>>극한

함수의 극값

극한의 정의

기능 y = f(x)가 호출됩니다. 증가 (감소하는) 특정 간격으로 x 1의 경우< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

미분 가능 함수 y = f (x)가 구간에서 증가(감소)하면 이 구간 f에서의 도함수는 다음과 같습니다. " (엑스)> 0

(에프"(엑스)< 0).

점 엑스 영형 ~라고 불리는 지역 최대점 (최저한의) 함수 f(x) 점의 이웃이 있는 경우 엑스오, 부등식 f(x)가 참인 모든 점에 대해≤ 에프(엑스오)(에프(엑스)≥ f(xo)).

최대 및 최소 포인트를 호출합니다. 극한점, 그리고 이 지점에서 함수의 값은 과격한 수단.

극점

필요한 조건극한의 . 요점이라면 엑스 영형 는 함수 f(x)의 극점이고 f " (x o ) = 0 또는 f(x o )가 존재하지 않습니다. 그러한 점을 호출합니다. 비판적인,함수 자체는 임계점에서 정의됩니다. 함수의 극값은 임계점 중에서 찾아야 합니다.

첫 번째 충분조건. 허락하다 엑스 영형 - 중요한 점. 만일 f" (x ) 점을 통과할 때 엑스 영형 더하기 기호를 빼기로 변경한 다음 해당 지점에서 엑스오함수에는 최대값이 있고, 그렇지 않으면 최소값이 있습니다. 임계점을 통과할 때 도함수의 부호가 변경되지 않으면 해당 지점에서 엑스 영형 극단은 없습니다.

두 번째 충분조건. 함수 f(x)가
에프" (x ) 지점 근처 엑스 영형 그리고 그 지점 자체에서의 2차 도함수 엑스오. 만일 f"(엑스오) = 0, >0 ( <0), то точка 엑스오함수 f(x)의 로컬 최소(최대) 지점입니다. =0이면 첫 번째 충분 조건을 사용하거나 더 높은 조건을 포함해야 합니다.

세그먼트에서 함수 y = f(x)는 임계 지점이나 세그먼트 끝에서 최소값 또는 최대값에 도달할 수 있습니다.

예제 3.22.

해결책.왜냐하면 에프 " (

함수의 극값을 구하는 문제

예제 3.23. ㅏ

해결책. 엑스그리고 와이 와이
0 ≤ 엑스≤
> 0, 그리고 언제 x >a /4S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение 기능 케이 V. 단위).

예제 3.24. p ≒

해결책.피 피
에스"
R = 2, H = 16/4 = 4.

예제 3.22.함수 f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14의 극값을 구합니다.

해결책.왜냐하면 에프 " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), 그러면 함수의 임계점 x 1 = 2 및 x 2 = 3. 극한값은 이 지점에만 있을 수 있습니다. x 1 = 2 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하므로 이 지점에서 함수는 최대값을 갖습니다. x 2 = 3 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경하므로 x 2 = 3 지점에서 함수는 최소값을 갖습니다. 해당 지점에서 함수 값을 계산한 결과
x 1 = 2 및 x 2 = 3인 경우 함수의 극값을 찾습니다. 최대 f(2) = 14 및 최소 f(3) = 13입니다.

예제 3.23.돌담 근처에 직사각형 영역을 만들어 철망으로 3면을 막고 4면이 벽에 인접하도록해야합니다. 이를 위해 ㅏ메쉬의 선형 미터. 사이트의 면적이 가장 큰 가로 세로 비율은 얼마입니까?

해결책.플랫폼의 측면을 다음과 같이 표시하겠습니다. 엑스그리고 와이. 사이트의 면적은 S = xy입니다. 허락하다 와이- 벽에 인접한 변의 길이입니다. 그러면 조건에 따라 2x + y = a 등식이 충족되어야 합니다. 따라서 y = a - 2x이고 S = x (a - 2x)입니다. 여기서
0 ≤ 엑스≤ a /2(영역의 길이와 너비는 음수가 될 수 없습니다). S " = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4, 여기서
y = a - 2 × a/4 =a/2. 왜냐하면 x = a /4가 유일한 중요한 점입니다. 이 점을 통과할 때 도함수의 부호가 변경되는지 확인하겠습니다. x a /4 S "에서> 0, 그리고 언제 x >a /4S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение 기능 S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (케이 V. 단위). S는 연속적이고 끝의 값 S(0) 및 S(a /2)는 0이므로 발견된 값은 함수의 가장 큰 값이 됩니다. 따라서 주어진 문제 조건에서 사이트의 가장 유리한 종횡비는 y = 2x입니다.

예제 3.24.V=16 용량의 폐쇄형 원통형 탱크를 제작해야 합니다. p ≒ 50m 3. 제조에 최소한의 재료가 사용되도록 탱크의 크기(반경 R 및 높이 H)는 어떻게 되어야 합니까?

해결책.원통의 전체 표면적은 S = 2피 R(R+H). 우리는 실린더의 부피 V =를 알고 있습니다. p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. 따라서 S(R) = 2피 (R 2 +16/R). 우리는 이 함수의 미분을 찾습니다:
에스"(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p(R-8/R2). 에스" (R) = 0이고 R 3 = 8이므로,
R = 2, H = 16/4 = 4.

함수의 극점은 점이다. 기능 영역, 여기서 함수 값은 최소 또는 최대값. 이 지점에서 함수의 값을 함수의 극값(최소값 및 최대값)이라고 합니다..

정의. 점 엑스1 기능 영역 에프(엑스) 라고 한다 함수의 최대점 , 이 지점의 함수 값이 오른쪽과 왼쪽에 위치한 함수에 충분히 가까운 지점의 함수 값보다 큰 경우(즉, 불평등이 유지됨) 에프(엑스0 ) > 에프(엑스 0 + Δ 엑스) 엑스1 최고.

정의. 점 엑스2 기능 영역 에프(엑스) 라고 한다 함수의 최소점, 이 지점의 함수 값이 오른쪽과 왼쪽에 위치한 함수에 충분히 가까운 지점의 함수 값보다 작은 경우(즉, 불평등이 유지됩니다. 에프(엑스0 ) < 에프(엑스 0 + Δ 엑스) ). 이 경우에 우리는 함수가 그 지점에 있다고 말합니다. 엑스2 최저한의.

요점을 말하자면 엑스1 - 함수의 최대점 에프(엑스) . 그런 다음 최대 간격으로 엑스1 기능이 증가합니다이므로 함수의 도함수는 0보다 큽니다( 에프 "(엑스) > 0 ), 그리고 그 이후의 간격에서 엑스1 기능이 저하되므로 함수의 파생물 0보다 작음( 에프 "(엑스) < 0 ). Тогда в точке 엑스1

또한 요점을 가정해보자. 엑스2 - 함수의 최소점 에프(엑스) . 그런 다음 최대 간격으로 엑스2 함수는 감소하고 함수의 도함수는 0보다 작습니다( 에프 "(엑스) < 0 ), а в интервале после 엑스2 함수는 증가하고 함수의 도함수는 0보다 큽니다( 에프 "(엑스) > 0 ). 이 경우에도 그 시점에서 엑스2 함수의 미분은 0이거나 존재하지 않습니다.

페르마의 정리(함수의 극값이 존재한다는 필수 신호). 요점이라면 엑스0 - 함수의 극점 에프(엑스) , 이 시점에서 함수의 도함수는 0과 같습니다( 에프 "(엑스) = 0 ) 또는 존재하지 않습니다.

정의. 함수의 도함수가 0이 되거나 존재하지 않는 점을 호출합니다. 임계점 .

예시 1.기능을 고려해 봅시다.

그 시점에 엑스= 0 함수의 도함수는 0이므로 점은 엑스= 0이 임계점입니다. 그러나 함수 그래프에서 볼 수 있듯이 정의 영역 전체에 걸쳐 증가하므로 점은 엑스= 0은 이 함수의 극점이 아닙니다.

따라서 한 점에서 함수의 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는다는 조건은 극값에 대한 필수 조건이지만 충분하지는 않습니다. 왜냐하면 이러한 조건이 충족되는 함수의 다른 예가 제공될 수 있지만 함수 해당 지점에 극값이 없습니다. 그렇기 때문에 충분한 증거가 있어야 한다, 특정 임계점에 극한값이 있는지 여부와 그것이 어떤 종류의 극값인지(최대 또는 최소) 판단할 수 있습니다.

정리(함수의 극값이 존재한다는 첫 번째 충분 부호).임계점 엑스0 에프(엑스) 이 지점을 통과할 때 함수의 미분값의 부호가 바뀌고, 부호가 '플러스'에서 '마이너스'로 바뀌면 극대점, '마이너스'에서 '플러스'로 바뀌면 극대점이다. 그것은 최소한의 지점이다.

지점 근처라면 엑스0 , 그것의 왼쪽과 오른쪽에 도함수는 그 부호를 유지합니다. 이는 함수가 점의 일부 근처에서만 감소하거나 증가한다는 것을 의미합니다. 엑스0 . 이 경우, 그 시점에서 엑스0 극단은 없습니다.

그래서, 함수의 극점을 결정하려면 다음을 수행해야 합니다. :

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 도함수를 0으로 동일시하고 임계점을 결정합니다.
3. 정신적으로나 종이에 수직선에 중요한 점을 표시하고 결과 구간에서 함수 도함수의 부호를 결정합니다. 미분의 부호가 "플러스"에서 "마이너스"로 변경되면 임계점이 최대점이 되고, "마이너스"에서 "플러스"로 변경되면 최소점이 됩니다.
4. 극점에서 함수의 값을 계산합니다.

예시 2.함수의 극값 찾기 .

해결책. 함수의 미분을 찾아봅시다:

임계점을 찾기 위해 도함수를 0과 동일시해 보겠습니다.

.

"x" 값의 경우 분모는 그렇지 않습니다. 0과 같음, 분자를 0과 동일시합니다.

중요한 포인트가 하나 생겼습니다 엑스= 3 . 이 점으로 구분된 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다.

마이너스 무한대에서 3까지의 범위에서 마이너스 기호, 즉 함수가 감소합니다.

3에서 무한대까지의 간격에는 더하기 기호가 있습니다. 즉, 함수가 증가합니다.

즉, 기간 엑스= 3이 최소점입니다.

최소점에서 함수의 값을 찾아보겠습니다.

따라서 함수의 극점은 (3; 0)이며 최소점입니다.

정리(함수의 극값 존재에 대한 두 번째 충분 부호).임계점 엑스0 함수의 극점이다 에프(엑스) 이 시점에서 함수의 2차 도함수가 0이 아닌 경우( 에프 ""(엑스) ≠ 0 ), 그리고 이차 도함수가 0보다 큰 경우( 에프 ""(엑스) > 0 ), 최대점, 2차 도함수가 0보다 작은 경우( 에프 ""(엑스) < 0 ), то точкой минимума.

참고 1. 시점에 있다면 엑스0 1차 도함수와 2차 도함수가 모두 사라지면 이 시점에서 두 번째 충분 기준을 기반으로 극값의 존재를 판단하는 것이 불가능합니다. 이 경우 함수의 극값에 대한 첫 번째 충분 기준을 사용해야 합니다.

비고 2. 함수의 극값에 대한 두 번째 충분 기준은 1차 도함수가 정지점에 존재하지 않는 경우에도 적용되지 않습니다(그러면 2차 도함수도 존재하지 않습니다). 이 경우 함수 극값의 첫 번째 충분 부호도 사용해야 합니다.

함수 극값의 지역적 특성

위의 정의로부터 함수의 극값은 다음과 같습니다. 지역 캐릭터- 가장 가까운 값과 비교하여 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.

당신이 1년 동안의 수입을 살펴보고 있다고 가정해 보겠습니다. 5월에 45,000루블, 4월에 42,000루블, 6월에 39,000루블을 벌었다면 5월 수입은 인근 가치에 비해 수입 함수의 최대값입니다. 그러나 10월에는 71,000루블, 9월에는 75,000루블, 11월에는 74,000루블을 벌었으므로 10월 수입은 인근 가치와 비교한 수입 함수의 최소값입니다. 그리고 4~5~6월의 값 중 최대값이 9~10월~11월의 최소값보다 작은 것을 쉽게 알 수 있습니다.

일반적으로 말하면, 특정 구간에서 함수는 여러 개의 극값을 가질 수 있으며 함수의 최소값이 최대값보다 클 수도 있습니다. 따라서 위 그림에 표시된 기능의 경우 .

즉, 함수의 최대값과 최소값이 각각 고려 중인 전체 세그먼트에 대한 최대값과 최소값이라고 생각해서는 안 됩니다. 최대점에서 함수는 최대점에 충분히 가까운 모든 지점에서 갖는 값과 비교해서만 가장 큰 값을 가지며, 최소점에서는 해당 값과 비교하여 가장 작은 값을 갖습니다. ​​​​모든 지점이 최소 지점에 충분히 가깝습니다.

그러므로 위의 함수의 극점 개념을 명확히 하고 최소점을 지역최소점, 최대점을 지역최대점이라 부를 수 있다.

우리는 함수의 극값을 함께 찾습니다.

예시 3.

해결 방법: 함수는 전체 수직선에서 정의되고 연속됩니다. 그 파생물 전체 수직선에도 존재합니다. 따라서 이 경우중요한 지점은 다음과 같은 지점뿐입니다. , 어디서 그리고 . 중요한 점을 지적하고 함수 정의의 전체 영역을 세 가지 단조성 간격으로 나눕니다. 각각 하나씩 골라보자 제어점그리고 이 지점에서 도함수의 부호를 찾으세요.

간격의 경우 제어점은 다음과 같습니다. 간격에서 한 점을 취하면 얻고, 간격에서 점을 취하면 얻습니다. 따라서 간격 및 , 간격 . 극값에 대한 첫 번째 충분 기준에 따르면, 그 점에는 극값이 없고(도함수는 간격 내에서 부호를 유지하므로) 그 점에서 함수는 최소값을 갖습니다(도함수가 통과할 때 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되기 때문). 이 지점을 통해). 찾아보자 해당 값기능: , . 간격에서 함수는 이 간격에서 감소하고 간격에서는 이 간격에서 증가합니다.

그래프의 구성을 명확히하기 위해 그래프와 좌표축의 교차점을 찾습니다. 근이 과 인 방정식을 얻을 때, 즉 함수 그래프의 두 점 (0; 0)과 (4; 0)이 발견되었습니다. 받은 모든 정보를 사용하여 그래프를 작성합니다(예제 시작 부분 참조).

예시 4.함수의 극값을 찾아 그래프를 작성합니다.

함수의 정의 영역은 점을 제외한 전체 수직선입니다. .

연구를 단축하기 위해 이 함수가 짝수라는 사실을 사용할 수 있습니다. . 따라서 그래프는 축을 기준으로 대칭입니다. 아야그리고 연구는 해당 간격 동안만 수행될 수 있습니다.

파생 상품 찾기 기능의 중요한 포인트:

1) ;

2) ,

그러나 함수는 이 지점에서 불연속성을 겪게 되므로 극점이 될 수 없습니다.

따라서 주어진 함수에는 두 가지 중요한 점이 있습니다. 함수의 패리티를 고려하여 극값에 대한 두 번째 충분 기준을 사용하여 점만 확인합니다. 이를 위해 우리는 2차 도함수를 구합니다. 그리고 그 부호를 다음에서 결정합니다: 우리는 를 얻습니다. 과 이므로 함수의 최소점이며, .

함수 그래프의 더 완전한 그림을 얻기 위해 정의 영역 경계에서의 동작을 찾아보겠습니다.

(여기서 기호는 욕망을 나타냅니다. 엑스오른쪽에서 0으로, 엑스여전히 긍정적이다; 마찬가지로 흡인을 뜻함 엑스왼쪽에서 0으로, 엑스여전히 부정적인 상태입니다). 따라서 만약 , 그렇다면 . 다음으로 우리는

,

저것들. 그렇다면 .

함수 그래프에는 축과의 교차점이 없습니다. 그림은 예제의 시작 부분에 있습니다.

우리는 계속해서 함수의 극값을 함께 탐색합니다

실시예 8.함수의 극값을 찾습니다.

해결책. 함수 정의 영역을 찾아봅시다. 부등식을 만족해야 하므로 에서 구합니다.

함수의 1차 도함수를 찾아보겠습니다.

함수의 임계점을 찾아봅시다.

정의 1. 점 M(x 0 ; y 0)은 이 이웃의 모든 점 (x; y)에 대해 점 M의 이웃이 있는 경우 함수 z = f(x; y)의 최대(최소) 점이라고 합니다. 다음과 같은 부등식이 성립합니다:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

정리 1 (극한이 존재하기 위한 필요조건) . 미분 가능 함수 z = f(x; y)가 점 M(x 0 ; y 0)에서 극값에 도달하면 이 점에서의 1차 편도함수는 0과 같습니다. 즉,
;

부분 도함수가 0과 같은 점을 호출합니다. 변화 없는또는 중요한 포인트.

정리 2 (극값이 존재하기 위한 충분조건)

함수 z = f(x; y)라고 하자:

a) 점 (x 0 ; y 0)의 특정 이웃에서 정의됩니다.
그리고
;

b) 이 시점에서 2차 연속 부분 도함수가 있습니다.

;

그런 다음  = AC  B 2 > 0이면 점 (x 0 ; y 0)에서 함수 z = f(x; y)는 극값을 가지며 A이면< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0(또는 C > 0) – 최소.  = AC  B 2의 경우< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

예시 1.함수 z = x 2 + xy + y 2  3x  6y의 극값을 구합니다.

해결책. 1차 부분도함수를 찾아봅시다:

극한의 존재에 필요한 조건을 사용해보자:

방정식 시스템을 풀면 고정점의 x 및 y 좌표를 찾습니다. x = 0; y = 3, 즉 M(0; 3).

2차 편도함수를 계산하고 M점에서 그 값을 찾아보겠습니다.

A =
= 2; C =
= 2;

비 =
.

판별식  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0을 만들어 보겠습니다. 따라서 M(0; 3) 지점에서 주어진 함수는 최소값을 갖습니다. 이 시점에서 함수의 값은 z min = 9입니다.

함수의 극값 찾기

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 최대값과 최소값

찾기 위해서는 가장 큰그리고 최소닫힌 영역의 함수 값을 얻으려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 주어진 영역에 위치한 임계점을 찾아 해당 지점의 함수 값을 계산합니다.

2) 영역 경계에서 임계점을 찾고 해당 지점에서 함수의 최대값과 최소값을 계산합니다.

3) 발견된 모든 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

예시 2.함수 z =의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.
원 안에 x 2 + y 2  1.

해결책. 고려 중인 영역 내부에 위치한 임계점의 좌표를 찾아 보겠습니다. 이를 위해 함수 z의 1차 부분 도함수를 계산하고 이를 0과 동일시합니다.

x = 0, y = 0이므로 M(0; 0)이 임계점입니다.

M(0; 0) 지점에서 함수 z의 값을 계산해 보겠습니다. z(0; 0) = 2.

방정식 x 2 + y 2 = 1로 정의된 원인 영역 경계에서 임계점을 찾아보겠습니다. y 2 = 1 - x 2를 함수 z = z(x; y)에 대입하면 다음 함수를 얻습니다. 하나의 변수

z =
;

여기서 x[1; 1].

파생상품을 계산한 결과
이를 0과 동일시하면 x 1 = 0, x 2 = 영역 경계의 임계점을 얻습니다. , x 3 =

함수 z(x) =의 값을 찾아봅시다.
임계점과 세그먼트 끝 [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

원의 내부와 경계에 위치한 임계점에서 함수 z의 값 중에서 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택합시다.

그래서, z 최대. = z(0; 0) = 2

주제에 대한 강의: "함수의 극점 찾기. 예"

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우리가 공부할 내용:
1. 소개.
2. 최소 및 최대 포인트.

4. 극값을 계산하는 방법은 무엇입니까?
5. 예.

함수 극단 소개

여러분, 특정 함수의 그래프를 살펴보겠습니다.

함수 y=f(x)의 동작은 주로 두 점 x1과 x2에 의해 결정됩니다. 이 지점과 그 주변의 함수 그래프를 자세히 살펴보겠습니다. x2 지점까지 함수는 증가하고, x2 지점에서는 변곡이 있으며, 이 지점 직후에 함수는 x1 지점으로 감소합니다. x1 지점에서 함수는 다시 구부러지고 그 후에는 다시 증가합니다. 지금은 x1 지점과 x2 변곡점을 호출하겠습니다. 다음 지점에서 접선을 그려보겠습니다.

우리 점의 접선은 x축과 평행합니다. 이는 접선의 기울기가 0임을 의미합니다. 이는 이 지점에서 우리 함수의 미분이 0과 같다는 것을 의미합니다.

이 함수의 그래프를 살펴보겠습니다.

x2와 x1 지점에 접선을 그리는 것은 불가능합니다. 이는 이 지점에서 파생 상품이 존재하지 않음을 의미합니다. 이제 두 그래프의 점을 다시 살펴보겠습니다. x2 지점은 함수가 일부 영역(x2 지점 근처)에서 가장 큰 값에 도달하는 지점입니다. x1 지점은 함수가 일부 영역(x1 지점 근처)에서 가장 작은 값에 도달하는 지점입니다.

최소 및 최대 포인트

정의: 점 x= x0은 부등식이 유지되는 점 x0의 이웃이 있는 경우 함수 y=f(x)의 최소 점이라고 합니다: f(x) ≥ f(x0).

정의: x=x0 점은 부등식이 유지되는 점 x0의 이웃이 있는 경우 함수 y=f(x)의 최대 점이라고 합니다: f(x) ≤ f(x0).

여러분, 동네란 무엇인가요?

정의: 점의 이웃은 우리 점과 그 점에 가까운 점을 포함하는 점 집합입니다.

우리는 동네를 스스로 설정할 수 있습니다. 예를 들어 x=2인 점의 경우 점 1과 3의 형태로 이웃을 정의할 수 있습니다.

그래프로 돌아가서 x2 지점을 살펴보겠습니다. 이는 특정 지역의 다른 모든 지점보다 크며 정의에 따라 이것이 최대 지점입니다. 이제 x1 지점을 살펴보겠습니다. 이는 특정 지역의 다른 모든 지점보다 작으며 정의에 따라 최소 지점입니다.

여러분, 표기법을 소개하겠습니다.

Y min - 최소점,
y max - 최대 지점.

중요한!여러분, 최대값과 최소값을 함수의 최소값과 최대값과 혼동하지 마세요. 최소 및 가장 높은 가치정의의 전체 영역에서 검색됩니다. 주어진 함수, 최소 및 최대 포인트는 특정 동네에 있습니다.

함수의 극값

최소 및 최대 포인트에는 극한 포인트라는 공통 용어가 있습니다.

극단(lat. extremum – 극단) – 주어진 세트에 대한 함수의 최대 또는 최소값입니다. 극한점에 도달하는 지점을 극점점이라고 합니다.

따라서, 최소값에 도달한 경우 극한점을 최소점, 최대값에 도달한 경우 최대점이라고 합니다.

함수의 극값을 찾는 방법은 무엇입니까?

차트로 돌아가 보겠습니다. 우리 지점에서 도함수는 사라지거나(첫 번째 그래프에서) 존재하지 않습니다(두 번째 그래프에서).

그러면 우리는 중요한 진술을 할 수 있습니다: 함수 y= f(x)가 x=x0 지점에서 극값을 갖는다면, 이 지점에서 함수의 도함수는 0이거나 존재하지 않습니다.

도함수가 0과 같은 점을 호출합니다. 변화 없는.

함수의 도함수가 존재하지 않는 점을 호출합니다. 비판적인.

극한값을 계산하는 방법은 무엇입니까?

여러분, 함수의 첫 번째 그래프로 돌아가 보겠습니다.

이 그래프를 분석하여 우리는 x2 지점까지 함수가 증가하고 x2 지점에서 변곡이 발생하며 이 지점 이후에는 x1 지점으로 함수가 감소한다고 말했습니다. x1 지점에서 함수는 다시 구부러지고 그 후에는 함수가 다시 증가합니다.

이러한 추론을 바탕으로 극점의 함수가 단조성의 특성을 변경하므로 미분 함수의 부호가 변경된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 기억하세요: 함수가 감소하면 도함수는 0보다 작거나 같고, 함수가 증가하면 도함수는 0보다 크거나 같습니다.

다음 진술을 통해 얻은 지식을 요약해 보겠습니다.

정리: 극값에 대한 충분 조건: 함수 y=f(x)가 어떤 구간 X에서 연속이고 구간 내부에 정지점 또는 임계점 x= x0이 있다고 가정합니다. 그 다음에:

• 이 점에 f'(x)>0이 x x0에 대해 유지되는 이웃이 있는 경우 점 x0은 함수 y= f(x)의 최소 점입니다.
• 이 점이 x0 및 x> x0에 대해 f'(x)가 유지되는 이웃을 갖는 경우 이 점이 점 x0의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 도함수의 부호가 동일한 이웃을 갖는 경우. , x0 지점에서는 극단이 없습니다.

문제를 해결하려면 다음 규칙을 기억하세요. 파생 상품의 부호가 정의된 경우:

연구 알고리즘 연속 함수단조성과 극값의 경우 y= f(x):

• y'의 도함수를 구합니다.
• 고정점(도함수가 0임)과 임계점(도함수가 존재하지 않음)을 찾습니다.
• 수직선에 정지점과 임계점을 표시하고 결과 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다.
• 위의 진술을 바탕으로 극점의 성격에 대한 결론을 도출하십시오.

극점 찾기의 예

1) 함수의 극점을 찾고 그 성질을 결정합니다: y= 7+ 12*x - x 3

해결책: 우리의 함수는 연속적이므로 다음과 같은 알고리즘을 사용할 것입니다.
a) y"= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, x= ±2에서,

점 x= -2는 함수의 최소점이고, 점 x= 2는 함수의 최대점입니다.
답: x= -2는 함수의 최소점이고, x= 2는 함수의 최대점입니다.

2) 함수의 극점을 찾고 그 성격을 결정합니다.

해결책: 우리의 기능은 연속적입니다. 우리의 알고리즘을 사용해 봅시다:
ㅏ) b) x= 2 지점에서 도함수는 존재하지 않습니다. 왜냐하면 0으로 나눌 수는 없습니다. 함수 정의 영역: , 이 시점에는 극값이 없습니다. 왜냐하면 점 근처는 정의되지 않습니다. 도함수가 0이 되는 값을 찾아보겠습니다. c) 수직선에 고정된 점을 표시하고 도함수의 부호를 결정합니다. d) 극한값을 결정하는 규칙을 보여주는 그림을 살펴보세요.
점 x= 3은 함수의 최소점입니다.
답: x= 3은 함수의 최소점입니다.

3) 함수 y= x - 2cos(x)의 극점을 찾고 그 특성을 결정합니다( -π ≤ x ≤ π).

해결책: 우리의 함수는 연속적입니다. 알고리즘을 사용해 보겠습니다.
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) 도함수가 0과 같은 값을 찾습니다: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
왜냐하면 -π ≤ x ≤ π이면: x= -π/6, -5π/6,
c) 수직선에 고정된 점을 표시하고 도함수의 부호를 결정합니다. d) 극한값을 결정하는 규칙을 보여주는 그림을 살펴보세요.
점 x= -5π/6은 함수의 최대점입니다.
점 x= -π/6은 함수의 최소점입니다.
답: x= -5π/6은 함수의 최대점이고, x= -π/6은 함수의 최소점입니다.

4) 함수의 극점을 찾고 그 성격을 결정합니다.

해결 방법: 우리 함수는 x= 0인 한 지점에서만 불연속성을 갖습니다. 알고리즘을 사용해 보겠습니다.
ㅏ)
b) 도함수가 0과 같은 값을 찾습니다. x= ±2에서 y"= 0,
c) 수직선에 고정된 점을 표시하고 도함수의 부호를 결정합니다.
d) 극한값을 결정하는 규칙을 보여주는 그림을 살펴보세요.
점 x= -2는 함수의 최소점입니다.
점 x= 2는 함수의 최소점입니다.
x= 0 지점에서는 함수가 존재하지 않습니다.
답: x= ±2 - 함수의 최소 포인트.

독립적으로 해결해야 할 문제

a) 함수의 극점을 찾고 그 특성을 결정합니다: y= 5x 3 - 15x - 5.
b) 함수의 극점을 찾고 그 성격을 결정합니다.
c) 함수의 극점을 찾고 그 성질을 결정합니다: y= 2sin(x) - x for π ≤ x ≤ 3π.
d) 함수의 극점을 찾고 그 성격을 결정합니다.