1933년 V. A. Kotelnikov는 이론적인 무선 공학의 기본 원리 중 하나인 정리를 증명했습니다. 이 정리는 일정한 간격으로 취한 기준 값(샘플)을 기반으로 제한된 스펙트럼을 가진 신호의 순간 값을 임의로 정확하게 재구성할 수 있는 가능성을 설정합니다.

직교 기초의 구축.

표시된 것처럼 계열에 속하는 두 개의 스펙트럼 제한 신호

직교합니다. 진폭 계수 A를 적절하게 선택함으로써 이들 신호 각각의 표준이 1이 되도록 보장할 수 있습니다. 결과적으로 정규 직교 기반이 구성되어 제한된 스펙트럼을 가진 임의의 신호를 일반화된 푸리에 급수로 확장할 수 있습니다.

기능만 고려하면 충분합니다.

모든 신호의 속도는 시간 이동에 관계없이 동일하기 때문입니다. 왜냐하면

함수를 사용하고 다음과 같은 경우 정규직교가 됩니다.

끝없는 기능 모음

값에 의해 제한되는 스펙트럼을 갖는 저주파 신호의 선형 공간에서 Kotelnikov 기초를 형성합니다. 별도의 함수를 기준 함수라고 합니다.

코텔니코프 시리즈. 주파수 대역에서만 스펙트럼 밀도가 0과 다른 임의의 신호인 경우 Kotelnikov 기반을 사용하여 일반화된 푸리에 급수로 확장할 수 있습니다.

알려진 바와 같이 Rad 계수는 분해된 신호와 기준 함수의 스칼라 곱입니다.

이러한 계수를 계산하는 편리한 방법은 일반화된 레일리 공식을 사용하는 것입니다. 세그먼트 내 기준 함수의 스펙트럼 밀도가 와 같은지 쉽게 확인할 수 있습니다. 이는 식 (5.3)과 (5.13)을 비교하면 알 수 있다. 그러면 연구 중인 신호의 스펙트럼이 다음과 같습니다.

중괄호 안의 값은 기준점에서 신호의 순간값에 지나지 않습니다.

따라서,

Kotelnikov 시리즈의 표현은 다음과 같습니다.

마지막 동일성을 기반으로 Kotelnikov의 정리는 일반적으로 다음과 같이 공식화됩니다. 스펙트럼에 Hz 이상의 주파수가 포함되지 않은 임의의 신호는 동일한 시간 간격으로 취한 이 신호의 기준 값이 알려진 경우 완전히 복원될 수 있습니다.

예제 5.1. 주어진 신호

샘플 사이에 특정 고정 간격을 선택함으로써 스펙트럼에 컷오프 주파수 이상의 주파수 성분이 포함되지 않은 모든 신호를 샘플로부터 명확하게 재구성할 수 있습니다.

그렇다면 Kotelnikov의 정리는 고려중인 고조파 신호에 적용 가능합니다. 주어진 신호의 기준값(샘플)

제한적인 경우, 주파수가 왼쪽으로 향하는 경우, 즉

고조파 신호 주기당 정확히 2개의 샘플이 있어야 합니다.

Kotelnikov 정리의 조건을 위반하고 시간 샘플을 충분히 자주 수집하지 않으면 원래 신호를 명확하게 재구성하는 것이 근본적으로 불가능합니다. 스펙트럼 밀도가 대역 외부에서 0이 아닌 기준점을 통해 무한한 수의 곡선을 그릴 수 있습니다.

쌀. 5.2. Kotelnikov 시리즈를 사용한 신호 합성의 하드웨어 구현

Kotelnikov 시리즈로 대표되는 신호 합성의 하드웨어 구현.

Kotelnikov 정리의 중요한 특징은 구성적 성격입니다. 이는 신호를 적절한 계열로 분해할 가능성을 나타낼 뿐만 아니라 기준 값으로 지정된 연속 신호를 복원하는 방법도 결정합니다(그림 5.2).

출력 터미널에 읽기 기능을 생성하는 생성기 세트가 있다고 가정합니다. 생성기는 제어 가능합니다. 신호의 진폭은 기준 값에 비례합니다. 출력의 진동을 가산기에 공급하여 결합하면 공식 (5.18)에 따라 가산기의 출력에서 ​​가능합니다. 합성된 신호 s(t)의 순간값을 취합니다.

예제 5.2. 단위 진폭과 지속 시간을 갖는 직사각형 비디오 펄스는 제한된 스펙트럼을 가진 신호 수에 속하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 스펙트럼 밀도의 계수는 주파수가 증가함에 따라 법에 따라 매우 빠르게 감소합니다.

펄스의 시작과 끝에서 두 개의 샘플을 사용하여 이러한 신호를 설명하는 것은 원래 진동을 주파수에 의해 위에서 제한되는 스펙트럼이 있는 신호로 대체하는 것을 의미합니다. 이 신호의 수학적 모델은 다음과 같습니다.

동일한 간격의 샘플 3개로 펄스를 설명하면 최대 주파수를 포함하는 근사 신호에 도달합니다.

