การบูรณาการฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวบางประการ บูรณาการ - MT1205: การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสตร์ - สารสนเทศธุรกิจ

เครื่องคิดเลขแก้ปริพันธ์พร้อมคำอธิบายการกระทำใน DETAIL ในภาษารัสเซียและฟรี!

การแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือบริการออนไลน์ใน ขั้นตอนเดียว:

การแก้อินทิกรัลจำกัดเขต

นี่คือบริการออนไลน์ใน ขั้นตอนเดียว:

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)
• ป้อนขีดจำกัดล่างสำหรับอินทิกรัล
• ป้อนขีดจำกัดบนสำหรับอินทิกรัล

การแก้อินทิกรัลสองเท่า

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)

การแก้อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)
• ป้อนช่วงบนของการรวม (หรือ + อนันต์)
• เข้าสู่ขอบเขตล่างของการบูรณาการ (หรือ - อนันต์)

การแก้อินทิกรัลสามตัว

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)
• ป้อนขีดจำกัดล่างและบนสำหรับขอบเขตการรวมแรก
• ป้อนขีดจำกัดล่างและบนสำหรับขอบเขตการรวมที่สอง
• ป้อนขีดจำกัดล่างและบนสำหรับภูมิภาคที่สามของการผสานรวม

บริการนี้ช่วยให้คุณสามารถตรวจสอบของคุณ การคำนวณเพื่อความถูกต้อง

ความเป็นไปได้

• รองรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ไซน์, โคไซน์, เลขชี้กำลัง, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์, รากที่สองและลูกบาศก์, กำลัง, เลขชี้กำลัง และอื่นๆ
• มีตัวอย่างสำหรับการป้อนข้อมูล ทั้งอินทิกรัลไม่ จำกัด และอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมและแน่นอน
• แก้ไขข้อผิดพลาดในนิพจน์ที่คุณป้อนและเสนอตัวเลือกสำหรับการป้อนข้อมูลของคุณเอง
• ผลเฉลยเชิงตัวเลขสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนและที่ไม่เหมาะสม (รวมถึงอินทิกรัลสองเท่าและสาม)
• รองรับจำนวนเชิงซ้อน รวมถึงพารามิเตอร์ต่างๆ (คุณสามารถระบุไม่เพียงแต่ตัวแปรการรวมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวแปรพารามิเตอร์อื่นๆ ในนิพจน์ปริพันธ์ด้วย)

ไม่มีวิธีสากลในการแก้สมการไร้เหตุผล เนื่องจากระดับของสมการต่างกันในปริมาณ บทความนี้จะเน้นย้ำถึงลักษณะเฉพาะของสมการที่มีการทดแทนโดยใช้วิธีการอินทิเกรต

ในการใช้วิธีการอินทิเกรตโดยตรง จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดประเภท ∫ k x + b p d x โดยที่ p คือเศษส่วนตรรกยะ k และ b เป็นสัมประสิทธิ์จริง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาและคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 1 3 x - 1 3 .

สารละลาย

ตามกฎการรวมจำเป็นต้องใช้สูตร ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C และตารางแอนติเดริเวทีฟบ่งชี้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูปสำหรับฟังก์ชันนี้ . เราเข้าใจแล้ว

∫ ง x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 ง x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + ค

คำตอบ:∫ ดี x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + ค .

มีหลายกรณีที่เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการรวมเครื่องหมายส่วนต่างเข้าด้วยกัน สิ่งนี้แก้ไขได้โดยหลักการในการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ f " (x) · (f (x)) p d x เมื่อค่าของ p ถือเป็นเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2

จงหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx

สารละลาย

โปรดทราบว่า d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x จากนั้นจึงจำเป็นต้องรวมเครื่องหมายอนุพันธ์โดยใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟ เราได้รับสิ่งนั้น

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

คำตอบ:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

การแก้อินทิกรัลไม่จำกัดต้องใช้สูตรในรูปแบบ ∫ d x x 2 + p x + q โดยที่ p และ q เป็นสัมประสิทธิ์จริง จากนั้นคุณจะต้องเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากใต้รูท เราเข้าใจแล้ว

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

เมื่อใช้สูตรที่อยู่ในตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เราได้รับ:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

จากนั้นคำนวณอินทิกรัล:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1

สารละลาย

ในการคำนวณ คุณต้องนำเลข 2 ออกมาแล้ววางไว้หน้าราก:

∫ ง x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ ง x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ ง x x 2 + 3 2 x - 1 2

เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในนิพจน์ราก เราเข้าใจแล้ว

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลไม่จำกัดรูปแบบ 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + ซี

คำตอบ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ใช้ได้กับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = 1 - x 2 + p x + q

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ d x - x 2 + 4 x + 5

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องหากำลังสองของตัวส่วนของนิพจน์จากใต้ราก

