอริธึมของวิธีตารางซิมเพล็กซ์โดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา งานการผลิตซึ่งมุ่งไปสู่การหาแผนการผลิตที่ให้ผลกำไรสูงสุด

ป้อนข้อมูลสำหรับปัญหาวิธีซิมเพล็กซ์

บริษัทผลิตสินค้า 4 ประเภท แปรรูปด้วยเครื่องจักร 3 เครื่อง

มาตรฐานเวลา (นาที/ชิ้น) สำหรับการแปรรูปผลิตภัณฑ์บนเครื่องจักรระบุโดยเมทริกซ์ A:

กองทุนเวลาการทำงานของเครื่องจักร (นาที) ระบุไว้ในเมทริกซ์ B:

กำไรจากการขายผลิตภัณฑ์แต่ละหน่วย (RUB/ชิ้น) กำหนดโดยเมทริกซ์ C:

วัตถุประสงค์ของงานการผลิต

จัดทำแผนการผลิตที่จะเพิ่มผลกำไรสูงสุดให้กับองค์กร

การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีตารางซิมเพล็กซ์

(1) ให้เราแสดงด้วย X1, X2, X3, X4 จำนวนผลิตภัณฑ์ตามแผนของแต่ละประเภท จากนั้นแผนที่ต้องการ: ( X1, X2, X3, X4)

(2) มาเขียนข้อจำกัดของแผนในรูปแบบของระบบสมการกัน:

(3) จากนั้นกำไรเป้าหมายคือ:

นั่นคือกำไรจากการปฏิบัติตามแผนการผลิตควรสูงสุด

(4) เพื่อแก้ปัญหาปลายสุดตามเงื่อนไขที่เกิดขึ้น เราแทนที่ระบบอสมการด้วยระบบสมการเชิงเส้นโดยแนะนำตัวแปรที่ไม่เป็นลบเพิ่มเติมเข้าไป ( X5, X6, X7).

(5) เรามายอมรับสิ่งต่อไปนี้กันเถอะ แผนอ้างอิง:

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80

(6) มากรอกข้อมูลกัน ตารางเริม:

ในบรรทัดสุดท้าย เราป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และค่าของมันเองด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

(7) เลือกในบรรทัดสุดท้าย ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (โมดูโล่) จำนวนลบ

มาคำนวณกัน b = N / Items_of_the_selected_column

ในบรรดาค่าที่คำนวณได้ของ b เราเลือก น้อยที่สุด.

จุดตัดของคอลัมน์และแถวที่เลือกจะทำให้เราทราบองค์ประกอบการแก้ไข เราเปลี่ยนพื้นฐานเป็นตัวแปรที่สอดคล้องกับองค์ประกอบการแก้ไข ( X5 ถึง X1).

• องค์ประกอบการแก้ไขจะเปลี่ยนเป็น 1
• สำหรับองค์ประกอบของเส้นแก้ไข – a ij (*) = a ij / RE ( นั่นคือเราแบ่งแต่ละองค์ประกอบด้วยค่าขององค์ประกอบที่กำลังแยกและรับข้อมูลใหม่).
• สำหรับองค์ประกอบของคอลัมน์ความละเอียด ส่วนประกอบเหล่านั้นจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์
• เราคำนวณองค์ประกอบที่เหลือของตารางใหม่โดยใช้กฎสี่เหลี่ยม

a ij (*) = a ij – (A * B / RE)

อย่างที่คุณเห็น เราจะนำเซลล์ปัจจุบันที่กำลังคำนวณใหม่และเซลล์ที่มีองค์ประกอบการแก้ปัญหา พวกมันสร้างมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยม ต่อไปเราจะคูณค่าจากเซลล์ของอีก 2 มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ งานนี้ ( ก * บี) หารด้วยองค์ประกอบการแก้ไข ( อีกครั้ง- และลบออกจากเซลล์ปัจจุบันที่กำลังคำนวณใหม่ ( ไอจ) เกิดอะไรขึ้น. เราได้รับค่าใหม่ - อาจ (*).

