วิธีคูณลากรองจ์(ในวรรณคดีอังกฤษ “ วิธีการของ LaGrange สำหรับตัวคูณที่ไม่แน่นอน”) สเปน นี่เป็นวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพซึ่งช่วยให้เราสามารถกำหนด "เงื่อนไข" สุดขั้วได้ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์(ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด)

ต่อหน้าข้อ จำกัด ที่ระบุในตัวแปรในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน (เช่นกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาต)

สเปน นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (พารามิเตอร์ที่ควบคุมได้) บนโดเมนจริงซึ่งค่าฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะสุดขีด การใช้ชื่อ "เงื่อนไข" สุดขั้วนั้นเกิดจากการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้ เงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งจำกัดช่วงของค่าที่ยอมรับได้เมื่อค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน

วิธีตัวคูณลากรองจ์ช่วยให้เกิดปัญหาในการหาจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บนชุดของค่าที่ยอมรับได้เพื่อแปลงเป็นปัญหา ปราศจาก การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไขฟังก์ชั่น

ในกรณีที่มีฟังก์ชั่น และ มีความต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อย จากนั้นจะมีตัวแปรดังกล่าว แล ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน โดยเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ดังนั้น ตามวิธีตัวคูณลากรองจ์ เพื่อค้นหาส่วนปลายสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บนเซตของค่าที่ยอมรับได้ ฉันจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์ L(x, แลมบ์ดา) ซึ่งได้รับการปรับให้เหมาะสมเพิ่มเติม:

โดยที่ θ เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรเพิ่มเติมที่เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

ดังนั้นปัญหาในการหาปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน f(x) จึงลดลงเหลือเพียงปัญหาในการค้นหา สุดขั้วไม่มีเงื่อนไขฟังก์ชัน L(x, แลมบ์ดา)

และ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชันลากรองจ์นั้นกำหนดโดยระบบสมการ (ระบบประกอบด้วยสมการ "n + m"):

การแก้ระบบสมการนี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (X) ซึ่งค่าของฟังก์ชัน L(x, แลมบ์) รวมถึงค่าของฟังก์ชันเป้าหมาย f(x) สอดคล้องกับค่าสุดขีด

ขนาดของตัวคูณลากรองจ์ (แล) มีประโยชน์ในทางปฏิบัติหากมีการนำเสนอข้อจำกัดในรูปแบบที่มีเงื่อนไขอิสระในสมการ (ค่าคงที่) ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาค่าเพิ่มเติม (เพิ่ม/ลด) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้โดยการเปลี่ยนค่าคงที่ในระบบสมการ ดังนั้นตัวคูณลากรองจ์จึงแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อค่าคงที่จำกัดเปลี่ยนแปลง

มีหลายวิธีในการกำหนดลักษณะของส่วนปลายของฟังก์ชันผลลัพธ์:

วิธีแรก: ให้ เป็นพิกัดของจุดสุดขั้ว และ - ค่าที่สอดคล้องกันฟังก์ชั่นเป้าหมาย จุดที่ใกล้กับจุดนั้นจะถูกนำมาคำนวณและคำนวณค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์:

ถ้า แล้วจะมีจุดสูงสุดที่จุดนั้น

ถ้า แล้วมีขั้นต่ำที่จุด

วิธีที่สอง: เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งสามารถกำหนดลักษณะของปลายสุดได้คือสัญญาณของดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ถูกกำหนดไว้ดังนี้:

ถ้าเข้า. จุดที่กำหนดให้ ขั้นต่ำ, ถ้า แล้วฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) จะมีเงื่อนไข สูงสุด.

วิธีที่สาม: นอกจากนี้ ลักษณะของปลายสุดของฟังก์ชันสามารถกำหนดได้โดยพิจารณาจาก Hessian ของฟังก์ชันลากรองจ์ เมทริกซ์ Hessian เป็นแบบสมมาตร เมทริกซ์จตุรัสอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดที่องค์ประกอบของเมทริกซ์มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก

หากต้องการกำหนดประเภทของค่าสูงสุด (สูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน) คุณสามารถใช้กฎของซิลเวสเตอร์ได้:

1. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์มีเครื่องหมายบวก จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะต้องเป็นบวก ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าขั้นต่ำ

2. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์มีเครื่องหมายลบ จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะสลับกัน และองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ต้องเป็นค่าลบv ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าสูงสุด

โดยเชิงมุมไมเนอร์ เราหมายถึงไมเนอร์ที่อยู่ใน k แถวแรกและ k คอลัมน์แรกของเมทริกซ์ดั้งเดิม

พื้นฐาน ความสำคัญในทางปฏิบัติวิธีการลากรองจ์คือช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีเงื่อนไขไปสู่การปรับให้เหมาะสมแบบไม่มีเงื่อนไข และขยายคลังแสงตามไปด้วย วิธีการที่มีอยู่การแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามปัญหาของการแก้ระบบสมการซึ่งเดือดลงไปนั้น วิธีนี้, วี กรณีทั่วไปไม่ง่ายไปกว่าปัญหาเดิมในการค้นหาจุดสุดยอด วิธีการดังกล่าวเรียกว่าทางอ้อม การใช้งานอธิบายได้จากความจำเป็นในการได้รับการแก้ไขปัญหาที่รุนแรงในรูปแบบการวิเคราะห์ (ตัวอย่างเช่น สำหรับการคำนวณทางทฤษฎีบางอย่าง) เมื่อแก้เฉพาะเจาะจง ปัญหาในทางปฏิบัติโดยปกติแล้วจะใช้วิธีการโดยตรงโดยขึ้นอยู่กับกระบวนการคำนวณซ้ำและเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ได้รับการปรับให้เหมาะสม

วิธีการคำนวณ

1 ขั้นตอน: เรากำหนดฟังก์ชันลากรองจ์จากฟังก์ชันวัตถุประสงค์และระบบข้อจำกัดที่กำหนด:

ซึ่งไปข้างหน้า

หากต้องการเพิ่มความคิดเห็นของคุณในบทความ โปรดลงทะเบียนบนเว็บไซต์

• บทช่วยสอน

ทุกคน สวัสดีตอนบ่าย- ในบทความนี้ฉันต้องการจะแสดงอย่างใดอย่างหนึ่ง วิธีการกราฟิกการก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบไดนามิกซึ่งเรียกว่า กราฟพันธบัตร(“ พันธบัตร” - การเชื่อมต่อ, “กราฟ” - กราฟ) ในวรรณคดีรัสเซียฉันพบคำอธิบายของวิธีนี้เฉพาะในตำราเรียนของ Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 ยังแสดงวิธีการแบบคลาสสิกผ่านสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 ด้วย

วิธีลากรองจ์

ฉันจะไม่อธิบายทฤษฎี ฉันจะแสดงขั้นตอนการคำนวณพร้อมความคิดเห็นเล็กน้อย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันเรียนรู้จากตัวอย่างได้ง่ายกว่าอ่านทฤษฎี 10 รอบ สำหรับฉันดูเหมือนว่าในวรรณคดีรัสเซียคำอธิบายของวิธีนี้และคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์โดยทั่วไปนั้นมีสูตรที่ซับซ้อนมากซึ่งจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่จริงจัง ในขณะที่ศึกษาวิธีลากรองจ์ (ฉันเรียนที่มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งตูริน ประเทศอิตาลี) ฉันศึกษาวรรณคดีรัสเซียเพื่อเปรียบเทียบวิธีการคำนวณ และเป็นการยากสำหรับฉันที่จะติดตามความคืบหน้าในการแก้ไขวิธีนี้ แม้กระทั่งการจำหลักสูตรการสร้างแบบจำลองที่คาร์คอฟ สถาบันการบิน" การได้มาของวิธีการดังกล่าวนั้นยุ่งยากมากและไม่มีใครใส่ใจในการพยายามทำความเข้าใจปัญหานี้ นี่คือสิ่งที่ฉันตัดสินใจเขียนซึ่งเป็นคู่มือสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ตามลากรองจ์เนื่องจากปรากฎว่ามันไม่ยากเลย แต่ก็เพียงพอที่จะรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ตามเวลาและอนุพันธ์ย่อย สำหรับโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น จะมีการเพิ่มเมทริกซ์การหมุนด้วย แต่ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในนั้นเช่นกัน

คุณสมบัติของวิธีการสร้างแบบจำลอง:

• นิวตัน-ออยเลอร์: สมการเวกเตอร์ตามสมดุลไดนามิก บังคับและ ช่วงเวลา
• ลากรองจ์: สมการสเกลาร์ตามฟังก์ชันสถานะที่เกี่ยวข้องกับจลน์ศาสตร์และศักย์ไฟฟ้า พลังงาน
• จำนวนพันธบัตร: วิธีการตามการไหล พลังระหว่างองค์ประกอบระบบ

เริ่มต้นด้วย ตัวอย่างง่ายๆ- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์ เราละเลยแรงโน้มถ่วง

รูปที่ 1- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์

ก่อนอื่นเรากำหนด:

• ระบบเริ่มต้นพิกัด(NSK) หรือ SK คงที่ R0(i0,j0,k0)- ที่ไหน? คุณสามารถชี้นิ้วของคุณขึ้นไปบนฟ้าได้ แต่ด้วยการกระตุกส่วนปลายของเซลล์ประสาทในสมอง แนวคิดนี้ก็ส่งผ่านไปยังการวาง NSC บนแนวการเคลื่อนไหวของร่างกาย M1
• ระบบพิกัดของร่างกายแต่ละส่วนด้วยมวล(เรามี M1 R1(i1,j1,k1)) การวางแนวอาจเป็นไปตามอำเภอใจ แต่ทำไมชีวิตของคุณถึงซับซ้อน ตั้งค่าให้มีความแตกต่างน้อยที่สุดจาก NSC
• พิกัดทั่วไป คิว_ฉัน (ปริมาณขั้นต่ำตัวแปรที่สามารถอธิบายการเคลื่อนไหวได้) ใน ในตัวอย่างนี้พิกัดทั่วไปหนึ่งพิกัด เคลื่อนที่ตามแกน j เท่านั้น

รูปที่ 2- เราวางระบบพิกัดและพิกัดทั่วไป

รูปที่ 3- ตำแหน่งและความเร็วของร่างกาย M1

จากนั้นเราจะค้นหาพลังงานจลน์ (C) และพลังงานศักย์ (P) และฟังก์ชันการกระจาย (D) สำหรับแดมเปอร์โดยใช้สูตร:

รูปที่ 4- สูตรพลังงานจลน์ที่สมบูรณ์

ในตัวอย่างของเรา ไม่มีการหมุน องค์ประกอบที่สองคือ 0

รูปที่ 5- การคำนวณจลน์ พลังงานศักย์ และฟังก์ชันการกระจาย

สมการลากรองจ์มีรูปแบบดังนี้

รูปที่ 6- สมการลากรองจ์และลากรองจ์

เดลต้า W_iนี้ งานเสมือนจริงสมบูรณ์แบบด้วยแรงและช่วงเวลาที่ใช้ มาหาเธอกันเถอะ:

รูปที่ 7- การคำนวณงานเสมือนจริง

ที่ไหน เดลต้า q_1การเคลื่อนไหวเสมือนจริง

เราแทนทุกอย่างลงในสมการลากรองจ์:

รูปที่ 8- ผลลัพธ์ที่ได้คือโมเดลมวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์

นี่คือจุดที่วิธีการของลากรองจ์สิ้นสุดลง อย่างที่คุณเห็น มันไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น แต่ก็ยังเป็นตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งส่วนใหญ่แล้ววิธีของนิวตัน-ออยเลอร์จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ สำหรับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีวัตถุหลายชิ้นหมุนสัมพันธ์กันในมุมที่ต่างกัน วิธีลากรองจ์จะง่ายกว่า

วิธีพันธบัตรกราฟ

ฉันจะแสดงให้คุณดูทันทีว่าแบบจำลองนี้มีลักษณะอย่างไรในกราฟบอนด์สำหรับตัวอย่างที่มีมวล สปริง และแดมเปอร์:

รูปที่ 9- มวลกราฟบอนด์พร้อมสปริงและแดมเปอร์

ที่นี่คุณจะต้องบอกทฤษฎีเล็กน้อยซึ่งเพียงพอที่จะสร้างได้ โมเดลที่เรียบง่าย- หากใครสนใจสามารถอ่านหนังสือได้ ( กราฟพันธบัตรระเบียบวิธี) หรือ ( โวโรนิน เอ.วี. การสร้างแบบจำลองระบบเมคคาทรอนิกส์: คู่มือการฝึกอบรม- – ตอมสค์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคทอมสค์, 2551).

