แปลงจากเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหกและกลับกัน การแปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสอง ฐานสิบหก ฐานสิบ ระบบเลขฐานแปด
คุณสามารถป้อนตัวเลขทั้งหมด เช่น 34 หรือตัวเลขที่เป็นเศษส่วน เช่น 637.333 สำหรับตัวเลขที่เป็นเศษส่วนจะมีการระบุความถูกต้องของการแปลหลังจุดทศนิยม
ต่อไปนี้ใช้กับเครื่องคิดเลขนี้ด้วย:
วิธีในการแสดงตัวเลข
ไบนารี่ ตัวเลข (ไบนารี) - แต่ละหลักหมายถึงค่าของหนึ่งบิต (0 หรือ 1) บิตที่สำคัญที่สุดจะถูกเขียนทางด้านซ้ายเสมอ ตัวอักษร "b" จะอยู่หลังตัวเลข เพื่อความสะดวกในการรับรู้ สามารถคั่นโน้ตบุ๊กด้วยช่องว่างได้ ตัวอย่างเช่น 1,010 0101bเลขฐานสิบหก ตัวเลข (เลขฐานสิบหก) - แต่ละ tetrad จะแสดงด้วยอักขระหนึ่งตัว 0...9, A, B, ..., F การแทนค่าดังกล่าวสามารถแสดงได้หลายวิธี ในที่นี้จะใช้เฉพาะอักขระ "h" หลังจากอักขระสุดท้าย เลขฐานสิบหก ตัวอย่างเช่น A5h ในข้อความโปรแกรม ตัวเลขเดียวกันสามารถแสดงได้ทั้ง 0xA5 และ 0A5h ขึ้นอยู่กับไวยากรณ์ของภาษาโปรแกรม ศูนย์ที่ไม่มีนัยสำคัญ (0) จะถูกเพิ่มทางด้านซ้ายของเลขฐานสิบหกที่มีนัยสำคัญที่สุดซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างตัวเลขและชื่อที่เป็นสัญลักษณ์
ทศนิยม ตัวเลข (ทศนิยม) - แต่ละไบต์ (คำ, คำคู่) จะแสดงด้วยตัวเลขธรรมดา และโดยปกติแล้วเครื่องหมายของการแสดงทศนิยม (ตัวอักษร "d") จะถูกละไว้ ไบต์จากตัวอย่างก่อนหน้านี้มีค่าทศนิยมเท่ากับ 165 ซึ่งแตกต่างจากสัญลักษณ์เลขฐานสองและเลขฐานสิบหก ทศนิยมเป็นเรื่องยากที่จะระบุค่าของแต่ละบิตทางจิตใจ ซึ่งบางครั้งต้องทำ
แปด ตัวเลข (ฐานแปด) - แต่ละสามบิต (การแยกเริ่มต้นจากนัยสำคัญน้อยที่สุด) เขียนเป็นตัวเลข 0-7 ที่ท้ายเครื่องหมาย "o" จะถูกใส่ ตัวเลขเดียวกันจะเขียนเป็น 245o ระบบเลขฐานแปดไม่สะดวกเพราะไม่สามารถแบ่งไบต์ให้เท่ากันได้
อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง
การแปลงเลขฐานสิบจำนวนเต็มเป็นระบบตัวเลขอื่น ๆ นั้นดำเนินการโดยการหารตัวเลขด้วยฐานของระบบตัวเลขใหม่จนกระทั่งเหลือจำนวนน้อยกว่าฐานของระบบตัวเลขใหม่ จำนวนใหม่จะถูกเขียนเป็นส่วนที่เหลือของการหาร โดยเริ่มจากตัวสุดท้ายการแปลงเศษส่วนทศนิยมที่ถูกต้องเป็น PSS อื่นนั้นดำเนินการโดยการคูณเฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขด้วยฐานของระบบตัวเลขใหม่จนกว่าศูนย์ทั้งหมดจะยังคงอยู่ในส่วนที่เป็นเศษส่วนหรือจนกว่าจะถึงความแม่นยำในการแปลที่ระบุ ผลลัพธ์ของการคูณแต่ละครั้ง ตัวเลขใหม่หนึ่งหลักจะถูกสร้างขึ้นโดยเริ่มจากค่าสูงสุด
การแปลเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมนั้นดำเนินการตามกฎข้อที่ 1 และ 2 ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนจะถูกเขียนเข้าด้วยกันโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค
ตัวอย่าง #1 
การแปลจากระบบตัวเลข 2 ถึง 8 ถึง 16
ระบบเหล่านี้เป็นแบบทวีคูณของสอง ดังนั้นการแปลจะดำเนินการโดยใช้ตารางการติดต่อ (ดูด้านล่าง)
ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด (เลขฐานสิบหก) จำเป็นต้องแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละสามหลัก (สี่หลักสำหรับเลขฐานสิบหก) จากเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาและซ้าย โดยเติมกลุ่มสุดโต่งด้วยเลขศูนย์ ในกรณีที่จำเป็น. แต่ละกลุ่มจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่าง #2 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ที่นี่ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
เมื่อแปลงเป็นเลขฐานสิบหก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วนๆ ส่วนละสี่หลัก ตามกฎเดียวกัน
ตัวอย่าง #3 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
ที่นี่ 0010=2; 1011=B; 1,010=12; 1011=13
การแปลงตัวเลขจาก 2, 8 และ 16 เป็นระบบทศนิยมนั้นดำเนินการโดยการแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วน ๆ และคูณด้วยฐานของระบบ (จากที่แปลตัวเลข) ยกกำลังที่สอดคล้องกับเลขลำดับ ในหมายเลขที่แปล ในกรณีนี้ ตัวเลขจะถูกกำหนดเป็นตัวเลขทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม (ตัวเลขแรกมีเลข 0) โดยเพิ่มขึ้น และทางขวาโดยลดลง (เช่น มีเครื่องหมายลบ) ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน
ตัวอย่าง #4
ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบ
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานแปดเป็นระบบเลขฐานสิบ 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสิบ 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
เราทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยัง PSS อื่น
- จากระบบเลขฐานสิบ:
- หารตัวเลขด้วยฐานของระบบตัวเลขที่กำลังแปล
- ค้นหาส่วนที่เหลือหลังจากหารส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข
- เขียนส่วนที่เหลือทั้งหมดจากการหารในลำดับย้อนกลับ
- จากระบบเลขฐานสอง
- ในการแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบ คุณต้องหาผลรวมของผลคูณของฐาน 2 ตามระดับการคายประจุที่สอดคล้องกัน
- ในการแปลงตัวเลขเป็นเลขฐานแปด คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นสามส่วน
ตัวอย่างเช่น 1000110 = 1,000 110 = 106 8 - ในการแปลงตัวเลขจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 4 หลัก
ตัวอย่างเช่น 1000110 = 100 0110 = 46 16
ตารางการติดต่อของระบบตัวเลข:
| เอสเอสไบนารี | SS เลขฐานสิบหก |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ก |
| 1011 | ข |
| 1100 | ค |
| 1101 | ง |
| 1110 | อี |
| 1111 | ฉ |
ตารางการแปลงเป็นระบบเลขฐานแปด
ได้รับผลแล้ว!
ระบบตัวเลข
มีระบบจำนวนตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง ระบบเลขอารบิกที่เราใช้ในชีวิตประจำวันเป็นแบบบอกตำแหน่ง ในขณะที่ระบบเลขโรมันไม่ใช่ ในระบบเลขตำแหน่ง ตำแหน่งของตัวเลขจะกำหนดขนาดของตัวเลขโดยไม่ซ้ำกัน พิจารณาโดยใช้ตัวอย่างหมายเลข 6372 ในระบบเลขฐานสิบ ลองนับหมายเลขนี้จากขวาไปซ้ายโดยเริ่มจากศูนย์:
จากนั้นสามารถแสดงหมายเลข 6372 ได้ดังนี้:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
เลข 10 กำหนดระบบตัวเลข (ในกรณีนี้คือ 10) ค่าของตำแหน่งของตัวเลขที่กำหนดจะถือเป็นองศา
พิจารณาเลขทศนิยมจริง 1287.923 เรานับโดยเริ่มจากตำแหน่งศูนย์ของตัวเลขจากจุดทศนิยมไปทางซ้ายและทางขวา:
จากนั้นหมายเลข 1287.923 สามารถแสดงเป็น:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
โดยทั่วไปสามารถแสดงสูตรได้ดังนี้:
ซี เอ็น ส n + C n-1 ส n-1 +...+ค 1 ส 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
โดยที่ C n เป็นจำนวนเต็มในตำแหน่ง น, D -k - จำนวนเศษส่วนในตำแหน่ง (-k) ส- ระบบตัวเลข
คำสองสามคำเกี่ยวกับระบบตัวเลข ตัวเลขในระบบเลขฐานสิบประกอบด้วยชุดของหลัก (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ในระบบเลขฐานแปดประกอบด้วย ชุดของตัวเลข (0,1, 2,3,4,5,6,7) ในระบบเลขฐานสอง - จากชุดของหลัก (0.1) ในระบบเลขฐานสิบหก - จากชุดของหลัก (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F) โดยที่ A,B,C,D,E,F ตรงกับตัวเลข 10,11, 12,13,14,15 ในตารางที่ 1 ตัวเลขจะแสดงในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน
| ตารางที่ 1 | |||
|---|---|---|---|
| สัญกรณ์ | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ก |
| 11 | 1011 | 13 | ข |
| 12 | 1100 | 14 | ค |
| 13 | 1101 | 15 | ง |
| 14 | 1110 | 16 | อี | 15 | 1111 | 17 | ฉ |
การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง
ในการแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสิบก่อน จากนั้นแปลจากระบบเลขฐานสิบเป็นระบบตัวเลขที่ต้องการ
การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใด ๆ ให้เป็นระบบเลขฐานสิบ
การใช้สูตร (1) คุณสามารถแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นระบบเลขฐานสิบได้
ตัวอย่าง 1. แปลงหมายเลข 1011101.001 จากระบบเลขฐานสอง (SS) เป็น SS ฐานสิบ สารละลาย:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
ตัวอย่าง2. แปลงเลข 1011101.001 จากระบบเลขฐานแปด (SS) เป็น SS ฐานสิบ สารละลาย:
ตัวอย่าง 3 . แปลงตัวเลข AB572.CDF จากเลขฐานสิบหกเป็นทศนิยม CC สารละลาย:
ที่นี่ ก- แทนที่ด้วย 10, ข- ที่ 11, ค- ที่ 12, ฉ- เวลา 15.
การแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบไปเป็นระบบเลขอื่น
ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบเป็นระบบตัวเลขอื่น คุณต้องแปลส่วนจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขแยกกัน
ส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขถูกแปลจาก SS ทศนิยมเป็นระบบตัวเลขอื่น - โดยการหารส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขอย่างต่อเนื่องตามฐานของระบบตัวเลข (สำหรับ SS ฐานสอง - คูณ 2 สำหรับ SS 8 หลัก - คูณ 8 สำหรับ 16 หลัก - คูณ 16 ฯลฯ ) เพื่อให้ได้ส่วนที่เหลือทั้งหมดน้อยกว่าฐานของ SS
ตัวอย่าง 4 . มาแปลเลข 159 จากทศนิยม SS เป็นไบนารี SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 1 จำนวน 159 เมื่อหารด้วย 2 จะได้ผลหาร 79 และเศษที่เหลือคือ 1 นอกจากนี้ เลข 79 เมื่อหารด้วย 2 จะได้ผลหาร 39 และเศษที่เหลือคือ 1 ไปเรื่อยๆ ด้วยเหตุนี้ การสร้างตัวเลขจากส่วนที่เหลือของการหาร (จากขวาไปซ้าย) เราจะได้ตัวเลขในฐานสอง SS: 10011111 . ดังนั้น เราสามารถเขียน:
159 10 =10011111 2 .
ตัวอย่าง 5 . ลองแปลงเลข 615 จาก SS ทศนิยมเป็น SS ฐานแปด
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
เมื่อแปลงตัวเลขจาก SS ทศนิยมเป็น SS ฐานแปด คุณต้องหารตัวเลขด้วย 8 ตามลำดับจนกว่าจะได้จำนวนเต็มที่เหลือน้อยกว่า 8 ดังนั้น การสร้างตัวเลขจากส่วนที่เหลือของการหาร (จากขวาไปซ้าย) เรา รับตัวเลขในฐานแปด SS: 1147 (ดูรูปที่ 2) ดังนั้น เราสามารถเขียน:
615 10 =1147 8 .
ตัวอย่าง 6 . ลองแปลหมายเลข 19673 จากระบบเลขฐานสิบเป็น SS เลขฐานสิบหก
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 3 โดยการหารตัวเลข 19673 ด้วย 16 อย่างต่อเนื่อง เราได้เศษ 4, 12, 13, 9 ในระบบเลขฐานสิบหก เลข 12 ตรงกับ C คือเลข 13 - D ดังนั้น เลขฐานสิบหกของเราคือ 4CD9
ในการแปลงเศษส่วนทศนิยมที่ถูกต้อง (จำนวนจริงที่มีส่วนจำนวนเต็มเป็นศูนย์) ให้เป็นระบบตัวเลขที่มีฐาน s จำนวนนี้จะต้องคูณด้วย s อย่างต่อเนื่องจนกว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนจะเป็นศูนย์บริสุทธิ์ มิฉะนั้นเราจะได้จำนวนหลักที่ต้องการ หากการคูณได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่มีส่วนจำนวนเต็มนอกเหนือจากศูนย์ ระบบจะไม่นำส่วนจำนวนเต็มนี้มาพิจารณา (ส่วนนี้จะรวมอยู่ในผลลัพธ์ตามลำดับ)
ลองดูตัวอย่างข้างต้น
ตัวอย่าง 7 . ลองแปลตัวเลข 0.214 จากระบบเลขฐานสิบเป็นไบนารี SS
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 4 จำนวน 0.214 จะถูกคูณด้วย 2 อย่างต่อเนื่อง หากผลลัพธ์ของการคูณเป็นตัวเลขที่มีส่วนจำนวนเต็มนอกเหนือจากศูนย์ ส่วนจำนวนเต็มจะถูกเขียนแยกกัน (ทางด้านซ้ายของตัวเลข) และตัวเลขเขียนด้วยส่วนจำนวนเต็มศูนย์ เมื่อคูณแล้วได้ตัวเลขที่มีส่วนของจำนวนเต็มเป็นศูนย์ เลขศูนย์จะถูกเขียนทางด้านซ้ายของมัน กระบวนการคูณจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะได้ศูนย์บริสุทธิ์ในส่วนที่เป็นเศษส่วนหรือได้จำนวนหลักที่ต้องการ การเขียนตัวเลขตัวหนา (รูปที่ 4) จากบนลงล่าง เราจะได้ตัวเลขที่ต้องการในระบบเลขฐานสอง: 0 0011011 .