당연히 고려되는 항의 수가 증가하면, 즉 샘플 간 시간 간격이 감소하면 근사치의 정확도가 높아집니다.

Kotelnikov 시리즈를 사용하여 임의 신호를 근사할 때 발생하는 오류 추정.

가 임의의 신호라면 이는 제한된 값의 스펙트럼을 갖는 신호뿐만 아니라 일반적으로 무한 주파수 대역을 차지하는 스펙트럼을 갖는 근사 오차 신호를 포함하는 합 k로 표시될 수 있습니다.

표시된 신호의 스펙트럼은 겹치지 않으므로 신호는 직교하고 해당 에너지, 즉 표준의 제곱이 합산됩니다.

근사 오차를 측정하기 위해 오차 신호의 표준과 동일한 거리를 취할 수 있습니다. 가 신호의 에너지 스펙트럼이라면 레일리의 정리에 의해

예제 5.3. 에너지 스펙트럼과 표준을 특징으로 하는 지수적 비디오 펄스가 제공됩니다.

이 펄스의 유효 기간(2장 참조)

고려 중인 신호의 스펙트럼은 무제한입니다. 따라서 먼저 신호를 저역 통과 필터(LPF)를 통과시켜 저역 통과 필터링을 적용해야 합니다. 필터 통과 대역의 상위 주파수 값은 저역 통과 필터의 출력에서 ​​신호 샘플을 취하는 빈도에 따라 선택해야 합니다. 샘플이 시간이 지남에 따라 간격을 두고 측정된다고 가정해 보겠습니다. Kotelnikov의 정리에 따르면 이는 다음을 의미합니다.

저역 통과 필터 출력의 신호는 해당 기준 값에 따라 정확하게 재구성됩니다. 그러나 원본 비디오 펄스에 대해서는 오류가 불가피합니다. 이 경우 오류 신호 표준은 다음과 같습니다.

작은 왜곡(오류)이 있는 샘플링된 신호에서 원래의 연속 신호를 복원하려면 샘플링 단계를 합리적으로 선택해야 합니다. 따라서 아날로그 신호를 이산 신호로 변환할 때 샘플링 단계의 크기에 대한 의문이 필연적으로 발생합니다. 다음 아이디어는 직관적으로 이해하기 어렵지 않습니다. 아날로그 신호에 일부 상위 주파수에 의해 제한되는 저주파 스펙트럼이 있는 경우 에프 이자형, (즉, 함수 너(티)급격한 진폭 변화 없이 부드럽게 변화하는 곡선의 형태를 가짐), 이 함수가 일부 작은 샘플링 시간 간격 동안 진폭이 크게 변할 가능성은 거의 없습니다. 샘플 시퀀스에서 아날로그 신호를 재구성하는 정확도는 샘플링 간격의 크기에 따라 달라집니다. 길이가 짧을수록 함수 u(t)는 기준점을 통과하는 부드러운 곡선과 덜 다릅니다. 그러나 샘플링 간격이 줄어들수록 처리 장비의 복잡성과 용량이 크게 증가합니다. 샘플링 간격이 충분히 크면 아날로그 신호를 재구성할 때 정보가 왜곡되거나 손실될 가능성이 높아집니다.

샘플링 간격의 최적 값은 Kotelnikov의 정리에 의해 설정됩니다(다른 이름은 샘플링 정리, K. Shannon의 정리, X. Nyquist의 정리입니다. 이 정리는 O. Cauchy의 수학에서 처음 발견된 후 D. Carson and R. Hartley), 1933년 V. A. Kotelnikov의 정리는 중요한 이론적, 실제적 중요성을 갖고 있습니다. 이를 통해 아날로그 신호를 정확하게 샘플링할 수 있으며 샘플 값으로부터 수신단에서 신호를 복원하는 최적의 방법을 결정할 수 있습니다.

그림 14.1. 스펙트럼 밀도 표현

Kotelnikov의 정리에 대한 가장 유명하고 간단한 해석 중 하나에 따르면, 스펙트럼이 특정 주파수에 의해 제한되는 임의의 신호 u(t) 에프 이자형가능 - 시간 간격에 따라 참조 값의 순서에 따라 완전히 복원됩니다.

샘플링 간격 및 빈도 에프 이자형(1) 무선 공학에서는 각각 간격과 나이퀴스트 주파수라고 합니다. 분석적으로 Kotelnikov의 정리는 다음과 같습니다.

(2)

여기서 k는 샘플 번호입니다. - 기준점의 신호 값 - 신호 스펙트럼의 상위 주파수.

Kotelnikov의 정리를 증명하기 위해 스펙트럼 밀도가 주파수 대역에 집중되어 있는 임의의 연속 신호 u(t)를 고려하십시오(그림 14.1의 실선).

주기를 따라 반복되는 값(그림 14.1의 점선)을 사용하여 스펙트럼 밀도 그래프를 대칭적으로 정신적으로 보완해 보겠습니다. 이렇게 얻은 주기 함수를 푸리에 급수로 확장하여 다음 공식으로 대체합니다.