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

อินทิกรัลของตารางมีรูปแบบ ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C จากนั้นเราจะได้ ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a rc sin x - 2 3 +ซี

คำตอบ:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C

กระบวนการค้นหาฟังก์ชันหาตรรกยะต้านอนุพันธ์ในรูปแบบ y = M x + N x 2 + p x + q โดยที่ M, N, p, q ที่มีอยู่เป็นสัมประสิทธิ์จริงและคล้ายกับการรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่สาม . การเปลี่ยนแปลงนี้มีหลายขั้นตอน:

รวมส่วนต่างใต้ราก โดยแยกกำลังสองทั้งหมดของนิพจน์ใต้รากโดยใช้สูตรตาราง

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x + 2 x 2 - 3 x + 1

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เรามีคือ d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x และ x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 จากนั้น (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 ง x = 1 2 ง (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ง x .

ลองคำนวณอินทิกรัลกัน: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + ซี

คำตอบ:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

การค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน ∫ x m (a + b x n) p d x ดำเนินการโดยใช้วิธีการทดแทน

เพื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องแนะนำตัวแปรใหม่:

1. เมื่อ p เป็นจำนวนเต็ม ก็จะพิจารณา x = z N และ N เป็นตัวส่วนร่วมของ m, n
2. เมื่อ m + 1 n เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a + b x n = z N และ N เป็นตัวส่วนของ p
3. เมื่อ m + 1 n + p เป็นจำนวนเต็ม ตัวแปร a x - n + b = z N เป็นสิ่งจำเป็น และ N เป็นตัวส่วนของตัวเลข p

ค้นหาอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ 1 x 2 x - 9 dx

สารละลาย

เราได้สิ่งนั้นมา ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x ตามมาว่า m = - 1, n = 1, p = - 1 2 จากนั้น m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 เป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ของแบบฟอร์ม - 9 + 2 x = z 2 จำเป็นต้องเขียน x ในรูปของ z เมื่อผลลัพธ์เราได้รับสิ่งนั้น

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

จำเป็นต้องทำการทดแทนอินทิกรัลที่กำหนด เรามีสิ่งนั้น

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

คำตอบ:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

เพื่อให้การแก้สมการอตรรกยะง่ายขึ้น จึงใช้วิธีการอินทิเกรตพื้นฐาน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ 7.1. ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายที่สุดคือพหุนามของระดับสิบ เช่น ฟังก์ชันของรูปแบบที่มีค่าคงที่จริง และ a0 Ф 0 พหุนาม Qn(x) ซึ่งสัมประสิทธิ์ a0 = 1 เรียกว่าลดลง จำนวนจริง b เรียกว่ารากของพหุนาม Qn(z) ถ้า Q„(b) = 0 เป็นที่ทราบกันว่าพหุนาม Qn(x) แต่ละตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงจะถูกแยกย่อยเป็นปัจจัยที่แท้จริงของรูปแบบโดยที่ p, q เป็นค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง และตัวประกอบกำลังสองไม่มีรากจริง ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นจริงได้ ด้วยการรวมตัวประกอบที่เหมือนกัน (ถ้ามี) และสมมุติว่าพหุนาม Qn(x) ลดลง เราสามารถเขียนการแยกตัวประกอบในรูปแบบที่เป็นจำนวนธรรมชาติได้ เนื่องจากดีกรีของพหุนาม Qn(x) เท่ากับ n ดังนั้นผลรวมของเลขชี้กำลังทั้งหมด a, /3,..., A จึงบวกเข้ากับผลรวมสองเท่าของเลขชี้กำลังทั้งหมด ω,..., q เท่ากัน ถึง n: ราก a ของพหุนามเรียกว่า simple หรือ single ถ้า a = 1 และหลายรายการถ้า a > 1; จำนวน a เรียกว่าหลายหลากของรูท a เช่นเดียวกับรากอื่นของพหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะ f(x) หรือเศษส่วนตรรกยะคืออัตราส่วนของพหุนามสองตัว และสันนิษฐานว่าพหุนาม Pm(x) และ Qn(x) ไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน เศษส่วนตรรกยะเรียกว่าเหมาะสม หากระดับของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าระดับของพหุนามในตัวส่วน เช่น ถ้า m n เศษส่วนตรรกยะจะเรียกว่าเศษส่วนเกิน และในกรณีนี้ การหารตัวเศษด้วยตัวส่วนตามกฎสำหรับการหารพหุนาม ก็สามารถแสดงในรูปแบบที่มีพหุนามบางตัวได้ และ ^^ เป็นค่าที่เหมาะสม เศษส่วนตรรกยะ ตัวอย่างที่ 1 เศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นเศษส่วนเกิน หารด้วย "มุม" เราก็เลยได้ ที่นี่. และมันเป็นเศษส่วนแท้. คำนิยาม. เศษส่วนที่ง่ายที่สุด (หรือระดับประถมศึกษา) คือเศษส่วนตรรกยะของสี่ประเภทต่อไปนี้: โดยที่จำนวนจริง k คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และกำลังสองตรีโนเมียล x2 + px + q ไม่มีรากจริง ดังนั้น -2 _2 เป็นการแยกแยะ ในพีชคณิต ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบท 3 เศษส่วนตรรกยะแท้ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง ตัวส่วนซึ่ง Qn(x) มีรูปแบบจะสลายตัวในลักษณะเฉพาะให้กลายเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายตามกฎ การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การรวมฟังก์ชันไม่ลงตัว การเปลี่ยนตัวออยเลอร์ตัวแรก การแทนที่ออยเลอร์ตัวที่สอง การแทนที่ออยเลอร์ตัวที่สาม ในการขยายนี้มีค่าคงที่จริงบางค่า ซึ่งบางค่าอาจเท่ากับศูนย์ ในการค้นหาค่าคงที่เหล่านี้ ทางขวามือของความเสมอภาค (I) จะถูกหาด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากันของ x ในตัวเศษของด้านซ้ายและขวาจะถูกนำมาเท่ากัน สิ่งนี้ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ใช้หาค่าคงที่ที่ต้องการ - วิธีการหาค่าคงที่ที่ไม่รู้จักนี้เรียกว่าวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ บางครั้งการใช้วิธีอื่นในการค้นหาค่าคงที่ที่ไม่รู้จักจะสะดวกกว่าซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าหลังจากการทำให้ตัวเศษเท่ากันแล้วจะได้รับข้อมูลประจำตัวด้วยความเคารพต่อ x ซึ่งอาร์กิวเมนต์ x จะได้รับค่าบางค่าเช่นค่า ​ของรากทำให้เกิดสมการในการหาค่าคงที่ จะสะดวกเป็นพิเศษถ้าตัวส่วน Q„(x) มีเพียงรากที่เรียบง่ายจริง ๆ เท่านั้น ตัวอย่างที่ 2 แยกเศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย เราแยกตัวส่วนออกเป็นทวีคูณ: เนื่องจากรากของตัวส่วนเป็นจริงและแตกต่างกัน ดังนั้นตามสูตร (1) การสลายตัวของเศษส่วนให้กลายเป็นค่าที่ง่ายที่สุดจึงจะมีรูปแบบ: การลดเกียรติที่ถูกต้อง "ของความเท่าเทียมกันนั้นให้เป็น ตัวหารร่วมและตัวเศษเท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวา เราจะได้ข้อมูลประจำตัวหรือพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A. 2?, C ในสองวิธี วิธีแรก การเท่ากันค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังเท่ากันของ x, tv ด้วย (เทอมอิสระ) และด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์ เราได้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับการค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A, B, C: ระบบนี้มีคำตอบเฉพาะ C วิธีที่สอง เนื่องจากรากของตัวส่วนขาดที่ i 0 เราจึงได้ 2 = 2A ดังนั้น A * 1; g ฉัน 1 เราได้ -1 * -B ซึ่ง 5 * 1; x i 2 เราได้ 2 = 2C โดยที่ C» 1 และการขยายตัวที่ต้องการมีรูปแบบ 3 Rehlozhnt ไม่ใช่เศษส่วนที่ง่ายที่สุด เศษส่วนเหตุผล 4 เราแยกพหุนามซึ่งอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามออกเป็นปัจจัย: . ตัวส่วนมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ: x\ = 0 