ให้เราพิจารณาก่อนว่า ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยหลายโดเมน ตัวอย่างเช่น มอเตอร์ไฟฟ้าประกอบด้วยมอเตอร์ไฟฟ้าและ ชิ้นส่วนเครื่องจักรกลหรือโดเมน

กราฟพันธบัตรโดยอาศัยการแลกเปลี่ยนอำนาจระหว่างโดเมนระบบย่อยเหล่านี้ โปรดทราบว่าการแลกเปลี่ยนพลังงานไม่ว่าจะในรูปแบบใดก็ตาม จะถูกกำหนดโดยตัวแปรสองตัวเสมอ ( พลังงานที่แปรผัน ) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถศึกษาปฏิสัมพันธ์ได้ ระบบย่อยต่างๆเป็นส่วนหนึ่งของระบบไดนามิก (ดูตาราง)

ดังที่เห็นจากตาราง การแสดงออกของอำนาจแทบจะเหมือนกันทุกที่ โดยสรุป พลัง- งานนี้” ไหล - ฉ" ถึง " ความพยายาม - อี».

ความพยายาม(ภาษาอังกฤษ) ความพยายาม) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือแรงดันไฟฟ้า (e) ในโดเมนทางกลคือแรง (F) หรือแรงบิด (T) ในระบบไฮดรอลิกคือความดัน (p)

ไหล(ภาษาอังกฤษ) ไหล) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือกระแส (i) ในโดเมนทางกลคือความเร็ว (v) หรือ ความเร็วเชิงมุม(โอเมก้า) ในระบบชลศาสตร์ – การไหลของของไหลหรืออัตราการไหล (Q)

จากสัญลักษณ์เหล่านี้ เราได้สำนวนแสดงพลัง:

รูปที่ 10- สูตรกำลังผ่านตัวแปรกำลัง

ในภาษากราฟบอนด์ การเชื่อมต่อระหว่างสองระบบย่อยที่แลกเปลี่ยนพลังงานจะแสดงด้วยพันธะ พันธบัตร- จึงเรียกวิธีนี้ว่า กราฟพันธบัตรหรือก การเชื่อมต่อ raf, กราฟที่เชื่อมต่อ- ลองพิจารณาดู แผนภาพบล็อกการเชื่อมต่อในรุ่นที่มีมอเตอร์ไฟฟ้า (ยังไม่ใช่กราฟบอนด์):

รูปที่ 11- บล็อกไดอะแกรมการไหลของพลังงานระหว่างโดเมน

หากเรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าก็จะสร้างแรงดันไฟฟ้าและถ่ายโอนไปยังมอเตอร์เพื่อม้วน (นี่คือสาเหตุที่ลูกศรชี้ไปที่มอเตอร์) ขึ้นอยู่กับความต้านทานของขดลวดกระแสจะปรากฏขึ้นตามกฎของโอห์ม (กำกับ จากมอเตอร์ไปยังแหล่งกำเนิด) ดังนั้น ตัวแปรหนึ่งจะเป็นอินพุตไปยังระบบย่อย และตัวแปรตัวที่สองจะต้องเป็น ออกจากระบบย่อย นี่คือแรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) – อินพุต, กระแส ( ไหล) - ออก

หากคุณใช้แหล่งที่มาปัจจุบัน แผนภาพจะเปลี่ยนไปอย่างไร ขวา. กระแสไฟฟ้าจะถูกส่งไปยังมอเตอร์และแรงดันไฟฟ้าไปยังแหล่งกำเนิด แล้วปัจจุบัน ( ไหล) – อินพุต, แรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) - ออก

ลองดูตัวอย่างในกลศาสตร์ แรงที่กระทำต่อมวล

รูปที่ 12- แรงที่กระทำต่อมวล

แผนภาพบล็อกจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 13- บล็อกไดอะแกรม

ในตัวอย่างนี้ ความแรง ( ความพยายาม) – ตัวแปรอินพุตสำหรับมวล (แรงที่กระทำต่อมวล)
ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

มวลตอบสนองด้วยความเร็ว:

ในตัวอย่างนี้ ถ้ามีตัวแปรตัวเดียว ( ความแข็งแกร่ง - ความพยายาม) เป็น ทางเข้าเข้าสู่โดเมนทางกล จากนั้นก็มีตัวแปรกำลังอีกตัวหนึ่ง ( ความเร็ว - ไหล) – กลายเป็นโดยอัตโนมัติ ออก.

เพื่อแยกแยะว่าอินพุตอยู่ที่ไหนและเอาต์พุตอยู่ที่ไหน จะใช้ข้อมูลนั้น เส้นแนวตั้งที่ปลายลูกศร (การเชื่อมต่อ) ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ เรียกว่าบรรทัดนี้ สัญญาณของสาเหตุ หรือ สาเหตุ (สาเหตุ- ปรากฎว่าแรงที่ใช้เป็นสาเหตุ และความเร็วเป็นผล เครื่องหมายนี้มีความสำคัญมากสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบที่ถูกต้อง เนื่องจากความเป็นเหตุเป็นผลเป็นผลมาจากพฤติกรรมทางกายภาพและการแลกเปลี่ยนพลังของระบบย่อยทั้งสอง ดังนั้นการเลือกตำแหน่งของเครื่องหมายเชิงสาเหตุจึงไม่สามารถกำหนดเองได้

รูปที่ 14- การกำหนดสาเหตุ

เส้นแนวตั้งนี้แสดงว่าระบบย่อยใดที่ได้รับแรง ( ความพยายาม) และเป็นผลให้เกิดกระแส ( ไหล- ในตัวอย่างที่มีมวลมันจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 14- ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุสำหรับแรงที่กระทำต่อมวล

จากลูกศรจะชัดเจนว่าอินพุตสำหรับมวลคือ - ความแข็งแกร่งและผลลัพธ์ก็คือ ความเร็ว- ทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้แผนภาพมีลูกศรยุ่งเหยิงและจัดระบบการก่อสร้างแบบจำลอง

ต่อไป จุดสำคัญ. แรงกระตุ้นทั่วไป(ปริมาณการเคลื่อนไหว) และ การย้าย(ตัวแปรพลังงาน).