논쟁 티 on s, 빈도 (공식적으로) 피~에 케이. 그 다음에

(3)

비율로 가정하면

기간은 이고, 샘플링 간격을 씁니다.

(4)

역 푸리에 변환 공식을 사용하여 원래의 연속 신호를 다음 형식으로 나타내겠습니다.

(5)

같은 방식으로 k번째 시간 참조에 대해 샘플링된 신호의 값을 기록합니다. 왜냐하면 시간이 , 저것

이 표현식을 C k의 공식과 비교하면 다음과 같습니다. 이 관계를 고려하면 스펙트럼 함수(3)는 간단한 변환 후 다음과 같은 형식을 취합니다.

그런 다음 다음 작업을 수행합니다. 표현식을 관계에 대입하고 적분 및 합산의 순서를 변경하고 관계를 다음과 같이 표현하고 적분을 계산합니다.

결과적으로 다음 공식을 얻습니다.

이 관계로부터 연속 함수 u(t)는 실제로 기준 시간의 이산 진폭 값 세트에 의해 결정되며 이는 Kotelnikov의 정리를 증명합니다.

형식의 가장 간단한 신호 시간 간격에 따라 서로 직교하는 함수를 샘플링 함수, 기본 함수 또는 Kotelnikov 함수라고 합니다. k번째 Kotelnikov 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 2. 각 기본 기능 에스 케이 (티)유사한 가장 가까운 함수를 기준으로 이동됨 에스 k-1 (티)또는 에스 k+1 (티)샘플링 간격당. 식 (10)의 기본 분석과 그림 1의 그래프. 14.3은 신호가 에스 케이 (티)반영

쌀. 14.2. Kotelnikov 기초 함수 도표

그림 14.3. 직사각형 펄스의 스펙트럼 밀도 포락선을 특성화하는 sinx/x 함수를 사용하여 Kotelnikov 시리즈에 의한 연속 신호의 근사치입니다.

Kotelnikov 계열(2)에 의한 주어진 연속 신호 u(t)의 표현(보다 정확하게는 근사)은 그림 1의 다이어그램으로 설명됩니다. 14.3. 그래프(여기서는 단순함을 위해 인수 없이 기본 함수가 표시됩니다. 티시계열의 처음 4개 항은 Kotelnikov의 정리에 따라 취해진 시간 0, 2, 3의 신호 샘플에 해당하여 구성되었습니다. kDt 시간의 임의 기준점에서 계열의 이러한 항을 합산하면 선택한 샘플 수에 관계없이 연속 신호가 절대적으로 정확하게 근사됩니다. 임의의 샘플 사이의 간격에서 신호 u(t)는 더 정확하게 근사화되며 Kotelnikov 급수(2)의 더 많은 항이 합산됩니다.

유한 기간의 펄스 신호 u(t)에 Kotelnikov의 정리를 적용할 수 있는 가능성을 평가해 보겠습니다. 티 엑스. 알려진 바와 같이, 이러한 신호는 이론적으로 무한히 넓은 스펙트럼을 갖습니다. 그러나 실제로는 특정 상위 주파수로 자신을 제한할 수 있습니다. 에프 V그 이상으로 스펙트럼에는 전체 원래 신호의 에너지에 비해 무시할 수 있을 정도로 작은 에너지 부분이 포함됩니다. 무선 공학에서 이러한 기준은 스펙트럼 내 평균 신호 전력의 90%를 의미합니다. 이 경우, 지속 시간이 있는 신호 u(t) 티 엑스스펙트럼의 상한 주파수 에프 V특정하고 제한된 개수의 Kotelnikov 계열로 표현될 수 있습니다.

(10)

다음은 샘플 수입니다.

그림 14.4. 직사각형 펄스를 카운트로 표현합니다.

코텔니코프의 정리(표본 정리)

신호 샘플링 문제 제한된 스펙트럼문헌에서 널리 다루어지고 있으며 Kotelnikov의 정리(Nyquist-Shannon 정리 또는 샘플링 정리)를 기반으로 합니다. 이 분야의 첫 번째 기본 작업은 V. A. Kotelnikov의 "통신에서 "에테르" 및 와이어 처리량에 관한 작업"(1933)과 K. Shannon의 "소음이 있는 상태에서의 통신"(1949)의 기사였습니다. ). K. Shannon의 기사는 E. T. Uttaker "보간 이론의 확장으로 표현되는 기능"(1915)의 작업을 기반으로 작성되었습니다. 개별 값으로 함수를 표현하고 이를 보간법을 이용해 복원하는 문제는 18세기부터 해결되기 시작했다. O. Cauchy의 작품에서 P.-S. Laplace 등, 나중에 D. Carson과 R. Hartley가 다시 설명합니다.

작은 오류가 있는 샘플링된 신호에서 원래의 연속 신호를 복원하려면 샘플링 단계를 합리적으로 선택해야 합니다. 따라서 아날로그 신호를 이산 신호로 변환할 때 샘플링 단계의 크기에 대한 의문이 필연적으로 발생합니다. 에.다음과 같은 합리적인 생각을 이해하는 것은 직관적으로 어렵지 않습니다. 아날로그 신호에 일부 상위 주파수에 의해 제한되는 저주파 스펙트럼이 있는 경우 에프비(즉, 함수 너(티)급격한 진폭 변화 없이 부드럽게 변화하는 곡선의 형태를 가짐), 작은 샘플링 시간 간격에서는 발생 가능성이 낮음 ~에이 기능은 진폭이 크게 달라질 수 있습니다.