หลายหลากของการคูณ 3 ดังนั้นการสลายตัวของเศษส่วนนี้จึงไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด: เราพบการลดด้านขวามือให้เป็นตัวส่วนร่วม หรือ วิธีแรก การหาค่าสัมประสิทธิ์ของกำลัง x ที่เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของอัตลักษณ์สุดท้าย เราได้รับระบบสมการเชิงเส้น ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและการขยายที่ต้องการจะเป็นวิธีที่สอง ในผลลัพธ์เอกลักษณ์ เมื่อใส่ x = 0 เราจะได้ 1 a A2 หรือ A2 = 1; field* เกย์ x = -1 เราได้ -3 i B) หรือ Bj i -3 เมื่อแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ A\ และ B) และเอกลักษณ์จะอยู่ในรูปหรือการใส่ x = 0 แล้ว x = -I เราพบว่า = 0, B2 = 0 และ นี่หมายความว่า B\ = 0 ดังนั้นเราจึงได้ตัวอย่างที่ 4 อีกครั้ง ขยายเศษส่วนที่เป็นเหตุเป็นผล 4 เป็นเศษส่วนที่เรียบง่ายกว่า ตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากฟังก์ชัน x2 + 1 จะไม่หายไปสำหรับค่าจริงของ x ดังนั้นการแยกย่อยเป็นเศษส่วนอย่างง่ายควรมีลักษณะดังนี้ จากนี้เราจะได้หรือ เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของกำลังไซแนกซ์ของ x ทางด้านซ้ายและด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้าย เราจะได้ตำแหน่งที่เราค้นหา ดังนั้น ควรสังเกตว่าในบางกรณี การสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่ายสามารถรับได้เร็วและง่ายขึ้นโดยการกระทำ ด้วยวิธีอื่นโดยไม่ใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาการสลายตัวของเศษส่วนในตัวอย่างที่ 3 คุณสามารถเพิ่มและลบในตัวเศษ 3x2 แล้วหารตามที่ระบุด้านล่าง 7.2. การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมสามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนามบางส่วนและเศษส่วนตรรกยะแท้ (§7) และการแทนค่านี้จะไม่ซ้ำกัน การอินทิเกรตพหุนามไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น ให้พิจารณาคำถามเรื่องการอินทิเกรตเศษส่วนที่เป็นตรรกยะที่เหมาะสม เนื่องจากเศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย การอินทิเกรตจึงลดลงเหลือเพียงการอินทิเกรตเศษส่วนอย่างง่าย ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการบูรณาการของพวกเขา สาม. ในการค้นหาอินทิกรัลของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สาม เราแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ของทวินามออกจากกำลังสองของตรีโนเมียล: เนื่องจากเทอมที่สองเท่ากับ a2 โดยที่แล้วจึงทำการทดแทน จากนั้นเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลแล้วเราจะพบว่า: ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอินทิกรัล 4 ฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สาม เนื่องจากกำลังสองตรีโนเมียล x1 + Ax + 6 ไม่มีรากที่แท้จริง (จำแนกได้ เป็นลบ: และตัวเศษมีพหุนามของดีกรีแรก ดังนั้นเราจึงดำเนินการดังนี้: 1) เลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน 2) ทำการทดแทน (ในที่นี้ 3) ด้วย * หนึ่งอินทิกรัล เพื่อค้นหาอินทิกรัลของ เศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ เราใส่ไว้ข้างต้น จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลทางด้านขวาซึ่งแสดงด้วย A และแปลงมันดังนี้ อินทิกรัลทางด้านขวาถูกอินทิกรัลด้วยส่วนต่าง ๆ โดยสมมติว่ามาจากที่ไหนหรือ การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การอินทิเกรตของจำนวนตรรกยะ ฟังก์ชัน การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ การแทนที่ออยเลอร์ที่สอง การแทนที่ที่สาม ออยเลอร์ เราได้สูตรที่เรียกว่าการเกิดซ้ำ ซึ่งช่วยให้เราสามารถค้นหาอินทิกรัล Jk สำหรับ k = 2, 3, ใดๆ - แท้จริงแล้ว อินทิกรัล J\ เป็นแบบตาราง: เมื่อใส่สูตรการเกิดซ้ำ เราจะพบว่าการรู้และการใส่ A = 3 เราสามารถหา Jj ได้อย่างง่ายดาย และอื่นๆ ในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อแทนที่ทุกที่แทนที่จะเป็น t และ a นิพจน์ในรูปของ x และสัมประสิทธิ์ p และ q เราจะได้นิพจน์ในรูปของ x และตัวเลขที่กำหนด M, LG, p, q สำหรับอินทิกรัลเริ่มต้น ตัวอย่างที่ 8 อินทิกรัลใหม่ “ฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ เนื่องจากการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองนั้นเป็นลบ กล่าวคือ ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนไม่มีรากที่แท้จริง และตัวเศษเป็นพหุนามของดีกรี 1 1) เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในตัวส่วน 2) เราทำการทดแทน: อินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ: ใส่สูตรการเกิดซ้ำ * = 2, a3 = 1 เราจะได้และดังนั้นอินทิกรัลที่ต้องการจึงเท่ากับ เมื่อกลับไปที่ตัวแปร x ในที่สุดเราก็ได้ 7.3 กรณีทั่วไป จากผลของย่อหน้า ส่วนที่ 1 และ 2 ของส่วนนี้จะเป็นไปตามทฤษฎีบทที่สำคัญทันที ทฤษฎีบท! 4. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันตรรกยะใด ๆ นั้นมีอยู่เสมอ (ในช่วงเวลาที่ตัวส่วนของเศษส่วน Q″ (x) φ 0) และแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานจำนวน จำกัด กล่าวคือมันคือผลรวมพีชคณิตเงื่อนไข ซึ่งสามารถคูณได้เท่านั้น เศษส่วนตรรกยะ ลอการิทึมธรรมชาติ และอาร์กแทนเจนต์ ดังนั้น ในการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ควรทำดังนี้: 1) ถ้าเศษส่วนตรรกยะไม่เหมาะสม จากนั้นหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ส่วนทั้งหมดจะถูกแยกออก กล่าวคือ ฟังก์ชันนี้ แสดงเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนตรรกยะแท้ 2) จากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนที่เหมาะสมที่ได้จะถูกแบ่งออกเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง 3) เศษส่วนแท้นี้จะถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย 4) การใช้ความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลและสูตรของขั้นตอนที่ 2 จะพบอินทิกรัลของแต่ละเทอมแยกจากกัน ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล M เนื่องจากตัวส่วนเป็นพหุนามของลำดับที่สาม ฟังก์ชันจำนวนเต็มจึงเป็นเศษส่วนเกิน เราเน้นส่วนทั้งหมดในนั้น: ดังนั้นเราจะมี ตัวส่วนของเศษส่วนแท้มีรากจริงที่แตกต่างกันในฟี ดังนั้นการสลายตัวของมันให้เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ ดังนั้นเราจึงพบ การให้ค่าอาร์กิวเมนต์ x เท่ากับรากของตัวส่วนเราพบจากเอกลักษณ์นี้ว่า: ดังนั้นอินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอินทิกรัล 4 อินทิกรัลเป็นเศษส่วนแท้ซึ่งตัวส่วนมี รากจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองตัว: x - O ผลคูณของ 1 และ x = 1 ของการคูณ 3 ดังนั้น การขยายตัวของปริพันธ์เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ นำด้านขวาของความเสมอภาคนี้มาเป็นตัวส่วนร่วมและลดความเท่ากันทั้งสองข้าง โดยตัวส่วนนี้ เราได้หรือ เราหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลัง x ที่เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นี้: จากตรงนี้ เราจะพบ เราจะได้การแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ในการขยายตัว: ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอินทิกรัล 4 ตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้น การขยายตัวของปริพันธ์ให้เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ Hence หรือ เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับกำลัง x เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นี้ เราจะได้จากจุดที่เราค้นหา ดังนั้น หมายเหตุ ในตัวอย่างที่ให้มา ฟังก์ชันจำนวนเต็มสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายด้วยวิธีที่ง่ายกว่า กล่าวคือ ในตัวเศษของเศษส่วนเราเลือกเลขฐานสองที่อยู่ในตัวส่วน จากนั้นจึงทำการหารแบบเทอมต่อเทอม : §8 การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว ฟังก์ชันในรูปแบบที่ Pm และ £?„ เป็นพหุนามประเภทดีกรี ตามลำดับ ในตัวแปร uub2... เรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะของ ubu2j... ตัวอย่างเช่น พหุนามของดีกรีที่สอง ในตัวแปรสองตัว u\ และ u2 มีรูปแบบโดยที่ - ค่าคงที่จริงบางตัว และตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร r และ y เนื่องจากมันแทนอัตราส่วนของพหุนามของดีกรีที่สามและพหุนามของ ระดับที่ 5 แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันต้นยู ในกรณีที่ตัวแปรเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ในทางกลับกัน ฟังก์ชัน ] จะเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะของฟังก์ชันในตัวอย่าง ฟังก์ชันคือฟังก์ชันตรรกยะของ r และ rvdikvlv Pryaivr 3 ฟังก์ชันในรูปแบบไม่ใช่ฟังก์ชันตรรกยะของ x และรากศัพท์ y/r1 + 1 แต่เป็นฟังก์ชันตรรกยะของฟังก์ชัน ดังตัวอย่างที่แสดง ปริพันธ์ของการไม่มีเหตุผล ฟังก์ชันไม่ได้แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานเสมอไป ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลที่มักพบในแอปพลิเคชันจะไม่แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลทรงรีของชนิดที่หนึ่งและสองตามลำดับ ขอให้เราพิจารณากรณีเหล่านั้นเมื่ออินทิเกรตของฟังก์ชันอตรรกยะสามารถลดลงได้ด้วยความช่วยเหลือของการแทนที่บางอย่าง ไปจนถึงอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ 1. จำเป็นต้องค้นหาอินทิกรัลโดยที่ R(x, y) เป็นฟังก์ชันตรรกยะของอาร์กิวเมนต์ x และ y ม. 2 - จำนวนธรรมชาติ a, 6, c, d เป็นค่าคงที่จริงที่ตรงตามเงื่อนไข ad - bc ^ O (สำหรับ ad - be = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b จะเป็นสัดส่วนกับสัมประสิทธิ์ c และ d ดังนั้นความสัมพันธ์จึงไม่ขึ้นอยู่กับ x หมายความว่าในกรณีนี้ฟังก์ชันปริพันธ์จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร x ซึ่งจะมีการกล่าวถึงไปแล้วก่อนหน้านี้) มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลนี้โดยใส่ ดังนั้นเราจึงแสดงตัวแปร x ในรูปของตัวแปรใหม่ เรามี x = - ฟังก์ชันตรรกยะของ t ต่อไปเราจะพบ หรือ หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย ดังนั้น โดยที่ A1 (t) เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ * เนื่องจากฟูนาเดียเชิงตรรกยะของฟังก์ชันตรรกยะ เช่นเดียวกับผลคูณของฟังก์ชันตรรกยะ จึงเป็นฟังก์ชันตรรกยะ เรารู้วิธีบูรณาการฟังก์ชันตรรกศาสตร์ ให้อินทิกรัลที่ต้องการเท่ากับ At อินทิกรัล IvYti 4 ฟังก์ชันปริพันธ์* เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ ดังนั้นเราจึงตั้งค่า t = จากนั้น การรวมฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การรวมเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ การแทนที่ครั้งที่สองของออยเลอร์ การแทนที่ครั้งที่สามของออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้ไพรมาร์ 5 ค้นหาอินทิกรัล ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน เลขชี้กำลังของ x เท่ากับ 12 ดังนั้นปริพันธ์ของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปแบบ 1 _ 1_ ซึ่งแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันตรรกยะของ: เมื่อนำสิ่งนี้มาพิจารณาแล้ว ดังนั้น 2. พิจารณา intephs ของรูปแบบที่ฟังก์ชัน subinTPal เป็นเช่นนั้น โดยแทนที่ราก \/ax2 + bx + c ในนั้นด้วย y เราจะได้ฟังก์ชัน R(x) y) - ตรรกยะเทียบกับอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง x และคุณ อินทิกรัลนี้ลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรอื่นโดยใช้การแทนที่ออยเลอร์ 8.1. การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ ให้ค่าสัมประสิทธิ์ a > 0 ให้เราตั้งค่า หรือ ดังนั้นเราจึงพบว่า x เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ u ซึ่งหมายความว่า ดังนั้น การแทนที่ที่ระบุจึงแสดงออกอย่างมีเหตุผลในรูปของ * ดังนั้นเราจะมีข้อสังเกต การแทนที่ออยเลอร์ครั้งแรกสามารถทำได้ในรูปแบบตัวอย่างที่ 6 เช่นกัน ลองหาอินทิกรัล ดังนั้นเราจะได้การแทนที่ของ dx ออยเลอร์ จะได้ว่า Y 8.2 การแทนที่ครั้งที่สองของออยเลอร์ ปล่อยให้ตรีโกณมิติ ax2 + bx + c มีรากจริง R] และ x2 ต่างกัน (สัมประสิทธิ์สามารถมีเครื่องหมายใดๆ ก็ได้) ในกรณีนี้ เราถือว่า ตั้งแต่นั้นมา เราได้ เนื่องจาก x,dxn y/ax2 + be + c ถูกแสดงอย่างมีเหตุผลในรูปของ t จากนั้นอินทิกรัลดั้งเดิมจะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ นั่นคือ โดยที่ ปัญหา ใช้การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ แสดงว่านั่นคือฟังก์ชันตรรกยะของ t ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล dx M ฟังก์ชัน ] - x1 มีรากจริงต่างกัน ดังนั้นเราจึงใช้การแทนที่ออยเลอร์ที่สอง จากที่นี่ เราจะพบการแทนที่นิพจน์ที่พบลงใน Give?v*gyvl; เราได้ 8.3 ออยเลอร์ตัวที่สาม substascom ปล่อยให้สัมประสิทธิ์ c > 0 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรโดยการใส่ โปรดทราบว่าหากต้องการลดอินทิกรัลให้เหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ การแทนที่ออยเลอร์ตัวแรกและตัวที่สองก็เพียงพอแล้ว ที่จริงแล้ว ถ้าค่าจำแนก b2 -4ac > 0 แสดงว่ารากของขวานตรีโนเมียลกำลังสอง + bx + c เป็นจำนวนจริง และในกรณีนี้ สามารถใช้การแทนที่ออยเลอร์ครั้งที่สองได้ ถ้าหากเครื่องหมายของตรีนาม ax2 + bx + c เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ a และเนื่องจากเครื่องหมายตรีโกณมิติต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น a > 0 ในกรณีนี้ สามารถใช้การทดแทนครั้งแรกของออยเลอร์ได้ ในการค้นหาอินทิกรัลประเภทที่ระบุไว้ข้างต้น ไม่แนะนำให้ใช้การแทนที่ออยเลอร์เสมอไป เนื่องจากสำหรับอินทิกรัลเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะค้นหาวิธีการอินทิเกรตอื่นที่นำไปสู่เป้าหมายได้เร็วขึ้น ลองพิจารณาอินทิกรัลพวกนี้บ้าง 1. ในการค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ ให้แยกกำลังสองสมบูรณ์ออกจากกำลังสองของตรีโกณมิติที่ 3 โดยที่หลังจากนี้ ให้ทำการแทนค่าและหาได้ว่าสัมประสิทธิ์ a และ P มีเครื่องหมายต่างกันหรือเป็นบวกทั้งคู่ สำหรับและสำหรับ a > 0 อินทิกรัลจะลดลงเหลือลอการิทึม และถ้าเป็นเช่นนั้น จะลดเหลืออาร์คไซน์ ที่. ค้นหาอมตะ 4 ตักก๊ะแล้ว สมมติว่าเราได้ Prmmar 9 ค้นหา สมมติว่า x - เราจะได้ 2 อินทิกรัลของรูปแบบจะลดลงเหลืออินทิกรัล y จากขั้นตอนที่ 1 ดังนี้ เมื่อพิจารณาว่าอนุพันธ์ ()" = 2 เราเน้นในตัวเศษ: 4 เราระบุอนุพันธ์ของนิพจน์รากในตัวเศษ เนื่องจาก (x แล้วเราจะได้โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 9, 3 อินทิกรัลของรูปแบบโดยที่ P„(x) เป็นพหุนามดีกรีที่ n -th สามารถพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ซึ่งประกอบด้วยดังต่อไปนี้ (s) เป็นพหุนามของระดับ (n - 1) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน: เพื่อค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของ (1): จากนั้นเราลดด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (2) ให้เป็นตัวหารร่วมเท่ากับ ตัวส่วนของด้านซ้าย เช่น y/ax2 + bx + c ลดทั้งสองด้านของ (2) โดยที่เราได้รับเอกลักษณ์ทั้งสองด้านซึ่งมีพหุนามของดีกรี n เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับดีกรีเท่ากันของ x ใน ด้านซ้ายและด้านขวาของ (3) เราได้รับสมการ n + 1 ซึ่งเราพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ j4*(fc = 0,1,2,..., n ) ของ (1) และการหาอินทิกรัล + c จะได้คำตอบสำหรับอินทิกรัลนี้ ตัวอย่างที่ 11. ค้นหาอินทิกรัล ลองใส่ความแตกต่างของทั้งสองชุดของความเท่าเทียมกัน เราจะได้ นำด้านขวามาหาตัวส่วนร่วมและลดทั้งสองด้านลง เราจะได้เอกลักษณ์ หรือ เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ x เราก็มาถึงระบบสมการที่เราหา = จากนั้นเราจะพบอินทิกรัลทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (4): ดังนั้น อินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับ

ฟังก์ชันอตรรกยะของตัวแปรคือฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและค่าคงที่ตามอำเภอใจโดยใช้การดำเนินการจำนวนจำกัด ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ (การยกกำลังจำนวนเต็ม) การหาร และการหยั่งราก ฟังก์ชันอตรรกยะแตกต่างจากฟังก์ชันตรรกยะตรงที่ฟังก์ชันอตรรกยะประกอบด้วยการดำเนินการสำหรับการแยกราก

ฟังก์ชันอตรรกยะมีสามประเภทหลักๆ ซึ่งอินทิกรัลไม่ จำกัด จะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือปริพันธ์ที่มีรากของกำลังจำนวนเต็มตามอำเภอใจจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น (รากอาจมีกำลังต่างกัน แต่มาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นเดียวกัน) อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินามและอินทิกรัลกับรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

โน๊ตสำคัญ. รากมีหลายความหมาย!

เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่มีรูต มักจะพบนิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ ฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรอินทิเกรตคือที่ไหน มันควรจะเป็นพาหะในใจว่า นั่นคือที่ t > 0 , |t| = ต- ที่ที< 0 , |t| = - ที .ดังนั้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลดังกล่าว จำเป็นต้องพิจารณากรณีต่างๆ t > แยกต่างหาก 0 และที< 0 - 0 ซึ่งสามารถทำได้โดยการเขียนป้ายหรือที่ใดก็ตามที่จำเป็น สมมติว่าเครื่องหมายบนหมายถึงกรณี t >< 0 และอันล่าง - ถึงเคส เสื้อ

-

ด้วยการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม ตามกฎแล้วสัญญาณเหล่านี้จะยกเลิกซึ่งกันและกัน

แนวทางที่สองก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยที่อินทิแกรนด์และผลลัพธ์ของอินทิเกรตถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรที่ซับซ้อน ถ้าอย่างนั้นคุณก็ไม่ต้องใส่ใจกับสัญญาณในสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง วิธีการนี้ใช้ได้หากปริพันธ์เป็นเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรเชิงซ้อน ในกรณีนี้ ทั้งอินทิกรัลและอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่า ดังนั้น หลังจากการบูรณาการ เมื่อแทนที่ค่าตัวเลข จำเป็นต้องเลือกสาขาที่มีค่าเดียว (พื้นผิว Riemann) ของปริพันธ์ และเลือกสาขาที่สอดคล้องกันของผลการรวม
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ คือจำนวนตรรกยะ m 1, n 1, ..., m s, n s คือจำนวนเต็ม α, β, γ, δ เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการทดแทน:
โดยที่ n คือตัวส่วนร่วมของตัวเลข r 1, ..., r s

รากอาจไม่จำเป็นต้องมาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น แต่ยังมาจากฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย (γ = 0 , δ = 1) หรือบนตัวแปรอินทิเกรต x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าว:
, .

อินทิกรัลจากอนุพันธ์ทวินาม

อินทิกรัลจากดิฟเฟอเรนเชียลทวินามมีรูปแบบ:
,
โดยที่ m, n, p เป็นจำนวนตรรกยะ, a, b เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะในสามกรณี

1) ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม การทดแทน x = t N โดยที่ N เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน m และ n
2) ถ้า - จำนวนเต็ม การแทนที่ a xn + b = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p
3) ถ้า - จำนวนเต็ม การทดแทน a + b x - n = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p

ในกรณีอื่นๆ อินทิกรัลดังกล่าวจะไม่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

บางครั้งอินทิกรัลดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้สูตรการลด:
;
.

ปริพันธ์ที่มีรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

อินทิกรัลดังกล่าวมีรูปแบบ:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ สำหรับอินทิกรัลแต่ละตัวนั้นมีหลายวิธีในการแก้ปัญหา
1) การใช้การแปลงทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น
2) ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติหรือไฮเปอร์โบลิก
3) ใช้การทดแทนออยเลอร์

ลองดูวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด

1) การแปลงฟังก์ชันปริพันธ์

การใช้สูตรและดำเนินการแปลงพีชคณิตเราจะลดฟังก์ชันปริพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบ:
,
โดยที่ φ(x), ω(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ

ประเภทที่ 1

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P n (x) คือพหุนามของดีกรี n

อินทิกรัลดังกล่าวพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยใช้เอกลักษณ์:

.
การแยกสมการนี้และการทำให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เราจะพบสัมประสิทธิ์ A i

ประเภทที่สอง

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P m (x) คือพหุนามของดีกรี m

การทดแทน เสื้อ = (x - α) -1อินทิกรัลนี้ลดลงเป็นประเภทก่อนหน้า ถ้า m ≥ n แสดงว่าเศษส่วนควรมีส่วนจำนวนเต็ม

ประเภทที่สาม

ที่นี่เราทำการทดแทน:
.
หลังจากนั้นอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ:
.
ถัดไปต้องเลือกค่าคงที่α, βเพื่อให้สัมประสิทธิ์ของ t ในตัวส่วนกลายเป็นศูนย์:
ข = 0, ข 1 = 0
จากนั้นอินทิกรัลจะสลายตัวเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองประเภท:
,
,
ซึ่งรวมเข้าด้วยกันโดยการทดแทน:
คุณ 2 = A 1 เสื้อ 2 + C 1
โวลต์ 2 = ก 1 + ค 1 เสื้อ -2 .

2) การทดแทนตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก

สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม , a > 0 ,
เรามีตัวสำรองหลักๆ อยู่ 3 ตัว:
;
;
;

สำหรับปริพันธ์ ก > 0 ,
เรามีการทดแทนดังต่อไปนี้:
;
;
;

และสุดท้าย สำหรับอินทิกรัล, a > 0 ,
การทดแทนมีดังนี้:
;
;
;

3) การเปลี่ยนตัวออยเลอร์

นอกจากนี้ อินทิกรัลยังสามารถลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของการแทนที่ออยเลอร์หนึ่งในสามตัว:
, สำหรับ > 0;
, สำหรับค > 0 ;
โดยที่ x 1 คือรากของสมการ a x 2 + b x + c = 0 ถ้าสมการนี้มีรากจริง

อินทิกรัลรูปไข่

โดยสรุป ให้พิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ อินทิกรัลดังกล่าวเรียกว่าวงรี โดยทั่วไป พวกมันจะไม่แสดงออกผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม มีหลายกรณีที่มีความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ A, B, C, D, E ซึ่งอินทิกรัลดังกล่าวแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับพหุนามแบบสะท้อนกลับ การคำนวณอินทิกรัลดังกล่าวดำเนินการโดยใช้การทดแทน:
.

ตัวอย่าง

คำนวณอินทิกรัล:
.

สารละลาย

มาทำการทดแทนกันเถอะ

.
ที่นี่ที่ x > 0 (คุณ> 0 ) ใช้เครื่องหมายบน ′+ ′ ที่เอ็กซ์< 0 (ยู< 0 ) - ต่ำกว่า '- '.

.

คำตอบ

อ้างอิง:
น.เอ็ม. กุนเธอร์ อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.