(9) ตรวจสอบบรรทัดสุดท้ายอีกครั้ง ( ค) บน การมีอยู่ของจำนวนลบ- หากไม่มีก็จะพบแผนการที่เหมาะสมที่สุด เราจะไปยังขั้นตอนสุดท้ายของการแก้ปัญหา หากมี แสดงว่าแผนยังไม่เหมาะสมที่สุด และจำเป็นต้องคำนวณตารางด้านซิมเพล็กซ์อีกครั้ง

เนื่องจากเรามีตัวเลขติดลบในบรรทัดสุดท้ายอีกครั้ง เราจึงเริ่มการคำนวณซ้ำใหม่

(10) เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบเชิงลบในบรรทัดสุดท้าย นั่นหมายความว่าเราพบแผนการผลิตที่เหมาะสมที่สุดแล้ว! กล่าวคือเราจะผลิตผลิตภัณฑ์เหล่านั้นที่ย้ายไปที่คอลัมน์ "พื้นฐาน" - X1 และ X2 เรารู้กำไรจากการผลิตผลผลิตแต่ละหน่วย ( เมทริกซ์ซี- ยังคงทวีคูณปริมาณการผลิตที่พบของผลิตภัณฑ์ 1 และ 2 ด้วยกำไรต่อ 1 ชิ้นเราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย ( ขีดสุด! ) กำไรสำหรับแผนการผลิตที่กำหนด

คำตอบ:

X1 = 32 ชิ้น, X2 = 20 ชิ้น, X3 = 0 ชิ้น, X4 = 0 ชิ้น

P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2,196 ถู

กัลยัตดินอฟ อาร์.อาร์.

© อนุญาตให้คัดลอกเนื้อหาได้เฉพาะในกรณีที่มีไฮเปอร์ลิงก์โดยตรง

โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นจะมีรูปแบบดังนี้

สมการนี้มีคำตอบ: ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งค่าแตกต่างจากศูนย์ ในกรณีนี้ เวกเตอร์มิติใดๆ จะถูกเรียกว่าคำตอบของสมการ หากเมื่อแทนที่พิกัดของมัน สมการจะกลายเป็นเอกลักษณ์

ลักษณะทั่วไปของระบบสมการที่แก้แล้ว

ตัวอย่างที่ 20.1

อธิบายระบบสมการ.

สารละลาย:

1. มีสมการที่ขัดแย้งกันหรือไม่?(หากเป็นสัมประสิทธิ์ในกรณีนี้สมการจะมีรูปแบบ: และเรียกว่า เป็นที่ถกเถียง.)

• หากระบบมีบางสิ่งที่ขัดแย้งกัน แสดงว่าระบบนั้นไม่สอดคล้องกันและไม่มีวิธีแก้ปัญหา

2. ค้นหาตัวแปรที่อนุญาตทั้งหมด. (สิ่งที่ไม่รู้จักเรียกว่าได้รับอนุญาตสำหรับระบบสมการ หากรวมอยู่ในสมการใดสมการของระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ +1 แต่ไม่รวมอยู่ในสมการที่เหลือ (กล่าวคือ รวมเข้ากับค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์)

3. ระบบสมการแก้หรือยัง? (ระบบสมการเรียกว่าระบบแก้โจทย์แล้วหากแต่ละสมการของระบบมีค่าไม่ทราบคำตอบ ซึ่งในนั้นไม่มีค่าที่บังเอิญ)

สิ่งที่ไม่ทราบที่ได้รับการแก้ไข ซึ่งนำมาจากแต่ละสมการของระบบจะก่อตัวขึ้น ไม่ทราบที่แก้ไขแล้วครบชุดระบบ (ในตัวอย่างของเรานี่คือ)

สิ่งที่ไม่ทราบที่อนุญาตซึ่งรวมอยู่ในชุดทั้งหมดจะเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน() และไม่รวมอยู่ในชุด - ฟรี ().

ในกรณีทั่วไป ระบบสมการที่ได้รับการแก้ไขจะมีรูปแบบดังนี้

ในขั้นตอนนี้สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ไม่ทราบได้รับการแก้ไข(รวมอยู่ในพื้นฐานและฟรี)

ทั่วไป เฉพาะ โซลูชั่นพื้นฐาน

วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบสมการที่ได้รับการแก้ไขแล้วคือชุดของนิพจน์ของสิ่งที่ไม่ทราบที่ได้รับการแก้ไขแล้วผ่านเงื่อนไขอิสระและสิ่งที่ไม่ทราบอิสระ:

การตัดสินใจส่วนตัวเรียกว่าโซลูชันที่ได้มาจากโซลูชันทั่วไปสำหรับค่าเฉพาะของตัวแปรอิสระและค่าที่ไม่รู้จัก

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานเป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ได้รับจากค่าทั่วไปสำหรับค่าศูนย์ของตัวแปรอิสระ

• สารละลายพื้นฐาน (เวกเตอร์) เรียกว่า เสื่อมโทรมหากจำนวนของพิกัดที่ไม่ใช่ศูนย์น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบที่อนุญาต
• วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานเรียกว่า ไม่เสื่อมถ้าจำนวนพิกัดที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากับจำนวนไม่ทราบที่อนุญาตของระบบที่รวมอยู่ในชุดที่สมบูรณ์

ทฤษฎีบท (1)

ระบบสมการที่แก้แล้วมีความสอดคล้องกันเสมอ(เพราะมีอย่างน้อยหนึ่งวิธี); ยิ่งไปกว่านั้น หากระบบไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี(นั่นคือในระบบสมการที่อนุญาตทั้งหมดจะรวมอยู่ในฐาน) แล้วมันก็ถูกกำหนดไว้(มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ); หากมีตัวแปรว่างอย่างน้อยหนึ่งตัว แสดงว่าระบบไม่ได้ถูกกำหนดไว้(มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาคำตอบทั่วไป พื้นฐาน และเฉลยใดๆ ของระบบสมการ:

สารละลาย:

1. เรากำลังตรวจสอบว่าระบบได้รับอนุญาตหรือไม่?

• ระบบได้รับการแก้ไขแล้ว (เนื่องจากแต่ละสมการมีค่าไม่ทราบคำตอบ)

2. เรารวมสิ่งที่ไม่ทราบที่อนุญาตไว้ในชุด - หนึ่งรายการจากแต่ละสมการ.

3. เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราอนุญาตให้เรารวมสิ่งที่ไม่รู้จักไว้ในชุด.

4. การค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยเฉพาะ- ในการทำเช่นนี้ เราเทียบตัวแปรอิสระที่เราไม่ได้รวมไว้ในเซตด้วยตัวเลขใดๆ

คำตอบ: โซลูชันส่วนตัว(หนึ่งในตัวเลือก)

5. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน- ในการทำเช่นนี้ เราเทียบตัวแปรอิสระที่เราไม่ได้รวมไว้ในค่าศูนย์

การแปลงสมการเบื้องต้นของสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นจะลดลงเป็นระบบที่ได้รับการแก้ไขแล้วเทียบเท่ากันโดยใช้การแปลงเบื้องต้น

ทฤษฎีบท (2)

ถ้ามี คูณสมการของระบบด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์และปล่อยให้สมการที่เหลือไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้น (นั่นคือ ถ้าคุณคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้)

ทฤษฎีบท (3)

ถ้า เพิ่มอีกอันให้กับสมการของระบบและปล่อยให้สมการอื่นๆ ทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง เราได้ระบบที่เทียบเท่ากับระบบนี้- (นั่นคือ ถ้าคุณเพิ่มสมการสองสมการ (โดยการเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ) คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับข้อมูล)

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท (2 และ 3)

ถ้า เพิ่มสมการอื่นลงในสมการคูณด้วยจำนวนหนึ่งและปล่อยให้สมการอื่นๆ ทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง แล้วเราจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับอันนี้.

สูตรคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่

หากเรามีระบบสมการและต้องการแปลงมันเป็นระบบสมการที่ได้รับการแก้ไขแล้ว วิธีจอร์แดน-เกาส์จะช่วยเราในเรื่องนี้

การเปลี่ยนแปลงของจอร์แดนด้วยองค์ประกอบการแก้ไขช่วยให้คุณได้รับระบบสมการที่ไม่รู้จักในสมการที่มีจำนวน (ตัวอย่างที่ 2)

การแปลงของจอร์แดนประกอบด้วยการแปลงเบื้องต้นสองประเภท:

สมมติว่าเราต้องการทำให้สิ่งที่ไม่ทราบในสมการด้านล่างกลายเป็นสิ่งที่ไม่ทราบที่ได้รับการแก้ไข เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องหารด้วย เพื่อให้ผลรวมเป็น

ตัวอย่างที่ 2 ลองคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่

เมื่อหารสมการด้วยตัวเลขด้วย ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร:

หากต้องการแยกออกจากสมการด้วย number คุณต้องคูณสมการด้วยตัวเลขด้วยและเพิ่มลงในสมการนี้

ทฤษฎีบท (4) เรื่องการลดจำนวนสมการของระบบ

หากระบบสมการมีสมการเล็กน้อย ก็สามารถแยกออกจากระบบได้ และจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

ทฤษฎีบท (5) เรื่องความไม่ลงรอยกันของระบบสมการ

ถ้าระบบสมการมีสมการที่ไม่สอดคล้องกัน แสดงว่าระบบสมการไม่สอดคล้องกัน

อัลกอริธึมวิธี Jordan-Gauss

อัลกอริธึมสำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธี Jordan-Gauss ประกอบด้วยขั้นตอนที่คล้ายกันหลายขั้นตอน โดยแต่ละขั้นตอนจะดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

1. ตรวจสอบว่าระบบไม่สอดคล้องกันหรือไม่ หากระบบมีสมการที่ไม่สอดคล้องกัน ระบบจะไม่สอดคล้องกัน
2. มีการตรวจสอบความเป็นไปได้ในการลดจำนวนสมการ หากระบบมีสมการไม่สำคัญ ระบบจะขีดฆ่าออก
3. หากระบบสมการได้รับการแก้ไขแล้ว ให้จดคำตอบทั่วไปของระบบ และหากจำเป็น ให้เขียนคำตอบเฉพาะเจาะจงลงไป
4. ถ้าระบบไม่ได้รับการแก้ไข ดังนั้นในสมการที่ไม่มีค่าที่ไม่ทราบค่าที่ได้รับคำตอบ จะมีการเลือกองค์ประกอบการหาค่าและดำเนินการแปลงแบบ Jordan ด้วยองค์ประกอบนี้
5. จากนั้นกลับไปที่จุดที่ 1

ตัวอย่างที่ 3 แก้ระบบสมการโดยใช้วิธี Jordan-Gauss

หา: โซลูชันพื้นฐานทั่วไปสองรายการและโซลูชันพื้นฐานที่เกี่ยวข้องสองรายการ

สารละลาย:

การคำนวณแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง:

ทางด้านขวาของตารางคือการกระทำบนสมการ ลูกศรจะระบุว่าสมการใดที่มีการเพิ่มสมการพร้อมองค์ประกอบการแก้ปัญหา คูณด้วยปัจจัยที่เหมาะสม

สามแถวแรกของตารางประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และด้านขวามือของระบบดั้งเดิม ผลลัพธ์ของการแปลงค่า Jordan ครั้งแรกที่มีองค์ประกอบการแก้ปัญหาเท่ากับ 1 จะได้รับในบรรทัดที่ 4, 5, 6 ผลลัพธ์ของการแปลงค่า Jordan ครั้งที่สองด้วยองค์ประกอบการแก้ปัญหาเท่ากับ (-1) จะได้รับในบรรทัด 7, 8, 9 . เนื่องจากสมการที่สามเป็นเรื่องเล็กน้อย จึงสามารถละเว้นได้