ตารางตัวแปรกำลังและพลังงานในโดเมนต่างๆ

ตารางด้านบนแนะนำปริมาณทางกายภาพเพิ่มเติมอีกสองปริมาณที่ใช้ วิธีกราฟพันธบัตร- พวกเขาถูกเรียกว่า แรงกระตุ้นทั่วไป (ร) และ การเคลื่อนไหวทั่วไป (ถาม) หรือตัวแปรพลังงาน และสามารถได้รับโดยการรวมตัวแปรพลังงานเมื่อเวลาผ่านไป:

รูปที่ 15- ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกำลังและพลังงาน

ในด้านไฟฟ้า :

ตามกฎของฟาราเดย์ แรงดันไฟฟ้าที่ปลายตัวนำจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านตัวนำนี้

ก ความแข็งแกร่งในปัจจุบัน - ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของปริมาณประจุ Q ที่ผ่านหน้าตัดของตัวนำในช่วงเวลาหนึ่ง t ต่อค่าของช่วงเวลานี้

โดเมนเครื่องกล:

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน จะได้ ความแข็งแกร่ง– อนุพันธ์ของเวลาของแรงกระตุ้น

และด้วยเหตุนี้ ความเร็ว- อนุพันธ์ตามเวลาของการกระจัด:

มาสรุปกัน:

องค์ประกอบพื้นฐาน

องค์ประกอบทั้งหมดใน ระบบไดนามิกสามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบสองขั้วและสี่ขั้ว
ลองพิจารณาดู ส่วนประกอบสองขั้ว:

แหล่งที่มา
มีทั้งที่มาของความพยายามและความลื่นไหล การเปรียบเทียบในโดเมนทางไฟฟ้า: แหล่งที่มาของความพยายาม – แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า, แหล่งสตรีม – แหล่งที่มาปัจจุบัน- สัญญาณสาเหตุแหล่งที่มาควรเป็นเช่นนี้เท่านั้น

รูปที่ 16- การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุและการกำหนดแหล่งที่มา

ส่วนประกอบอาร์ – องค์ประกอบกระจาย

องค์ประกอบที่ 1 – องค์ประกอบเฉื่อย

องค์ประกอบ C – องค์ประกอบตัวเก็บประจุ

ดังจะเห็นได้จากรูป องค์ประกอบที่แตกต่างกันหนึ่ง พิมพ์ R,C,Iอธิบายด้วยสมการเดียวกัน เท่านั้นที่มีความแตกต่างสำหรับ ความจุไฟฟ้าคุณแค่ต้องจำสิ่งนี้ไว้!

ส่วนประกอบสี่เท่า:

ลองดูองค์ประกอบสองอย่าง: หม้อแปลงไฟฟ้าและไจเรเตอร์

องค์ประกอบสุดท้ายที่สำคัญในวิธีกราฟบอนด์คือการเชื่อมต่อ โหนดมีสองประเภท:

นั่นก็คือส่วนประกอบนั่นเอง

ขั้นตอนหลักในการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจากสร้างกราฟบอนด์:

1. วางลง การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุทุกคน แหล่งที่มา
2. ตรวจดูโหนดทั้งหมดและวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจุดที่ 1
3. สำหรับ ส่วนประกอบ Iกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุอินพุต (ความพยายามรวมอยู่ในองค์ประกอบนี้) สำหรับ ส่วนประกอบ Cกำหนดสาเหตุของผลลัพธ์ (ความพยายามออกมาจากองค์ประกอบนี้)
4. ทำซ้ำจุดที่ 2
5. แทรกการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุสำหรับ ส่วนประกอบอาร์

นี่เป็นการสรุปหลักสูตรย่อยเกี่ยวกับทฤษฎี ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่จำเป็นในการสร้างโมเดลแล้ว
ลองแก้ตัวอย่างสองสามตัวอย่าง เริ่มต้นด้วย วงจรไฟฟ้าเป็นการดีกว่าที่จะเข้าใจการเปรียบเทียบการสร้างกราฟพันธบัตร

ตัวอย่างที่ 1

มาเริ่มสร้างกราฟบอนด์ที่มีแหล่งจ่ายแรงดันกันดีกว่า แค่เขียน Se แล้วใส่ลูกศร

ดูสิทุกอย่างเรียบง่าย! ลองดูเพิ่มเติมว่า R และ L เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมซึ่งหมายความว่ากระแสเดียวกันจะไหลในนั้นถ้าเราพูดในตัวแปรกำลัง - การไหลเดียวกัน โหนดใดมีโฟลว์เหมือนกัน คำตอบที่ถูกต้องคือ 1 โหนด เราเชื่อมต่อแหล่งกำเนิดความต้านทาน (ส่วนประกอบ - R) และความเหนี่ยวนำ (ส่วนประกอบ - I) เข้ากับ 1 โหนด

ต่อไป เรามีความจุและความต้านทานแบบขนาน ซึ่งหมายความว่ามี แรงดันไฟฟ้าเดียวกันหรือความพยายาม 0-node มีความเหมาะสมไม่เหมือนใคร เราเชื่อมต่อความจุ (ส่วนประกอบ C) และความต้านทาน (ส่วนประกอบ R) กับ 0-node

เรายังเชื่อมต่อโหนด 1 และ 0 เข้าด้วยกัน ทิศทางของลูกศรถูกเลือกโดยพลการ ทิศทางของการเชื่อมต่อจะมีผลกับเครื่องหมายในสมการเท่านั้น

คุณจะได้กราฟการเชื่อมต่อดังนี้:

ตอนนี้เราจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ ทำตามคำแนะนำสำหรับลำดับตำแหน่ง เรามาเริ่มกันที่แหล่งที่มากันก่อน

1. เรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้า (ความพยายาม) แหล่งกำเนิดดังกล่าวมีตัวเลือกเชิงสาเหตุเพียงตัวเลือกเดียว - เอาต์พุต มาใส่กันเถอะ
2. ต่อไปเป็นส่วนประกอบ I มาดูสิ่งที่พวกเขาแนะนำกันดีกว่า เราใส่
3. เราวางมันลงสำหรับ 1 โหนด กิน
4. โหนด 0 ต้องมีหนึ่งอินพุตและการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุเอาต์พุตทั้งหมด ตอนนี้เรามีวันหยุดหนึ่งวัน เรากำลังมองหาส่วนประกอบ C หรือ I เราพบแล้ว เราใส่
5. มาแสดงรายการสิ่งที่เหลืออยู่

แค่นั้นแหละ. มีการสร้างกราฟพันธบัตร ไชโยสหาย!

สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนสมการที่อธิบายระบบของเรา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สร้างตารางที่มี 3 คอลัมน์ อันแรกจะประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งหมดของระบบ ส่วนอันที่สองจะมีตัวแปรอินพุตสำหรับแต่ละองค์ประกอบ และอันที่สามจะมีตัวแปรเอาต์พุตสำหรับส่วนประกอบเดียวกัน เราได้กำหนดอินพุตและเอาต์พุตตามความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแล้ว ดังนั้นจึงไม่น่าจะมีปัญหาใดๆ

เรามากำหนดหมายเลขการเชื่อมต่อแต่ละรายการกันเพื่อความสะดวกในการบันทึกระดับ เราใช้สมการสำหรับแต่ละองค์ประกอบจากรายการส่วนประกอบ C, R, I

โดยการรวบรวมตารางเราจะกำหนด ตัวแปรสถานะในตัวอย่างนี้ มี 2 ตัว ได้แก่ p3 และ q5 ต่อไปคุณต้องเขียนสมการสถานะ:

เพียงเท่านี้โมเดลก็พร้อมแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ฉันอยากจะขอโทษทันทีสำหรับคุณภาพของภาพถ่าย สิ่งสำคัญคือคุณสามารถอ่านได้

เรามาแก้อีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับระบบกลไก ซึ่งเป็นระบบเดียวกับที่เราแก้โดยใช้วิธีลากรองจ์ ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยไม่มีความคิดเห็น เรามาตรวจสอบว่าวิธีใดต่อไปนี้ง่ายกว่าและง่ายกว่า

ใน Matbala มีการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งสองที่มีพารามิเตอร์เดียวกัน ซึ่งได้มาจากวิธี Lagrange และกราฟบอนด์ ผลลัพธ์อยู่ด้านล่าง: เพิ่มแท็ก

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1) .
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:

• วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ลองพิจารณาแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยใช้วิธีลากรองจ์

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ในการแปรผันของวิธีคงที่ เราจะแก้สมการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทำให้สมการดั้งเดิมง่ายขึ้นและแก้สมการเอกพันธ์ ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่ของการรวมที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชัน แล้วเราก็มองหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการดั้งเดิม

พิจารณาสมการ:
(1)

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

เรากำลังมองหาคำตอบของสมการเอกพันธ์:

นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน

เราแยกตัวแปร - คูณด้วย dx หารด้วย y:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลเหนือ y - ตาราง:

แล้ว

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C แล้วลบเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งลงมาเพื่อคูณด้วยค่าคงที่ ±1ซึ่งเราจะรวมไว้ใน C:

ขั้นตอนที่ 2 แทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน

ทีนี้ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
นั่นคือเราจะหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบ:
(2)
การหาอนุพันธ์

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

.
แทนลงในสมการเดิม (1) :
(1) ;

.
สมาชิกสองคนลดลง:
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทน. (2) :
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง:
.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

แก้สมการ

สารละลาย

เราแก้สมการเอกพันธ์:

เราแยกตัวแปร:

คูณด้วย:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลแบบตาราง:

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C และลบเครื่องหมายมอดุลัสออก:

จากที่นี่:

ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชันของ x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)

ค้นหาอนุพันธ์:
.
แทนลงในสมการดั้งเดิม:
;
;
หรือ:
;
.
มาบูรณาการกัน:
;
การแก้สมการ:
.

อันดับแรก พิจารณากรณีของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวก่อน ปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ที่จุด $M_0(x_0;y_0)$ คือปลายสุดของฟังก์ชันนี้ ซึ่งทำได้ภายใต้เงื่อนไขว่าตัวแปร $x$ และ $y$ ใน บริเวณใกล้เคียงจุดนี้เป็นไปตามสมการการเชื่อมต่อ $\ varphi (x,y)=0$

ชื่อ “เงื่อนไข” สุดขั้วเกิดจากการที่เงื่อนไขเพิ่มเติม $\varphi(x,y)=0$ ถูกกำหนดให้กับตัวแปร ถ้าตัวแปรตัวหนึ่งสามารถแสดงจากสมการการเชื่อมต่อผ่านอีกสมการหนึ่งได้ ปัญหาในการกำหนดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขก็จะลดลงเหลือเพียงปัญหาในการกำหนดปลายสุดตามปกติของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากสมการการเชื่อมต่อหมายถึง $y=\psi(x)$ จากนั้นแทนที่ $y=\psi(x)$ ลงใน $z=f(x,y)$ เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปร $z หนึ่งตัว =f\ซ้าย (x,\psi(x)\right)$. อย่างไรก็ตาม ในกรณีทั่วไป วิธีการนี้มีประโยชน์น้อย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการแนะนำอัลกอริธึมใหม่

วิธีตัวคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

วิธีตัวคูณลากรองจ์ประกอบด้วยการสร้างฟังก์ชันลากรองจ์เพื่อค้นหาปลายสุดที่มีเงื่อนไข: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (พารามิเตอร์ $\lambda$ เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์) ข้อกำหนดเบื้องต้นสุดขั้วได้มาจากระบบสมการซึ่งกำหนดจุดคงที่:

$$ \left \( \begin(ชิด) & \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x)=0;\\ & \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(ชิด) \right

เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งสามารถกำหนดลักษณะของจุดปลายสุดได้คือเครื่องหมาย $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. ถ้า ณ จุดคงที่ $d^2F > 0$ ดังนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะมีค่าต่ำสุดแบบมีเงื่อนไข ณ จุดนี้ แต่ถ้า $d^2F< 0$, то условный максимум.

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดลักษณะของภาวะสุดขั้ว จากสมการคู่ควบที่เราได้รับ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ ดังนั้น ณ จุดที่หยุดนิ่งใดๆ เราก็จะได้:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

ปัจจัยที่สอง (อยู่ในวงเล็บ) สามารถแสดงในรูปแบบนี้:

องค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์ $\left| จะถูกเน้นด้วยสีแดง \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$ ซึ่งเป็น Hessian ของฟังก์ชัน Lagrange ถ้า $H > 0$ แล้ว $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$ เช่น เรามีฟังก์ชันขั้นต่ำแบบมีเงื่อนไข $z=f(x,y)$

หมายเหตุเกี่ยวกับสัญกรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ $H$ แสดง\ซ่อน

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \right| -

ในสถานการณ์นี้ กฎที่กำหนดไว้ข้างต้นจะเปลี่ยนแปลงดังนี้: ถ้า $H > 0$ ฟังก์ชันจะมีเงื่อนไขขั้นต่ำ และถ้า $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวสำหรับสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข

1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์ $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. แก้โจทย์ระบบ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(ชิด) \right.$
3. กำหนดลักษณะของจุดสุดขั้วในแต่ละจุดที่อยู่นิ่งที่พบในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
   • เขียนดีเทอร์มิแนนต์ของ $H$ แล้วหาเครื่องหมายของมัน
   • โดยคำนึงถึงสมการการควบคู่ ให้คำนวณเครื่องหมายของ $d^2F$

วิธีตัวคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว

สมมติว่าเรามีฟังก์ชันของตัวแปร $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ และสมการคู่ควบ $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; - \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

แทนตัวคูณลากรองจ์เป็น $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ เราจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขนั้นกำหนดโดยระบบสมการซึ่งพบพิกัดของจุดที่นิ่งและค่าของตัวคูณลากรองจ์:

$$\left\(\begin(ชิด) & \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(ชิด) \right.$$

คุณสามารถค้นหาได้ว่าฟังก์ชันมีเงื่อนไขต่ำสุดหรือสูงสุดแบบมีเงื่อนไขที่จุดที่พบเหมือนเมื่อก่อน โดยใช้เครื่องหมาย $d^2F$ หาก ณ จุดที่พบ $d^2F > 0$ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีเงื่อนไขขั้นต่ำ แต่ถ้า $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

ตัวกำหนดของเมทริกซ์ $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\บางส่วน x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(1)\บางส่วน x_(3)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(1)\บางส่วน x_(n)) \\ \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(2)\บางส่วน x_1) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(2)^(2)) & \frac(\บางส่วน^2F )(\บางส่วน x_(2)\บางส่วน x_(3)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(2)\บางส่วน x_(n))\\ \frac(\บางส่วน^2F )(\บางส่วน x_(3) \บางส่วน x_(1)) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(3)\บางส่วน x_(2)) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(3)\บางส่วน x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)\บางส่วน x_(1)) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)\บางส่วน x_(2)) & \ frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)\บางส่วน x_(3)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ ซึ่งเน้นด้วยสีแดงในเมทริกซ์ $L$ คือ Hessian ของฟังก์ชันลากรองจ์ เราใช้กฎต่อไปนี้:

• หากสัญญาณของผู้เยาว์เชิงมุม $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ เมทริกซ์ $L$ ตรงกับเครื่องหมาย $(-1)^m$ ดังนั้นจุดที่คงที่ภายใต้การศึกษาคือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• หากสัญญาณของผู้เยาว์เชิงมุม $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ สลับกัน และเครื่องหมายของ $H_(2m+1)$ รองเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของตัวเลข $(-1)^(m+1 )$ จากนั้นจุดคงที่คือจุดสูงสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$

ตัวอย่างหมายเลข 1

หา สุดขั้วตามเงื่อนไขฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ภายใต้เงื่อนไข $x^2+y^2=10$

การตีความทางเรขาคณิตของปัญหานี้มีดังนี้: จำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของแอปพลิเคชันของระนาบ $z=x+3y$ สำหรับจุดตัดกับทรงกระบอก $x^2+y ^2=10$.

ค่อนข้างยากที่จะแสดงตัวแปรหนึ่งผ่านอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการคัปปลิ้งและแทนที่มันลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ดังนั้นเราจะใช้วิธีลากรองจ์

แทน $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x)=1+2\แลมบ์ดา x; \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน y)=3+2\lambda y -

ให้เราเขียนระบบสมการเพื่อหาจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ \left \( \begin(ชิด) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (จัดแนว)\right.$$

หากเราสมมติ $\lambda=0$ สมการแรกจะกลายเป็น: $1=0$ ผลความขัดแย้งบ่งชี้ว่า $\lambda\neq 0$ ภายใต้เงื่อนไข $\lambda\neq 0$ จากสมการแรกและสมการที่สองที่เรามี: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสมการที่สามเราจะได้:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\แลมบ์ดา^2)+\frac(9)(4\แลมบ์ดา^2)=10; \แลมบ์ดา^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(ชิด) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2) \end(ชิด) \right.\\ \begin(ชิด) & \lambda_1=-\frac(1)(2); - x_1=-\frac(1)(2\แลมบ์ดา_1)=1; - y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); - x_2=-\frac(1)(2\แลมบ์ดา_2)=-1; - y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(ชิด) $$

ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาสองวิธี: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ และ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ให้เราค้นหาลักษณะของจุดสุดขั้วที่จุดคงที่แต่ละจุด: $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $H$ ในแต่ละจุด

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\แลมบ์ดา;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(อาร์เรย์) \right|= \ซ้าย| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| -

ณ จุดที่ $M_1(1;3)$ เราได้รับ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$ ดังนั้นที่ ชี้ ฟังก์ชัน $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ มีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=z(1;3)=10$

ในทำนองเดียวกัน ณ จุด $M_2(-1,-3)$ เราพบว่า: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. ตั้งแต่ $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

ฉันสังเกตว่าแทนที่จะคำนวณค่าของดีเทอร์มิแนนต์ $H$ ในแต่ละจุด จะสะดวกกว่ามากที่จะขยายเข้าไป มุมมองทั่วไป- เพื่อไม่ให้ข้อความมีรายละเอียดยุ่งเหยิง ฉันจะซ่อนวิธีนี้ไว้ใต้บันทึกย่อ