샘플에서 아날로그 신호를 재구성하는 정확도는 샘플링 간격에 따라 달라집니다. 에.길이가 짧을수록 기능 차이가 줄어듭니다. 너(티)기준점을 통과하는 곡선에서. 그러나 간격이 줄어들면서 ~에처리 장비의 복잡성과 부피가 크게 증가합니다. 큰 샘플링 간격으로 ~에아날로그 신호를 복원할 때 정보가 왜곡되거나 손실될 가능성이 높아집니다.

샘플링 간격의 최적 값이 설정됩니다. 코텔니코프의 정리.이 정리에 대한 가장 유명하고 간단한 해석 중 하나에 따르면 임의 신호 u(t), 그 스펙트럼은 특정 주파수로 제한됩니다.에프비 참조 값의 순서에서 완전히 복원될 수 있습니다., 간격을 두고 따라가다

샘플링 간격 ~에및 빈도 Fd = Fn연결 이론에서는 때때로 그에 따라 호출됩니다. 간격그리고 나이퀴스트 주파수.

분석적으로 Kotelnikov의 정리는 다음과 같습니다.

어디 케이-참조번호; 너(kAt) -연속 신호 값 너(티)기준점에서; 와 함께 = 2nFn = k/At -신호 스펙트럼의 상위 주파수.

정리를 증명하려면 아날로그 신호를 고려하십시오. 너(에프),스펙트럼 밀도 5(co)는 t on co의 -oo 대역에 집중되어 있으며, 주파수 co t = co in on ~에그리고 피~에 케이.그 다음에

쌀. 6.2. 주기 함수에 의한 스펙트럼 밀도 표현

공식 (2.21)에서 주기는 2со in이고 샘플링 간격은 ~에= l/so n, 우리는 얻는다

역 푸리에 변환(2.30)을 사용하여 신호를 다음과 같이 씁니다.

같은 방식으로 일부 신호에 대해 샘플링된 신호의 값을 기록합니다. 케이보카운트다운. 왜냐하면 t = kAt = kn/ in으로, 그럼

이 공식을 공식 (6.4)와 비교하면 다음과 같습니다. C k = Atu(kAt). 와 함께이 관계를 고려하면 변환 후 스펙트럼 함수(6.3)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

관계식 (6.6)을 식 (6.5)에 대입하고, 적분과 합의 순서를 바꾸어 상상해 보자. 해당 없음 =

이 공식으로부터 연속 함수는 다음과 같습니다. 너(티)실제로 기준 순간의 이산 진폭 값의 총합에 의해 결정됩니다. t = kAt,코텔니코프의 정리를 증명한 것입니다. 신호

간격 [-°°, +°°]에서 직교라고 합니다. 샘플링 기능또는 Kotelnikov 기능.일정 케이- Kotelnikov의 기능은 그림 1에 나와 있습니다. 6.3. 각각의 기능 sk(t)가장 가까운 것에 상대적으로 이동했습니다. s k,(?) 또는 s k + l (티)샘플링 간격당 에.공식 분석

(6.7)과 그림의 그래픽. 6.3은 신호가 sk(t)함수에 반영됨 sinx/xy이는 직사각형 펄스의 스펙트럼 밀도의 포락선을 특성화합니다.

쌀. 6.3.

신호 표현 너(티) Kotelnikov의 계열(6.3)은 그림 1의 다이어그램으로 설명됩니다. 6.4. 계열의 처음 4개 항은 순간 0의 신호 샘플에 해당하는 그래프에 표시됩니다. 에, 2에및 ZD?는 Kotelnikov의 정리에 따라 취해진 것입니다. 어떤 기준 순간에 계열의 이러한 용어를 합산할 때 캣연속 신호는 선택된 샘플 수에 관계없이 절대적으로 정확하게 재구성됩니다. 샘플 사이의 간격에서 신호는 너(티)더 정확하게 복원될수록 계열(6.3)의 더 많은 항이 합산됩니다. 그래프에서 이산 신호 샘플을 직선으로 연결하는 것은 완전히 정확하지 않습니다. 이산 신호에서 연속 신호를 재구성할 때 더 복잡한 보간 함수가 사용되기 때문입니다.

실제로 이 정리는 매우 중요합니다. 예를 들어, 대부분의 오디오 신호는 어느 정도 정확도를 가지고 스펙트럼이 제한된 신호로 간주될 수 있습니다. 스펙트럼은 20kHz 미만입니다. 이는 최소 40kHz의 주파수에서 샘플링할 때 디지털 샘플에서 원래 아날로그 오디오 신호를 어느 정도 정확하게 복원할 수 있음을 의미합니다.

쌀. 6.4.

예제 6.1

텔레비전 채널의 오디오 신호는 상위 주파수 / = 12kHz로 제한됩니다. 간격을 정의하자 ~에샘플링된 신호를 왜곡 없이 재생하는 데 필요한 샘플 간. 해결책

샘플링 간격을 결정합니다. ~에= 1/(2/in) = 1/(2 12 -10') ~ 42 10 6 초.

그 후, 샘플링 정리를 일반화하여 제한된 스펙트럼으로 신호를 근사화하기 위한 다양한 방법이 제안되었습니다.

• 임의의 시간에 샘플을 채취하는 함수의 경우
• 다차원 함수(예: 텔레비전 신호)
• 함수 자체와 그 파생물 모두의 샘플을 가져오는 함수의 경우.

Kotelnikov의 정리를 펄스 신호에 적용할 수 있는 가능성을 평가해 보겠습니다. 너(티)유한한 기간 T p.이러한 신호는 이론적으로 무한히 넓은 스펙트럼을 갖습니다. 그러나 항상 스펙트럼이 전체 신호의 에너지에 비해 작은 부분의 에너지를 포함하는 상위 주파수 F B 로 제한할 수 있습니다. 통신 이론에서 이러한 기준은 스펙트럼 경계 내 평균 신호 전력의 90%를 의미합니다. 이 경우 신호 너(티)지속 티스펙트럼의 상한 주파수 에프비제한된 수의 샘플로 Kotelnikov 시리즈로 표현 가능

여기서 L g = TJAt-카운트 수.

예제 6.2

Kotelnikov 옆에 두 가지 경우에 대해 단위 진폭 및 지속 시간 t "의 직사각형 전압 펄스를 상상해 보겠습니다. 근사 함수의 스펙트럼은 상위 주파수 F Bl = 1/(2t u) 및 F d2의 값에 의해 제한됩니다. = 1/t'.

해결책

첫 번째 경우, 샘플링 간격 ~에= 1/(2F B) = m 이는 펄스가 펄스의 시작과 끝에서 두 개의 기준 값으로만 ​​표시됨을 의미합니다. 펄스 진폭과 지속 시간의 값을 공식 (6.8)에 대체하여 근사 함수의 수학적 모델을 작성합니다.

두 번째 경우, 펄스는 순간에 채취된 3개의 동일한 샘플로 이산화됩니다. 티 = 0, t (1 /2 및 t i, 즉 펄스의 시작, 중간 및 끝. 그런 다음

근사 함수의 타이밍 다이어그램 u2(티)그리고 너 3 (티)그리고 이를 구성하는 Kotelnikov 계열의 항은 그림 1에 나와 있습니다. 6.5.

쌀. 6.5. 직사각형 펄스를 카운트로 표현:

ㅏ- 둘; 6 - 삼

예시 b.3

Kotelnikov에 따라 고조파 신호가 발생하는 최소 샘플링 주파수를 결정해 보겠습니다. 유(티) =왜냐하면(2 nF 0t +

해결책

샘플링 간격을 선택할 때 =에서 1/(2F B), 여기서 F B -스펙트럼의 상한 주파수, 연속 신호 너(티)판독값을 통해 재구성할 수 있습니다(그림 6.6, ㅏ).주파수 비율이 F 0당신 = = 왜냐하면 (knF 0 /F B + %).

신호 주파수가 제한된 경우 F 0샘플링 속도 경향 에프비왼쪽에, 즉 F 0 =임( Fn- p) 원래 신호의 각 주기에는 다음이 있어야 합니다.

그러나 두 번의 카운트가 수행됩니다.

함수의 복원은 샘플에 대한 신호 샘플의 위상에 따라 달라집니다. 정현파의 최대값이 샘플 간 간격의 중간에 있으면 오류가 가장 크고, 샘플당인 경우 오류가 가장 작습니다.

쌀. 6.6.

ㅏ -~에 두 카운트에서 F 0

분명히 샘플은 사인파의 0 값, 극단 값 또는 중간 값에 속할 수 있습니다. 샘플링된 정현파에 대한 샘플의 위상은 선험적으로 알 수 없으므로 필터를 사용하여 신호를 재구성한 후에는 정현파가 표시되지 않을 수 있습니다. 이 예에서 사인파 재구성의 가장 높은 정확도는 두 샘플을 모두 최대값으로 가져온 경우입니다. 저역 통과 필터의 입력에서의 진동은 정현파의 주파수와 동일한 주파수의 톱니 모양을 갖습니다(그림 6.6의 점선, 비).

샘플을 충분히 자주 채취하지 않고 Kotelnikov 정리의 조건을 위반하면 고조파 신호를 명확하게 복원하는 것이 불가능합니다. 이러한 경우 기준 시간을 통해 스펙트럼 밀도가 대역 외부에서 0이 아닌 무한한 수의 곡선을 그리는 것이 가능합니다. -Fn F 2F 0의 샘플링 속도에서 사인파 재구성의 오류는 100%가 될 수 있다고 주장할 수 있습니다. 이것만으로도 명시된 결론의 정확성을 확인하기에 충분합니다.

예제 6.4

Kotelnikov의 정리에 따라 샘플링된 연속 신호 너(티)시간 축에 두 개의 판독값이 있습니다(그림 6.7). 의 순간에 원래 신호의 순간 값을 계산해 봅시다 티 = 1μs.

쌀. 6.7.

해결책

그림에 따르면 6.7 샘플링 간격 = 210(, 및 =에서 원래 신호 스펙트럼의 상위 주파수를 결정합니다. 에게/~에= 1.57-10f> s -1. 공식에 따르면

(6.8) 이 경우 Kotelnikov 계열은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이 관계에서 우리는 현재 아날로그 신호의 순간 값을 찾습니다. 티= 1μs: 너(티= 1μs) = 22.3V.

코텔니코프의 정리

5.3. 코텔니코프의 정리.

5.3.1. 지속적인 신호시간의 연속함수로 기술된다. 이러한 신호의 순간 값은 급격한 점프(불연속) 없이 시간이 지남에 따라 부드럽게 변경됩니다. 연속 신호의 시간 다이어그램의 예가 그림 5.2a에 나와 있습니다. 그림 5.1에 표시된 타이밍 다이어그램의 신호는 특정 시점의 순간 값이 점프로 변경되기 때문에 연속적이지 않습니다. 많은 실제 신호는 연속적입니다. 예를 들어 여기에는 음성, 음악 및 많은 이미지가 전송되는 동안의 전기 신호가 포함됩니다.

쌀. 5.1. 전신 신호 구현 일정.

ㅏ)

비)

V)

G)
쌀. 5.2. 연속 신호의 샘플링, 양자화: a – 연속 신호; b - 이산 시간(펄스) 신호; c – 시간과 값이 이산적인 (디지털) 신호; g – 양자화 오류

5.3.2. 이산 시간이 있는 신호.

시간 샘플링이라고 불리는 후자에 대한 특별한 변환을 수행하여 연속적인 것에서 얻을 수 있습니다. 그림 5.2에 표시된 타이밍 다이어그램을 사용하여 이러한 변환의 의미를 설명합니다. 시간 Δt, 2Δt, 3Δt...에서 신호 u(t)의 순간 값을 측정하는 것이 가능하다고 가정하겠습니다. Δt를 시간 샘플링 간격이라고 합니다. 측정된 값 u(Δt), u(2Δt), u(3Δt)는 그림 5.2a에 점으로 표시되어 있습니다. 이러한 값을 사용하면 지속 시간이 동일하고 샘플링 간격 Δt보다 작은 짧은 직사각형 펄스 시퀀스를 생성할 수 있으며 진폭은 신호 u(t)의 측정된 값과 동일합니다. 이러한 직사각형 펄스의 시퀀스는 그림 5.2b에 표시되어 있으며 종종 펄스 신호 또는 이산 시간 신호라고 합니다. 이러한 신호는 기호 uΔ(t)로 표시됩니다. 여기에서 샘플링 시간 단계는 일정하고 Dt와 동일하며, 각 펄스의 진폭은 해당 순간의 신호 u(t)의 순시값과 같습니다. 선택한 시간의 연속 신호 u(t)는 임의의 값을 가질 수 있으므로 시간 샘플링을 통해 연속 신호에서 얻은 펄스 신호의 펄스 진폭도 임의의 값을 가질 수 있습니다. 그림 5.2b에서 펄스 진폭이 표시됩니다. 소수점 이하 한 자리까지만 정확도를 갖습니다. 펄스 진폭 값을 정확하게 표시하려면 소수점 이하 자릿수가 무제한 필요할 수 있습니다. 즉, 펄스 진폭 값이 특정 간격을 지속적으로 채웁니다. 따라서 신호 펄스 진폭 uΔ(t)는 때때로 다음과 같이 불립니다. 연속 수량.

5.3.3. 디지털 신호.

나중에 설명하겠지만, 통신에서 펄스 신호를 전송할 때 다음과 같은 특수 변환이 종종 사용됩니다. 전송 중에 각 펄스는 허용된 값의 진폭만 가질 수 있다고 가정해 보겠습니다. 허용되는 펄스 진폭 값의 수는 유한하며 지정됩니다. 예를 들어 그림 5.2c에서 허용되는 진폭 값은 1, 2, 3, ...으로 번호가 지정됩니다. Δu 값은 인접한 두 개의 허용 진폭 값 간의 차이와 같습니다. 전송될 신호 펄스 진폭 uΔ(t)의 참값이 허용된 값 사이에 있으면 전송된 펄스의 진폭은 참에 가장 가까운 허용된 값과 동일하게 간주됩니다. 이러한 변환을 양자화라고 하며, 전송된 펄스의 진폭에 허용되는 값 집합을 양자화 스케일이라고 하며, 인접한 허용 값 사이의 간격 Δu를 양자화 단계라고 합니다. 예를 들어, 그림. 도 2c에서, 펄스 진폭의 허용된 값은 정수 0과 동일한 것으로 가정된다. 1; 2; 3 음의 신호 값 u(t)의 영역으로 확장될 수 있는 균일한 양자화 스케일을 형성합니다. 이 경우 양자화 단계는 Δu=1입니다.

신호 펄스 uΔ(t)의 양자화 결과로 얻은 펄스 시퀀스도 펄스 신호이며, 이에 대한 표기법 u c(t)를 도입합니다. 이 신호의 특징은 펄스 진폭이 이제 허용된 값만 가지며 유한한 자릿수의 십진수로 표시될 수 있다는 것입니다. 이러한 신호를 이산 신호 또는 디지털 신호라고 합니다. 양자화는 양자화 오류 e(t) = u ц(t) – uΔ(t)로 이어집니다. 그림 5.2d는 오류 e(t)의 시간 다이어그램의 예를 보여줍니다. 신호 uΔ(t) 대신 디지털 신호 u c(t)를 전송하는 것은 실제로 이전에 오류 신호 e(t)가 중첩된 펄스 신호 uΔ(t)를 전송하는 것과 동일하며, 이 경우 간섭으로 간주될 수 있습니다. . 따라서 e(t)는 종종 양자화 잡음 또는 양자화 잡음으로 불린다.

5.3.4. 코텔니코프의 정리.

이제 이산 신호가 메시지 전송에 널리 사용되고 많은 실제 신호가 연속적이므로 다음 사항을 아는 것이 중요합니다. 연속 신호를 이산 신호를 사용하여 표현할 수 있습니까? 그러한 표현이 정확한 조건을 나타내는 것이 가능합니까? 이러한 질문에 대한 답은 1933년 소련 과학자 V.A. Kotelnikov가 입증한 정리에 의해 제공됩니다. 이는 이론적인 무선 공학의 기본 결과 중 하나입니다. 이 정리는 다음과 같이 공식화됩니다. 연속 신호 u(t)가 제한된 스펙트럼을 갖고 스펙트럼의 최고 주파수가 f(Hz)보다 작은 경우 신호 u(t)는 순시 값의 시퀀스에 의해 완전히 결정됩니다. ​​1/(2fв)초 이상 서로 멀지 않은 별개의 순간에.

그림 5.2a에 표시된 타이밍 다이어그램을 사용하여 Kotelnikov 정리의 의미를 설명하겠습니다. 이를 제한된 스펙트럼과 상한 주파수 f in을 갖는 신호 u(t)의 시간 다이어그램의 일부로 둡니다. 샘플링 간격 Δt인 경우<2 f в, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой w в<=wΔ/2 можно представить рядом

, (2)

여기서 u(nΔt), n=...-1, 0, +1,... - 순간 신호 값의 샘플 u(t), wΔ = 2¶fΔ, fΔ=SΔt – 시간 샘플링 주파수.

행 2에는 무한한 수의 항이 있으므로 시간 t에서 신호 u(t)의 값을 계산하려면 모든 샘플 u(nΔt), n=…-1, 0, + 1, … 지정된 순간 t 전후 모두. (2)의 정확한 평등은 모든 용어가 고려되는 경우에만 달성됩니다. (2)의 우변에 있는 유한한 수의 항으로 제한하면 그 합은 신호 u(t)의 대략적인 값만 제공합니다.

계열(2)에 의한 신호 u(t)의 표현은 그림 5.3을 사용하여 설명됩니다. 이 그림은 신호 u(t)의 시간 다이어그램과 계열(2)의 세 항을 보여줍니다.

그림 5.3. Kotelnikov 계열을 통해 제한된 스펙트럼의 신호를 표현합니다.

따라서 Kotelnikov의 정리는 연속 신호가 해당 이산시간 신호로부터 정확하게 재구성될 수 있는 조건을 지정합니다. 실제 연속 신호,원칙적으로 양도 대상이 됩니다. 스펙트럼이 있지만 주파수가 증가함에 따라 매우 빠르게 0이 되는 경향이 있지만 여전히 무제한입니다.이러한 신호는 대략적으로만 이산 샘플로부터 재구성될 수 있습니다. 그러나 충분히 작은 샘플링 단계 Δt를 선택하면 이산적인 순간에 전송된 샘플에서 연속 신호를 재구성할 때 무시할 수 있는 오류 값을 보장할 수 있습니다. 예를 들어, 스펙트럼이 무제한인 전화 신호를 전송할 때 일반적으로 조건부 상한 주파수 f = 3.4kHz라고 가정합니다. 이 경우 샘플링 주파수는 부등식 fΔ і 6.8kHz를 충족해야 함을 알 수 있습니다. 초당 6.8천 개의 샘플을 전송해야 합니다. 음성 전송 품질은 상당히 만족스럽습니다. 지정된 값 이상으로 샘플링 속도를 높이는 것은 허용되며 전화 신호 재구성의 정확도가 약간 증가합니다. fΔ를 취하면<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.

작은 왜곡(오류)이 있는 샘플링된 신호에서 원래의 연속 신호를 복원하려면 샘플링 단계를 합리적으로 선택해야 합니다. 따라서 아날로그 신호를 이산 신호로 변환할 때 샘플링 단계의 크기에 대한 의문이 필연적으로 발생합니다.

. 다음 아이디어는 직관적으로 이해하기 어렵지 않습니다. 아날로그 신호에 일부 상위 주파수에 의해 제한되는 저주파 스펙트럼이 있는 경우 페, (즉, 함수 너(티)급격한 진폭 변화 없이 부드럽게 변화하는 곡선의 형태를 가짐), 이 함수가 작은 샘플링 시간 간격 동안 진폭이 크게 변할 가능성은 거의 없습니다.
샘플 시퀀스에서 아날로그 신호를 재구성하는 정확도는 샘플링 간격의 크기에 따라 달라집니다. 길이가 짧을수록 함수 u(t)는 기준점을 통과하는 부드러운 곡선과 덜 다릅니다. 그러나 샘플링 간격이 줄어들수록 처리 장비의 복잡성과 용량이 크게 증가합니다. 샘플링 간격이 충분히 크면 아날로그 신호를 재구성할 때 정보가 왜곡되거나 손실될 가능성이 높아집니다.
샘플링 간격의 최적 값은 Kotelnikov의 정리에 의해 설정됩니다(다른 이름은 샘플링 정리, K. Shannon의 정리, X. Nyquist의 정리입니다. 이 정리는 O. Cauchy의 수학에서 처음 발견된 후 D. Carson and R. Hartley), 1933년 V. A. Kotelnikov의 정리는 중요한 이론적, 실제적 중요성을 갖고 있습니다. 이를 통해 아날로그 신호를 정확하게 샘플링할 수 있으며 샘플 값으로부터 수신단에서 신호를 복원하는 최적의 방법을 결정할 수 있습니다.
그림 14.1. 스펙트럼 밀도 표현

Kotelnikov의 정리에 대한 가장 유명하고 간단한 해석 중 하나에 따르면, 스펙트럼이 특정 주파수에 의해 제한되는 임의의 신호 u(t) 페가능 - 시간 간격에 따라 참조 값의 순서에 따라 완전히 복원됩니다.

(1)

샘플링 간격

및 빈도 페(1) 무선 공학에서는 각각 간격과 나이퀴스트 주파수라고 합니다. 분석적으로 Kotelnikov의 정리는 다음과 같습니다. (2)

여기서 k는 샘플 번호입니다.

- 기준점의 신호 값 - 신호 스펙트럼의 상위 주파수.
Kotelnikov의 정리를 증명하기 위해 스펙트럼 밀도가 주파수 대역에 집중되어 있는 임의의 연속 신호 u(t)를 고려하십시오(그림 14.1의 실선).
주기로 반복되는 값으로 스펙트럼 밀도 그래프를 대칭적으로 정신적으로 보완해 보겠습니다. (그림 14.1의 점선) 이렇게 얻은 주기 함수를 푸리에 급수로 확장하여 다음 공식으로 대체합니다.

논쟁 티우리를

, 주파수 켜짐 및 (공식적으로) 피~에 케이. 그 다음에 (3)

기간은

, 샘플링 간격을 작성합니다 (4)

역 푸리에 변환 공식을 사용하여 원래의 연속 신호를 다음 형식으로 나타내겠습니다.

(5)

같은 방식으로 k번째 시간 참조에 대해 샘플링된 신호의 값을 기록합니다. 왜냐하면 시간이 , 저것

이 표현식을 C k의 공식과 비교하면 다음과 같습니다. 이 관계를 고려하면 스펙트럼 함수(3)는 간단한 변환 후 다음과 같은 형식을 취합니다.

그런 다음 다음을 수행해 보겠습니다. 표현식을 대체합니다.

관계식에 적분과 합산의 순서를 변경하여 관계식을 로 표현하고 적분을 계산합니다.
결과적으로 다음 공식을 얻습니다.

이 관계로부터 연속 함수 u(t)는 실제로 기준 시간의 이산 진폭 값 세트에 의해 결정됩니다.

, 이는 Kotelnikov의 정리를 증명합니다.
형식의 가장 간단한 신호 시간 간격에서 서로 직교하는 , 을 샘플링 함수, 기본 함수 또는 Kotelnikov 함수라고 합니다. k번째 Kotelnikov 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 2. 각 기본 기능 sk(t)유사한 가장 가까운 함수를 기준으로 이동됨 s k-1 (t)또는 sk+1(티)샘플링 간격당. 식 (10)의 기본 분석과 그림 1의 그래프. 14.3은 신호가 sk(t)반영
쌀. 14.2. Kotelnikov 기초 함수 도표


그림 14.3. 직사각형 펄스의 스펙트럼 밀도 포락선을 특성화하는 sinx/x 함수를 사용하여 Kotelnikov 시리즈에 의한 연속 신호의 근사치입니다.

Kotelnikov 계열(2)에 의한 주어진 연속 신호 u(t)의 표현(보다 정확하게는 근사)은 그림 1의 다이어그램으로 설명됩니다. 14.3. 그래프(여기서는 단순함을 위해 인수 없이 기본 함수가 표시됩니다. 티시계열의 처음 4개 항은 시간 0의 신호 샘플에 해당하여 구성되었습니다.