ดังนั้น เราสามารถเขียน:
0.214 10 =0.0011011 2 .
ตัวอย่าง 8 . ลองแปลตัวเลข 0.125 จากระบบเลขฐานสิบเป็นไบนารี SS
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
ในการแปลงตัวเลข 0.125 จากทศนิยม SS เป็นไบนารี ตัวเลขนี้จะถูกคูณด้วย 2 อย่างต่อเนื่อง ในขั้นตอนที่สาม จะได้ 0 ดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:
0.125 10 =0.001 2 .
ตัวอย่าง 9 . ลองแปลตัวเลข 0.214 จากระบบเลขฐานสิบเป็น SS เลขฐานสิบหก
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
ตามตัวอย่างที่ 4 และ 5 เราจะได้ตัวเลข 3, 6, 12, 8, 11, 4 แต่ใน SS เลขฐานสิบหก ตัวเลข C และ B จะตรงกับตัวเลข 12 และ 11 ดังนั้นเราจึงมี:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
ตัวอย่าง 10 . ลองแปลตัวเลข 0.512 จากระบบเลขฐานสิบเป็น SS ฐานแปด
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
ได้รับ:
0.512 10 =0.406111 8 .
ตัวอย่าง 11 . ลองแปลหมายเลข 159.125 จากระบบเลขฐานสิบเป็นไบนารี SS ในการทำเช่นนี้ เราแปลส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข (ตัวอย่างที่ 4) และส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขแยกกัน (ตัวอย่างที่ 8) เมื่อรวมผลลัพธ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้รับ:
159.125 10 =10011111.001 2 .
ตัวอย่าง 12 . ลองแปลหมายเลข 19673.214 จากระบบเลขฐานสิบเป็น SS เลขฐานสิบหก ในการทำเช่นนี้ เราแปลส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข (ตัวอย่างที่ 6) และส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขแยกกัน (ตัวอย่างที่ 9) เราได้รับผลลัพธ์เหล่านี้เมื่อรวมเข้าด้วยกัน
วิธีการแปลตัวเลขเป็นระบบแคลคูลัสต่างๆ
การแปลงเลขฐานสิบจำนวนเต็มเป็นระบบฐานแปด ฐานสิบหก และฐานสองดำเนินการโดยการหารเลขฐานสิบอย่างต่อเนื่องตามฐานของระบบที่แปล จนกว่าจะได้ผลหารที่น้อยกว่าฐานนี้ จำนวนในระบบใหม่จะถูกเขียนเป็นเศษที่เหลือของการหาร โดยเริ่มจากผลหารสุดท้าย
ก) แปลงเลข 19 เป็นระบบเลขฐานสอง
ดังนั้น 19 = 100112
b) แปลงระบบตัวเลข 181 10 ->”8”
ผลลัพธ์. 181 10 ->265 8
c) แปลงระบบตัวเลข 622 10 - "16"
การแปลงตัวเลขเป็นระบบทศนิยมดำเนินการโดยการรวบรวมอนุกรมกำลังกับฐานของระบบที่แปลตัวเลข จากนั้นจึงคำนวณมูลค่าของผลรวม
ก) แปลง 10101101.1012 เป็นระบบเลขฐานสิบ
10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10
b) แปลง 703.048 เป็นทศนิยม
703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510
c) แปลง B2E.416 เป็นทศนิยม
B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862.25 10
สำหรับ การแปลงเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสองก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่แต่ละหลักของตัวเลขนี้ด้วยเลขฐานสองสามหลักที่สอดคล้องกัน (สามหลัก) (ตารางที่ 1) หรือเลขฐานสองสี่หลัก (เตตระ) (ตารางที่ 1) ในขณะที่ทิ้งศูนย์ที่ไม่จำเป็นในหลักสูงและต่ำ
สำหรับ การแปลงจากระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกดำเนินการดังต่อไปนี้: ย้ายจากจุดไปทางซ้ายและไปทางขวา พวกเขาแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละสาม (สี่) หลัก เติมเต็มกลุ่มซ้ายสุดและขวาสุดด้วยศูนย์หากจำเป็น จากนั้นเลขสาม (tetrad) จะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานแปด (เลขฐานสิบหก) ที่สอดคล้องกัน
การแปลงจากเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหกและกลับกันดำเนินการผ่านระบบเลขฐานสองด้วยความช่วยเหลือของสามและเตตระ
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
มันดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบเลขฐานสิบ
การลบ
การลบตัวเลขใน 2 และ 8 SS ดำเนินการตามกฎเดียวกันกับทศนิยม ถ้าเครื่องหมายลบมากกว่าเครื่องหมายลบ ผลต่างจะถูกกำหนดระหว่างจำนวนที่มากกว่าและจำนวนที่น้อยกว่า และนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ
การคูณ
การดำเนินการคูณจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบเลขฐานสิบ
รหัสตรง
ใช้เมื่อทำการคูณและหารตัวเลข และรหัสที่เหลือเพื่อแทนที่การลบด้วยการบวก
0.011 จำนวนบวก
1.011 จำนวนเป็นลบ
จากการทำ การคูณหรือการหารเศษส่วนไบนารีสองตัว หลักเครื่องหมายจะถูกเพิ่มโดยไม่คำนึงถึงส่วนของเศษส่วน
รหัสย้อนกลับ
ใช้เพื่อแทนที่การดำเนินการลบด้วยการบวก
สำหรับจำนวนบวก: รูปภาพของเศษส่วนไบนารีที่เหมาะสมจะเหมือนกันในโค้ดย้อนกลับและโค้ดตรง
ในการเขียนเศษส่วนไบนารีที่ถูกต้องเป็นลบในโค้ดย้อนกลับ คุณต้องแทนที่ศูนย์ด้วย 1 และในทางกลับกัน และใส่ 1 แทน -0 ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม
นั่นคือ -0.0101=1.1010
ควรได้รับการพิจารณา:
ในการโอเวอร์โฟลว์ เมื่อตัวเลขสองหลักปรากฏทางด้านซ้ายของเครื่องหมายจุลภาคอันเป็นผลจากการบวก หลักที่อยู่ซ้ายสุดจะถูกยกไปและบวกเข้ากับหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของเศษส่วน และตัวเลขที่เหลือทางด้านซ้ายของเครื่องหมายจุลภาคจะเป็นตัวกำหนดเครื่องหมาย ของผลลัพธ์
หากจำนวนหลักของเศษส่วนที่เป็นลบของเศษส่วนฐานสองที่เหมาะสมมีค่าน้อยกว่าจำนวนหลักของส่วนที่เป็นเศษส่วนของเทอมอื่น ดังนั้นก่อนที่จะแปลงเศษส่วนที่เป็นลบเป็นรหัสผกผัน จำเป็นต้องเสริมทางด้านขวา ด้วยศูนย์จนกว่าเลขหลักของเทอมที่สองจะเท่ากัน
ถ้าอยู่ในหลักเครื่องหมายของจำนวน ก รหัสย้อนกลับคือ 1 จากนั้นเพื่อเปลี่ยนเป็นสัญกรณ์ปกติจำเป็นต้องแทนที่ส่วนที่เป็นเศษส่วนของหน่วยด้วยศูนย์และศูนย์ด้วยหน่วยและเขียน -0 ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายจุลภาค
รหัสเพิ่มเติม
เช่นเดียวกับการย้อนกลับใช้เพื่อแทนที่การลบด้วยการบวก
ในเวลาเดียวกัน: ภาพของเศษส่วนไบนารีที่เหมาะสมที่เป็นบวกจะเหมือนกันในรหัสตรง รหัสผกผัน และรหัสประกอบ
ในการแปลงเศษส่วนที่เป็นลบ: จำเป็นต้องแทนที่ศูนย์ด้วยหน่วย และ 1 ด้วยศูนย์ เพิ่มหนึ่งไปยังหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด แล้วใส่ 1 ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม
จำเป็นต้องจำ:
ตัวเลขทั้งหมดของเงื่อนไข รวมทั้งตัวเลขของเครื่องหมายหลักที่อยู่ทางซ้ายของจุดทศนิยม มีส่วนร่วมเพิ่มเติมเป็นหลักของตัวเลขเดียว
บนโอเวอร์โฟลว์ เมื่อตัวเลขสองหลักปรากฏทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมอันเป็นผลลัพธ์ของการบวก หลักซ้ายสุดจะถูกละทิ้ง และตัวเลขที่เหลือทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมจะเป็นตัวกำหนดเครื่องหมายของผลลัพธ์
จำนวนหลักของส่วนที่เป็นเศษส่วนของเทอมอื่น จากนั้นก่อนที่จะแปลงเศษส่วนติดลบเป็นรหัสผกผัน จำเป็นต้องเสริมด้วยศูนย์ทางด้านขวาจนกว่าตัวเลขของเทอมที่สองจะเท่ากัน
หากเป็นผลมาจากการบวกทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมกลายเป็น 1 แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นค่าลบถ้าเป็น 0 ก็จะเป็นค่าบวก (ไม่ต้องแปลตามนั้น)
การแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานแปด
ในการแปลงตัวเลขจากเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานแปด:
1. จำเป็นต้องแสดงตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง
2. จากนั้นแบ่งจำนวนผลลัพธ์ในระบบเลขฐานสองออกเป็นสามส่วนแล้วแปลงเป็นระบบเลขฐานแปด
ตัวอย่างเช่น:
1.7 ขั้นตอนวิธีสำหรับการแปลงเศษส่วนที่เหมาะสมจากระบบจำนวนใด ๆ ให้เป็นระบบทศนิยม
การแปลงเลขฐานสิบ กับทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วนเขียนในระบบเลข q-ary ดำเนินการโดยใช้การขยายจำนวนในรูปของฐานตามสูตร 1 (ดูหัวข้อ 1.2)
อย่างไรก็ตาม ในการแปลงเศษส่วนที่เหมาะสม คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้:
1. จำนวนหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของเศษส่วน 0,A คิวหารด้วยฐาน ถาม. เพื่อเพิ่มผลหารที่ได้รับให้เพิ่มหลักของตัวเลขถัดไป (สูงกว่า) ของตัวเลข 0,A คิว
2. จำนวนเงินที่ได้รับควรหารด้วยอีกครั้ง ถามและเพิ่มหลักของตัวเลขถัดไปอีกครั้ง
3. ทำเช่นนี้จนกว่าจะบวกหลักของหลักที่มีนัยสำคัญที่สุดของเศษส่วน
4. แบ่งจำนวนเงินที่ได้รับอีกครั้งด้วย ถามและเพิ่มลูกน้ำและจำนวนเต็มศูนย์ให้กับผลลัพธ์
ตัวอย่างเช่น:ลองแปลเศษส่วนเป็นระบบเลขฐานสิบ:
| ก). | 0,1101 2 | ข). | 0,356 8 |
| 1/2 + 0 = 0,5 | 6/8+5 = 5,75 | ||
| 0,5/2 + 1 = 1,25 | 5,75/8 + 3 = 3,71875 | ||
| 1,25/2 + 1 = 1,625 | 3,71875/8 = 0,46484375 | ||
| 1,625/2 = 0,8125 | |||
| คำตอบ: 0.1101 2 = 0,8125 10 | คำตอบ: 0.356 8 = 0,46484375 10 | ||
1.8 อัลกอริทึมสำหรับการแปลงเศษส่วนทศนิยมปกติเป็นระบบตัวเลขอื่น ๆ
1. คูณจำนวนที่กำหนดด้วยฐานใหม่ ร.
2. ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของผลคูณที่ได้คือเลขหลักของหลักสูงสุดของเศษส่วนที่ต้องการ
3. ส่วนที่เป็นเศษส่วนของผลลัพธ์ที่ได้จะถูกคูณอีกครั้ง รและส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของผลลัพธ์จะถือเป็นหลักถัดไปของเศษส่วนที่ต้องการ
4. ดำเนินการต่อไปจนกว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนจะเท่ากับศูนย์หรือถึงความแม่นยำที่ต้องการ
5. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่จำกัดของการแปลตัวเลข D เท่ากับ q - (k +1) / 2 โดยที่ k คือจำนวนตำแหน่งทศนิยม
ตัวอย่างเช่น:ลองแปลเศษส่วนทศนิยม 0.375 เป็นระบบเลขฐานสอง สามส่วน และเลขฐานสิบหก การแปลควรทำด้วยความแม่นยำถึงทศนิยมสามตำแหน่ง
ตัวอย่างเช่น:มาแปลเลข 0.36 10 เป็นระบบเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหกกัน:
สำหรับการลงทะเบียนจะสะดวกที่จะใช้แบบฟอร์มต่อไปนี้:
โอนไปโอนมาโอนไป
ไบนารี s/s ฐานแปด s / sch. เลขฐานสิบหก
| 0, | x36 | 0, | x36 | 0, | x36 | ||
| x72 | x88 | x76 | |||||
| x44 | x04 | x 16 | |||||
| x88 | x 32 | x56 | |||||
| x76 | x46 | x96 | |||||
| x52 | x68 | x36 | |||||
0.36 10 = 0.010111 2 โดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัด (2 -7)/2=2 -8
0.36 10 = 0.270235 8 โดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัด
(8 -7)/2=2 -22
0.36 10 = 0.5C28F5 16 โดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัด
(16 -7)/2=2 -29
สำหรับตัวเลขที่มีทั้งส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วน การแปลงจากระบบเลขฐานสิบไปเป็นอีกระบบจะดำเนินการแยกกันสำหรับส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามกฎที่ระบุไว้ข้างต้น
1.9 การส่งเสริมหลักในระบบเลขตำแหน่ง
ในแต่ละระบบตัวเลข ตัวเลขจะเรียงลำดับตามค่าของตัวเลข: 1 มากกว่า 0, 2 มากกว่า 1 ไปเรื่อยๆ
ระบบหมายเลขตำแหน่งใด ๆ จะขึ้นอยู่กับหลักการเดียวกันของการสร้างและการเปลี่ยนจากตัวเลขที่ต่ำกว่าเป็นตัวเลขที่สูงกว่า
พิจารณาการเลื่อนตำแหน่งในระบบตัวเลขตำแหน่ง
โดยตัวเลขที่ก้าวหน้าเรียกว่าแทนที่ด้วยอันที่ใหญ่เป็นอันดับถัดไป (โดยเพิ่มอันหนึ่ง)
ในระบบเลขฐานสิบ การเลื่อนระดับของหลักมีดังนี้
เรามาถึงเลข 9 อีกครั้ง ดังนั้นจึงมีการเปลี่ยนไปใช้หลักที่สูงกว่า แต่มีเลข 1 อยู่ในตำแหน่งของหลักที่ 1 อยู่แล้ว ดังนั้นเลข 1 ของหลักแรกจึงก้าวหน้าไปด้วย เช่น 1+1=2 (สองสิบ) ดังนั้นเราจึงเลื่อนตัวเลขจนกระทั่งตัวเลขที่สูงที่สุดในระบบตัวเลขปรากฏในหลักแรก (ในตัวอย่างของเราคือ 9) ตอนนี้การเปลี่ยนไปยังหลักถัดไป
ให้เราพิจารณาความก้าวหน้าของตัวเลขในระบบเลขฐานสอง นั่นคือ q=3 (ใช้หลัก 0, 1, 2) และหลักสูงสุดคือ 2
| 0+1 | 1+1 | |
| 2+1 | 10+1 | 11+1 |
| 12+1 | 20+1 | 21+1 |
| 22+1 | 100+1 | 101+1 |
| 102+1 | 110+1 | 111+1 |
| เป็นต้น |
ในชีวิตเราใช้ระบบเลขฐานสิบอาจเป็นเพราะตั้งแต่สมัยโบราณเรานับนิ้วและอย่างที่คุณทราบมือและเท้ามีสิบนิ้ว แม้ว่าในประเทศจีนจะใช้ระบบเลขควินารีมาเป็นเวลานาน
คอมพิวเตอร์ใช้ระบบเลขฐานสองเนื่องจากมีการใช้อุปกรณ์ทางเทคนิคที่มีสถานะเสถียรสองสถานะ (ไม่มีกระแส - 0; มีกระแส - 1 หรือไม่มีแม่เหล็ก - 0; แม่เหล็ก - 1 เป็นต้น) นอกจากนี้ การใช้ระบบเลขฐานสองทำให้สามารถใช้เครื่องมือของพีชคณิตบูลีน (ดูหัวข้อที่ 2) เพื่อดำเนินการแปลงข้อมูลเชิงตรรกะ เลขฐานสองนั้นง่ายกว่าเลขฐานสิบมาก แต่ข้อเสียของมันคือการเพิ่มจำนวนหลักอย่างรวดเร็วในการเขียนตัวเลข
ตัวอย่างเช่น:มาพัฒนาตัวเลขในระบบเลขฐานสองกัน คิว=2, (ใช้หลัก 0, 1) หลักสูง 1:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1,000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 เป็นต้น
ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง หมายเลขที่สามในแถวได้เลื่อนขึ้นหนึ่งอันดับแล้ว นั่นคือ แทนที่ (ถ้าเป็นทศนิยม) "สิบ" เลขห้าแทนร้อย เลขเก้าแทนพัน ฯลฯ ในระบบเลขฐานสิบ การเปลี่ยนไปใช้เลขอื่นจะช้ากว่ามาก ระบบเลขฐานสองสะดวกสำหรับคอมพิวเตอร์ แต่ไม่สะดวกสำหรับมนุษย์เนื่องจากความใหญ่โตและรูปแบบที่ผิดปกติ
การแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นไบนารีและในทางกลับกันดำเนินการโดยโปรแกรมในคอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตามในการทำงานและใช้คอมพิวเตอร์อย่างมืออาชีพต้องเข้าใจคำว่าเครื่อง สำหรับสิ่งนี้ ระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกได้รับการพัฒนา
เพื่อให้ใช้งานกับระบบเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย คุณจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีการแปลตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งและในทางกลับกัน รวมถึงการดำเนินการอย่างง่ายกับตัวเลข - การบวก การลบ การคูณ การหาร
1.10 การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่ง
กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานในระบบทศนิยมเป็นที่รู้จักกันดี - นี่คือการบวก การลบ การคูณด้วยคอลัมน์และการหารด้วยมุม กฎเหล่านี้ใช้กับระบบตัวเลขตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมด เฉพาะตารางการบวกและสูตรคูณสำหรับแต่ละระบบเท่านั้นที่แตกต่างกัน
การดำเนินการเลขคณิตในระบบจำนวนตำแหน่งจะดำเนินการตามกฎทั่วไป จำเป็นเท่านั้นที่ต้องจำไว้ว่าการถ่ายโอนไปยังหลักถัดไปเมื่อเพิ่มและยืมจากหลักสูงสุดเมื่อทำการลบจะถูกกำหนดโดยค่าของฐานของระบบตัวเลข
เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขที่แสดงในระบบตัวเลขที่แตกต่างกันจะต้องลดลงเป็นฐานเดียวกันก่อน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
ตารางการบวกสร้างได้ง่ายโดยใช้กฎการนับ เมื่อทำการบวก ตัวเลขจะรวมกันเป็นตัวเลข และหากมีส่วนเกินเกิดขึ้น ตัวเลขนั้นจะถูกโอนไปทางซ้ายไปยังหลักถัดไป
ตารางที่ 1.4
นอกจากนี้ในระบบเลขฐานสอง:
| + | ||
ตารางที่ 1.5
การบวกในระบบเลขฐานแปด
| + | ||||||||
ตารางที่ 1.6
การบวกในระบบเลขฐานสิบหก
| + | ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | ||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | |||||||||||
| ก | ก | ข | ค | ง | อี | ฉ | ||||||||||
| ข | ข | ค | ง | อี | ฉ | 1A | ||||||||||
| ค | ค | ง | อี | ฉ | 1A | 1B | ||||||||||
| ง | ง | อี | ฉ | 1A | 1B | 1ค | ||||||||||
| อี | อี | ฉ | 1A | 1B | 1ค | 1ด | ||||||||||
| ฉ | ฉ | 1A | 1B | 1ค | 1ด | 1E |
ตัวอย่างเช่น:
ก) เพิ่มหมายเลข 1111 2 และ 110 2:
ค) เพิ่มตัวเลข F 16 และ 6 16:
b) เพิ่มตัวเลข 17 8 และ 6 8:
ง) มาบวกเลขสองตัวกัน: 17 8 และ 17 16
ลองนำเลข 17 16 มาเป็นเลขฐาน 8 โดยใช้ระบบเลขฐานสอง
17 16 \u003d 10111 2 \u003d 27 8 . มาเพิ่มเป็นเลขฐานแปด:
ง ) ลองบวกเลข 2 ตัว 10000111 2 + 89 10
วิธีที่ 1: แปลงเลข 10000111 2 เป็นเลขฐานสิบ
10000111 2 = 1*2 7 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 =128 + 4 + 2 + 1 = 135 10
135 10 + 89 10 = 224 10
วิธีที่ 2: แปลงเลข 89 10 เป็นระบบเลขฐานสองแต่อย่างใด
89 10 = 1011001 2
ลองบวกเลขเหล่านี้กัน
ลองแปลงตัวเลขนี้เป็นเครื่องหมายทศนิยม
11100000 2 = 1*2 7 + 1*2 6 +1*2 5 = 128+64+32 = 224 10
การลบ
มาหาความแตกต่างระหว่างตัวเลขกัน:
ก) 655 8 และ 367 8 ข) F5 16 และ 6 16
การคูณ
ตารางที่ 1.7
การคูณเลขฐานสอง:
| * | ||
ตารางที่ 1.8
การคูณในระบบเลขฐานแปด
| * | ||||||||