การเขียนดีเทอร์มิแนนต์ $H$ ในรูปแบบทั่วไป แสดง\ซ่อน

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right) -

โดยหลักการแล้ว เห็นได้ชัดว่า $H$ มีสัญญาณอะไร เนื่องจากไม่มีจุด $M_1$ หรือ $M_2$ ตรงกับจุดกำเนิด ดังนั้น $y^2+x^2>0$ ดังนั้น เครื่องหมายของ $H$ จึงอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของ $\lambda$ คุณสามารถทำการคำนวณให้เสร็จสิ้นได้:

$$ \begin(ชิด) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40 \end(ชิด) $$

คำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของจุดปลายสุดที่จุดคงที่ $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์ $H$ ลองหาสัญลักษณ์ของ $d^2F$ ในแต่ละจุดที่อยู่นิ่ง:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\แลมบ์ดา \left( dx^2+dy^2\right) $$

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ $dx^2$ หมายถึง $dx$ ยกกำลังสองอย่างแน่นอน กล่าวคือ $\ซ้าย(dx \right)^2$. ดังนั้นเราจึงได้: $dx^2+dy^2>0$ ดังนั้น เมื่อ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ เราจะได้ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

คำตอบ: ณ จุด $(-1;-3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=-10$ ณ จุดที่ $(1;3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=10$

ตัวอย่างหมายเลข 2

ค้นหาปลายสุดมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ภายใต้เงื่อนไข $x+y=0$

วิธีแรก (วิธีตัวคูณ Lagrange)

แทน $\varphi(x,y)=x+y$ เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\แลมบ์ดา(x+y)$

$$ \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x)=8x-y+\lambda; - \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(ชิด) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ แลมบ์ดา=0; \\ & x+y=0 \end(ชิด) \right

หลังจากแก้ไขระบบแล้ว เราได้: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ และ $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\แลมบ์ดา_2=-10$. เรามีจุดคงที่สองจุด: $M_1(0;0)$ และ $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$ ให้เราค้นหาธรรมชาติของจุดสุดขั้วที่จุดคงที่แต่ละจุดโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ $H$

$$H=\ซ้าย| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(อาร์เรย์) \right|= \ซ้าย| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

ณ จุด $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=\frac(500)(243)$

เราตรวจสอบธรรมชาติของจุดสุดขั้วในแต่ละจุดโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน โดยยึดตามสัญลักษณ์ของ $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(ปปป)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

จากสมการการเชื่อมต่อ $x+y=0$ เราได้: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

เนื่องจาก $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ดังนั้น $M_1(0;0)$ คือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$ ในทำนองเดียวกัน $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

วิธีที่สอง

จากสมการการเชื่อมต่อ $x+y=0$ เราจะได้: $y=-x$ เมื่อแทน $y=-x$ ลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ เราจะได้ฟังก์ชันหนึ่งของตัวแปร $x$ ลองแสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็น $u(x)$:

$$ ยู(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2 -

ดังนั้นเราจึงลดปัญหาในการค้นหาปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวให้เหลือเพียงปัญหาในการกำหนดปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9); \;

เราได้รับคะแนน $M_1(0;0)$ และ $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ การวิจัยเพิ่มเติมจากหลักสูตรนี้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ฟังก์ชันที่มีตัวแปรเดียว โดยการตรวจสอบเครื่องหมาย $u_(xx)^("")$ ที่จุดคงที่แต่ละจุดหรือตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมาย $u_(x)^(")$ ที่จุดที่พบ เราจะได้ข้อสรุปเช่นเดียวกับเมื่อ แก้ด้วยวิธีแรก เช่น เราจะตรวจสอบเครื่องหมาย $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

เนื่องจาก $u_(xx)^("")(M_1)>0$ ดังนั้น $M_1$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $u(x)$ และ $u_(\min)=u(0)=0 $ . ตั้งแต่ $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

ค่าของฟังก์ชัน $u(x)$ สำหรับเงื่อนไขการเชื่อมต่อที่กำหนดตรงกับค่าของฟังก์ชัน $z(x,y)$ เช่น สุดขั้วที่พบของฟังก์ชัน $u(x)$ คือสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขที่ต้องการของฟังก์ชัน $z(x,y)$

คำตอบ: ณ จุด $(0;0)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=0$ ณ จุดที่ $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุดแบบมีเงื่อนไข $z_(\max)=\frac(500)(243 )$

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งที่เราจะอธิบายลักษณะของจุดสุดโต่งโดยการกำหนดเครื่องหมายของ $d^2F$

ตัวอย่างหมายเลข 3

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน $z=5xy-4$ หากตัวแปร $x$ และ $y$ เป็นบวกและเป็นไปตามสมการการควบคู่ $\frac(x^2)(8)+\frac( ย^2)(2) -1=0$.

ลองเขียนฟังก์ชันลากรองจ์: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$ มาหาจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(ชิด) & 5y+\frac(\แลมบ์ดา x)(4)=0;\\ & 5x+\แลมบ์ดา y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;

การแปลงเพิ่มเติมทั้งหมดจะดำเนินการโดยคำนึงถึง $x > 0; - y > 0$ (ระบุไว้ในคำสั่งปัญหา) จากสมการที่สอง เราแสดง $\lambda=-\frac(5x)(y)$ และแทนค่าที่พบลงในสมการแรก: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$ เมื่อแทน $x=2y$ ลงในสมการที่สาม เราจะได้: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

เนื่องจาก $y=1$ จากนั้น $x=2$, $\lambda=-10$ เรากำหนดลักษณะของจุดปลายสุดที่จุด $(2;1)$ ตามเครื่องหมายของ $d^2F$

$$ F_(xx)^("")=\frac(\แลมบ์ดา)(4); - F_(xy)^("")=5; - F_(yy)^("")=\แลมบ์ดา. -

เนื่องจาก $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ดังนั้น:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; - d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; - \frac(x)(4)dx+ydy=0; - dy=-\frac(xdx)(4y) -

โดยหลักการแล้ว ที่นี่คุณสามารถแทนที่พิกัดของจุดที่นิ่ง $x=2$, $y=1$ และพารามิเตอร์ $\lambda=-10$ ได้ทันที จะได้:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); - F_(xy)^("")=-10; - dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2 -

