ไม่มีวิธีสากลในการแก้สมการไร้เหตุผล เนื่องจากระดับของสมการต่างกันในปริมาณ บทความนี้จะเน้นย้ำถึงลักษณะเฉพาะของสมการที่มีการทดแทนโดยใช้วิธีการอินทิเกรต

ในการใช้วิธีการอินทิเกรตโดยตรง จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดประเภท ∫ k x + b p d x โดยที่ p คือเศษส่วนตรรกยะ k และ b เป็นสัมประสิทธิ์จริง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาและคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 1 3 x - 1 3 .

สารละลาย

ตามกฎการรวมจำเป็นต้องใช้สูตร ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C และตารางแอนติเดริเวทีฟบ่งชี้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูปสำหรับฟังก์ชันนี้ . เราเข้าใจแล้ว

∫ ง x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 ง x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + ค

คำตอบ:∫ ดี x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + ค .

มีหลายกรณีที่เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการรวมเครื่องหมายส่วนต่างเข้าด้วยกัน สิ่งนี้แก้ไขได้โดยหลักการในการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ f " (x) · (f (x)) p d x เมื่อค่าของ p ถือเป็นเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2

จงหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx

สารละลาย

โปรดทราบว่า d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x จากนั้นจึงจำเป็นต้องรวมเครื่องหมายอนุพันธ์โดยใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟ เราได้รับสิ่งนั้น

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

คำตอบ:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

การแก้อินทิกรัลไม่จำกัดต้องใช้สูตรในรูปแบบ ∫ d x x 2 + p x + q โดยที่ p และ q เป็นสัมประสิทธิ์จริง จากนั้นคุณจะต้องเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากใต้รูท เราเข้าใจแล้ว

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

เมื่อใช้สูตรที่อยู่ในตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เราได้รับ:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

จากนั้นคำนวณอินทิกรัล:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1

สารละลาย

ในการคำนวณ คุณต้องนำเลข 2 ออกมาแล้ววางไว้หน้าราก:

∫ ง x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ ง x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ ง x x 2 + 3 2 x - 1 2

เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในนิพจน์ราก เราเข้าใจแล้ว

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลไม่จำกัดรูปแบบ 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + ซี

คำตอบ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ใช้ได้กับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = 1 - x 2 + p x + q

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ d x - x 2 + 4 x + 5

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องหากำลังสองของตัวส่วนของนิพจน์จากใต้ราก

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

อินทิกรัลของตารางมีรูปแบบ ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C จากนั้นเราจะได้ ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a rc sin x - 2 3 +ซี

คำตอบ:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C

กระบวนการค้นหาฟังก์ชันไร้เหตุผลเชิงต้านอนุพันธ์ในรูปแบบ y = M x + N x 2 + p x + q โดยที่ M, N, p, q ที่มีอยู่เป็นสัมประสิทธิ์จริงและคล้ายกับการรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่สาม . การเปลี่ยนแปลงนี้มีหลายขั้นตอน:

รวมส่วนต่างใต้ราก โดยแยกกำลังสองทั้งหมดของนิพจน์ใต้รากโดยใช้สูตรตาราง

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x + 2 x 2 - 3 x + 1

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เรามีคือ d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x และ x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 จากนั้น (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 ง x = 1 2 ง (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ง x .

ลองคำนวณอินทิกรัลกัน: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + ซี

คำตอบ:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

การค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน ∫ x m (a + b x n) p d x ดำเนินการโดยใช้วิธีการทดแทน

เพื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องแนะนำตัวแปรใหม่:

1. เมื่อ p เป็นจำนวนเต็ม ก็จะพิจารณา x = z N และ N เป็นตัวส่วนร่วมของ m, n
2. เมื่อ m + 1 n เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a + b x n = z N และ N เป็นตัวส่วนของ p
3. เมื่อ m + 1 n + p เป็นจำนวนเต็ม ตัวแปร a x - n + b = z N จำเป็น และ N เป็นตัวส่วนของตัวเลข p

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ 1 x 2 x - 9 dx

สารละลาย

เราได้สิ่งนั้นมา ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x ตามมาว่า m = - 1, n = 1, p = - 1 2 จากนั้น m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 เป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ของแบบฟอร์ม - 9 + 2 x = z 2 จำเป็นต้องเขียน x ในรูปของ z เมื่อส่งออกเราได้รับสิ่งนั้น

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

จำเป็นต้องทำการทดแทนอินทิกรัลที่กำหนด เรามีสิ่งนั้น

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

คำตอบ:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

เพื่อให้การแก้สมการไร้เหตุผลง่ายขึ้น จึงใช้วิธีการอินทิเกรตพื้นฐาน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

อินทิกรัลเชิงซ้อน

บทความนี้จะสรุปหัวข้ออินทิกรัลไม่จำกัด และรวมอินทิกรัลที่ฉันพบว่าค่อนข้างซับซ้อน บทเรียนนี้จัดทำขึ้นตามคำขอของผู้เยี่ยมชมซ้ำแล้วซ้ำเล่าซึ่งแสดงความปรารถนาที่จะวิเคราะห์ตัวอย่างที่ยากกว่านี้บนเว็บไซต์

สันนิษฐานว่าผู้อ่านข้อความนี้มีความพร้อมและรู้วิธีใช้เทคนิคบูรณาการขั้นพื้นฐาน คนโง่และผู้ที่ไม่มั่นใจในเรื่องอินทิกรัลควรดูบทเรียนแรกสุด - อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งคุณสามารถเชี่ยวชาญหัวข้อได้ตั้งแต่เริ่มต้น นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นจะคุ้นเคยกับเทคนิคและวิธีการบูรณาการที่ยังไม่เคยพบเห็นในบทความของฉัน

อินทิกรัลใดที่จะได้รับการพิจารณา?

ขั้นแรก เราจะพิจารณาอินทิกรัลที่มีราก สำหรับคำตอบที่เราใช้อย่างต่อเนื่อง การแทนที่ตัวแปรและ บูรณาการโดยส่วนต่างๆ- นั่นคือในตัวอย่างหนึ่ง ทั้งสองเทคนิคถูกรวมเข้าด้วยกันในคราวเดียว และมากยิ่งขึ้น

จากนั้นเราจะมาทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่น่าสนใจและเป็นต้นฉบับ วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง- อินทิกรัลบางส่วนได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้

ประเด็นที่สามของโปรแกรมจะเป็นอินทิกรัลของเศษส่วนเชิงซ้อนซึ่งผ่านโต๊ะเงินสดในบทความก่อนหน้านี้

ประการที่สี่ เราจะวิเคราะห์อินทิกรัลเพิ่มเติมจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีวิธีการหลีกเลี่ยงการทดแทนตรีโกณมิติสากลที่ใช้เวลานาน

(2) ในฟังก์ชันจำนวนเต็ม เราหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนตามเทอม

(3) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด ในอินทิกรัลสุดท้ายทันที วางฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล.

(4) เราหาอินทิกรัลที่เหลือ โปรดทราบว่าในลอการิทึม คุณสามารถใช้วงเล็บแทนโมดูลัสได้ เนื่องจาก

(5) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ โดยแสดง "te" จากการแทนที่โดยตรง:

นักเรียนมาโซคิสต์สามารถแยกแยะคำตอบและรับปริพันธ์ดั้งเดิมได้เหมือนที่ฉันเคยทำ ไม่ ไม่ ฉันตรวจสอบถูกแล้ว =)

อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างการแก้ปัญหา เราต้องใช้วิธีแก้ไขปัญหามากกว่าสองวิธี ดังนั้นเพื่อจัดการกับอินทิกรัลดังกล่าว คุณต้องมีทักษะการบูรณาการที่มั่นใจและประสบการณ์ไม่น้อย

แน่นอนว่าในทางปฏิบัติ รากที่สองเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า ต่อไปนี้เป็นสามตัวอย่างในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างเหล่านี้เป็นประเภทเดียวกัน ดังนั้นคำตอบทั้งหมดที่อยู่ท้ายบทความจึงมีไว้สำหรับตัวอย่างที่ 2 เท่านั้น ตัวอย่างที่ 3-4 มีคำตอบเหมือนกัน ฉันคิดว่าสิ่งทดแทนที่จะใช้ตอนเริ่มต้นการตัดสินใจนั้นชัดเจน เหตุใดฉันจึงเลือกตัวอย่างประเภทเดียวกัน มักพบในบทบาทของตน บ่อยขึ้นบางทีอาจเป็นเพียงบางอย่างเช่น .

แต่ไม่เสมอไป เมื่อภายใต้ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ ไซน์ โคไซน์ เลขชี้กำลัง และฟังก์ชันอื่นๆ มีรากของฟังก์ชันเชิงเส้น คุณต้องใช้หลายวิธีพร้อมกัน ในหลายกรณี มีความเป็นไปได้ที่จะ "ถอดออกง่าย" นั่นคือทันทีหลังจากการเปลี่ยน จะได้รับอินทิกรัลอย่างง่ายซึ่งสามารถนำไปได้อย่างง่ายดาย งานที่ง่ายที่สุดที่เสนอข้างต้นคือตัวอย่างที่ 4 ซึ่งหลังจากเปลี่ยนแล้ว จะได้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่าย

โดยการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง

วิธีการอันชาญฉลาดและสวยงาม มาดูคลาสสิกของประเภท:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ใต้รากจะมีทวินามกำลังสอง และการพยายามรวมตัวอย่างนี้อาจทำให้กาน้ำชาปวดหัวเป็นเวลาหลายชั่วโมง อินทิกรัลดังกล่าวถูกแยกส่วนและลดลงเหลือตัวมันเอง โดยหลักการแล้วมันไม่ใช่เรื่องยาก ถ้าคุณรู้วิธี

ให้เราแสดงอินทิกรัลที่กำลังพิจารณาด้วยตัวอักษรละตินและเริ่มวิธีแก้ปัญหา:

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

(1) เตรียมฟังก์ชันปริพันธ์สำหรับการหารแบบเทอมต่อเทอม

(2) เราหารเทอมฟังก์ชันปริพันธ์ตามเทอม ทุกคนอาจไม่ชัดเจน แต่ฉันจะอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม:

(3) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด

(4) หาลอการิทึมอินทิกรัลตัวสุดท้าย ("ยาว")

ตอนนี้เรามาดูที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา:

และสุดท้าย:

เกิดอะไรขึ้น อันเป็นผลมาจากการยักย้ายของเรา อินทิกรัลจึงลดลงเหลือเพียงตัวมันเอง!

มาเปรียบเทียบจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ย้ายไปด้านซ้ายพร้อมป้ายเปลี่ยน:

และเราย้ายทั้งสองไปทางด้านขวา ผลที่ตามมา:

ควรเพิ่มค่าคงที่และพูดอย่างเคร่งครัดไว้ก่อนหน้านี้ แต่ฉันเพิ่มไว้ตอนท้าย ฉันขอแนะนำให้อ่านความเข้มงวดที่นี่:

บันทึก: ขั้นตอนสุดท้ายของการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้น:

ค่าคงที่สามารถกำหนดใหม่ได้โดย เหตุใดจึงสามารถกำหนดใหม่ได้ เพราะเขายังยอมรับมันอยู่ ใดๆค่าและในแง่นี้ไม่มีความแตกต่างระหว่างค่าคงที่และ
ผลที่ตามมา:

เคล็ดลับที่คล้ายกันที่มีการอธิบายซ้ำอย่างต่อเนื่องนั้นใช้กันอย่างแพร่หลาย สมการเชิงอนุพันธ์- และที่นั่นฉันจะเข้มงวด และที่นี่ฉันอนุญาตให้มีอิสระเช่นนี้เท่านั้นเพื่อไม่ให้คุณสับสนกับสิ่งที่ไม่จำเป็นและมุ่งความสนใจไปที่วิธีการบูรณาการอย่างแม่นยำ

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลทั่วไปอีกอันสำหรับโซลูชันอิสระ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน จะมีความแตกต่างกับคำตอบในตัวอย่างก่อนหน้า!

หากใต้รากที่สองมีตรีโกณมิติกำลังสอง ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดวิธีแก้ปัญหาก็จะเหลือตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้ว 2 ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัล - สิ่งที่คุณต้องทำคือก่อน เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:
.
ถัดไปจะดำเนินการแทนที่เชิงเส้นซึ่ง "ไม่มีผลกระทบใด ๆ ":
ส่งผลให้อินทิกรัล บางสิ่งคุ้นเคยใช่ไหม?

หรือตัวอย่างนี้ มีทวินามกำลังสอง:
เลือกช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์:
และหลังจากการแทนที่เชิงเส้น เราจะได้อินทิกรัลซึ่งแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมที่กล่าวถึงไปแล้ว

ลองดูตัวอย่างทั่วไปอีกสองตัวอย่างในการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง:
– อินทิกรัลของการเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยไซน์
– อินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยโคไซน์

ในอินทิกรัลที่แสดงตามส่วนต่างๆ คุณจะต้องรวมสองครั้ง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

จำนวนเต็มคือค่าเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยไซน์

เรารวมทีละส่วนสองครั้งและลดอินทิกรัลลงในตัวมันเอง:

ผลจากการอินทิกรัลสองเท่าทีละส่วน อินทิกรัลจึงลดลงเหลือตัวมันเอง เราเทียบจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา:

เราย้ายไปทางด้านซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายและแสดงอินทิกรัลของเรา:

พร้อม. ในเวลาเดียวกันขอแนะนำให้หวีด้านขวาเช่น นำเลขชี้กำลังออกจากวงเล็บ แล้ววางไซน์และโคไซน์ในวงเล็บตามลำดับที่ "สวยงาม"

ตอนนี้เรากลับมาที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่างหรือถ้าให้เจาะจงกว่านี้ คือการบูรณาการตามส่วนต่างๆ:

เรากำหนดเลขชี้กำลังเป็น คำถามเกิดขึ้น: เป็นเลขชี้กำลังที่ควรเขียนแทนด้วย เสมอหรือไม่? ไม่จำเป็น. ในความเป็นจริงในอินทิกรัลที่พิจารณาแล้ว โดยพื้นฐานแล้ว ไม่สำคัญ, เราหมายถึงอะไร, เราอาจไปทางอื่น:

ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปได้? เนื่องจากเลขชี้กำลังกลายเป็นตัวมันเอง (ทั้งในระหว่างการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน) ไซน์และโคไซน์จึงกลายเป็นกันและกัน (อีกครั้ง ทั้งในระหว่างการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน)

นั่นคือเราสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ด้วย แต่ในตัวอย่างที่พิจารณา นี่เป็นเหตุผลน้อยกว่า เนื่องจากเศษส่วนจะปรากฏขึ้น หากคุณต้องการ คุณสามารถลองแก้ตัวอย่างนี้โดยใช้วิธีที่สอง คำตอบจะต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ก่อนที่คุณจะตัดสินใจ ลองคิดดูว่าอะไรจะเป็นประโยชน์มากกว่าในกรณีนี้ในการกำหนดเป็น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือตรีโกณมิติ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

และแน่นอนว่า อย่าลืมว่าคำตอบส่วนใหญ่ในบทเรียนนี้ค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบโดยการสร้างความแตกต่าง!

ตัวอย่างที่พิจารณาไม่ซับซ้อนที่สุด ในทางปฏิบัติ อินทิกรัลจะพบได้บ่อยกว่าโดยที่ค่าคงที่มีทั้งในเลขชี้กำลังและในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น หลายๆ คนจะสับสนกับอินทิกรัลเช่นนั้น และฉันก็มักจะสับสนตัวเองด้วย ความจริงก็คือมีความเป็นไปได้สูงที่เศษส่วนจะปรากฎในสารละลาย และเป็นเรื่องง่ายมากที่จะสูญเสียบางสิ่งไปด้วยความประมาท นอกจากนี้ มีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในเครื่องหมาย โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังมีเครื่องหมายลบ และสิ่งนี้ทำให้เกิดความยากเพิ่มเติม

ในขั้นตอนสุดท้าย ผลลัพธ์มักจะเป็นดังนี้:

แม้แต่ในตอนท้ายของวิธีแก้ปัญหา คุณก็ควรระมัดระวังอย่างยิ่งและเข้าใจเศษส่วนให้ถูกต้อง:

การบูรณาการเศษส่วนเชิงซ้อน

เรากำลังเข้าใกล้เส้นศูนย์สูตรของบทเรียนอย่างช้าๆ และเริ่มพิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วน ขอย้ำอีกครั้ง ไม่ใช่ว่าทั้งหมดจะซับซ้อนมากนัก เพียงด้วยเหตุผลใดก็ตามตัวอย่างจึง "นอกประเด็น" เล็กน้อยในบทความอื่น ๆ

สานต่อธีมของราก

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ในตัวส่วนใต้รากจะมีตรีนามกำลังสองบวกด้วย "ส่วนต่อ" ในรูปของ "X" ด้านนอกราก อินทิกรัลประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การทดแทนมาตรฐาน

เราตัดสินใจ:

การเปลี่ยนที่นี่ทำได้ง่าย:

มาดูชีวิตหลังการเปลี่ยน:

(1) หลังจากการแทนที่ เราจะลดพจน์ที่อยู่ใต้รากให้เหลือตัวส่วนร่วม
(2) เราเอามันออกมาจากใต้ราก
(3) ตัวเศษและส่วนลดลงด้วย ในเวลาเดียวกัน ฉันจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ตามลำดับที่สะดวกโดยพื้นฐาน ด้วยประสบการณ์บางอย่าง คุณสามารถข้ามขั้นตอน (1), (2) ได้โดยดำเนินการแสดงความคิดเห็นด้วยวาจา
(4) ผลอินทิกรัลตามที่คุณจำได้จากบทเรียน การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน, กำลังถูกตัดสินใจ วิธีการสกัดกำลังสองแบบสมบูรณ์- เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์
(5) โดยการอินทิเกรต เราได้ลอการิทึม "ยาว" ธรรมดา
(6) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ หากเริ่มแรก ให้ย้อนกลับ: .
(7) การดำเนินการขั้นสุดท้ายมีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้ผลลัพธ์ตรง: ภายใต้รากเราจะนำเงื่อนไขมาสู่ตัวส่วนร่วมอีกครั้งและนำพวกมันออกจากใต้ราก

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่มีการเพิ่มค่าคงที่ให้กับ "X" เดี่ยวและการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน:

สิ่งเดียวที่คุณต้องทำเพิ่มเติมคือแสดง "x" จากการเปลี่ยนที่กำลังดำเนินการ:

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

บางครั้งในอินทิกรัลเช่นนั้นอาจมีทวินามกำลังสองอยู่ใต้รูท ซึ่งไม่ได้เปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา แต่จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ รู้สึกถึงความแตกต่าง:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

คำตอบและคำตอบสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 นั้นถูกต้องทุกประการ อินทิกรัลทวินามวิธีการแก้ปัญหาที่ได้อภิปรายกันในชั้นเรียน อินทิกรัลของฟังก์ชันอตรรกยะ.

อินทิกรัลของพหุนามที่แยกไม่ออกของดีกรีที่ 2 ยกกำลัง

(พหุนามในตัวส่วน)

อินทิกรัลประเภทที่หายากมากขึ้น แต่ก็ยังพบได้ในตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

แต่ขอกลับมาดูตัวอย่างเลขเด็ด 13 กัน (บอกตรงๆ ทายไม่ถูกนะ) อินทิกรัลนี้ยังเป็นหนึ่งในสิ่งที่อาจทำให้หงุดหงิดหากคุณไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา

การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์:

ฉันคิดว่าทุกคนคงเข้าใจวิธีหารตัวเศษด้วยตัวส่วนแล้ว

อินทิกรัลผลลัพธ์จะถูกนำมาเป็นส่วนต่างๆ:

สำหรับอินทิกรัลของรูปแบบ ( – จำนวนธรรมชาติ) ที่เราได้รับ กำเริบสูตรลด:
, ที่ไหน – อินทิกรัลของระดับที่ต่ำกว่า

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับอินทิกรัลที่แก้แล้ว
ในกรณีนี้: , เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นคำตอบก็เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สารละลายตัวอย่างใช้สูตรข้างต้นสองครั้งติดต่อกัน

หากอยู่ในระดับปริญญาตรี แบ่งแยกไม่ได้ตรีโกณมิติกำลังสอง จากนั้นผลเฉลยจะลดลงเหลือทวินามโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ออก เช่น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีพหุนามเพิ่มเติมในตัวเศษ? ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และฟังก์ชันจำนวนเต็มจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วน แต่ในทางปฏิบัติของฉันมีตัวอย่างเช่นนี้ ไม่เคยเจอดังนั้นฉันจึงพลาดกรณีนี้ในบทความ อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะฉันจะข้ามมันตอนนี้ หากคุณยังพบอินทิกรัลอยู่ให้ดูที่ตำราเรียน - ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ฉันไม่คิดว่ามันแนะนำให้รวมเนื้อหา (แม้แต่ของธรรมดา ๆ ) ความน่าจะเป็นของการเผชิญหน้าซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์

การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

คำคุณศัพท์ "complex" สำหรับตัวอย่างส่วนใหญ่ถือเป็นเงื่อนไขส่วนใหญ่อีกครั้ง เริ่มจากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ที่มีกำลังสูงกันก่อน จากมุมมองของวิธีการแก้ที่ใช้ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แทบจะเป็นสิ่งเดียวกัน ดังนั้นฉันจะพูดถึงแทนเจนต์ให้มากขึ้น ซึ่งหมายความว่าวิธีที่สาธิตในการแก้อินทิกรัลนั้นใช้ได้กับโคแทนเจนต์ด้วย

ในบทเรียนข้างต้นเราดู การทดแทนตรีโกณมิติสากลสำหรับการแก้ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติบางประเภท ข้อเสียของการทดแทนตรีโกณมิติสากลคือการใช้มักจะส่งผลให้เกิดอินทิกรัลยุ่งยากและการคำนวณยาก และในบางกรณี สามารถหลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้!

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งตามรูปแบบบัญญัติ อินทิกรัลของค่าหนึ่งหารด้วยไซน์:

ตัวอย่างที่ 17

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

คุณสามารถใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้ที่นี่เพื่อหาคำตอบ แต่ก็มีวิธีที่มีเหตุผลมากกว่า ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาแบบสมบูรณ์พร้อมความคิดเห็นสำหรับแต่ละขั้นตอน:

(1) เราใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับไซน์ของมุมคู่
(2) เราทำการแปลงแบบประดิษฐ์: หารด้วยตัวส่วนแล้วคูณด้วย .
(3) การใช้สูตรที่รู้จักกันดีในตัวส่วน เราจะแปลงเศษส่วนให้เป็นแทนเจนต์
(4) เรานำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
(5) หาอินทิกรัล

ตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขได้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 18

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกควรใช้สูตรการลดขนาด และดำเนินการอย่างระมัดระวังคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า

ตัวอย่างที่ 19

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ

ตอบคำถามและคำตอบให้ครบถ้วนในตอนท้ายของบทเรียน

ฉันคิดว่าตอนนี้จะไม่มีใครมีปัญหากับอินทิกรัล:
และอื่น ๆ

แนวคิดของวิธีการคืออะไร? แนวคิดก็คือการใช้การแปลงและสูตรตรีโกณมิติเพื่อจัดระเบียบเฉพาะแทนเจนต์และอนุพันธ์แทนเจนต์ให้เป็นปริพันธ์ นั่นคือเรากำลังพูดถึงการแทนที่: - ในตัวอย่างที่ 17-19 จริงๆ แล้วเราใช้การแทนที่นี้ แต่อินทิกรัลนั้นง่ายมากจนเราได้การกระทำที่เทียบเท่ากัน โดยรวมฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล

การให้เหตุผลที่คล้ายกันดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วสามารถดำเนินการกับโคแทนเจนต์ได้

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเบื้องต้นอย่างเป็นทางการสำหรับการใช้การทดแทนข้างต้น:

ผลรวมของกำลังของโคไซน์และไซน์คือเลขคู่จำนวนเต็มลบ, ตัวอย่างเช่น:

สำหรับอินทิกรัล – เลขคู่จำนวนเต็มลบ

- บันทึก : หากปริพันธ์มีเฉพาะไซน์หรือโคไซน์เท่านั้น อินทิกรัลก็จะถือเป็นระดับคี่ติดลบด้วย (กรณีที่ง่ายที่สุดอยู่ในตัวอย่างที่ 17, 18)

ลองดูงานที่มีความหมายอีกสองสามงานตามกฎนี้:

ตัวอย่างที่ 20

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ผลรวมของกำลังของไซน์และโคไซน์: 2 – 6 = –4 เป็นเลขจำนวนเต็มลบที่เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลสามารถลดลงเป็นแทนเจนต์และอนุพันธ์ของมันได้:

(1) ลองแปลงตัวส่วนกัน.
(2) เราได้มาจากสูตรที่รู้จักกันดี
(3) ลองแปลงตัวส่วนกัน.
(4) เราใช้สูตร .
(5) เรานำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
(6) เราดำเนินการทดแทน นักเรียนที่มีประสบการณ์มากกว่าอาจไม่ดำเนินการแทน แต่ก็ยังดีกว่าถ้าแทนที่แทนเจนต์ด้วยตัวอักษรตัวเดียว - มีความเสี่ยงน้อยกว่าที่จะสับสน

ตัวอย่างที่ 21

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

รอก่อน รอบชิงแชมป์กำลังจะเริ่มแล้ว =)

บ่อยครั้งที่ปริพันธ์มีคำว่า "ผสม":

ตัวอย่างที่ 22

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลนี้เริ่มแรกประกอบด้วยแทนเจนต์ ซึ่งนำไปสู่ความคิดที่คุ้นเคยอยู่แล้วในทันที:

ฉันจะทิ้งการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์ไว้ที่จุดเริ่มต้นและขั้นตอนที่เหลือโดยไม่มีความคิดเห็นเนื่องจากทุกอย่างได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว

ตัวอย่างเชิงสร้างสรรค์สำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 23

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 24

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ใช่ ในนั้น คุณสามารถลดกำลังของไซน์และโคไซน์ลงได้ และใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลได้ แต่วิธีแก้ปัญหาจะมีประสิทธิภาพมากกว่าและสั้นกว่ามากหากดำเนินการผ่านแทนเจนต์ เฉลยและเฉลยครบถ้วนท้ายบทเรียน

เครื่องคิดเลขแก้ปริพันธ์พร้อมคำอธิบายการกระทำใน DETAIL ในภาษารัสเซียและฟรี!

การแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือบริการออนไลน์ใน ขั้นตอนเดียว:

การแก้อินทิกรัลจำกัดเขต

นี่คือบริการออนไลน์ใน ขั้นตอนเดียว:

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)
• ป้อนขีดจำกัดล่างสำหรับอินทิกรัล
• ป้อนขีดจำกัดบนสำหรับอินทิกรัล

การแก้อินทิกรัลสองเท่า

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)

การแก้อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)
• ป้อนช่วงบนของการรวม (หรือ + อนันต์)
• เข้าสู่ขอบเขตล่างของการบูรณาการ (หรือ - อนันต์)

ไปที่: บริการออนไลน์ "อินทิกรัลไม่มีกรรมสิทธิ์" →

การแก้อินทิกรัลสามตัว

• ป้อนนิพจน์จำนวนเต็ม (ฟังก์ชันจำนวนเต็ม)
• ป้อนขีดจำกัดล่างและบนสำหรับขอบเขตการรวมแรก
• ป้อนขีดจำกัดล่างและบนสำหรับขอบเขตการรวมที่สอง
• ป้อนขีดจำกัดล่างและบนสำหรับภูมิภาคที่สามของการผสานรวม

ไปที่: บริการออนไลน์ "Triple Integral" →

บริการนี้ช่วยให้คุณสามารถตรวจสอบของคุณ การคำนวณเพื่อความถูกต้อง

ความเป็นไปได้

• รองรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ไซน์, โคไซน์, เลขชี้กำลัง, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์, รากที่สองและลูกบาศก์, กำลัง, เลขชี้กำลัง และอื่นๆ
• มีตัวอย่างสำหรับการป้อนข้อมูล ทั้งอินทิกรัลไม่ จำกัด และอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมและแน่นอน
• แก้ไขข้อผิดพลาดในนิพจน์ที่คุณป้อนและเสนอตัวเลือกสำหรับการป้อนข้อมูลของคุณเอง
• ผลเฉลยเชิงตัวเลขสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนและที่ไม่เหมาะสม (รวมถึงอินทิกรัลสองเท่าและสาม)
• รองรับจำนวนเชิงซ้อน รวมถึงพารามิเตอร์ต่างๆ (คุณสามารถระบุไม่เพียงแต่ตัวแปรการรวมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวแปรพารามิเตอร์อื่นๆ ในนิพจน์ปริพันธ์ด้วย)

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ 7.1. ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายที่สุดคือพหุนามของระดับสิบ เช่น ฟังก์ชันของรูปแบบที่มีค่าคงที่จริง และ a0 Ф 0 พหุนาม Qn(x) ซึ่งสัมประสิทธิ์ a0 = 1 เรียกว่าลดลง จำนวนจริง b เรียกว่ารากของพหุนาม Qn(z) ถ้า Q„(b) = 0 เป็นที่ทราบกันว่าพหุนาม Qn(x) แต่ละตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงจะถูกแยกย่อยเป็นปัจจัยที่แท้จริงของรูปแบบโดยที่ p, q เป็นค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง และตัวประกอบกำลังสองไม่มีรากจริง ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นจริงได้ ด้วยการรวมตัวประกอบที่เหมือนกัน (ถ้ามี) และสมมุติว่าพหุนาม Qn(x) ลดลง เราสามารถเขียนการแยกตัวประกอบในรูปแบบที่เป็นจำนวนธรรมชาติได้ เนื่องจากดีกรีของพหุนาม Qn(x) เท่ากับ n ดังนั้นผลรวมของเลขชี้กำลังทั้งหมด a, /3,..., A จึงบวกเข้ากับผลรวมสองเท่าของเลขชี้กำลังทั้งหมด ω,..., q เท่ากัน ถึง n: ราก a ของพหุนามเรียกว่า simple หรือ single ถ้า a = 1 และหลายรายการถ้า a > 1; จำนวน a เรียกว่าหลายหลากของรูต a เช่นเดียวกับรากอื่นของพหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะ f(x) หรือเศษส่วนตรรกยะคืออัตราส่วนของพหุนามสองตัว และสันนิษฐานว่าพหุนาม Pm(x) และ Qn(x) ไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน เศษส่วนตรรกยะเรียกว่าเหมาะสม หากระดับของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าระดับของพหุนามในตัวส่วน เช่น ถ้า m n เศษส่วนตรรกยะจะเรียกว่าเศษส่วนเกิน และในกรณีนี้ การหารตัวเศษด้วยตัวส่วนตามกฎสำหรับการหารพหุนาม ก็สามารถแสดงในรูปแบบที่มีพหุนามบางตัวได้ และ ^^ เป็นค่าที่เหมาะสม เศษส่วนตรรกยะ ตัวอย่างที่ 1 เศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นเศษส่วนเกิน หารด้วย "มุม" เราก็เลยได้ ที่นี่. และมันเป็นเศษส่วนแท้. คำนิยาม. เศษส่วนที่ง่ายที่สุด (หรือระดับประถมศึกษา) คือเศษส่วนตรรกยะของสี่ประเภทต่อไปนี้: โดยที่จำนวนจริง k คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และกำลังสองตรีโนเมียล x2 + px + q ไม่มีรากจริง ดังนั้น -2 _2 เป็นการแยกแยะ ในพีชคณิต ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบท 3 เศษส่วนตรรกยะแท้ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง ตัวส่วนซึ่ง Qn(x) มีรูปแบบจะสลายตัวในลักษณะเฉพาะให้กลายเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายตามกฎ การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การรวมฟังก์ชันไม่ลงตัว การเปลี่ยนตัวออยเลอร์ตัวแรก การแทนที่ออยเลอร์ตัวที่สอง การแทนที่ออยเลอร์ตัวที่สาม ในการขยายนี้มีค่าคงที่จริงบางค่า ซึ่งบางค่าอาจเท่ากับศูนย์ ในการค้นหาค่าคงที่เหล่านี้ ทางขวามือของความเสมอภาค (I) จะถูกหาด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากันของ x ในตัวเศษของด้านซ้ายและขวาจะถูกนำมาเท่ากัน สิ่งนี้ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ใช้หาค่าคงที่ที่ต้องการ - วิธีการหาค่าคงที่ที่ไม่รู้จักนี้เรียกว่าวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ บางครั้งการใช้วิธีอื่นในการค้นหาค่าคงที่ที่ไม่รู้จักจะสะดวกกว่าซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าหลังจากการทำให้ตัวเศษเท่ากันแล้วจะได้รับข้อมูลประจำตัวด้วยความเคารพต่อ x ซึ่งอาร์กิวเมนต์ x จะได้รับค่าบางค่าเช่นค่า ​ของรากทำให้เกิดสมการในการหาค่าคงที่ จะสะดวกเป็นพิเศษถ้าตัวส่วน Q„(x) มีเพียงรากที่เรียบง่ายจริง ๆ เท่านั้น ตัวอย่างที่ 2 แยกเศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย เราแยกตัวส่วนออกเป็นทวีคูณ: เนื่องจากรากของตัวส่วนมีจริงและต่างกัน ดังนั้นตามสูตร (1) การสลายตัวของเศษส่วนให้กลายเป็นค่าที่ง่ายที่สุดจึงจะมีรูปแบบ: การลดเกียรติที่ถูกต้อง” ของความเท่าเทียมกันนั้นให้เหลือ ตัวหารร่วมและตัวเศษเท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวา เราจะได้ข้อมูลประจำตัวหรือพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A. 2?, C ในสองวิธี วิธีแรก การเท่ากันค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังเท่ากันของ x, tv ด้วย (เทอมอิสระ) และด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์ เราได้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับการค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A, B, C: ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ C วิธีที่สอง เนื่องจากรากของตัวส่วนขาดที่ i 0 เราจึงได้ 2 = 2A ดังนั้น A * 1; g ฉัน 1 เราได้ -1 * -B ซึ่ง 5 * 1; x i 2 เราได้ 2 = 2C โดยที่ C» 1 และการขยายตัวที่ต้องการมีรูปแบบ 3 Rehlozhnt ไม่ใช่เศษส่วนที่ง่ายที่สุด เศษส่วนเหตุผล 4 เราแยกพหุนามซึ่งอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามออกเป็นปัจจัย: . ตัวส่วนมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ: x\ = 0 หลายหลากของการคูณ 3 ดังนั้นการสลายตัวของเศษส่วนนี้จึงไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด: เราพบการลดด้านขวามือให้เป็นตัวส่วนร่วม หรือ วิธีแรก การหาค่าสัมประสิทธิ์ของกำลัง x ที่เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์สุดท้าย เราได้รับระบบสมการเชิงเส้น ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและการขยายที่ต้องการจะเป็นวิธีที่สอง ในผลลัพธ์เอกลักษณ์ เมื่อใส่ x = 0 เราจะได้ 1 a A2 หรือ A2 = 1; field* เกย์ x = -1 เราได้ -3 i B) หรือ Bj i -3 เมื่อแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ A\ และ B) และเอกลักษณ์จะอยู่ในรูปหรือการใส่ x = 0 แล้ว x = -I เราพบว่า = 0, B2 = 0 และ นี่หมายความว่า B\ = 0 ดังนั้นเราจึงได้ตัวอย่างที่ 4 อีกครั้ง ขยายเศษส่วนที่เป็นเหตุเป็นผล 4 เป็นเศษส่วนที่เรียบง่ายกว่า ตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากฟังก์ชัน x2 + 1 จะไม่หายไปสำหรับค่าจริงของ x ดังนั้นการแตกตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่ายควรมีรูปแบบ จากตรงนี้เราจะได้หรือ เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของกำลังไซแนกซ์ของ x ทางด้านซ้ายและด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้าย เราจะได้ตำแหน่งที่เราค้นหา ดังนั้น ควรสังเกตว่าในบางกรณี การสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่ายสามารถรับได้เร็วและง่ายขึ้นโดยการกระทำ ด้วยวิธีอื่นโดยไม่ใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาการสลายตัวของเศษส่วนในตัวอย่างที่ 3 คุณสามารถเพิ่มและลบในตัวเศษ 3x2 แล้วหารตามที่ระบุด้านล่าง 7.2. การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมสามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนามบางส่วนและเศษส่วนตรรกยะแท้ (§7) และการแทนค่านี้จะไม่ซ้ำกัน การอินทิเกรตพหุนามไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น ให้ลองพิจารณาคำถามเรื่องการอินทิเกรตเศษส่วนที่เป็นตรรกยะที่เหมาะสม เนื่องจากเศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย การอินทิเกรตจึงลดลงเหลือเพียงการอินทิเกรตเศษส่วนอย่างง่าย ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการบูรณาการของพวกเขา สาม. ในการค้นหาอินทิกรัลของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สาม เราแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ของทวินามออกจากกำลังสองของตรีโนเมียล: เนื่องจากเทอมที่สองเท่ากับ a2 โดยที่แล้วจึงทำการทดแทน จากนั้นเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลแล้วเราจะพบว่า: ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอินทิกรัล 4 ฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สาม เนื่องจากกำลังสองตรีโนเมียล x1 + Ax + 6 ไม่มีรากที่แท้จริง (จำแนกได้ เป็นลบ: และตัวเศษมีพหุนามของดีกรีแรก ดังนั้นเราจึงดำเนินการดังนี้: 1) เลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน 2) ทำการทดแทน (ในที่นี้ 3) ด้วย * หนึ่งอินทิกรัล เพื่อค้นหาอินทิกรัลของ เศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ เราใส่ไว้ข้างต้น จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลทางด้านขวาซึ่งแสดงด้วย A และแปลงมันดังนี้ อินทิกรัลทางด้านขวาถูกอินทิกรัลด้วยส่วนต่าง ๆ โดยสมมติว่ามาจากที่ไหนหรือ การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การอินทิเกรตของจำนวนตรรกยะ ฟังก์ชัน การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ การแทนที่ออยเลอร์ที่สอง การแทนที่ที่สาม ออยเลอร์ เราได้สูตรที่เรียกว่าการเกิดซ้ำ ซึ่งช่วยให้เราสามารถค้นหาอินทิกรัล Jk สำหรับ k = 2, 3, ใดๆ - แท้จริงแล้ว อินทิกรัล J\ เป็นแบบตาราง: เมื่อใส่สูตรการเกิดซ้ำ เราจะพบว่าการรู้และการใส่ A = 3 เราสามารถหา Jj ได้อย่างง่ายดาย และอื่นๆ ในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อแทนที่ทุกที่แทนที่จะเป็น t และ a นิพจน์ในรูปของ x และสัมประสิทธิ์ p และ q เราจะได้นิพจน์ในรูปของ x และตัวเลขที่กำหนด M, LG, p, q สำหรับอินทิกรัลเริ่มต้น ตัวอย่างที่ 8 อินทิกรัลใหม่ “ฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ เนื่องจากการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองนั้นเป็นลบ กล่าวคือ ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนไม่มีรากที่แท้จริง และตัวเศษเป็นพหุนามของดีกรี 1 1) เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในตัวส่วน 2) เราทำการทดแทน: อินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ: ใส่สูตรการเกิดซ้ำ * = 2, a3 = 1 เราจะได้และดังนั้นอินทิกรัลที่ต้องการจึงเท่ากัน เมื่อกลับไปที่ตัวแปร x ในที่สุดเราก็ได้ 7.3 กรณีทั่วไป จากผลของย่อหน้า ส่วนที่ 1 และ 2 ของส่วนนี้จะเป็นไปตามทฤษฎีบทที่สำคัญทันที ทฤษฎีบท! 4. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันตรรกยะใด ๆ นั้นมีอยู่เสมอ (ในช่วงเวลาที่ตัวส่วนของเศษส่วน Q″ (x) φ 0) และแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานจำนวน จำกัด กล่าวคือมันคือผลรวมพีชคณิตเงื่อนไข ซึ่งสามารถคูณได้เท่านั้น เศษส่วนตรรกยะ ลอการิทึมธรรมชาติ และอาร์กแทนเจนต์ ดังนั้น ในการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ควรทำดังนี้: 1) ถ้าเศษส่วนตรรกยะไม่เหมาะสม จากนั้นหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ส่วนทั้งหมดจะถูกแยกออก กล่าวคือ ฟังก์ชันนี้ แสดงเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนตรรกยะแท้ 2) จากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนที่เหมาะสมที่ได้จะถูกแบ่งออกเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง 3) เศษส่วนแท้นี้จะถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย 4) การใช้ความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลและสูตรของขั้นตอนที่ 2 จะพบอินทิกรัลของแต่ละเทอมแยกจากกัน ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล M เนื่องจากตัวส่วนเป็นพหุนามของลำดับที่สาม ฟังก์ชันจำนวนเต็มจึงเป็นเศษส่วนเกิน เราเน้นส่วนทั้งหมดในนั้น: ดังนั้นเราจะมี ตัวส่วนของเศษส่วนแท้มีรากจริงต่างกันที่ phi ดังนั้นการสลายตัวของเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ ดังนั้น เราจึงพบ การให้ค่าอาร์กิวเมนต์ x เท่ากับรากของตัวส่วนเราพบจากเอกลักษณ์นี้ว่า: ดังนั้นอินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอินทิกรัล 4 อินทิกรัลเป็นเศษส่วนแท้ซึ่งตัวส่วนมี รากจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองตัว: x - O หลายหลากของ 1 และ x = 1 ของการคูณ 3 ดังนั้น การขยายตัวของปริพันธ์เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ นำด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้มาเป็นตัวส่วนร่วมและลดความเท่ากันทั้งสองข้าง โดยตัวส่วนนี้ เราได้หรือ เราหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลัง x ที่เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นี้: จากตรงนี้ เราจะพบ เราจะได้การแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ในการขยายตัว: ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอินทิกรัล 4 ตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้น การขยายตัวของปริพันธ์ให้เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ Hence หรือ เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับกำลัง x เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นี้ เราจะได้จากจุดที่เราค้นหา ดังนั้น หมายเหตุ ในตัวอย่างที่ให้มา ฟังก์ชันจำนวนเต็มสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายด้วยวิธีที่ง่ายกว่า กล่าวคือ ในตัวเศษของเศษส่วนเราเลือกเลขฐานสองที่อยู่ในตัวส่วน จากนั้นจึงทำการหารแบบเทอมต่อเทอม : §8 การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว ฟังก์ชันในรูปแบบที่ Pm และ £?„ เป็นพหุนามประเภทดีกรี ตามลำดับ ในตัวแปร uub2... เรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะของ ubu2j... ตัวอย่างเช่น พหุนามของดีกรีที่สอง ในตัวแปรสองตัว u\ และ u2 มีรูปแบบโดยที่ - ค่าคงที่จริงบางตัว และตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร r และ y เนื่องจากมันแทนอัตราส่วนของพหุนามของดีกรีที่สามและพหุนามของ ระดับที่ 5 แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันต้นยู ในกรณีที่ตัวแปรเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ในทางกลับกัน ฟังก์ชัน ] จะเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะของฟังก์ชันในตัวอย่าง ฟังก์ชันคือฟังก์ชันตรรกยะของ r และ rvdikvlv Pryaivr 3 ฟังก์ชันในรูปแบบไม่ใช่ฟังก์ชันตรรกยะของ x และรากศัพท์ y/r1 + 1 แต่เป็นฟังก์ชันตรรกยะของฟังก์ชัน ดังตัวอย่างที่แสดง ปริพันธ์ของการไม่มีเหตุผล ฟังก์ชันไม่ได้แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานเสมอไป ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลที่มักพบในแอปพลิเคชันจะไม่แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลทรงรีของชนิดที่หนึ่งและสองตามลำดับ ขอให้เราพิจารณากรณีเหล่านั้นเมื่ออินทิเกรตของฟังก์ชันอตรรกยะสามารถลดลงได้ด้วยความช่วยเหลือของการแทนที่บางอย่าง ไปจนถึงอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ 1. จำเป็นต้องค้นหาอินทิกรัลโดยที่ R(x, y) เป็นฟังก์ชันตรรกยะของอาร์กิวเมนต์ x และ y ม. 2 - จำนวนธรรมชาติ a, 6, c, d เป็นค่าคงที่จริงที่ตรงตามเงื่อนไข ad - bc ^ O (สำหรับ ad - be = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b จะเป็นสัดส่วนกับสัมประสิทธิ์ c และ d ดังนั้นความสัมพันธ์จึงไม่ขึ้นอยู่กับ x หมายความว่าในกรณีนี้ฟังก์ชันปริพันธ์จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร x ซึ่งจะมีการกล่าวถึงไปแล้วก่อนหน้านี้) เรามาเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลนี้กัน โดยใส่ ดังนั้นเราจึงแสดงตัวแปร x ผ่านตัวแปรใหม่ เรามี x = - ฟังก์ชันตรรกยะของ t ต่อไปเราจะพบ หรือ หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย ดังนั้น โดยที่ A1 (t) เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ * เนื่องจากฟูนาเดียเชิงตรรกยะของฟังก์ชันตรรกยะ เช่นเดียวกับผลคูณของฟังก์ชันตรรกยะ จึงเป็นฟังก์ชันตรรกยะ เรารู้วิธีบูรณาการฟังก์ชันตรรกศาสตร์ ให้อินทิกรัลที่ต้องการเท่ากับ At อินทิกรัล IvYti 4 ฟังก์ชันปริพันธ์* เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ ดังนั้นเราจึงตั้งค่า t = จากนั้น การรวมฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การรวมเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ การแทนที่ครั้งที่สองของออยเลอร์ การแทนที่ครั้งที่สามของออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้ไพรมาร์ 5 ค้นหาอินทิกรัล ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน เลขชี้กำลังของ x เท่ากับ 12 ดังนั้นปริพันธ์ของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปแบบ 1 _ 1_ ซึ่งแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันตรรกยะของ: เมื่อนำสิ่งนี้มาพิจารณาแล้ว ดังนั้น 2. พิจารณา intephs ของรูปแบบที่ฟังก์ชัน subinTPal เป็นเช่นนั้น โดยแทนที่ราก \/ax2 + bx + c ในนั้นด้วย y เราจะได้ฟังก์ชัน R(x) y) - ตรรกยะเทียบกับอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง x และคุณ อินทิกรัลนี้ลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรอื่นโดยใช้การแทนที่ออยเลอร์ 8.1. การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ ให้ค่าสัมประสิทธิ์ a > 0 ให้เราตั้งค่า หรือ ดังนั้นเราจึงพบว่า x เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ u ซึ่งหมายความว่า ดังนั้น การแทนที่ที่ระบุจึงแสดงออกอย่างมีเหตุผลในรูปของ * ดังนั้นเราจะมีข้อสังเกต การแทนที่ออยเลอร์ครั้งแรกสามารถทำได้ในรูปแบบตัวอย่างที่ 6 เช่นกัน ลองหาอินทิกรัล ดังนั้นเราจะได้การแทนที่ของ dx ออยเลอร์ จะได้ว่า Y 8.2 การแทนที่ครั้งที่สองของออยเลอร์ ปล่อยให้ตรีโกณมิติ ax2 + bx + c มีรากจริง R] และ x2 ต่างกัน (สัมประสิทธิ์สามารถมีเครื่องหมายใดๆ ก็ได้) ในกรณีนี้ เราถือว่า ตั้งแต่นั้นมา เราได้ เนื่องจาก x,dxn y/ax2 + be + c ถูกแสดงอย่างมีเหตุผลในรูปของ t จากนั้นอินทิกรัลดั้งเดิมจะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ นั่นคือ โดยที่ ปัญหา ใช้การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ แสดงว่านั่นคือฟังก์ชันตรรกยะของ t ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล dx M ฟังก์ชัน ] - x1 มีรากจริงต่างกัน ดังนั้นเราจึงใช้การแทนค่าออยเลอร์ที่สอง จากที่นี่ เราจะพบการแทนค่านิพจน์ที่พบลงในค่า Give?v*gyvl; เราได้ 8.3 ออยเลอร์ตัวที่สาม substascom ปล่อยให้สัมประสิทธิ์ c > 0 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรโดยการใส่ โปรดทราบว่าหากต้องการลดอินทิกรัลให้เหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ การแทนที่ออยเลอร์ตัวแรกและตัวที่สองก็เพียงพอแล้ว ที่จริงแล้ว ถ้าค่าจำแนก b2 -4ac > 0 แสดงว่ารากของขวานตรีโนเมียลกำลังสอง + bx + c เป็นจำนวนจริง และในกรณีนี้ สามารถใช้การแทนที่ออยเลอร์ครั้งที่สองได้ ถ้าหากเครื่องหมายของตรีนาม ax2 + bx + c เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ a และเนื่องจากเครื่องหมายตรีโกณมิติต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น a > 0 ในกรณีนี้ สามารถใช้การทดแทนครั้งแรกของออยเลอร์ได้ ในการค้นหาอินทิกรัลประเภทที่ระบุไว้ข้างต้น ไม่แนะนำให้ใช้การแทนที่ออยเลอร์เสมอไป เนื่องจากสำหรับอินทิกรัลเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะค้นหาวิธีการอินทิเกรตอื่นที่นำไปสู่เป้าหมายได้เร็วขึ้น ลองพิจารณาอินทิกรัลพวกนี้บ้าง 1. ในการค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ ให้แยกกำลังสองสมบูรณ์ออกจากกำลังสองของตรีโกณมิติที่ 3 โดยที่หลังจากนี้ ให้ทำการแทนค่าและหาได้ว่าสัมประสิทธิ์ a และ P มีเครื่องหมายต่างกันหรือเป็นบวกทั้งคู่ สำหรับและสำหรับ a > 0 อินทิกรัลจะลดลงเหลือลอการิทึม และถ้าเป็นเช่นนั้น จะลดเหลืออาร์คไซน์ ที่. ค้นหา imtegral 4 Sokak แล้ว สมมติว่าเราได้ Prmmar 9 ค้นหา สมมติว่า x - เราจะได้ 2 อินทิกรัลของแบบฟอร์มจะลดลงเหลืออินทิกรัล y จากขั้นตอนที่ 1 ดังนี้ เมื่อพิจารณาว่าอนุพันธ์ ()" = 2 เราเน้นในตัวเศษ: 4 เราระบุอนุพันธ์ของนิพจน์รากในตัวเศษ เนื่องจาก (x แล้วเราจะได้โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 9, 3 อินทิกรัลของรูปแบบโดยที่ P„(x) เป็นพหุนามดีกรีที่ n -th สามารถพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ซึ่งประกอบด้วยดังต่อไปนี้ (s) เป็นพหุนามของระดับ (n - 1) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน: ในการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของ (1): จากนั้นเราลดด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (2) ให้เป็นตัวหารร่วมเท่ากับ ตัวส่วนของด้านซ้าย เช่น y/ax2 + bx + c ลดทั้งสองด้านของ (2) โดยที่เราได้รับเอกลักษณ์ทั้งสองด้านซึ่งมีพหุนามของดีกรี n เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับดีกรีเท่ากันของ x ใน ด้านซ้ายและด้านขวาของ (3) เราได้รับสมการ n + 1 ซึ่งเราพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ j4*(fc = 0,1,2,..., n ) ของ (1) และการหาอินทิกรัล + c จะได้คำตอบสำหรับอินทิกรัลนี้ ตัวอย่างที่ 11. ค้นหาอินทิกรัล ลองใส่ความแตกต่างของทั้งสองชุดของความเท่าเทียมกัน เราจะได้ นำด้านขวามาหาตัวส่วนร่วมและลดทั้งสองด้านลง เราจะได้เอกลักษณ์ หรือ เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ x เราก็มาถึงระบบสมการที่เราหา = จากนั้นเราจะพบอินทิกรัลทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (4): ดังนั้น อินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับ