여러 변수의 함수의 평평한 표면. 설명 기하학의 많은 문제를 해결하기 위해 특정 위치의 선, 즉 레벨 선이 사용됩니다. 레벨 라인은 PP와 평행한 평면 위의 라인입니다. 수평 PP-수평선과 평행한 선
통계학의 주제와 통계의 임무 현대 무대
통계는 라틴어 "ststus"(상태 또는 위치)에서 유래합니다. 통계- 숫자 모음입니다. 이는 일종의 데이터 수집 및 분석 활동입니다. 이는 18세기에 형성된 과학으로 원래는 '정치산술'이라고 불렸다. 제목 추가- 대중적 사회경제 현상의 양적 측면은 특정 장소와 시간의 조건에서 질적 측면과 불가분의 관계에 있다. 객체– 사회, 그 안에서 일어나는 과정, 즉 일련의 사회적, 경제적 현상 . 주요 통계방법– 큰 수의 법칙. 통계의 가장 중요한 업무– 통계적 관찰을 구성합니다. 데이터 처리 및 분석을 위한 일반화된 지표 시스템 확보 적시에 관리 결정을 내릴 수 있도록 주 정부에 정보에 대한 접근 권한을 제공했습니다. 사회, 경제적 과정에 대한 정보를 공개합니다. 통계 연구는 다음과 같은 단계를 거쳐 진행됩니다: 1. 통계적 관찰(정보 수집의 형태 및 유형) 2. 통계적 요약 및 그룹화(체계화) 3. 일반 지표의 계산 및 분석(절대값 및 상대값, 변동 지표, 표본 관찰 지표, 역학 계열) 지표, 지수).
통계 집계, 해당 유형. 인구의 단위와 특성의 분류.
통계적 인구- 공간과 시간의 제약을 받으며 어떤 면에서 동질적인 물체의 집합입니다. 세트라고 합니다 동종의,연구 대상의 필수 특징 중 하나 이상이 모든 단위에 공통적인 경우. 현상을 포함하는 총체 다른 유형, 개수 이질적인. 예시 SS- 특정 대학에서 2학년 풀타임으로 공부하는 학생들이 많습니다. 이 세트는 정규 학습 2년차에 같은 대학에서 공부하는 젊은이들을 하나로 묶기 때문에 질적으로 동질적입니다. 동시에 요소 주어진 세트- 학생들은 학업 성취도, 능력, 건강 등이 서로 다릅니다. 집합단위(요소) - 특별한 경우연구된 패턴의 발현; 이는 등록 대상 특성의 전달자이자 설문 조사 중에 유지되는 계정의 기초가 되는 통계 모집단의 기본 요소입니다. . 징후- 이것은 통계적 인구 단위의 특성인 속성입니다. 예를 들어, 통계 인구 단위인 "학생"은 성, 이름, 후원, 나이, 과목 성적, 수업 출석 등의 특성을 갖습니다. 인구가 동질적일수록 해당 단위의 공통 특성이 더 커집니다. 그 가치는 덜 다양합니다.
n차원 공간의 점 집합(X)에서 각 점 X = (x 1, x 2, ... x n)이 하나의 점과 완전히 연관되어 있는 경우 특정 값변수 값 z가 주어지면 그들은 다음과 같이 말합니다. n 변수의 함수 z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).
이 경우 변수 x 1, x 2, ... x n이 호출됩니다. 독립 변수또는 인수함수, z - 종속변수, 기호 f는 대응의 법칙. 집합(X)은 다음과 같다. 정의 영역함수(이것은 n차원 공간의 특정 하위 집합입니다).
예를 들어, 함수 z = 1/(x 1 x 2)는 두 변수의 함수입니다. 인수는 변수 x 1 및 x 2이고 z는 종속 변수입니다. 정의 영역은 직선 x 1 = 0 및 x 2 = 0을 제외한 전체 좌표 평면입니다. x축과 세로축이 없습니다. 대응법칙에 따라 정의 영역의 임의의 점을 함수로 대체함으로써 특정 숫자를 얻습니다. 예를 들어 점 (2; 5)를 취하면 다음과 같습니다. x 1 = 2, x 2 = 5, 우리는
z = 1/(2*5) = 0.1(즉, z(2; 5) = 0.1)
z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b 형식의 함수(여기서 a 1, a 2,... 및 n, b는 상수임)라고 합니다. 선의. 이는 변수 x 1, x 2, ... x n의 n 선형 함수의 합으로 간주될 수 있습니다. 다른 모든 함수는 호출됩니다. 비선형.
예를 들어, 함수 z = 1/(x 1 x 2)는 비선형이고 함수 z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – 선형.
하나를 제외한 모든 변수의 값을 고정하면 모든 함수 z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n)은 하나의 변수의 n 함수와 연관될 수 있습니다.
예를 들어, 3개 변수 z = 1/(x 1 x 2 x 3)의 함수는 1개 변수의 3개 함수와 연관될 수 있습니다. x 2 = a와 x 3 = b를 고정하면 함수는 z = 1/(abx 1); 형식을 취합니다. x 1 = a와 x 3 = b를 고정하면 z = 1/(abx 2) 형식을 취하게 됩니다. x 1 = a와 x 2 = b를 고정하면 z = 1/(abx 3) 형식을 취하게 됩니다. 안에 이 경우세 가지 기능 모두 같은 모습. 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 두 변수의 함수에 대해 x 2 = a를 고정하면 z = 5x 1 a 형식을 취합니다. 전력 함수, 그리고 x 1 = a를 고정하면 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다. 지수 함수.
일정두 변수 z = f(x, y)의 함수는 3차원 공간(x, y, z)의 점 집합이며, 해당 z는 함수 관계에 의해 가로좌표 x 및 세로좌표 y와 관련됩니다.
z = f(x, y). 이 그래프는 3차원 공간의 일부 표면을 나타냅니다(예: 그림 5.3 참조).
함수가 선형(예: z = ax + by + c)인 경우 해당 그래프는 3차원 공간의 평면이라는 것이 증명될 수 있습니다. 다른 예 3D 그래프 Kremer의 교과서(pp. 405-406)를 사용하여 독립적으로 공부하는 것이 좋습니다.
변수가 2개 이상(n개) 있는 경우 일정함수는 x 좌표 n+1이 주어진 함수 법칙에 따라 계산되는 (n+1)차원 공간의 점 집합입니다. 그러한 그래프를 이렇게 부른다. 초표면(을 위한 선형 함수 – 초평면), 또한 과학적 추상화를 나타냅니다(묘사하는 것은 불가능합니다).
그림 5.3 - 3차원 공간에서 두 변수의 함수 그래프
평평한 표면 n 변수의 함수는 n차원 공간의 점 집합으로, 이 모든 점에서 함수의 값은 C와 동일합니다. 이 경우 숫자 C 자체를 호출합니다. 수준.
일반적으로 동일한 기능에 대해 (다른 레벨에 해당하는) 무한한 수의 레벨 표면을 구성하는 것이 가능합니다.
두 변수의 함수에 대해 레벨 표면은 다음 형식을 취합니다. 레벨 라인.
예를 들어, z = 1/(x 1 x 2)를 생각해 보세요. C = 10, 즉 1/(x 1 x 2) = 10. 그러면 x 2 = 1/(10x 1), 즉 평면에서 레벨 라인은 그림 5.4에 표시된 형태를 취합니다. 실선. 예를 들어 C = 5와 같은 다른 수준을 취하면 함수 x 2 = 1/(5x 1)의 그래프 형태로 수준선을 얻습니다(그림 5.4에서 점선으로 표시).
그림 5.4 - 기능 수준 선 z = 1/(x 1 x 2)
또 다른 예를 살펴보겠습니다. z = 2x 1 + x 2라고 합니다. C = 2, 즉 2x 1 + x 2 = 2. 그러면 x 2 = 2 - 2x 1, 즉 평면에서 레벨 라인은 그림 5.5에서 실선으로 표시된 직선 형태를 취합니다. 예를 들어 C = 4와 같은 다른 레벨을 사용하면 직선 x 2 = 4 - 2x 1 형태의 레벨 선을 얻습니다(그림 5.5에서 점선으로 표시). 2x 1 + x 2 = 3에 대한 레벨 라인은 그림 5.5에서 점선으로 표시됩니다.
두 변수의 선형 함수의 경우 모든 레벨 라인이 평면에서 직선이 되고 모든 레벨 라인이 서로 평행하다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.
그림 5.5 - 기능 수준 라인 z = 2x 1 + x 2
여러 변수의 함수 정의
하나의 변수의 함수를 고려할 때, 우리는 많은 현상을 연구할 때 두 개 이상의 독립 변수의 함수를 만나야 한다는 점을 지적했습니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.
예시 1. 정사각형 에스변의 길이가 같은 직사각형 엑스그리고 ~에는 공식으로 표현됩니다 에스 = xy. 각 값 쌍 엑스그리고 ~에특정 면적 값에 해당 에스; 에스두 변수의 함수입니다.
예시 2. 용량 V길이가 같은 모서리를 가진 직육면체 엑스, ~에, 지는 공식으로 표현됩니다 V= xyz. 여기 V세 가지 변수의 함수가 있습니다 엑스, ~에, 지.
예시 3.
범위 아르 자형초기 속도로 발사되는 발사체의 비행 V총구가 수평으로 각도 로 기울어진 총에서 0은 다음 공식으로 표현됩니다. 
(공기저항을 무시한다면) 여기 g– 중력 가속. 각 값 쌍에 대해 V 0 및 이 공식은 특정 값을 제공합니다. 아르 자형, 즉. 아르 자형두 변수의 함수이다 V 0과 .
예시 4.
. 여기 그리고네 가지 변수의 함수가 있습니다 엑스, ~에, 지, 티.
정의 1.각 쌍( 엑스, ~에) 서로 독립적인 두 변수의 값 엑스그리고 ~에변화의 일부 영역에서 디, 수량의 특정 값에 해당 지, 그럼 우리는 이렇게 말해요 지기능이 있어요 두 개의 독립변수 x그리고 ~에, 영역에 정의됨 디.
기호적으로 두 변수의 함수는 다음과 같이 표시됩니다.
지= 에프(엑스, 와이), 지 = 에프(엑스, 와이) 등.
예를 들어 위에서 설명한 예에서 수행된 것처럼 테이블을 사용하거나 공식을 사용하여 분석적으로 두 변수의 함수를 지정할 수 있습니다. 공식을 기반으로 일부 독립 변수 값 쌍에 대한 함수 값 테이블을 만들 수 있습니다. 따라서 첫 번째 예에서는 다음 테이블을 만들 수 있습니다.
에스 = xy
이 표에서는 특정 값에 해당하는 행과 열의 교차점에 엑스그리고 ~에, 스탬프가 찍힌 해당 값기능 에스. 만약에 기능적 의존성 지= 에프(엑스, 와이)는 수량을 측정한 결과로 얻어집니다. 지어떤 현상을 실험적으로 연구하면 결정하는 표가 즉시 얻어집니다. 지두 변수의 함수로. 이 경우 기능은 표에서만 지정됩니다.
하나의 독립변수의 경우와 마찬가지로 일반적으로 어떤 값에 대해서도 두 변수의 함수가 존재하지 않습니다. 엑스그리고 ~에.
정의 2.쌍 세트( 엑스, ~에) 값 엑스그리고 ~에, 함수가 결정되는 곳 지= 에프(엑스, 와이), 라고 불리는 정의 영역또는 존재의 영역이 기능.
함수 정의 영역은 기하학적으로 명확하게 설명됩니다. 모든 값 쌍이 엑스그리고 ~에점으로 표현하겠습니다 중(엑스, ~에) 비행기에서 오오, 그러면 함수 정의 영역은 평면의 특정 점 모음으로 표시됩니다. 우리는 또한 이 점들의 집합을 함수 정의 영역이라고 부를 것입니다. 특히 정의 영역은 전체 평면이 될 수 있습니다. 다음에서는 주로 다음과 같은 영역을 다루겠습니다. 비행기의 일부, 선으로 경계. 제한선 이 영역, 우리가 전화할게 국경지역. 경계에 있지 않은 영역의 점을 호출합니다. 내부지역의 포인트. 내부 점들로만 구성된 영역을 호출합니다. 열려 있는또는 열려 있는. 경계점도 지역에 속하면 지역을 지역이라고 합니다. 닫은. 그러한 상수가 있는 경우 영역을 경계라고 합니다. 와 함께, 어떤 지점의 거리는 중원점에서 나온 지역 에 대한더 적은 와 함께, 즉. | 옴| < 와 함께.
실시예 5. 함수의 자연 영역 결정
지 = 2엑스 – ~에.
분석식 2 엑스 – ~에어떤 값에도 의미가 있습니다 엑스그리고 ~에. 결과적으로 함수 정의의 자연 영역은 전체 평면입니다. 오오.
실시예 6.
.
하기 위해 지실제 값이 있는 경우 루트 아래에 음수가 아닌 숫자가 있어야 합니다. 엑스그리고 ~에부등식 1 –을 만족해야 합니다. 엑스 2 – ~에 2 0, 또는 엑스 2 + ~에 2 1.
모든 포인트 중(엑스, ~에)의 좌표는 표시된 부등식을 만족하며 이 원의 경계와 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 원 안에 있습니다.
실시예 7.
.
로그는 양수에 대해서만 정의되므로 부등식을 만족해야 합니다. 엑스 + ~에> 0, 또는 ~에 > 엑스.
이는 함수 정의 영역을 의미합니다. 지선 위에 위치한 평면의 절반입니다. ~에 = 엑스, 직선 자체는 포함되지 않습니다.
실시예 8. 삼각형의 면적 에스기본 기능을 나타냅니다. 엑스그리고 높이 ~에: 에스= xy/2.
이 함수의 정의 영역은 다음과 같습니다. 엑스 0, ~에 0(삼각형의 밑변과 높이가 음수나 0이 될 수 없기 때문에). 고려중인 함수 정의 영역은 함수가 지정되는 분석 표현의 자연 정의 영역과 일치하지 않습니다. XY/ 2는 분명히 전체 비행기입니다 오오.
두 변수의 함수 정의는 세 개 이상의 변수의 경우로 쉽게 일반화될 수 있습니다.
정의 3.각각의 변수 값 집합을 고려한 경우 엑스, ~에, 지, …, 유, 티특정 변수 값에 해당 승, 그럼 우리가 전화할게 승 독립변수의 함수 엑스, ~에, 지, …, 유, 티쓰기 승= 에프(엑스, ~에, 지, …, 유, 티) 또는 승= 에프(엑스, ~에, 지, …, 유, 티) 등등.
두 변수의 함수와 마찬가지로 세 개, 네 개 또는 그 이상의 변수로 구성된 함수의 정의 영역에 대해 이야기할 수 있습니다.
예를 들어, 3개의 함수에 대해 가변 면적정의는 세 개의 숫자로 구성된 특정 모음입니다( 엑스, ~에, 지). 세 개의 숫자가 각각 특정 지점을 정의한다는 점을 즉시 알아두겠습니다. 중(엑스, ~에, 지) 우주에서 오오지. 결과적으로 세 변수의 함수 정의 영역은 공간의 특정 점 집합입니다.
마찬가지로, 네 가지 변수로 구성된 함수의 정의 영역에 대해 이야기할 수 있습니다. 유= 에프(엑스, 와이, 지, 티) 네 배의 숫자 모음에 대해 ( 엑스, 와이, 지, 티). 그러나 4 또는 4의 함수 정의 영역은 더변수는 더 이상 간단한 기하학적 해석을 허용하지 않습니다.
예제 2는 모든 값에 대해 정의된 세 가지 변수의 함수를 보여줍니다. 엑스, ~에, 지.
예제 4는 4개 변수의 함수를 보여줍니다.
실시예 9. .
여기 승– 네 가지 변수의 기능 엑스, ~에, 지, 그리고, 관계를 만족하는 변수의 값으로 정의됩니다.
여러 변수의 함수 개념
여러 변수의 함수 개념을 소개하겠습니다.
정의 1.모든 점을 보자 중일련의 점에서 ( 중) 유클리드 공간 이자형중일부 법률에 따르면 특정 숫자가 대응됩니다. 그리고숫자 집합에서 유.그런 다음 세트에서 다음과 같이 말할 것입니다 ( 중) 기능이 제공됩니다 그리고 =f(M).게다가, 세트( 중) 그리고 유각각 정의(할당) 영역과 기능 변경 영역이라고 합니다. f(M).
아시다시피, 하나의 변수의 함수 ~에 = 에프(엑스)은 평면에 선으로 표시됩니다. 두 변수의 경우 정의 영역( 중 피) 기능 z = f(x, y)좌표평면의 특정 점 집합을 나타냅니다. 오오(그림 8.1). 동등 어구 지~라고 불리는 신청하다,그러면 함수 자체가 공간의 표면으로 묘사됩니다. 이자형3 . 마찬가지로, 티변수
세트에 정의됨( 중) 유클리드 공간 이자형중, 유클리드 공간의 초표면을 나타냅니다. 이자형m+1.
여러 변수의 일부 유형의 함수
여러 변수의 함수 예를 살펴보고 해당 정의 영역을 찾아보겠습니다.
이자형3
.
이 함수의 정의 영역은 평면의 전체 점 집합입니다. 아.이 함수의 범위는 간격 X입니다. 개인 더블[,] Y; 개인 더블[,] Z; // 아이소라인 목록 공개 목록
수업의 작업을 보여주기 위해 작은 시험 적용 WPF는 10 x 10 그리드에 z = x^2 + y^2 형식의 함수에 대한 레벨 선을 작성합니다.
MainWindow.xaml 파일:
MainWindow.xaml.cs 코드 파일은 다음과 같습니다.
System.Linq 사용; System.Windows 사용; System.Windows.Controls 사용; System.Windows.Media 사용; System.Windows.Shapes 사용; 네임스페이스 WpfLinesLevels( ///
테스트 예의 결과가 그림에 나와 있습니다.