อย่างไรก็ตาม ในปัญหาอื่น ๆ เกี่ยวกับภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข อาจมีจุดที่หยุดนิ่งอยู่หลายจุด ในกรณีเช่นนี้ เป็นการดีกว่าถ้าแสดง $d^2F$ ในรูปแบบทั่วไป แล้วแทนที่พิกัดของจุดคงที่แต่ละจุดที่พบลงในนิพจน์ผลลัพธ์:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\แลมบ์ดา) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\แลมบ์ดา)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\แลมบ์ดา \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

เมื่อแทน $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ เราจะได้:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. -

เนื่องจาก $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

คำตอบ: ณ จุด $(2;1)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=6$

ในส่วนถัดไป เราจะพิจารณาการประยุกต์ใช้เมธอด Lagrange สำหรับฟังก์ชันต่างๆ มากกว่าตัวแปร

โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์เกิดที่เมืองตูริน (อิตาลี) ในครอบครัวชาวอิตาลี-ฝรั่งเศส เขาศึกษาและสอนที่โรงเรียนปืนใหญ่ ในปี 1759 ตามคำแนะนำของออยเลอร์ ลากรองจ์วัย 23 ปีได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของ Berlin Academy of Sciences ในปี พ.ศ. 2309 เขาได้เป็นประธานาธิบดีแล้ว พระเจ้าเฟรดเดอริกที่ 2 เชิญลากรองจ์มาที่เบอร์ลิน หลังจากการตายของเฟรดเดอริกที่ 2 ในปี พ.ศ. 2329 ลากรองจ์ก็ย้ายไปปารีส จากปี 1722 เขาเป็นสมาชิกของ Paris Academy of Sciences ในปี 1795 เขาได้รับการแต่งตั้งให้เป็นสมาชิกของสำนักลองจิจูดและเขามีส่วนร่วมอย่างแข็งขันในการสร้างระบบเมตริกของการวัด วงกลม การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ลากรองจ์กว้างผิดปกติ เน้นเรื่องกลศาสตร์ เรขาคณิต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน และดาราศาสตร์เชิงทฤษฎี ทิศทางหลักของการวิจัยของลากรองจ์คือการเป็นตัวแทนของปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ที่หลากหลายด้วย จุดเดียววิสัยทัศน์. เขาได้สมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบใด ๆ ภายใต้อิทธิพลของแรง ในสาขาดาราศาสตร์ ลากรองจ์ช่วยแก้ปัญหาเสถียรภาพได้มากมาย ระบบสุริยะ- พิสูจน์ให้เห็นกรณีพิเศษบางประการของการเคลื่อนที่อย่างมั่นคง โดยเฉพาะวัตถุขนาดเล็กที่อยู่ในจุดที่เรียกว่าจุดบรรจบกันแบบสามเหลี่ยม

วิธีลากรองจ์─ เป็นวิธีการแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดที่มีข้อจำกัด โดยข้อจำกัดที่เขียนเป็นฟังก์ชันโดยนัยจะถูกรวมเข้ากับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปแบบของสมการใหม่ที่เรียกว่า ลากรองจ์.

ลองพิจารณาดู กรณีพิเศษ งานทั่วไปการเขียนโปรแกรมไม่เชิงเส้น:

เมื่อพิจารณาถึงระบบแล้ว สมการไม่เชิงเส้น (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุด (หรือใหญ่ที่สุด) ของฟังก์ชัน (2)

(2) ฉ(x1,x2,…,xn)

หากไม่มีเงื่อนไขสำหรับตัวแปรที่จะไม่เป็นลบ และ f(x1,x2,…,xn) และ gi(x1,x2,…,xn) จะเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อยของพวกมัน

หากต้องการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้: 1. ป้อนชุดของตัวแปร lam1, lam2,..., lam หรือที่เรียกว่าตัวคูณ Lagrange แล้วเขียนฟังก์ชัน Lagrange (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, แลมบ์ดา,เล2,…,แลม) = f(х1,х2,…,хn)+ เอชi

2. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับตัวแปร xi และ λi แล้วจัดให้เป็นศูนย์

3. การแก้ระบบสมการ ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาอาจมีจุดสุดโต่ง

4. จากจุดที่น่าสงสัยไม่ใช่จุดสุดขั้ว ให้ค้นหาจุดที่ถึงจุดสุดแล้วคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ .

4. เปรียบเทียบค่าที่ได้รับของฟังก์ชัน f และเลือกค่าที่ดีที่สุด

ตามแผนการผลิตบริษัทจำเป็นต้องผลิตสินค้าจำนวน 180 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้สองวิธีทางเทคโนโลยี เมื่อผลิตผลิตภัณฑ์ x1 โดยใช้วิธีที่ 1 ต้นทุนจะอยู่ที่ 4*x1+x1^2 รูเบิล และเมื่อผลิตผลิตภัณฑ์ x2 โดยใช้วิธีที่ II ต้นทุนจะเท่ากับ 8*x2+x2^2 รูเบิล กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ควรผลิตในแต่ละวิธี เพื่อให้ต้นทุนการผลิตรวมมีน้อยที่สุด

วิธีแก้ไข: การกำหนดทางคณิตศาสตร์ของปัญหาคือการกำหนด ค่าต่ำสุดฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2 โดยให้ x1 +x2 = 180

มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กัน:

F(x1,x2,แลมบ์ดา) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+แล*(180-x1-x2)

ลองคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของมันด้วยความเคารพต่อ x1, x2, แลมบ์ดา และจัดให้เป็น 0:

ลองย้าย แล ไปทางด้านขวาของสมการสองสมการแรกแล้วเทียบด้านซ้ายของสมการ เราจะได้ 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 หรือ x1 − x2 = 2

การแก้สมการสุดท้ายร่วมกับสมการ x1 + x2 = 180 เราพบว่า x1 = 91, x2 = 89 นั่นคือเราได้คำตอบที่ตรงตามเงื่อนไข:

มาหาค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f สำหรับค่าของตัวแปรเหล่านี้:

ฉ(x1, x2) = 17278

จุดนี้น่าสงสัยสำหรับจุดสุดขั้ว เมื่อใช้อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง เราสามารถแสดงได้ว่า ณ จุด (91.89) ฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุด